?2020-2021學(xué)年江蘇省南京師大附中高一（下）期末數(shù)學(xué)檢測(cè)試卷（2）
一、單項(xiàng)選擇題：本大題共8小題，每小題5分，共40分，在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題目要求的，請(qǐng)把答案直接填寫在答題卡相應(yīng)位置上．
1．（5分）如圖，網(wǎng)格紙上小正方形的邊長(zhǎng)為1，粗線畫出的是某五面體的三視圖，則該四面體的外接球表面積為　　

A． B． C． D．
2．（5分）定義一種運(yùn)算：．已知函數(shù)，為了得到函數(shù)的圖象，只需要把函數(shù)的圖象上所有的點(diǎn)　　
A．向左平移個(gè)單位長(zhǎng)度 B．向右平移個(gè)單位長(zhǎng)度
C．向上平移個(gè)單位長(zhǎng)度 D．向下平移個(gè)單位長(zhǎng)度
3．（5分）稱為兩個(gè)向量、間的“距離”．若向量、滿足：①；②；③對(duì)任意的，恒有，，，則　　
A． B． C． D．
4．（5分）中國(guó)茶文化博大精深，茶水的口感與茶葉類型和水的溫度有關(guān)．經(jīng)驗(yàn)表明，某種綠茶用的水泡制，再等到茶水溫度降至?xí)r飲用，可以產(chǎn)生最佳口感．為分析泡制一杯最佳口感茶水所需時(shí)間，某研究人員每隔測(cè)量一次茶水的溫度，根據(jù)所得數(shù)據(jù)做出如圖所示的散點(diǎn)圖．觀察散點(diǎn)圖的分布情況，下列哪個(gè)函數(shù)模型可以近似地刻畫茶水溫度隨時(shí)間變化的規(guī)律　　

A． B．
C． D．，，
5．（5分）2020年11月24日4時(shí)30分，我國(guó)在文昌航天發(fā)射場(chǎng)用長(zhǎng)征五號(hào)運(yùn)載火箭成功發(fā)射嫦娥五號(hào)，12月17日凌晨，嫦娥五號(hào)返回器攜帶月球樣品在內(nèi)蒙古四子王旗預(yù)定區(qū)域安全著陸，使得“繞、落、回”三步探月規(guī)劃完美收官，這為我國(guó)未來(lái)月球與行星探測(cè)奠定了堅(jiān)實(shí)基礎(chǔ)．若在不考慮空氣阻力和地球引力的理想狀態(tài)下，可以用公式計(jì)算火箭的最大速度，其中是噴流相對(duì)速度，是火箭（除推進(jìn)劑外）的質(zhì)量，是推進(jìn)劑與火箭質(zhì)量的總和，稱為“總質(zhì)比”．若型火箭的噴流相對(duì)速度為，當(dāng)總質(zhì)比為500時(shí)，型火箭的最大速度約為　　，
A． B． C． D．
6．（5分）在中，，，，為所在平面內(nèi)一點(diǎn)，并且滿足，記，，，則　　
A． B． C． D．
7．（5分）如圖，在三棱柱中，與相交于點(diǎn)，，，，，則線段的長(zhǎng)度為　　

A． B． C． D．
8．（5分）在中，設(shè)角，，對(duì)應(yīng)的邊分別為，，，記的面積為，且，則的最大值為　　
A． B． C． D．
二、多項(xiàng)選擇題：本大題共4小題，每小題5分，共20分，在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，有多項(xiàng)符合題目要求，全部選對(duì)得5分，部分選對(duì)得2分，不選或有選錯(cuò)的的得0分，請(qǐng)把答案直接填寫在答題卡相應(yīng)位置上．
9．（5分）下列說(shuō)法正確的是　　
A．若，，則
B．若，，則
C．若，則
D．函數(shù)的最小值是2
10．（5分）將函數(shù)圖象上的各點(diǎn)的橫坐標(biāo)縮短到原來(lái)的，縱坐標(biāo)不變，再向左平移個(gè)單位，得到的圖象，下列說(shuō)法正確的是　　
A．點(diǎn)，是函數(shù)圖象的對(duì)稱中心
B．函數(shù)在上單調(diào)遞減
C．函數(shù)的圖象與函數(shù)的圖象相同
D．若，是函數(shù)的零點(diǎn)，則是的整數(shù)倍
11．（5分）在中，是的中點(diǎn)．若，，則　　
A． B．
C． D．
12．（5分）如圖，在正方體中，是棱的中點(diǎn)，是線段（不含端點(diǎn)）上的一個(gè)動(dòng)點(diǎn)，那么在點(diǎn)的運(yùn)動(dòng)過(guò)程中，下列說(shuō)法中正確的有　　

A．存在某一位置，使得直線和直線相交
B．存在某一位置，使得平面
C．點(diǎn)與點(diǎn)到平面的距離總相等
D．三棱錐的體積不變
三、填空題：本大題共4小題，每小題5分，共20分，請(qǐng)把答案直接填寫在答題卡相應(yīng)位置上．
13．（5分）在中，，，與的交點(diǎn)為，過(guò)作動(dòng)直線分別交線段、于、兩點(diǎn)，若，，、，則的最小值為　 ?。?br /> 14．（5分）已知的內(nèi)角，，的對(duì)邊分別為，，，若，則（其中為的倒數(shù)）的最小值為　　．
15．（5分）一個(gè)組合體由上下兩部分組成，上部是一個(gè)半球，下部是一個(gè)圓柱，半球的底面與圓柱的上底面重合．若該組合體的體積為定值，則當(dāng)圓柱底面半徑　　時(shí)，該組合體的表面積最?。?br /> 16．（5分）已知函數(shù)．若存在使得不等式成立，則實(shí)數(shù)的取值范圍是　?。?br /> 四、解答題：本大題共6小題，共70分，請(qǐng)把答案填寫在答題卡相應(yīng)位置上．
17．（10分）在中，，，為邊上的中點(diǎn)．
（1）求的值；
（2）若，求．

18．（12分）如圖，在四棱錐中，平面平面，，，，，，．
（1）若，求直線與平面所成角的正弦值；
（2）設(shè)二面角的大小為，若，求的值．

19．（12分）如圖多面體中，面面，為等邊三角形，四邊形為正方形，，且，，分別為，的中點(diǎn)．
（1）求二面角的余弦值；
（2）作平面與平面的交線，記該交線與直線交點(diǎn)為，寫出的值（不需要說(shuō)明理由，保留作圖痕跡）．

20．（12分）在①；②；③的面積三個(gè)條件中任選一個(gè)（填序號(hào)），補(bǔ)充在下面的問(wèn)題中，并解答該問(wèn)題．
已知的內(nèi)角、、的對(duì)邊分別為，，，______，是邊上的一點(diǎn)，，且，，求線段的長(zhǎng)．
21．（12分）已知正三角形，某同學(xué)從點(diǎn)開始，用擲骰子的方法移動(dòng)棋子，規(guī)定：①每擲一次骰子，把一枚棋子從三角形的一個(gè)頂點(diǎn)移動(dòng)到另一個(gè)頂點(diǎn)；②棋子移動(dòng)的方向由擲骰子決定，若擲出骰子的點(diǎn)數(shù)大于3，則按逆時(shí)針?lè)较蛞苿?dòng)：若擲出骰子的點(diǎn)數(shù)不大于3，則按順時(shí)針?lè)较蛞苿?dòng)．設(shè)擲骰子次時(shí)，棋子移動(dòng)到，，處的概率分別為：（A），（B），（C），例如：擲骰子一次時(shí)，棋子移動(dòng)到，，處的概率分別為（A），，．
（1）擲骰子三次時(shí)，求棋子分別移動(dòng)到，，處的概率（A），（B），（C）；
（2）記（A），（B），（C），其中，，求．
22．（12分）已知函數(shù)，．
（1）若，記的解集為，求函數(shù)為自然對(duì)數(shù)的底數(shù)）的值域；
（2）當(dāng)時(shí)，討論函數(shù)的零點(diǎn)個(gè)數(shù)．

2020-2021學(xué)年江蘇省南京師大附中高一（下）期末數(shù)學(xué)檢測(cè)試卷（2）
參考答案與試題解析
一、單項(xiàng)選擇題：本大題共8小題，每小題5分，共40分，在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題目要求的，請(qǐng)把答案直接填寫在答題卡相應(yīng)位置上．
1．（5分）如圖，網(wǎng)格紙上小正方形的邊長(zhǎng)為1，粗線畫出的是某五面體的三視圖，則該四面體的外接球表面積為　　

A． B． C． D．
【分析】首先把三視圖轉(zhuǎn)換為幾何體，進(jìn)一步求出外接球的半徑，最后求出表面積．
【解答】解：根據(jù)幾何體的三視圖轉(zhuǎn)換為幾何體為三棱錐體
如圖所示：

設(shè)外接球的半徑為，
則：，解得，
所以：．
故選：．
【點(diǎn)評(píng)】本題考查的知識(shí)要點(diǎn)：三視圖和幾何體之間的轉(zhuǎn)換，幾何體的體積和表面積公式的應(yīng)用，球的體積公式和表面積公式的應(yīng)用，主要考查學(xué)生的運(yùn)算能力和轉(zhuǎn)換能力及思維能力，屬于基礎(chǔ)題．
2．（5分）定義一種運(yùn)算：．已知函數(shù)，為了得到函數(shù)的圖象，只需要把函數(shù)的圖象上所有的點(diǎn)　　
A．向左平移個(gè)單位長(zhǎng)度 B．向右平移個(gè)單位長(zhǎng)度
C．向上平移個(gè)單位長(zhǎng)度 D．向下平移個(gè)單位長(zhǎng)度
【分析】首先化簡(jiǎn)函數(shù)，再根據(jù)三角函數(shù)圖象變換性質(zhì)即可解決此題．
【解答】解：，
其圖象是由函數(shù)的圖象向右平移個(gè)單位長(zhǎng)度得到，
故選：．
【點(diǎn)評(píng)】本題考查行列式計(jì)算、三角函數(shù)圖象變換，考查數(shù)學(xué)運(yùn)算能力及直觀想象能力，屬于基礎(chǔ)題．
3．（5分）稱為兩個(gè)向量、間的“距離”．若向量、滿足：①；②；③對(duì)任意的，恒有，，，則　　
A． B． C． D．
【分析】先作向量，從而，容易判斷向量的終點(diǎn)在直線上，并設(shè)，連接，則有．從而根據(jù)向量距離的定義，可說(shuō)明，從而得到．
【解答】解：如圖，作，則，，
向量的終點(diǎn)在直線上，設(shè)其終點(diǎn)為，則：
根據(jù)向量距離的定義，對(duì)任意都有；
；
．
故選：．

【點(diǎn)評(píng)】考查有向線段可表示向量，以及對(duì)向量距離的理解，向量減法的幾何意義，共線向量基本定理．
4．（5分）中國(guó)茶文化博大精深，茶水的口感與茶葉類型和水的溫度有關(guān)．經(jīng)驗(yàn)表明，某種綠茶用的水泡制，再等到茶水溫度降至?xí)r飲用，可以產(chǎn)生最佳口感．為分析泡制一杯最佳口感茶水所需時(shí)間，某研究人員每隔測(cè)量一次茶水的溫度，根據(jù)所得數(shù)據(jù)做出如圖所示的散點(diǎn)圖．觀察散點(diǎn)圖的分布情況，下列哪個(gè)函數(shù)模型可以近似地刻畫茶水溫度隨時(shí)間變化的規(guī)律　　

A． B．
C． D．，，
【分析】由題意知隨的增大而減小，在，上是單調(diào)減函數(shù)，判斷選項(xiàng)中的函數(shù)是否滿足題意即可．
【解答】解：由題意知茶水溫度隨時(shí)間的增大而減小，在，上是單調(diào)減函數(shù)，
所以中的函數(shù)都不滿足題意，只有選項(xiàng)滿足題意．
故選：．
【點(diǎn)評(píng)】本題考查了基本初等函數(shù)的圖象與性質(zhì)的應(yīng)用問(wèn)題，是基礎(chǔ)題．
5．（5分）2020年11月24日4時(shí)30分，我國(guó)在文昌航天發(fā)射場(chǎng)用長(zhǎng)征五號(hào)運(yùn)載火箭成功發(fā)射嫦娥五號(hào)，12月17日凌晨，嫦娥五號(hào)返回器攜帶月球樣品在內(nèi)蒙古四子王旗預(yù)定區(qū)域安全著陸，使得“繞、落、回”三步探月規(guī)劃完美收官，這為我國(guó)未來(lái)月球與行星探測(cè)奠定了堅(jiān)實(shí)基礎(chǔ)．若在不考慮空氣阻力和地球引力的理想狀態(tài)下，可以用公式計(jì)算火箭的最大速度，其中是噴流相對(duì)速度，是火箭（除推進(jìn)劑外）的質(zhì)量，是推進(jìn)劑與火箭質(zhì)量的總和，稱為“總質(zhì)比”．若型火箭的噴流相對(duì)速度為，當(dāng)總質(zhì)比為500時(shí)，型火箭的最大速度約為　　，
A． B． C． D．
【分析】根據(jù)題意，由函數(shù)的解析式代入數(shù)據(jù)計(jì)算可得答案．
【解答】解：根據(jù)題意，，
故選：．
【點(diǎn)評(píng)】本題考查函數(shù)值的計(jì)算，涉及對(duì)數(shù)的運(yùn)算性質(zhì)，屬于基礎(chǔ)題．
6．（5分）在中，，，，為所在平面內(nèi)一點(diǎn)，并且滿足，記，，，則　　
A． B． C． D．
【分析】分別令，的中點(diǎn)為，，則可化簡(jiǎn)式子得，于是為線段的靠近的三等分點(diǎn)，再分別計(jì)算3個(gè)數(shù)量積即可得出結(jié)論．
【解答】解：，，，，
，，
設(shè)的中點(diǎn)為，的中點(diǎn)為，則，，
，
為線段的靠近的三等分點(diǎn)，
以為原點(diǎn)，以，為坐標(biāo)軸建立平面直角坐標(biāo)系，則，，，，，
，，，，，，
，，．
．
故選：．

【點(diǎn)評(píng)】本題考查了平面向量的數(shù)量積運(yùn)算，確定點(diǎn)位置是解題關(guān)鍵，屬于中檔題．
7．（5分）如圖，在三棱柱中，與相交于點(diǎn)，，，，，則線段的長(zhǎng)度為　　

A． B． C． D．
【分析】用表示出，計(jì)算，開方得出的長(zhǎng)度．
【解答】解：四邊形是平行四邊形，
，
，，，，
，，，，
，
，即．
故選：．

【點(diǎn)評(píng)】本題考查了空間向量在求空間距離中的應(yīng)用，屬于中檔題．
8．（5分）在中，設(shè)角，，對(duì)應(yīng)的邊分別為，，，記的面積為，且，則的最大值為　　
A． B． C． D．
【分析】利用余弦定理，求出，結(jié)合函數(shù)的單調(diào)性即可求解的最大值．
【解答】解：因?yàn)?，?br /> 所以，
所以，
令，
則，
令，可得，
所以在遞增，，遞減，
所以，
所以的最大值為，當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)，取等號(hào)，
故選：．
【點(diǎn)評(píng)】本題主要考查了正弦定理，余弦定理在解三角形中的應(yīng)用，考查了構(gòu)造函數(shù)法求最值，考查了導(dǎo)數(shù)的性質(zhì)及其應(yīng)用，屬于中檔題．
二、多項(xiàng)選擇題：本大題共4小題，每小題5分，共20分，在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，有多項(xiàng)符合題目要求，全部選對(duì)得5分，部分選對(duì)得2分，不選或有選錯(cuò)的的得0分，請(qǐng)把答案直接填寫在答題卡相應(yīng)位置上．
9．（5分）下列說(shuō)法正確的是　　
A．若，，則
B．若，，則
C．若，則
D．函數(shù)的最小值是2
【分析】．若，則與的大小關(guān)系不確定，即可判斷出正誤；
．由，根據(jù)在上單調(diào)遞增，結(jié)合不等式的基本性質(zhì)即可判斷出正誤；
．若，根據(jù)不等式的基本性質(zhì)即可判斷出正誤；
．利用基本不等式即可判斷出正誤．
【解答】解：．若，則與的大小關(guān)系不確定，因此不正確；
．若，根據(jù)在上單調(diào)遞增，則，又，則，正確；
．若，則，正確；
．函數(shù)，但是等號(hào)取不到，因此不正確．
故選：．
【點(diǎn)評(píng)】本題考查了不等式的基本性質(zhì)、基本不等式、函數(shù)的單調(diào)性，考查了推理能力與計(jì)算能力，屬于基礎(chǔ)題．
10．（5分）將函數(shù)圖象上的各點(diǎn)的橫坐標(biāo)縮短到原來(lái)的，縱坐標(biāo)不變，再向左平移個(gè)單位，得到的圖象，下列說(shuō)法正確的是　　
A．點(diǎn)，是函數(shù)圖象的對(duì)稱中心
B．函數(shù)在上單調(diào)遞減
C．函數(shù)的圖象與函數(shù)的圖象相同
D．若，是函數(shù)的零點(diǎn)，則是的整數(shù)倍
【分析】由題意利用函數(shù)的圖象變換規(guī)律，正弦函數(shù)的圖象和性質(zhì)，得出結(jié)論．
【解答】解：將函數(shù)圖象上的各點(diǎn)的橫坐標(biāo)縮短到原來(lái)的，縱坐標(biāo)不變，
可得的圖象；
再向左平移個(gè)單位，得到 的圖象．
令，求得，故排除．
在上，，，故 單調(diào)遞減．故正確．
，
顯然，的周期為，
故正確．
若，是函數(shù)的零點(diǎn)，則，
則是或的整數(shù)倍，故不正確，
故選：．
【點(diǎn)評(píng)】本題主要考查函數(shù)的圖象變換規(guī)律，正弦函數(shù)的圖象和性質(zhì)，屬于基礎(chǔ)題．
11．（5分）在中，是的中點(diǎn)．若，，則　　
A． B．
C． D．
【分析】根據(jù)題意，由向量線性運(yùn)算可得，據(jù)此分析選項(xiàng)，即可得答案．
【解答】解：根據(jù)題意，在中，是的中點(diǎn)．
則，
故，則錯(cuò)誤，正確；
對(duì)于，，正確，
對(duì)于，，錯(cuò)誤；
故選：．
【點(diǎn)評(píng)】本題考查向量模的計(jì)算，涉及向量的線性運(yùn)算，屬于基礎(chǔ)題．
12．（5分）如圖，在正方體中，是棱的中點(diǎn)，是線段（不含端點(diǎn)）上的一個(gè)動(dòng)點(diǎn)，那么在點(diǎn)的運(yùn)動(dòng)過(guò)程中，下列說(shuō)法中正確的有　　

A．存在某一位置，使得直線和直線相交
B．存在某一位置，使得平面
C．點(diǎn)與點(diǎn)到平面的距離總相等
D．三棱錐的體積不變
【分析】選項(xiàng)，可證與直線異面，從而可判定；選項(xiàng)，連接交于點(diǎn)，可證平面，從而可判定選項(xiàng)；選項(xiàng)，過(guò)點(diǎn)與點(diǎn)作平面的垂線，垂足分布為，，有△△，從而可得結(jié)論；選項(xiàng)，，為定值，結(jié)合平面，所以到平面的距離為定值，從而可得結(jié)論．
【解答】解：選項(xiàng)是線段（不含端點(diǎn)）上的一個(gè)動(dòng)點(diǎn)，平面，
而，由異面直線的判定定理可知與直線異面，
所以不存在某一位置，使得直線和直線相交，故選項(xiàng)不正確；
選項(xiàng)，連接交于點(diǎn)，面即為面，此時(shí)，
而平面，面，所以平面，即平面，故選項(xiàng)正確；
選項(xiàng)：如圖過(guò)點(diǎn)與點(diǎn)作平面的垂線，垂足分布為，，有△△，
所以，即點(diǎn)與點(diǎn)到平面的距離總相等，故選項(xiàng)正確；
選項(xiàng)：因?yàn)?，為定值，連接交于點(diǎn)，連接，
而，平面，平面，
所以平面，所以到平面的距離為定值，
所以三棱錐的體積不變，故選項(xiàng)正確．
故選：．

【點(diǎn)評(píng)】本題主要考查了異面直線的判定，以及三棱錐的體積和點(diǎn)面距離，同時(shí)考查了數(shù)形結(jié)合的思想和運(yùn)算求解的能力，屬于中檔題．
三、填空題：本大題共4小題，每小題5分，共20分，請(qǐng)把答案直接填寫在答題卡相應(yīng)位置上．
13．（5分）在中，，，與的交點(diǎn)為，過(guò)作動(dòng)直線分別交線段、于、兩點(diǎn)，若，，、，則的最小值為　?。?br /> 【分析】由已知可得，若過(guò)作動(dòng)直線分別交線段，于，兩點(diǎn)，若，，，則，再由基本不等式可得答案．
【解答】解：由，，三點(diǎn)共線可得存在實(shí)數(shù)，使得，
同理由，，三點(diǎn)共線可得存在實(shí)數(shù)，使得，
，解得：，
，設(shè)，
，可得：，即：，
，即的最小值為．
故答案為：．

【點(diǎn)評(píng)】本題考查的知識(shí)點(diǎn)是平面向量在幾何中的應(yīng)用，三點(diǎn)共線的充要條件，基本不等式的應(yīng)用，難度中檔．
14．（5分）已知的內(nèi)角，，的對(duì)邊分別為，，，若，則（其中為的倒數(shù)）的最小值為　3?。?br /> 【分析】先運(yùn)用三角函數(shù)的兩角和公式、二倍角公式，將原式化簡(jiǎn)為，結(jié)合均值不等式，即可求解．
【解答】解：，
，
，，
，
，
，
，
，
，當(dāng)且僅當(dāng)，即，
的最小值為3，
故答案為：3．
【點(diǎn)評(píng)】本題主要考查了三角函數(shù)的兩角和公式，以及均值不等式，驗(yàn)證均值不等式等號(hào)成立時(shí)的條件，是本題解題的關(guān)鍵，屬于中檔題．
15．（5分）一個(gè)組合體由上下兩部分組成，上部是一個(gè)半球，下部是一個(gè)圓柱，半球的底面與圓柱的上底面重合．若該組合體的體積為定值，則當(dāng)圓柱底面半徑　　時(shí)，該組合體的表面積最?。?br /> 【分析】根據(jù)題意畫出圖形，結(jié)合圖形求出組合體的體積與表面積，再判斷底面圓半徑為何值時(shí)組合體的表面積最?。?br /> 【解答】解：如圖所示
該組合體的體積為，①
表面積為，②
由①可得，
代入②，
當(dāng)且僅當(dāng)，即時(shí)最小．
所以時(shí)組合體的表面積最?。?br /> 故答案為：．

【點(diǎn)評(píng)】本題考查基本不等式在最值問(wèn)題中的應(yīng)用問(wèn)題，也考查了簡(jiǎn)單組合體的表面積與體積的計(jì)算問(wèn)題，是中檔題．
16．（5分）已知函數(shù)．若存在使得不等式成立，則實(shí)數(shù)的取值范圍是　?。?br /> 【分析】令，判斷函數(shù)的奇偶性與單調(diào)性，從而將不等式轉(zhuǎn)化為，分離參數(shù)可得，令，，利用對(duì)勾函數(shù)的單調(diào)性可得，結(jié)合題意即可求解的取值范圍．
【解答】解：函數(shù)，若存在使得不等式成立，
令，
，
所以，為奇函數(shù)．
不等式，即，
即，
所以，
因?yàn)樵谏蠟樵龊瘮?shù)，在上為增函數(shù)，
所以在上為增函數(shù)，
由奇函數(shù)的性質(zhì)可得在上為增函數(shù)，所以不等式等價(jià)于，分離參數(shù)可得，
令，，
由對(duì)勾函數(shù)的性質(zhì)可知在上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增，
（1），（4），所以，，
所以由題意可得，
即實(shí)數(shù)的取值范圍是．
故答案為：．
【點(diǎn)評(píng)】本題主要考查函數(shù)奇偶性與單調(diào)性的綜合，構(gòu)造函數(shù)是解題的關(guān)鍵，考查轉(zhuǎn)化思想與運(yùn)算求解能力，屬于中檔題．
四、解答題：本大題共6小題，共70分，請(qǐng)把答案填寫在答題卡相應(yīng)位置上．
17．（10分）在中，，，為邊上的中點(diǎn)．
（1）求的值；
（2）若，求．

【分析】（1）根據(jù)面積相等，求出即可；（2）先求出和，根據(jù)余弦定理聯(lián)立解方程組，求出即可．
【解答】解：（1）在中，，，為邊上的中點(diǎn)，
根據(jù)面積相等，，
故，
（2），得，
所以，
所以，
在三角形中，，
，
由，上式化簡(jiǎn)得，
故．

【點(diǎn)評(píng)】考查正余弦定理的應(yīng)用，解三角形，中檔題．
18．（12分）如圖，在四棱錐中，平面平面，，，，，，．
（1）若，求直線與平面所成角的正弦值；
（2）設(shè)二面角的大小為，若，求的值．

【分析】（1）建立空間坐標(biāo)系，求出平面的法向量，計(jì)算和的夾角得出直線與平面所成角的大??；
（2）用表示出平面和平面的法向量，根據(jù)二面角的大小列方程計(jì)算的值．
【解答】解：（1）平面平面，平面平面，，平面，
平面，又，
，，兩兩垂直，
以為原點(diǎn)，以，，為坐標(biāo)軸建立空間直角坐標(biāo)系，
則，4，，，0，，，0，，，2，，
若，則為的中點(diǎn)，故，1，，
，，，，0，，，1，，
設(shè)平面的法向量為，，，則，
即，令可得，，，
，，
故直線與平面所成角的正弦值為．
（2），2，，，2，，，0，，，2，，
，，，
，，
，，又，
平面，
是平面的一個(gè)法向量，
設(shè)平面的法向量為，，，則，
即，令可得，，，
，
二面角的大小為，且，
，解得或（舍，
即．

【點(diǎn)評(píng)】本題考查空間向量與線面角、二面角的計(jì)算，屬于中檔題．
19．（12分）如圖多面體中，面面，為等邊三角形，四邊形為正方形，，且，，分別為，的中點(diǎn)．
（1）求二面角的余弦值；
（2）作平面與平面的交線，記該交線與直線交點(diǎn)為，寫出的值（不需要說(shuō)明理由，保留作圖痕跡）．

【分析】（1）取、的中點(diǎn)，分別記為、，連接，，，證明、、兩兩相互垂直，以為坐標(biāo)原點(diǎn)，分別以、、所在直線為、、軸建立空間直角坐標(biāo)系，分別求出平面與平面的一個(gè)法向量，由兩法向量所成角的余弦值即可求得二面角的余弦值；
（2）延長(zhǎng)交的延長(zhǎng)線于，連接并延長(zhǎng)交于，交的延長(zhǎng)線于，則為平面與平面的交線，再由已知結(jié)合比例關(guān)系可得．
【解答】解：（1）取、的中點(diǎn)，分別記為、，連接，，
為等邊三角形，四邊形為正方形，
，，
平面面，且平面面，
平面，平面，
平面，平面，
又，平面，故、、兩兩相互垂直．
以為坐標(biāo)原點(diǎn)，分別以、、所在直線為、、軸建立空間直角坐標(biāo)系，
則，0，，，2，，，2，，，3，，
，，，，0，，
，．
又，，且，平面，
故平面的一個(gè)法向量為，
設(shè)平面的一個(gè)法向量為，
由，取，得．
由圖可知，二面角為銳二面角，記為，
則；
（2）延長(zhǎng)交的延長(zhǎng)線于，連接并延長(zhǎng)交于，交的延長(zhǎng)線于，
則為平面與平面的交線，由比例關(guān)系可得．

【點(diǎn)評(píng)】本題考查平面的基本性質(zhì)，考查空間想象能力與思維能力，訓(xùn)練了利用空間向量求解空間角，是中檔題．
20．（12分）在①；②；③的面積三個(gè)條件中任選一個(gè)（填序號(hào)），補(bǔ)充在下面的問(wèn)題中，并解答該問(wèn)題．
已知的內(nèi)角、、的對(duì)邊分別為，，，______，是邊上的一點(diǎn)，，且，，求線段的長(zhǎng)．
【分析】若選①，利用兩角和與差的正弦函數(shù)公式化簡(jiǎn)已知等式結(jié)合，可得，結(jié)合范圍，可求，利用三角形內(nèi)角和定理可得的值，由余弦定理可得的值，在中，由正弦定理可得，利用同角三角函數(shù)基本關(guān)系式可求，利用兩角和的正弦函數(shù)公式可求的值，在中，由正弦定理即可解得的值．
若選②，由已知利用余弦定理可得，結(jié)合范圍，可求，利用三角形內(nèi)角和定理可得的值，由余弦定理可得的值，在中，由正弦定理可得，利用同角三角函數(shù)基本關(guān)系式可求，利用兩角和的正弦函數(shù)公式可求的值，在中，由正弦定理即可解得的值．
若選③，由已知利用三角形的面積公式，余弦定理，同角三角函數(shù)基本關(guān)系式可求，結(jié)合范圍，可求，利用三角形內(nèi)角和定理可得的值，由余弦定理可得的值，在中，由正弦定理可得，利用同角三角函數(shù)基本關(guān)系式可求，利用兩角和的正弦函數(shù)公式可求的值，在中，由正弦定理即可解得的值．
【解答】解：若選①，可得，
可得，
因?yàn)闉槿切蝺?nèi)角，，
可得，
因?yàn)椋?br /> 所以，
可得，
所以由余弦定理可得，可得，
在中，由正弦定理，可得，，
所以，
在中，由正弦定理，可得，解得．
若選②，由余弦定理可得，整理可得，
可得，
因?yàn)椋?br /> 所以，
可得，
所以由余弦定理可得，可得，
在中，由正弦定理，可得，，
所以，
在中，由正弦定理，可得，解得．
若選③的面積，
可得，可得，可得，
因?yàn)椋?br /> 所以，
可得，
所以由余弦定理可得，可得，
在中，由正弦定理，可得，，
所以，
在中，由正弦定理，可得，解得．

【點(diǎn)評(píng)】本題主要考查了兩角和與差的正弦函數(shù)公式，三角形內(nèi)角和定理，余弦定理，正弦定理，同角三角函數(shù)基本關(guān)系式，三角形的面積公式在解三角形中的綜合應(yīng)用，考查了計(jì)算能力和轉(zhuǎn)化思想，屬于中檔題．
21．（12分）已知正三角形，某同學(xué)從點(diǎn)開始，用擲骰子的方法移動(dòng)棋子，規(guī)定：①每擲一次骰子，把一枚棋子從三角形的一個(gè)頂點(diǎn)移動(dòng)到另一個(gè)頂點(diǎn)；②棋子移動(dòng)的方向由擲骰子決定，若擲出骰子的點(diǎn)數(shù)大于3，則按逆時(shí)針?lè)较蛞苿?dòng)：若擲出骰子的點(diǎn)數(shù)不大于3，則按順時(shí)針?lè)较蛞苿?dòng)．設(shè)擲骰子次時(shí)，棋子移動(dòng)到，，處的概率分別為：（A），（B），（C），例如：擲骰子一次時(shí)，棋子移動(dòng)到，，處的概率分別為（A），，．
（1）擲骰子三次時(shí)，求棋子分別移動(dòng)到，，處的概率（A），（B），（C）；
（2）記（A），（B），（C），其中，，求．
【分析】（1）利用相互獨(dú)立事件概率乘法公式和互斥事件概率加法公式能求出（A），（B），（C）．
（2）由，即，，推導(dǎo)出數(shù)列是首項(xiàng)為公比為的等比數(shù)列，由此能求出．
【解答】解：（1）設(shè)擲骰子次時(shí)，棋子移動(dòng)到，，處的概率分別為：（A），（B），（C），
，
，
．
（2），即，，
又，
時(shí)，
又，可得，
由，
可得數(shù)列是首項(xiàng)為，公比為的等比數(shù)列，
，即，
又，
故．
【點(diǎn)評(píng)】本題考查概率的運(yùn)算，考查相互獨(dú)立事件概率乘法公式、互斥事件概率加法公式、等比數(shù)列的性質(zhì)等基礎(chǔ)知識(shí)，考查運(yùn)算求解能力等數(shù)學(xué)核心素養(yǎng)，是中檔題．
22．（12分）已知函數(shù)，．
（1）若，記的解集為，求函數(shù)為自然對(duì)數(shù)的底數(shù)）的值域；
（2）當(dāng)時(shí)，討論函數(shù)的零點(diǎn)個(gè)數(shù)．
【分析】（1）當(dāng)時(shí)，求出的解集，函數(shù)，在求出復(fù)合函數(shù)的值域．
（2），利用分類討論思想，求出函數(shù)的零點(diǎn)個(gè)數(shù)．
【解答】解：（1）當(dāng)時(shí)，的解集為，
函數(shù)，
，
當(dāng)時(shí)，令，則，，
所以的值域?yàn)?，?br /> （2），
①因?yàn)椋?），
所以1為一個(gè)零點(diǎn)，
（1），
因?yàn)椋?br /> 所以（1），
所以（1）（1），
所以1為的一個(gè)零點(diǎn)．
②當(dāng)時(shí)，，，
所以在上無(wú)零點(diǎn)，
③當(dāng)時(shí)，，在上無(wú)零點(diǎn)，
所以在上的零點(diǎn)個(gè)數(shù)是在上零點(diǎn)個(gè)數(shù)，
因?yàn)椋?br /> （1），
△，
若△，即時(shí)，函數(shù)無(wú)零點(diǎn)，即在上無(wú)零點(diǎn)，
若△，即時(shí)，函數(shù)的零點(diǎn)為，即在上有零點(diǎn)，
若△，即時(shí)，，
函數(shù)在上有兩個(gè)零點(diǎn)，即函數(shù)在上有兩個(gè)零點(diǎn)，
綜上所述，當(dāng)時(shí)，有1個(gè)零點(diǎn)，
當(dāng)時(shí)，有2個(gè)零點(diǎn)，
當(dāng)時(shí)，有3個(gè)零點(diǎn)．
【點(diǎn)評(píng)】本題考查函數(shù)值，函數(shù)的值域的求法，函數(shù)的零點(diǎn)個(gè)數(shù)的討論，函數(shù)的性質(zhì)，屬于中檔題．
聲明：試題解析著作權(quán)屬菁優(yōu)網(wǎng)所有，未經(jīng)書面同意，不得復(fù)制發(fā)布
日期：2021/8/23 17:46:58；用戶：高中數(shù)學(xué)12；郵箱：sztdjy76@xyh.com；學(xué)號(hào)：26722394

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