?2020-2021學(xué)年江蘇省南京師大附中高一（下）期末數(shù)學(xué)檢測試卷（1）
一、單項(xiàng)選擇題：本大題共8小題，每小題5分，共40分，在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題目要求的，請(qǐng)把答案直接填寫在答題卡相應(yīng)位置上．
1．（5分）已知為虛數(shù)單位，則復(fù)數(shù)的虛部為　　
A． B． C．1010 D．1011
2．（5分）已知，，，若，則　　
A． B． C． D．
3．（5分）在扇形中，，，為弧上的一個(gè)動(dòng)點(diǎn)，且．則的取值范圍為　　
A．， B．， C．， D．，
4．（5分）已知，，則　　
A． B． C． D．
5．（5分）已知函數(shù)，若存在實(shí)數(shù)，，，，當(dāng)時(shí)滿足，則的取值范圍是　　
A． B． C．， D．
6．（5分）在四棱錐中，，，，且，，則直線與平面所成角的正弦值的最大值為　　
A． B． C． D．1
7．（5分）在銳角中，，則的取值范圍為　　
A．， B．， C．， D．
8．（5分）某公司根據(jù)上年度業(yè)績篩選出業(yè)績出色的，，，四人，欲從此4人中選擇1人晉升該公司某部門經(jīng)理一職，現(xiàn)進(jìn)入最后一個(gè)環(huán)節(jié)：，，，四人每人有1票，必須投給除自己以外的一個(gè)人，并且每個(gè)人投給其他任何一人的概率相同，則最終僅一人獲得最高得票的概率為　　
A． B． C． D．
二、多項(xiàng)選擇題：本大題共4小題，每小題5分，共20分，在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，有多項(xiàng)符合題目要求，全部選對(duì)得5分，部分選對(duì)得2分，不選或有選錯(cuò)的的得0分，請(qǐng)把答案直接填寫在答題卡相應(yīng)位置上．
9．（5分）對(duì)任意的銳角，，下列不等關(guān)系中正確的是　　
A． B．
C． D．
10．（5分）設(shè)，是邊上一定點(diǎn)，滿足，且對(duì)于邊上任一點(diǎn)，恒有，則下列選項(xiàng)中不正確的是　　
A． B． C． D．
11．（5分）隨著高三畢業(yè)日期的逐漸臨近，有個(gè)同學(xué)組成的學(xué)習(xí)小組，每人寫了一個(gè)祝福的卡片準(zhǔn)備送給其他同學(xué)，小組長收齊所有卡片后讓每個(gè)人從中隨機(jī)抽一張作為祝?？ㄆ?，則　　
A．當(dāng)時(shí)，每個(gè)人抽到的卡片都不是自己的概率為
B．當(dāng)時(shí)，恰有一人抽到自己的卡片的概率為
C．甲和乙恰好互換了卡片的概率為
D．記個(gè)同學(xué)都拿到其他同學(xué)的卡片的抽法數(shù)為，則
12．（5分）已知正四棱柱的底面邊長為1，側(cè)棱長為2，點(diǎn)為側(cè)棱上的動(dòng)點(diǎn)，平面．下列說法正確的有　　
A．異面直線與可能垂直
B．直線與平面不可能垂直
C．與平面所成角的正弦值的范圍為，
D．若且，則平面截正四棱柱所得截面多邊形的周長為
三、填空題：本大題共4小題，每小題5分，共20分，請(qǐng)把答案直接填寫在答題卡相應(yīng)位置上．
13．（5分）直線是函數(shù)圖象的一條對(duì)稱軸，給出的一個(gè)可能的值為 　?。?br /> 14．（5分）已知在平行四邊形中，，，，為平行四邊形所在平面內(nèi)一點(diǎn)，且，若，則的最大值為 　　．
15．（5分）設(shè)的內(nèi)角，，所對(duì)的邊長分別為，，且，則　?。?br /> 16．（5分）已知，，，則的最小值為 　?。?br /> 四、解答題：本大題共5小題，共70分，請(qǐng)把答案填寫在答題卡相應(yīng)位置上．
17．（10分）在中，角，，所對(duì)的邊分別為，，，點(diǎn)滿足與．
（1）若，求的值；
（2）求的最大值．
18．（12分）如圖，在長方體中，點(diǎn)，分別在棱，上，且，．
（1）證明：點(diǎn)在平面內(nèi)；
（2）若，，，求二面角的正弦值．

19．（12分）平面內(nèi)有四邊形，，且，，，是的中點(diǎn)．
（1）試用，表示；
（2）若上有點(diǎn)，和的交點(diǎn)為，已知，求和．
20．（12分）已知函數(shù)．
（Ⅰ）求函數(shù)的單調(diào)遞增區(qū)間和最小正周期；
（Ⅱ）若當(dāng)時(shí)，關(guān)于的不等式 ______，求實(shí)數(shù)的取值范圍．
請(qǐng)選擇①和②中的一個(gè)條件，補(bǔ)全問題（Ⅱ），并求解．其中，①有解；②恒成立．
21．（12分）面對(duì)新一輪科技和產(chǎn)業(yè)革命帶來的創(chuàng)新機(jī)遇，某企業(yè)對(duì)現(xiàn)有機(jī)床進(jìn)行更新?lián)Q代，購進(jìn)一批新機(jī)床．設(shè)機(jī)床生產(chǎn)的零件的直徑為（單位：．
（1）現(xiàn)有舊機(jī)床生產(chǎn)的零件10個(gè)，其中直徑大于的有3個(gè)．若從中隨機(jī)抽取4個(gè)，記表示取出的零件中直徑大于的零件的個(gè)數(shù)，求的概率；
（2）若新機(jī)床生產(chǎn)了50個(gè)零件，零件直徑有且僅有和兩種，且數(shù)目相等，從中隨機(jī)取出5個(gè)，求至少有一個(gè)零件直徑大于的概率．
請(qǐng)從22和23兩題中任選一題進(jìn)行解答．（本小題滿分12分）
22．（12分）已知向量，，，，函數(shù)，，，．
（1）當(dāng)時(shí)，求的值；
（2）若的最小值為，求實(shí)數(shù)的值；
（3）是否存在實(shí)數(shù)，使函數(shù)，，有四個(gè)不同的零點(diǎn)？若存在，求出的取值范圍；若不存在，說明理由．
23．已知函數(shù)，．
（1）若，記的解集為，求函數(shù)為自然對(duì)數(shù)的底數(shù)）的值域；
（2）當(dāng)時(shí)，討論函數(shù)的零點(diǎn)個(gè)數(shù)．

2020-2021學(xué)年江蘇省南京師大附中高一（下）期末數(shù)學(xué)檢測試卷（1）
參考答案與試題解析
一、單項(xiàng)選擇題：本大題共8小題，每小題5分，共40分，在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題目要求的，請(qǐng)把答案直接填寫在答題卡相應(yīng)位置上．
1．（5分）已知為虛數(shù)單位，則復(fù)數(shù)的虛部為　　
A． B． C．1010 D．1011
【分析】利用錯(cuò)位相減法求和，即可得到答案．
【解答】解：因?yàn)椋?br /> 所以，
兩式相減可得，，
所以，
所以復(fù)數(shù)的虛部為．
故選：．
【點(diǎn)評(píng)】本題考查了復(fù)數(shù)的運(yùn)算，涉及了錯(cuò)位相減法的運(yùn)用以及復(fù)數(shù)基本概念的理解，考查了邏輯推理能力與化簡運(yùn)算能力，屬于中檔題．
2．（5分）已知，，，若，則　　
A． B． C． D．
【分析】先得的值，再由二倍角公式得和的值，由兩角和的正弦公式，推出，進(jìn)而得和，然后利用兩角和的正弦公式，求出的值，最后根據(jù)，的取值范圍，即可得解．
【解答】解：，，
，
，
，
，
，
，即，
又，且，
，，
，
，，且，，，，，
，，
．
故選：．
【點(diǎn)評(píng)】本題考查三角恒等變換的應(yīng)用，熟練掌握二倍角公式、兩角和的正弦公式與同角三角函數(shù)的平方關(guān)系等是解題的關(guān)鍵，考查邏輯推理能力和運(yùn)算能力，屬于中檔題．
3．（5分）在扇形中，，，為弧上的一個(gè)動(dòng)點(diǎn)，且．則的取值范圍為　　
A．， B．， C．， D．，
【分析】以為原點(diǎn)，所在直線為軸，以所在直線為軸，建立平面直角坐標(biāo)系，則根據(jù)題意可知，，，設(shè)，
根據(jù)把、用表示，然后可求得的取值范圍．
【解答】解：如圖所示，以為原點(diǎn)，所在直線為軸，以所在直線為軸，建立平面直角坐標(biāo)系，
則根據(jù)題意可知，，，設(shè)，．
，，，，
點(diǎn)在弧上由運(yùn)動(dòng)，在，上逐漸變大，變小，逐漸變大，系數(shù)較大，
當(dāng)時(shí)取得最小值1，當(dāng)時(shí)取得最大值．
的取值范圍是，．
故選：．

【點(diǎn)評(píng)】本題考查平面向量基本定理，考查數(shù)學(xué)運(yùn)算能力，屬于中檔題．
4．（5分）已知，，則　　
A． B． C． D．
【分析】根據(jù)二倍角公式，以及三角函數(shù)的同角公式，將原式化簡為，，再運(yùn)用公式，分別可得，
，，的值，將公式化簡為，依次代入各值，即可求解．
【解答】解：，，，
，
，
，，
，即，
，
，，，
，
，
故選：．
【點(diǎn)評(píng)】本題主要考查函數(shù)值的計(jì)算，利用三角函數(shù)的倍角公式是解決本題的關(guān)鍵，屬于中檔題．
5．（5分）已知函數(shù)，若存在實(shí)數(shù)，，，，當(dāng)時(shí)滿足，則的取值范圍是　　
A． B． C．， D．
【分析】畫出分段函數(shù)的圖象，求得，，令，作出直線，通過圖象觀察，可得的范圍，運(yùn)用對(duì)數(shù)的運(yùn)算性質(zhì)和余弦函數(shù)的對(duì)稱性，可得，，再由二次函數(shù)在遞增，即可得到所求范圍．
【解答】解：畫出函數(shù)的圖象，

令，
作出直線，
由時(shí)，（3）；時(shí)，（9）．
由圖象可得，當(dāng)時(shí)，直線和曲線有四個(gè)交點(diǎn)．
由圖象可得，，
則，即為，可得，
由的圖象關(guān)于直線對(duì)稱，可得，
則在遞增，
即有．
故選：．
【點(diǎn)評(píng)】本題考查分段函數(shù)的圖象及運(yùn)用，考查數(shù)形結(jié)合的思想方法，屬于中檔題．
6．（5分）在四棱錐中，，，，且，，則直線與平面所成角的正弦值的最大值為　　
A． B． C． D．1
【分析】取中點(diǎn)，可得平面．設(shè)，過作交于，說明點(diǎn)到平面的距離．設(shè)直線與平面所成角的大小為，可得則，然后轉(zhuǎn)化利用均值不等式求解即可．
【解答】解：取中點(diǎn)，連，，，設(shè)與交于，連．
在等腰梯形中，由且，
故四邊形為菱形，．
又，且為中點(diǎn)，，又，
平面．
過作交于，由平面，故．
又，平面
設(shè)，，故，
又，故點(diǎn)到平面的距離．
設(shè)直線與平面所成角的大小為．
則．
當(dāng)且僅當(dāng)，即時(shí)取等號(hào)，
故直線與面所成角的正弦值的最大值為．
故選：．

【點(diǎn)評(píng)】本題考查直線與平面垂直的判定定理的應(yīng)用，直線與平面所成角的求法，考查空間想象能力，轉(zhuǎn)化思想以及計(jì)算能力，是中檔題．
7．（5分）在銳角中，，則的取值范圍為　　
A．， B．， C．， D．
【分析】由已知結(jié)合余弦定理，正弦定理及和差角公式進(jìn)行化簡可得，的關(guān)系，結(jié)合銳角三角形條件可求，的范圍，然后結(jié)合函數(shù)單調(diào)性可求．
【解答】解：因?yàn)榧埃?br /> 所以，
由正弦定理得，
所以，
整理得，
即，
所以，即，
由題意得，解得，
故，，
則，
令，則，，在，上單調(diào)遞增，
又（1），，
故．
故選：．
【點(diǎn)評(píng)】本題主要考查了正弦定理，余弦定理及和差角公式，還考查了同角基本關(guān)系及函數(shù)單調(diào)性的應(yīng)用，屬于中檔題．
8．（5分）某公司根據(jù)上年度業(yè)績篩選出業(yè)績出色的，，，四人，欲從此4人中選擇1人晉升該公司某部門經(jīng)理一職，現(xiàn)進(jìn)入最后一個(gè)環(huán)節(jié)：，，，四人每人有1票，必須投給除自己以外的一個(gè)人，并且每個(gè)人投給其他任何一人的概率相同，則最終僅一人獲得最高得票的概率為　　
A． B． C． D．
【分析】最終僅一人獲得最高得票包含兩種情況：①得3票，②得2票，分別求出相應(yīng)的概率，由此能求出最終僅一人獲得最高得票的概率．
【解答】解：，，，四人每人有1票，必須投給除自己以外的一個(gè)人，并且每個(gè)人投給其他任何一人的概率相同，
最終僅一人獲得最高得票包含兩種情況：
①得3票，概率為：，
②得2標(biāo)，概率為：，
則最終僅一人獲得最高得票的概率為．
故選：．
【點(diǎn)評(píng)】本題考查概率的求法，考查古典概型、排列組合等基礎(chǔ)知識(shí)，考查運(yùn)算求解能力，是基礎(chǔ)題．
二、多項(xiàng)選擇題：本大題共4小題，每小題5分，共20分，在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，有多項(xiàng)符合題目要求，全部選對(duì)得5分，部分選對(duì)得2分，不選或有選錯(cuò)的的得0分，請(qǐng)把答案直接填寫在答題卡相應(yīng)位置上．
9．（5分）對(duì)任意的銳角，，下列不等關(guān)系中正確的是　　
A． B．
C． D．
【分析】運(yùn)用三角函數(shù)的兩角和公式，可判斷、選項(xiàng)，設(shè)，接近0時(shí)，可知接近1，接近0，即可判斷選項(xiàng)，結(jié)合函數(shù)在第一象限遞減的結(jié)論，即可判斷選項(xiàng)．
【解答】解：，
又，為銳角，
，，，都在之間，
，，
，故選項(xiàng)正確，選項(xiàng)錯(cuò)誤，
當(dāng)，接近0時(shí)，可知接近1，接近0，故選項(xiàng)錯(cuò)誤，
，為銳角，
，
，
，
，故選項(xiàng)正確，
故選：．
【點(diǎn)評(píng)】本題考查了三角函數(shù)的性質(zhì)，以及兩角和公式，需要學(xué)生熟練掌握公式，屬于基礎(chǔ)題．
10．（5分）設(shè)，是邊上一定點(diǎn)，滿足，且對(duì)于邊上任一點(diǎn)，恒有，則下列選項(xiàng)中不正確的是　　
A． B． C． D．
【分析】設(shè)，則，過點(diǎn)作的垂線，垂足為，在上任取一點(diǎn)，設(shè)，則由數(shù)量積的幾何意義可得恒成立，只需△即可，由此能求出是等腰三角形，．
【解答】解：設(shè)，則，過點(diǎn)作的垂線，垂足為，
在上任取一點(diǎn)，設(shè)，則由數(shù)量積的幾何意義可得，
，
，
于是恒成立，
整理得恒成立，
只需△即可，于是，
因此我們得到，即是的中點(diǎn)，故是等腰三角形，
所以．
故選：．

【點(diǎn)評(píng)】本題主要考查了平面向量的運(yùn)算，向量的模及向量的數(shù)量積的概念，向量運(yùn)算的幾何意義的應(yīng)用，還考查了利用向量解決簡單的幾何問題的能力．
11．（5分）隨著高三畢業(yè)日期的逐漸臨近，有個(gè)同學(xué)組成的學(xué)習(xí)小組，每人寫了一個(gè)祝福的卡片準(zhǔn)備送給其他同學(xué)，小組長收齊所有卡片后讓每個(gè)人從中隨機(jī)抽一張作為祝?？ㄆ?，則　　
A．當(dāng)時(shí)，每個(gè)人抽到的卡片都不是自己的概率為
B．當(dāng)時(shí)，恰有一人抽到自己的卡片的概率為
C．甲和乙恰好互換了卡片的概率為
D．記個(gè)同學(xué)都拿到其他同學(xué)的卡片的抽法數(shù)為，則
【分析】考慮個(gè)同學(xué)時(shí)的情況，若個(gè)同學(xué)都拿到其他同學(xué)的卡片，則第個(gè)同學(xué)可以與其中任何一個(gè)交換卡片，若個(gè)同學(xué)只有一個(gè)拿到自己的卡片，則第個(gè)同學(xué)必須與該同學(xué)交換卡片，由此能推導(dǎo)出結(jié)論．
【解答】解：考慮個(gè)同學(xué)時(shí)的情況，
若個(gè)同學(xué)都拿到其他同學(xué)的卡片，
則第個(gè)同學(xué)可以與其中任何一個(gè)交換卡片，
若個(gè)同學(xué)只有一個(gè)拿到自己的卡片，則第個(gè)同學(xué)必須與該同學(xué)交換卡片，
，故正確；
，
，，，，
代入數(shù)據(jù)可得，
當(dāng)時(shí)，每個(gè)人抽到的卡片都不是自己的概率為，故正確；
當(dāng)時(shí)，恰有一人抽到自己的卡片的概率為，故錯(cuò)誤；
甲和乙恰好互換了卡片的概率為，故正確．
故選：．
【點(diǎn)評(píng)】本題考查概率的求法，考查古典概型、相互獨(dú)立事件概率乘法公式等基礎(chǔ)知識(shí)，考查運(yùn)算能力等數(shù)學(xué)核心素養(yǎng)，屬于基礎(chǔ)題．
12．（5分）已知正四棱柱的底面邊長為1，側(cè)棱長為2，點(diǎn)為側(cè)棱上的動(dòng)點(diǎn)，平面．下列說法正確的有　　
A．異面直線與可能垂直
B．直線與平面不可能垂直
C．與平面所成角的正弦值的范圍為，
D．若且，則平面截正四棱柱所得截面多邊形的周長為
【分析】根據(jù)空間直線和平面垂直的位置關(guān)系以及線面角的定義分別進(jìn)行求解證明即可．
【解答】解：在平面內(nèi)作，交于點(diǎn)
在正四棱柱中，
因?yàn)槠矫?，平面?br /> 所以，
又平面，平面，，
所以平面，又平面，
所以．故說法正確；
．，不可能平行，故與不可能垂直，故說法正確；
．如圖：

連接，，等同于與所成角的余弦值的范圍，在直角三角形中，，，
當(dāng)點(diǎn)由點(diǎn)向移動(dòng)時(shí)，逐漸增大，在直角三角形中，，
在直角三角形中，，
，
則，，
則，，故錯(cuò)誤，
．如圖：

由題意知為的中點(diǎn)，連接，，，，，，
在直角三角形中，，
同理，由題意知，所以，
所以，
在正四棱柱中，因?yàn)槠矫?，平面?br /> 所以，
又平面，平面，，
所以平面，
又平面，
所以，
同理，
又平面，平面，，
所以平面，
所以平面即平面，
三角形即平面截正四棱柱所得截面的多邊形，其周長為，故正確，
綜上正確的，
故選：．



【點(diǎn)評(píng)】本題主要考查命題的真假判斷，涉及空間位置關(guān)系的判斷，空間角的計(jì)算，綜合性較強(qiáng)，運(yùn)算量較大，是個(gè)難題．
三、填空題：本大題共4小題，每小題5分，共20分，請(qǐng)把答案直接填寫在答題卡相應(yīng)位置上．
13．（5分）直線是函數(shù)圖象的一條對(duì)稱軸，給出的一個(gè)可能的值為 　，．?。?br /> 【分析】利用是函數(shù)的對(duì)稱軸，列出關(guān)系式，即可得到結(jié)果．
【解答】解：直線是函數(shù)圖象的一條對(duì)稱軸，
所以，，
，，
故答案為：，．
【點(diǎn)評(píng)】本題考查是客戶端對(duì)稱性的應(yīng)用，考查計(jì)算能力，是基礎(chǔ)題．
14．（5分）已知在平行四邊形中，，，，為平行四邊形所在平面內(nèi)一點(diǎn)，且，若，則的最大值為 　3?。?br /> 【分析】利用數(shù)量積定義及其運(yùn)算性質(zhì)得到，由不等式的性質(zhì)得，然后求出的最大值，從而得到的最大值．
【解答】解：，，
，，，，
，
，，，
當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)取等號(hào)，
，
，
的最大值為3．
故答案為：3．
【點(diǎn)評(píng)】本題考查了數(shù)量積定義及其運(yùn)算性質(zhì)，不等式的性質(zhì)，平行四邊形的性質(zhì)，屬于中檔題．
15．（5分）設(shè)的內(nèi)角，，所對(duì)的邊長分別為，，且，則　4?。?br /> 【分析】先根據(jù)正弦定理得到，再由兩角和與差的正弦公式進(jìn)行化簡可得到，然后轉(zhuǎn)化為正切的形式可得到答案．
【解答】解：由及正弦定理可得
，即，
即，
即，因此，
所以．
故答案為：4．
【點(diǎn)評(píng)】本題主要考查正弦定理的應(yīng)用和切化弦的基本應(yīng)用．三角函數(shù)的公式比較多，要注意公式的記憶和熟練應(yīng)用．
16．（5分）已知，，，則的最小值為 　?。?br /> 【分析】由和的位置是等價(jià)的，所以當(dāng)時(shí)取得最值，求解即可．
【解答】解：將和交換位置，發(fā)現(xiàn)已知的等式和要求解的式子是相同的，
則當(dāng)時(shí)，取得最小值，
當(dāng)時(shí)，由，可得，
所以當(dāng)時(shí)，取得最小值．
故答案為：．
【點(diǎn)評(píng)】本題考查了基本不等式的應(yīng)用、轉(zhuǎn)化方法，解題的關(guān)鍵是發(fā)現(xiàn)和的等價(jià)關(guān)系，將問題簡單化處理，考查了推理能力與計(jì)算能力，屬于中檔題．
四、解答題：本大題共5小題，共70分，請(qǐng)把答案填寫在答題卡相應(yīng)位置上．
17．（10分）在中，角，，所對(duì)的邊分別為，，，點(diǎn)滿足與．
（1）若，求的值；
（2）求的最大值．
【分析】（1）直接利用向量的數(shù)量積以及余弦定理求得，進(jìn)而求解結(jié)論，
（2）結(jié)合余弦定理以及基本不等式即可求解結(jié)論．
【解答】解：（1）因?yàn)?，所以?br /> 即，
所以，
因?yàn)椋裕?br /> 因?yàn)?，所以?br /> （2）因?yàn)椋?br /> 所以，即，
，當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)等號(hào)成立，
因?yàn)?，所以的最大值為?br /> 【點(diǎn)評(píng)】本題主要考查向量的數(shù)量積以及余弦定理的應(yīng)用，考查計(jì)算能力，屬于中檔題目．
18．（12分）如圖，在長方體中，點(diǎn)，分別在棱，上，且，．
（1）證明：點(diǎn)在平面內(nèi)；
（2）若，，，求二面角的正弦值．

【分析】（1）在上取點(diǎn)，使得，連接，，，，由已知證明四邊形和四邊形都是平行四邊形，可得，且，，且，進(jìn)一步證明四邊形為平行四邊形，得到，且，結(jié)合，且，可得，且，則四邊形為平行四邊形，從而得到點(diǎn)在平面內(nèi)；
（2）在長方體中，以為坐標(biāo)原點(diǎn)，分別以，，所在直線為，，軸建立空間直角坐標(biāo)系．分別求出平面的一個(gè)法向量與平面的一個(gè)法向量，由兩法向量所成角的余弦值可得二面角的余弦值，再由同角三角函數(shù)基本關(guān)系式求得二面角的正弦值．
【解答】（1）證明：在上取點(diǎn)，使得，連接，，，，
在長方體中，有，且．
又，，，．
四邊形和四邊形都是平行四邊形．
，且，，且．
又在長方體中，有，且，
且，則四邊形為平行四邊形，
，且，
又，且，，且，
則四邊形為平行四邊形，
點(diǎn)在平面內(nèi)；
（2）解：在長方體中，以為坐標(biāo)原點(diǎn)，
分別以，，所在直線為，，軸建立空間直角坐標(biāo)系．
，，，，，
，1，，，0，，，1，，，1，，
則，，．
設(shè)平面的一個(gè)法向量為．
則，取，得；
設(shè)平面的一個(gè)法向量為．
則，取，得．
．
設(shè)二面角為，則．
二面角的正弦值為．

【點(diǎn)評(píng)】本題考查平面的基本性質(zhì)與推理，考查空間想象能力與思維能力，訓(xùn)練了利用空間向量求解空間角，是中檔題．
19．（12分）平面內(nèi)有四邊形，，且，，，是的中點(diǎn)．
（1）試用，表示；
（2）若上有點(diǎn)，和的交點(diǎn)為，已知，求和．
【分析】（1）運(yùn)用向量的中點(diǎn)表示，及向量的數(shù)乘，即可得到向量；
（2）設(shè)，，運(yùn)用向量的三角形法則，及平面向量的基本定理，得到，的方程，解得即可．
【解答】解：（1）由于是的中點(diǎn)，
則
，
（2）設(shè)，則

設(shè)，
由于不共線，則有
，
解方程組，得，．
故，．
【點(diǎn)評(píng)】本題考查向量共線的定理和平面向量基本定理的運(yùn)用，考查運(yùn)算能力，屬于基礎(chǔ)題．
20．（12分）已知函數(shù)．
（Ⅰ）求函數(shù)的單調(diào)遞增區(qū)間和最小正周期；
（Ⅱ）若當(dāng)時(shí)，關(guān)于的不等式 ______，求實(shí)數(shù)的取值范圍．
請(qǐng)選擇①和②中的一個(gè)條件，補(bǔ)全問題（Ⅱ），并求解．其中，①有解；②恒成立．
【分析】先結(jié)合二倍角公式及輔助角公式對(duì)已知函數(shù)進(jìn)行化簡，然后結(jié)合正弦函數(shù)的單調(diào)性及周期性可求；
若選擇①，由有解，即，結(jié)合正弦函數(shù)的性質(zhì)可求；
若選擇②，由恒成立，即，結(jié)合正弦函數(shù)的性質(zhì)可求．
【解答】（Ⅰ）解：因?yàn)?br />
．
所以函數(shù)的最小正周期．
因?yàn)楹瘮?shù)的單調(diào)增區(qū)間為，
所以，
解得．
所以函數(shù)數(shù)的單調(diào)增區(qū)間為，
（Ⅱ）解：若選擇①
由題意可知，不等式有解，即．
因?yàn)椋裕?br /> 故當(dāng)，即時(shí)，取得最大值，且最大值為．
所以．
若選擇②
由題意可知，不等式恒成立，即．
因?yàn)椋裕?br /> 故當(dāng)，即時(shí)，取得最小值，且最小值為．
所以．
【點(diǎn)評(píng)】本題主要考查了二倍角公式輔助角公式在三角函數(shù)化簡中的應(yīng)用，還考查了正弦函數(shù)性質(zhì)的綜合應(yīng)用，屬于中檔試題．
21．（12分）面對(duì)新一輪科技和產(chǎn)業(yè)革命帶來的創(chuàng)新機(jī)遇，某企業(yè)對(duì)現(xiàn)有機(jī)床進(jìn)行更新?lián)Q代，購進(jìn)一批新機(jī)床．設(shè)機(jī)床生產(chǎn)的零件的直徑為（單位：．
（1）現(xiàn)有舊機(jī)床生產(chǎn)的零件10個(gè)，其中直徑大于的有3個(gè)．若從中隨機(jī)抽取4個(gè)，記表示取出的零件中直徑大于的零件的個(gè)數(shù)，求的概率；
（2）若新機(jī)床生產(chǎn)了50個(gè)零件，零件直徑有且僅有和兩種，且數(shù)目相等，從中隨機(jī)取出5個(gè)，求至少有一個(gè)零件直徑大于的概率．
【分析】（1）的概率為，利用超幾何分布能求出結(jié)果．
（2）至少有一個(gè)零件直徑大于的對(duì)立事件是取到的4個(gè)零件都是的零件，利用對(duì)立事件概率計(jì)算公式能求出至少有一個(gè)零件直徑大于的概率．
【解答】解：（1）的概率為：
．
（2）至少有一個(gè)零件直徑大于的對(duì)立事件是取到的4個(gè)零件都是的零件，
至少有一個(gè)零件直徑大于的概率為：
．
【點(diǎn)評(píng)】本題考查概率的求法，考查超幾何分布、對(duì)立事件概率計(jì)算公式等基礎(chǔ)知識(shí)，考查運(yùn)算求解能力，是基礎(chǔ)題．
請(qǐng)從22和23兩題中任選一題進(jìn)行解答．（本小題滿分12分）
22．（12分）已知向量，，，，函數(shù)，，，．
（1）當(dāng)時(shí)，求的值；
（2）若的最小值為，求實(shí)數(shù)的值；
（3）是否存在實(shí)數(shù)，使函數(shù)，，有四個(gè)不同的零點(diǎn)？若存在，求出的取值范圍；若不存在，說明理由．
【分析】（1）利用向量數(shù)量積的公式化簡函數(shù)即可．
（2）求出函數(shù)的表達(dá)式，利用換元法結(jié)合一元二次函數(shù)的最值性質(zhì)進(jìn)行討論求解即可．
（3）由得到方程的根，利用三角函數(shù)的性質(zhì)進(jìn)行求解即可．
【解答】解：（1），，，
當(dāng)時(shí)，，
則；
（2），，
，
則，
令，則，
則，對(duì)稱軸，
①當(dāng)，即時(shí)，
當(dāng)時(shí)，函數(shù)取得最小值此時(shí)最小值，得（舍，
②當(dāng)，即時(shí)，
當(dāng)時(shí)，函數(shù)取得最小值此時(shí)最小值，得，
③當(dāng)，即時(shí)，
當(dāng)時(shí)，函數(shù)取得最小值此時(shí)最小值，得（舍，
綜上若的最小值為，則實(shí)數(shù)．
（3）令，得或，
方程或在，上有四個(gè)不同的實(shí)根，
則，得，則，
即實(shí)數(shù)的取值范圍是．
【點(diǎn)評(píng)】本題主要考三角函數(shù)的性質(zhì)，函數(shù)的零點(diǎn)以及復(fù)合函數(shù)的應(yīng)用，綜合性較強(qiáng)，運(yùn)算量較大，有一定的難度．
23．已知函數(shù)，．
（1）若，記的解集為，求函數(shù)為自然對(duì)數(shù)的底數(shù)）的值域；
（2）當(dāng)時(shí)，討論函數(shù)的零點(diǎn)個(gè)數(shù)．
【分析】（1）當(dāng)時(shí)，求出的解集，函數(shù)，在求出復(fù)合函數(shù)的值域．
（2），利用分類討論思想，求出函數(shù)的零點(diǎn)個(gè)數(shù)．
【解答】解：（1）當(dāng)時(shí)，的解集為，
函數(shù)，
，
當(dāng)時(shí)，令，則，，
所以的值域?yàn)?，?br /> （2），
①因?yàn)椋?），
所以1為一個(gè)零點(diǎn)，
（1），
因?yàn)椋?br /> 所以（1），
所以（1）（1），
所以1為的一個(gè)零點(diǎn)．
②當(dāng)時(shí)，，，
所以在上無零點(diǎn)，
③當(dāng)時(shí)，，在上無零點(diǎn)，
所以在上的零點(diǎn)個(gè)數(shù)是在上零點(diǎn)個(gè)數(shù)，
因?yàn)椋?br /> （1），
△，
若△，即時(shí)，函數(shù)無零點(diǎn)，即在上無零點(diǎn)，
若△，即時(shí)，函數(shù)的零點(diǎn)為，即在上有零點(diǎn)，
若△，即時(shí)，，
函數(shù)在上有兩個(gè)零點(diǎn)，即函數(shù)在上有兩個(gè)零點(diǎn)，
綜上所述，當(dāng)時(shí)，有1個(gè)零點(diǎn)，
當(dāng)時(shí)，有2個(gè)零點(diǎn)，
當(dāng)時(shí)，有3個(gè)零點(diǎn)．
【點(diǎn)評(píng)】本題考查函數(shù)值，函數(shù)的值域的求法，函數(shù)的零點(diǎn)個(gè)數(shù)的討論，函數(shù)的性質(zhì)，屬于中檔題．
聲明：試題解析著作權(quán)屬菁優(yōu)網(wǎng)所有，未經(jīng)書面同意，不得復(fù)制發(fā)布
日期：2021/8/23 17:43:38；用戶：高中數(shù)學(xué)12；郵箱：sztdjy76@xyh.com；學(xué)號(hào)：26722394

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