2021-2022學年江蘇省常州市教育學會高一（上）期末數學試卷一、選擇題：本題共8小題，每小題5分，共40分．在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的．1．（5分）已知是第二象限角，且，則的值是　　A． B． C． D．2．（5分）若冪函數的圖象過點，則　　A． B． C． D．3．（5分）已知集合，，，若“”是“”的充分不必要條件，則實數的取值集合為　　A． B．， C．， D．4．（5分）函數的大致圖象是　　A． B． C． D．5．（5分）函數的零點個數是　　A．1 B．2 C．3 D．46．（5分）已知偶函數在，上單調遞增，若，，，則　　A． B． C． D．7．（5分）2021年初，某地區(qū)甲、乙、丙三位經銷商出售鋼材的原價相同．受鋼材進價普遍上漲的影響，甲、乙計劃分兩次提價，丙計劃一次提價．設，甲第一次提價，第二次提價；乙兩次均提價；丙一次性提價．各經銷商提價計劃實施后，鋼材售價由高到低的經銷商依次為　　A．乙、甲、丙 B．甲、乙、丙 C．乙、丙、甲 D．丙、甲、乙8．（5分）已知，若對于任意的，都有，則實數的最小值為　　A． B． C．6 D．10二、選擇題：本題共4小題，每小題5分，共20分．在每小題給出的選項中，有多項符合題目要求．全部選對的得5分，有選錯的得0分，部分選對的得2分．9．（5分）若函數且在區(qū)間，上的最大值和最小值的和為，則的值可能是　　A． B． C． D．310．（5分）已知函數是上的減函數，則實數的可能的取值有　　A．4 B．5 C．6 D．711．（5分）如圖是函數的部分圖象，則　　A． B． C． D．12．（5分）已知函數，其中是自然對數的底數，則下列說法中正確的有　　A．是周期函數 B．在區(qū)間上是減函數 C．關于的方程有實數解 D．的圖象關于點對稱三、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分．13．（5分）的值為 　　．14．（5分）半徑為，面積為的扇形的圓心角為 　　弧度．15．（5分）已知函數，且關于的方程在區(qū)間上有唯一解，則的取值范圍是 　　．16．（5分）德國數學家康托創(chuàng)立的集合論奠定了現代數學的基礎．著名的“康托三分集”是數學理性思維的產物，具有典型的分形特征，其構造的操作過程如下：將閉區(qū)間，均分為三段，去掉中間的區(qū)間段，記為第1次操作；再將剩下的兩個區(qū)間，分別均分為三段，并各自去掉中間的區(qū)間段，記為第2次操作；以此類推，每次在上一次操作的基礎上，將剩下的各個區(qū)間分別均分為3段，同樣各自去掉中間的區(qū)間段．操作過程不斷地進行下去，以至無窮，剩下的元素構成的集合為“康托三分集”．定義區(qū)間長度為，則構造“康托三分集”的第次操作去掉的各區(qū)間的長度之和為　　，若第次操作去掉的各區(qū)間的長度之和小于，則的最小值為 　　．（參考數據：，．四、解答題：本題共6小題，共70分．解答應寫出文字說明、證明過程或演算步驟．17．（10分）已知集合，集合，設集合．（1）求；（2）當時，求函數的最小值．18．（12分）在平面直角坐標系中，角的始邊為軸的非負半軸，終邊經過點，求下列各式的值：（1）；（2）．19．（12分）將正弦曲線上的所有的點的橫坐標變?yōu)樵瓉淼囊话?，縱坐標不變得到曲線，再將曲線向左平移個單位得到曲線，曲線恰為函數的圖象．（1）直接寫出函數的解析式，并求出的最小正周期與單調增區(qū)間；（2）若不等式對恒成立，求實數的取值范圍．20．（12分）設，為實數，已知定義在上的函數為奇函數，且其圖象經過點．（1）求的解析式；（2）用定義證明為上的增函數，并求在，上的值域．21．（12分）已知函數，．（1）若，求的最小值（a）；（2）若關于的方程在上有解，求的取值范圍．22．（12分）已知函數，．（1）求證：為上的偶函數；（2）若函數在上只有一個零點，求實數的取值范圍．
2021-2022學年江蘇省常州市教育學會高一（上）期末數學試卷參考答案與試題解析一、選擇題：本題共8小題，每小題5分，共40分．在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的．1．（5分）已知是第二象限角，且，則的值是　　A． B． C． D．【解答】解：是第二象限角，且，由，可得．故選：．2．（5分）若冪函數的圖象過點，則　　A． B． C． D．【解答】解：設，代入點的解析式得：，解得：，故，故選：．3．（5分）已知集合，，，若“”是“”的充分不必要條件，則實數的取值集合為　　A． B．， C．， D．【解答】解：集合，，，若是的充分不必要條件，則有，當時，得，故，當時，集合不能真包含于，故無解，綜上，實數的取值范圍為．故選：．4．（5分）函數的大致圖象是　　A． B． C． D．【解答】解：，則是奇函數，圖象關于原點對稱，排除，，當，，排除，故選：．5．（5分）函數的零點個數是　　A．1 B．2 C．3 D．4【解答】解：函數，當時，令，解得，當時，令，解得，函數的零點有2個，故選：．6．（5分）已知偶函數在，上單調遞增，若，，，則　　A． B． C． D．【解答】解：因為是偶函數，所以（1），，因為，，所以，因為在，上單調遞增，所以（1），即．故選：．7．（5分）2021年初，某地區(qū)甲、乙、丙三位經銷商出售鋼材的原價相同．受鋼材進價普遍上漲的影響，甲、乙計劃分兩次提價，丙計劃一次提價．設，甲第一次提價，第二次提價；乙兩次均提價；丙一次性提價．各經銷商提價計劃實施后，鋼材售價由高到低的經銷商依次為　　A．乙、甲、丙 B．甲、乙、丙 C．乙、丙、甲 D．丙、甲、乙【解答】解：設提價前的價格為1，則甲提價后的價格為：，乙提價后的價格為：，丙提價后的價格為：，因為，所以，所以，即乙甲丙，故選：．8．（5分）已知，若對于任意的，都有，則實數的最小值為　　A． B． C．6 D．10【解答】解：令，則，所以是奇函數，則可化為，即（a），因為在上單調遞減，所以在上恒成立，則，令，則，，則在，上單調遞減，所以當時取得最小值為10，所以，解得，所以實數的最小值為．故選：．二、選擇題：本題共4小題，每小題5分，共20分．在每小題給出的選項中，有多項符合題目要求．全部選對的得5分，有選錯的得0分，部分選對的得2分．9．（5分）若函數且在區(qū)間，上的最大值和最小值的和為，則的值可能是　　A． B． C． D．3【解答】解：且在區(qū)間，上單調函數，，，或，即或，故選：．10．（5分）已知函數是上的減函數，則實數的可能的取值有　　A．4 B．5 C．6 D．7【解答】解：因為函數是上的減函數，所以，解可得，所以四個選項中符合條件的實數的取值可以是4，5，6．故選：．11．（5分）如圖是函數的部分圖象，則　　A． B． C． D．【解答】解：若，根據函數的部分圖象，可得，由，求得．再結合五點法作圖，可得，，故函數的解析式為．若，根據函數的部分圖象，可得，由，求得．再結合五點法作圖，可得，，故據函數．故選：．12．（5分）已知函數，其中是自然對數的底數，則下列說法中正確的有　　A．是周期函數 B．在區(qū)間上是減函數 C．關于的方程有實數解 D．的圖象關于點對稱【解答】解：對于，所以是以為周期的周期函數，故正確；對于：因為在上為減函數，在上為增函數，根據復合函數單調性同增異減原則，可得在上為減函數，同理在上為增函數，所以在上為增函數，所以在上是減函數，故正確；對于：因為，，，，所以，，當且僅當，時方程有解，即且時方程有解，此時且，無法同時滿足，所以關于的方程沒有實數解，故錯誤；對于，，所以，即的圖象關于點對稱，故正確．故選：．三、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分．13．（5分）的值為 　　．【解答】解：．故答案為：．14．（5分）半徑為，面積為的扇形的圓心角為 　　弧度．【解答】解：扇形的半徑為，面積為，則扇形的圓心角的弧度數滿足，解得．故答案為：．15．（5分）已知函數，且關于的方程在區(qū)間上有唯一解，則的取值范圍是 　，　．【解答】解：，，，設，則，作出函數的圖象，則當時，，當時，，則要使在區(qū)間上有唯一解，則或，即的取值范圍是，，故答案為：，．16．（5分）德國數學家康托創(chuàng)立的集合論奠定了現代數學的基礎．著名的“康托三分集”是數學理性思維的產物，具有典型的分形特征，其構造的操作過程如下：將閉區(qū)間，均分為三段，去掉中間的區(qū)間段，記為第1次操作；再將剩下的兩個區(qū)間，分別均分為三段，并各自去掉中間的區(qū)間段，記為第2次操作；以此類推，每次在上一次操作的基礎上，將剩下的各個區(qū)間分別均分為3段，同樣各自去掉中間的區(qū)間段．操作過程不斷地進行下去，以至無窮，剩下的元素構成的集合為“康托三分集”．定義區(qū)間長度為，則構造“康托三分集”的第次操作去掉的各區(qū)間的長度之和為　　，若第次操作去掉的各區(qū)間的長度之和小于，則的最小值為 　　．（參考數據：，．【解答】解：第一次操作去掉的區(qū)間長度為；第二次操作去掉兩個長度為的區(qū)間，長度和為；第三次操作去掉四個長度為的區(qū)間，長度和為；，第次操作去掉個長度為的區(qū)間，長度和為；由題意可知，，故答案為：；10．四、解答題：本題共6小題，共70分．解答應寫出文字說明、證明過程或演算步驟．17．（10分）已知集合，集合，設集合．（1）求；（2）當時，求函數的最小值．【解答】解：（1）集合，集合，或，集合．（2）當時，，函數．當且僅當，即時，取等號，當時，求函數的最小值為8．18．（12分）在平面直角坐標系中，角的始邊為軸的非負半軸，終邊經過點，求下列各式的值：（1）；（2）．【解答】解：（1）由任意角三角函數的定義可得：，可得．（2）．19．（12分）將正弦曲線上的所有的點的橫坐標變?yōu)樵瓉淼囊话耄v坐標不變得到曲線，再將曲線向左平移個單位得到曲線，曲線恰為函數的圖象．（1）直接寫出函數的解析式，并求出的最小正周期與單調增區(qū)間；（2）若不等式對恒成立，求實數的取值范圍．【解答】解：（1）正弦曲線上的所有的點的橫坐標變?yōu)樵瓉淼囊话?，縱坐標不變得到曲線的圖象，即，再將曲線向左平移個單位得到曲線，曲線恰為函數的圖象；所以函數的最小正周期為，令，整理得：，所以函數的單調遞增區(qū)間為．（2）由于，所以；由于不等式對恒成立，所以，整理得．故實數的取值范圍為．20．（12分）設，為實數，已知定義在上的函數為奇函數，且其圖象經過點．（1）求的解析式；（2）用定義證明為上的增函數，并求在，上的值域．【解答】解：（1）因為是定義在上的奇函數，所以，可得①，且其圖象經過點，可得（1）②，聯立①②，解得，，所以，，滿足是奇函數，所以的解析式為．（2）證明：設任意，且，則，因為，所以，所以，，，所以，，所以為上的增函數，在，上單調遞增，，（2），所以在，上的值域為，．21．（12分）已知函數，．（1）若，求的最小值（a）；（2）若關于的方程在上有解，求的取值范圍．【解答】解：因為函數，因為，所以，，令，則，，則，又因為，所以，當，即時，則在，上單調遞減，在，上單調遞增，故在，上的最小值為（a），當即時，在，上單調遞減，故在，上的最小值為（a）（1），綜上所述：（a），（2）因為關于的方程在上有解，即關于的方程在上有解，所以在上有解，因為，所以，，令，，則，因為在，上單調遞增，則，，故的取值范圍是，．22．（12分）已知函數，．（1）求證：為上的偶函數；（2）若函數在上只有一個零點，求實數的取值范圍．【解答】證明：（1）函數，定義域為，關于原點對稱，，函數為上的偶函數．解：（2），函數在上只有一個零點，關于的方程有唯一的實數解，即方程有唯一的實數解，即，化簡得，令，下面研究關于的方程，①當時，，符合題意；②當時，則△，且，方程有異號的兩個實根，符合題意；③當時，則，故只需，解得，此時方程有兩個相等的正根，符合題意；綜上所述，實數的取值范圍，．聲明：試題解析著作權屬菁優(yōu)網所有，未經書面同意，不得復制發(fā)布日期：2022/8/1 9:04:00；用戶：高中數學6；郵箱：tdjyzx38@xyh.com；學號：42412367

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