注意事項(xiàng)：
1．答卷前，考生務(wù)必將自己的姓名、考生號(hào)等填寫在答題卡和試卷指定位置上．
2．回答選擇題時(shí)，選出每小題答案后，用鉛筆把答題卡上對(duì)應(yīng)題目的答案標(biāo)號(hào)涂黑．如需改動(dòng)，用橡皮擦干凈后，再選涂其他答案標(biāo)號(hào)．回答非選擇題時(shí)，將答案寫在答題卡上，寫在本試卷上無效．
3．考試結(jié)束后，將答題卡交回．
一、選擇題：本題共8小題，每小題5分，共40分．在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題目要求的．
1. 的值為（ ）
A. B. C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】利用誘導(dǎo)公式化簡可得出所求代數(shù)式的值.
【詳解】.
故選：C.
2. 半徑為，面積為的扇形的圓心角為（ ）
A. B. C. D.
【答案】A
【解析】
【分析】設(shè)扇形的圓心角為，代入扇形的面積公式即可求解.
【詳解】設(shè)扇形的圓心角為，
由題意可知，，即，解得，
所以半徑為，面積為的扇形的圓心角為，
故選：A.
3. 在中，若，則邊的長為（ ）
A. B. C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】利用正弦定理即可.
【詳解】因?yàn)椋?br>所以由正弦定理得：
，
故選：B.
4. 若復(fù)數(shù)z滿足，其中i為虛數(shù)單位，則z的實(shí)部為（ ）
A. B. C. D.
【答案】D
【解析】
【分析】根據(jù)復(fù)數(shù)的運(yùn)算法則，化簡復(fù)數(shù)為，結(jié)合復(fù)數(shù)的概念，即可求解.
【詳解】由復(fù)數(shù)滿足，可得
，所以復(fù)數(shù)的實(shí)部為.
故選：D.
5. 已知向量，滿足，則在上的投影向量為（ ）
A. B. C. D.
【答案】A
【解析】
【分析】先求出向量，夾角的余弦值，然后利用求解投影向量的方法求解即可.
【詳解】設(shè)向量，的夾角為，
因?yàn)椋?br>所以，
所以，
所以在上的投影向量為：，
故選：A.
6. 已知非零向量與向量共線，則的值為（ ）
A. B. C. D.
【答案】D
【解析】
【分析】根據(jù)向量共線的知識(shí)列方程，化簡求得，進(jìn)而求得的值.
【詳解】由于非零向量與向量共線，
所以，
即，
由于不同時(shí)為零，
所以，所以，
所以.
故選：D
7. 已知的內(nèi)角A，B，C的對(duì)邊分別為a，b，c，的面積為，，，則（ ）
A. 4B. C. 8D.
【答案】B
【解析】
【分析】由已知利用三角形面積公式可求，結(jié)合利用余弦定理求出邊.
【詳解】解：，的面積為，∴，
又，由余弦定理，
，可得： .
故選：B
8. 已知下列關(guān)于函數(shù)的四個(gè)命題中，有且僅有一個(gè)假命題，則該命題是（ ）
甲：該函數(shù)圖象的一個(gè)對(duì)稱中心為
乙：該函數(shù)圖象的一條對(duì)稱軸方程為
丙：該函數(shù)在區(qū)間上單調(diào)遞減
?。涸摵瘮?shù)圖象向左平移個(gè)單位長度得到一個(gè)奇函數(shù)的圖象
A. 甲B. 乙C. 丙D. 丁
【答案】B
【解析】
【分析】先判斷甲乙不能同時(shí)正確，再根據(jù)丙丁同時(shí)正確得到且為偶數(shù)，故可判斷甲乙錯(cuò)誤與否.
【詳解】若甲乙都正確，則且，
但，故矛盾，
所以甲乙中有一個(gè)是錯(cuò)誤的，故丙丁都正確，
因?yàn)榈膱D象向左平移個(gè)單位長度后對(duì)應(yīng)的解析式為：，
又平移后的圖象對(duì)應(yīng)的函數(shù)為奇函數(shù)，故，故，
若為偶數(shù)，則，
當(dāng)時(shí)，，因?yàn)樵跒闇p函數(shù)，
故在為減函數(shù)，符合，
若為奇數(shù)，則，
當(dāng)時(shí)，，因?yàn)樵跒闇p函數(shù)，
故在為增函數(shù)，不符合，
綜上，.
而，故函數(shù)圖象的對(duì)稱中心為，甲正確，
又，故不是該函數(shù)圖象的一條對(duì)稱軸方程，乙錯(cuò)誤.
故選：B
二、選擇題：本題共4小題，每小題5分，共20分．在每小題給出的選項(xiàng)中，有多項(xiàng)符合題目要求．全部選對(duì)的得5分，有選錯(cuò)的得0分，部分選對(duì)的得2分．
9. 已知向量的夾角為，，則在下列向量中，與向量的夾角為銳角的向量有（ ）
A. B. C. D.
【答案】BC
【解析】
【分析】根據(jù)夾角為銳角可得不可能平行，因此只要計(jì)算出數(shù)量積為正即可.
【詳解】由已知各選項(xiàng)中向量與向量不平行，
，
，
，
，
，
只有BC選項(xiàng)符合題意．
故選：BC．
10. 已知復(fù)數(shù)，其中i為虛數(shù)單位，則下列結(jié)論正確的有（ ）
A. 復(fù)數(shù)z的共軛復(fù)數(shù)的模為1B. 復(fù)數(shù)z在復(fù)平面內(nèi)對(duì)應(yīng)的點(diǎn)在第四象限
C. 復(fù)數(shù)z是方程的解D. 復(fù)數(shù)滿足，則的最大值為2
【答案】ABD
【解析】
【分析】利用復(fù)數(shù)的運(yùn)算法則求出，再逐一對(duì)各個(gè)選項(xiàng)分析判斷即可求出結(jié)果.
【詳解】因?yàn)椋裕?br>對(duì)于選項(xiàng)A，因?yàn)椋?，故選項(xiàng)A正確；
對(duì)于選項(xiàng)B，因?yàn)閺?fù)數(shù)z在復(fù)平面內(nèi)對(duì)應(yīng)的點(diǎn)為，故選項(xiàng)B正確；
對(duì)于選項(xiàng)C，，所以，故選項(xiàng)C錯(cuò)誤；
對(duì)于選項(xiàng)D，設(shè)，則由，得到，又，由幾何意義知，可看成圓上的動(dòng)點(diǎn)到原點(diǎn)的距離，所以的最大值為，故選項(xiàng)D正確.
故選：ABD.
11. 設(shè)函數(shù)，若函數(shù)為偶函數(shù)，則的值可以是（ ）
A. B. C. D.
【答案】BCD
【解析】
【分析】根據(jù)三角函數(shù)變換結(jié)合條件可得，進(jìn)而，即得.
【詳解】因?yàn)椋?br>所以，又函數(shù)偶函數(shù)，
所以，即，
所以當(dāng)時(shí)的值可以是，，.
故選：BCD.
12. 已知的內(nèi)角A，B，C的對(duì)邊分別為a，b，c，則下列結(jié)論正確的有（ ）
A. 若，則等腰三角形
B. 若，則為等腰三角形
C. 若，則為等腰直角三角形
D. 若，則直角三角形
【答案】ACD
【解析】
【分析】根據(jù)正弦定理，三角函數(shù)恒等變換的應(yīng)用，逐一判斷各個(gè)選項(xiàng)即可.
【詳解】對(duì)于A，，由正弦定理可得，
則，即，
所以，則為等腰三角形，A選項(xiàng)正確；
對(duì)于B，，由正弦定理可得，
即，所以，
則或，即或，
所以為等腰三角形或直角三角形，B選項(xiàng)錯(cuò)誤；
對(duì)于C，，由正弦定理可得，
則，所以，
所以為等腰直角三角形，C選項(xiàng)正確；
對(duì)于D，，由射影定理，
則，則為直角三角形，D選項(xiàng)正確；
故選：ACD.
三、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分．
13. 已知，則=___________
【答案】
【解析】
【分析】先求出的值，再利用兩角和的正切得到的值
【詳解】，故，
填.
【點(diǎn)睛】本題考查二倍角的正切公式和兩角和的正切公式，屬于容易題.
14. 在正六邊形中，若，則________．
【答案】
【解析】
【分析】根據(jù)給定條件，利用數(shù)量積求出正六邊形的邊長，再利用數(shù)量積運(yùn)算律求解作答.
【詳解】在正六邊形中，，

由，得，解得，顯然，
所以
.
故答案為：
15. 在中，點(diǎn)D在邊上，，則的長為________．
【答案】
【解析】
【分析】在中，由正弦定理求得，再在在中，由余弦定理，即可求解的長.
【詳解】如圖所示，在中，由正弦定理得，
即，
因?yàn)椋傻?，且?br>在中，由余弦定理得：，
所以.
故答案為：.
16. 質(zhì)點(diǎn)P和Q在以坐標(biāo)原點(diǎn)O為圓心，半徑為1的圓O上逆時(shí)針作勻速圓周運(yùn)動(dòng)，同時(shí)出發(fā)．P的角速度大小為，起點(diǎn)為圓O與x軸正半軸的交點(diǎn)；Q的角速度大小為，起點(diǎn)為射線與圓O的交點(diǎn)．當(dāng)P與Q第二次重合時(shí)，P的坐標(biāo)為________；當(dāng)P與Q第三次重合時(shí)，點(diǎn)P相對(duì)于其起點(diǎn)的位移的大小是________
【答案】 ①. ②. （或?qū)懽鳎?br>【解析】
【分析】由題意解出重合時(shí)刻t的值，進(jìn)而可得P點(diǎn)位置，可求坐標(biāo).
【詳解】設(shè)時(shí)P與Q第二次重合，則有，解得，此時(shí)點(diǎn)P是單位圓與角終邊的交點(diǎn)，所以P的坐標(biāo)為；
設(shè)時(shí)P與Q第二次重合，則有，解得，此時(shí)點(diǎn)P是單位圓與角終邊的交點(diǎn)，所以P的坐標(biāo)為，
由起點(diǎn)坐標(biāo)為，則點(diǎn)P相對(duì)于其起點(diǎn)的位移的大小為.
故答案為：；.
【點(diǎn)睛】思路點(diǎn)睛：由點(diǎn)P和Q的位置和旋轉(zhuǎn)方向可知，時(shí)P與Q重合，由，由的值，可確定P點(diǎn)位置，求出坐標(biāo)
四、解答題：本題共6小題，共70分．解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟．
17. 已知為第二象限角，且滿足．求值：
（1）；
（2）．
【答案】（1）3 （2）
【解析】
【分析】（1）為第二象限角，由和，解出與，代入求值即可；
（2）利用兩角和的余弦公式展開求值即可．
【小問1詳解】
若為第二象限角，則．
又因?yàn)椋剩?br>．
（也可以由得，．）
【小問2詳解】
.
18. 已知函數(shù)的最大值為．
（1）求的最小正周期；
（2）求使成立的自變量x的集合．
【答案】（1）
（2）
【解析】
【分析】（1）用倍角公式和輔助角公式化簡函數(shù)解析式，由周期公式求函數(shù)最小正周期，由函數(shù)最大值求出的值.
（2）根據(jù)函數(shù)解析式，利用整體代入法解不等式.
【小問1詳解】
因?yàn)?br>．
根據(jù)題意，，解得．
故．
所以函數(shù)的最小正周期．
小問2詳解】
由，即．
則，解得，其中．
故使成立時(shí)x的集合．
19. 已知函數(shù)（其中，，）的部分圖象如圖所示．將函數(shù)的圖象向右平移個(gè)單位長度，得到函數(shù)的圖象．
（1）求與的解析式；
（2）令，求方程在區(qū)間內(nèi)的所有實(shí)數(shù)解的和．
【答案】（1），
（2）
【解析】
【分析】（1）利用圖象求出函數(shù)的解析式，再利用三角函數(shù)圖象變換可得出函數(shù)的解析式；
（2）利用兩角和與差的正弦公式函數(shù)的解析式，然后在時(shí)解方程，將相應(yīng)的根全部相加可得結(jié)果.
【小問1詳解】
解：由圖可知，函數(shù)的最小正周期為，則，
因?yàn)?，可得?br>因?yàn)?，則，所以，，可得，
所以，的解析式為．
由題可知，．
【小問2詳解】
解：因?yàn)?br>，
由可得，故或，
解得或．
又，故．
故所求的實(shí)數(shù)解的和為．
20. 已知復(fù)數(shù)，其中i為虛數(shù)單位，．
（1）若是實(shí)數(shù)，求的值；
（2）設(shè)復(fù)數(shù)，對(duì)應(yīng)的向量分別是，，若，求的值．
【答案】（1）
（2）
【解析】
【分析】（1）根據(jù)復(fù)數(shù)乘法計(jì)算后應(yīng)用實(shí)數(shù)概念列式求解即可；
（2）根據(jù)向量垂直數(shù)量積為0，再用已知角表示未知角，結(jié)合應(yīng)用兩角和正弦公式計(jì)算可得.
【小問1詳解】
．
因?yàn)闉閷?shí)數(shù)，所以，即，
又，故，則，
故；
【小問2詳解】
復(fù)數(shù)，對(duì)應(yīng)的向量分別為．
因?yàn)椋裕?br>故，
故，即，
又因?yàn)?，所以?br>則．
．
21. 已知的內(nèi)角A，B，C的對(duì)邊分別為a，b，c，且滿足下列條件中的一個(gè)或多個(gè)：①；②；③；④．
（1）若滿足條件①，求證：滿足條件②；
（2）求證：同時(shí)滿足條件②，③，④的是唯一的（其三邊長唯一確定）．
【答案】（1）證明見解析
（2）證明見解析
【解析】
【分析】（1）利用正弦定理和三角形內(nèi)角和定理得到，然后利用三角形內(nèi)角的取值即可得證；
（2）（方法1）利用正弦定理和余弦定理得到或，然后分情況利用余弦定理討論即可得證；
（方法2）根據(jù)邊長的關(guān)系，可設(shè)，其中，再根據(jù)角的關(guān)系和余弦定理即可證明；
（方法3）利用三角形內(nèi)角和定理和兩角和與差的正弦公式先證明條件①與②等價(jià)，再利用余弦定理證明同時(shí)滿足①，③，④的是唯一的即可.
【小問1詳解】
由條件①，，根據(jù)正弦定理得，
因?yàn)?，所以?br>所以．
因?yàn)?，所以，所以，或?br>即或（舍去），故．即滿足條件②．
【小問2詳解】
（方法1）若同時(shí)滿足條件②，③，④，
由及正弦定理得．
因?yàn)椋裕?br>又，所以．根據(jù)余弦定理得，．
又因?yàn)椋裕?br>即，解得或．
當(dāng)時(shí)，，
由余弦定理，，
而，故．
又A為銳角，故，又，注意到函數(shù)在上單調(diào)遞減，．此時(shí)，同時(shí)滿足條件②，③，④；
當(dāng)時(shí)，，由余弦定理，，
而，故，故．此時(shí)，不滿足條件②，舍去．
綜上所述，同時(shí)滿足條件②，③，④的是唯一的，其中．
（方法2）若同時(shí)滿足條件②，③，④，
因?yàn)椋钥稍O(shè)，其中．
因?yàn)?，所以?br>又因?yàn)椋?br>，
所以．
整理得，，
．
又，故，從而．
當(dāng)時(shí)，，滿足．
又A為銳角，故，又，注意到函數(shù)在上單調(diào)遞減，．此時(shí)，同時(shí)滿足條件②，③，④：
故同時(shí)滿足條件②，③，④的是唯一的，其中．
（方法3）先證明條件①與②等價(jià)：
根據(jù)（1）知，只需證明當(dāng)時(shí)，有．
證明如下：因?yàn)?，所以，所以?br>所以，所以，
又，所以，
根據(jù)正弦定理，．
再證明同時(shí)滿足①，③，④是唯一的，證明如下：
由及余弦定理得，，
即，又，，解得，
故同時(shí)滿足條件①，③，④的是唯一的．
綜合兩方面得到，同時(shí)滿足條件②，③，④的是唯一的，其中，，．
22. 若一個(gè)平面四邊形對(duì)邊不相交且任意三邊都在第四條邊所在直線的一側(cè)，則稱其為平面凸四邊形．容易知道，與之等價(jià)的說法為：若一個(gè)平面四邊形對(duì)邊不相交且每個(gè)內(nèi)角都小于，則稱其為平面凸四邊形．圖①，②給出了兩個(gè)不是平面凸四邊形的例子．如圖③，在平面凸四邊形中，，設(shè)．
（1）求的取值范圍；
（2）試用表示對(duì)角線的長，并指出取何值時(shí)的長最大．
【答案】（1）
（2），當(dāng)時(shí)，的長最大值為．
【解析】
【分析】（1）根據(jù)題意只需滿足為銳角，且即可，設(shè)，在中，利用余弦定理列出不等式，求得，結(jié)合余弦定理，即可求解的取值范圍；
（2）在中，求得，在中，利用余弦定理化簡得到，結(jié)合三角函數(shù)的性質(zhì)，即可求解.
【小問1詳解】
解：若平面四邊形為平面凸四邊形，只需滿足為銳角，且即可．
在中，，故為銳角，
設(shè)，在中，可得，
整理得，解得．
因?yàn)椋裕?br>在中，由余弦定理得：
，
所以的取值范圍為.
【小問2詳解】
解：在中，由余弦定理得，
在中，由正弦定理得，，
又由，在中，由余弦定理得：
，
故，
當(dāng)，即，此時(shí)滿足，
所以當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)，對(duì)角線長取最大值．

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