2023年山東省菏澤市高考數(shù)學二模試卷一、單選題（本大題共8小題，共40.0分。在每小題列出的選項中，選出符合題目的一項）1.  已知全集，集合，則(    )A.  B.
C.  D. 2.  設(shè)，為實數(shù)，，若，則復(fù)數(shù)的虛部為(    )A.  B.  C.  D. 3.  “”是“直線：與直線：平行”的(    )A. 充分不必要條件 B. 必要不充分條件
C. 充要條件 D. 既不充分又不必要條件4.  已知一個裝滿水的圓臺容器的上底面半徑為，下底面半徑為，高為，若將一個鐵球放入該容器中，使得鐵球完全沒入水中，則可放入鐵球的表面積的最大值為(    )A.  B.  C.  D. 5.  設(shè)、分別為雙曲線的左右焦點，為坐標原點，過左焦點作直線與圓切于點，與雙曲線右支交于點，且為等腰三角形，則雙曲線的離心率為(    )A.  B.  C.  D. 6.  足球是一項大眾喜愛的運動，為了解喜愛足球是否與性別有關(guān)，隨機抽取了若干人進行調(diào)查，抽取女性人數(shù)是男性的倍，男性喜愛足球的人數(shù)占男性人數(shù)的，女性喜愛足球的人數(shù)占女性人數(shù)的，若本次調(diào)查得出“在犯錯誤的概率不超過的前提下認為喜愛足球與性別有關(guān)”的結(jié)論，則被調(diào)查的男性至少有人．(    )  A.  B.  C.  D. 7.  已知函數(shù)在區(qū)間上單調(diào)遞增，且在區(qū)間上只取得一次最大值，則的取值范圍是(    )A.  B.  C.  D. 8.  已知定義在上的函數(shù)的導(dǎo)函數(shù)為，滿足，，且，當時，，則(    )A.  B.  C.  D. 二、多選題（本大題共4小題，共20.0分。在每小題有多項符合題目要求）9.  在某次數(shù)學競賽活動中，學生得分在之間，滿分分，隨機調(diào)查了位學生的成績，得到樣本數(shù)據(jù)的頻率分布直方圖，則(    )
A. 圖中的值為
B. 參賽學生分數(shù)位于區(qū)間的概率約為
C. 樣本數(shù)據(jù)的分位數(shù)約為
D. 參賽學生的平均分數(shù)約為10.  在棱長為的正方體中，是側(cè)面上的一個動點不包含四個頂點，則下列說法中正確的是(    )A. 三角形的面積無最大值、無最小值
B. 存在點，滿足平面
C. 存在點，滿足
D. 與所成角的正切值范圍為11.  畫法幾何的創(chuàng)始人法國數(shù)學家加斯帕爾蒙日發(fā)現(xiàn)：與橢圓相切的兩條垂直切線的交點的軌跡是以橢圓中心為圓心的圓，我們通常把這個圓稱為該橢圓的蒙日圓已知橢圓，分別為橢圓的左、右焦點，直線的方程為，為橢圓的蒙日圓上一動點，，分別與橢圓相切于，兩點，為坐標原點，下列說法正確的是(    )A. 橢圓的蒙日圓方程為
B. 記點到直線的距離為，則的最小值為
C. 一矩形四條邊與橢圓相切，則此矩形面積最大值為
D. 的面積的最小值為，最大值為12.  已知，分別是函數(shù)和的零點，則(    )A.  B.
C.  D. 三、填空題（本大題共4小題，共20.0分）13.  已知向量，若向量與垂直，則向量與的夾角余弦值是______ ．14.  若，則 ______ ．15.  已知函數(shù)，若存在三個不相等的實數(shù)，，，使得成立，則的取值范圍是______ ．16.  設(shè)數(shù)列是以為首項，為公比的等比數(shù)列，在和之間插入個數(shù)，使，，成等差數(shù)列；在和之間插入個數(shù)，，使，，，成等差數(shù)列；；在和之間插入個數(shù)，，，，使，，，，，成等差數(shù)列則 ______ ；令，則 ______ ．四、解答題（本大題共6小題，共70.0分。解答應(yīng)寫出文字說明，證明過程或演算步驟）17.  本小題分
記的內(nèi)角，，的對邊分別是，，，已知的外接圓半徑，且．
求和的值；
求邊上高的最大值．18.  本小題分
已知各項為正數(shù)的等比數(shù)列滿足．
求數(shù)列的通項公式；
設(shè)，，求數(shù)列的前項和．19.  本小題分
如圖，在四棱錐中，平面平面，，，，，為中點．
求證：面；
點在棱上，設(shè)，若二面角余弦值為，求．
20.  本小題分
某公司年末給職工發(fā)獎金，采用趣味抽獎的方式，在一個紙箱里放個小球：其中個紅球、個黃球和個綠球，每個職工不放回地從中拿次，每次拿個球，每拿到一個紅球得獎金千元，每拿到一個黃球得獎金元，每拿到一個綠球得獎金元．
求已知某職工在三次中只有一次抽到黃球的條件下，至多有次抽到紅球的概率；
設(shè)拿到紅球的次數(shù)為，求的分布列并計算拿到的三個球中，紅球個數(shù)比黃球個數(shù)多的概率．21.  本小題分
設(shè)拋物線：的焦點為，點，過的直線交于，兩點當直線垂直于軸時，．
求的方程；
若點在第一象限且，求；
動直線與拋物線交于不同的兩點，，是拋物線上異于，的一點，記，的斜率分別為，，為非零的常數(shù)．
從下面中選取兩個作為條件，證明另外一個成立：點坐標為；；直線經(jīng)過點注：若選擇不同的組合分別解答，則按第一個解答計分22.  本小題分
已知函數(shù)．
求在處的切線方程；
求的單調(diào)區(qū)間；
當時，恒成立，求的取值范圍．
答案和解析 1.【答案】 【解析】解：集合，而全集，
所以．
故選：．
解一元二次不等式化簡集合，再利用補集的定義求解作答．
本題主要考查并集及其運算，屬于基礎(chǔ)題．
 2.【答案】 【解析】解：變形得到，
故，，解得，故，
所以，復(fù)數(shù)的虛部為．
故選：．
利用復(fù)數(shù)乘除法運算法則得到，得到復(fù)數(shù)的虛部．
本題主要考查復(fù)數(shù)的四則運算，屬于基礎(chǔ)題．
 3.【答案】 【解析】解：直線：與直線：平行，
，，
當時，直線：與直線：重合，舍去，
當時，直線：與直線：平行，
是直線與直線平行的充要條件．
故選：．
先由直線平行求出相應(yīng)的值，然后根據(jù)充要條件的定義即可判斷．
本題主要考查了直線平行的條件的應(yīng)用，充分必要條件的判斷，屬于基礎(chǔ)題．
 4.【答案】 【解析】解：依題意，鐵球的表面積最大時，該球與圓臺上底面和側(cè)面相切，顯然鐵球球心在圓臺的軸線上，
過圓臺的軸作平面截面圓臺得等腰梯形，截球得球的大圓，圓與，，都相切，如圖，

令的中點為，過點的圓的直徑另一端點為，過作圓的切線交，分別于，，
則，即圓是等腰梯形的內(nèi)切圓，過，作的垂線，垂足分別為，，
令圓切于，于是，，，令圓的半徑為，，
顯然，又，則有，而，
因此，又，即，
中，，于是，解得，
可放入鐵球的表面積的最大值．
故選：．
確定表面積最大時鐵球的特性，作出圓臺及球的軸截面，借助圓的切線性質(zhì)及直角三角形求出球半徑作答．
本題主要考查球的表面積的求法，圓臺的結(jié)構(gòu)特征，考查運算求解能力，屬于中檔題．
 5.【答案】 【解析】解：直線與圓切于點，則，
又為等腰三角形，
，
又為的中點，為中點，
，
又，且，，
由題意得雙曲線焦距為，在中，，即，
，即，
雙曲線的離心率．
故選：．
根據(jù)給定條件，確定，結(jié)合圓的切線性質(zhì)及雙曲線定義列式計算，即可得出答案．
本題考查雙曲線的性質(zhì)，考查轉(zhuǎn)化思想，考查邏輯推理能力和運算能力，屬于中檔題．
 6.【答案】 【解析】解：設(shè)被調(diào)查的男性為人，則女性為人，依據(jù)題意可得列聯(lián)表如下表：  男性女性合計喜愛足球不喜愛足球合計，
因為本次調(diào)查得出“在犯錯誤的概率不超過的前提下認為喜愛足球與性別有關(guān)”的結(jié)論，
所以有，即，
解得，又因為上述列聯(lián)表中的所有數(shù)字均為整數(shù)，
故的最小值為．
故選：．
根據(jù)題意，設(shè)出男生人數(shù)，從而計算出列聯(lián)表，再算出比較即可．
本題主要考查獨立性檢驗，考查運算求解能力，屬于中檔題．
 7.【答案】 【解析】解：依題意，函數(shù)，，
因為在區(qū)間上單調(diào)遞增，由，則，
于是且，解得且，即，
當時，，因為在區(qū)間上只取得一次最大值，
因此，解得，
所以的取值范圍是．
故選：．
利用輔助角公式變形函數(shù)，結(jié)合函數(shù)單調(diào)區(qū)間和取得最值的情況，利用整體法即可求得參數(shù)的范圍．
本題主要考查兩角和與差的三角函數(shù)，屬于中檔題．
 8.【答案】 【解析】解：因為，則，
則函數(shù)在上單調(diào)遞增；
因，
則．
選項，，故A錯誤；
選項，注意到，則
，故B錯誤；
選項，，故C錯誤；
選項，，故D正確．
故選：．
設(shè)，由時，可得在上單調(diào)遞增，由，可得選項，比較與大小即可判斷選項正誤；選項，比較與大小即可判斷選項正誤；選項，比較與大小即可判斷選項正誤；選項，比較與大小即可判斷選項正誤．
本題主要考查利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性，本題關(guān)鍵為通過題目條件構(gòu)造出函數(shù)，并得到其單調(diào)性與對稱性，若難以想到，可以通過選項形式得到提示．
 9.【答案】 【解析】解：對于，由，解得，A正確；
對于，分數(shù)位于區(qū)間的頻率為，估計概率為，B錯誤；
對于，由選項B知，樣本數(shù)據(jù)的分位數(shù)，由，
解得，C正確；
對于，由頻率分布直方圖知，各小矩形面積從左到右依次為，，，，，，
平均分數(shù)，D錯誤．
故選：．
利用各小矩形面積和為求出判斷；求出分數(shù)位于區(qū)間的頻率判斷；求出百分位數(shù)判斷；估計學生的平均分數(shù)判斷作答．
本題主要考查頻率分布直方圖，考查運算求解能力，屬于基礎(chǔ)題．
 10.【答案】 【解析】解：是側(cè)面上的一個動點不包含四個頂點，可知到的距離沒有最大值，有最小值，
所以三角形的面積無最大值、有最小值，所以不正確；
平面平面，所以在上時，滿足平面，所以B正確；
以為直接的球，與平面有交點，交點就是，存在點，
滿足，所以C正確；
與所成角的正切值的最小值為：，最大值為：，
與所成角的正切值范圍為，所以D正確．
故選：．
判斷到的距離，即可判斷三角形面積的最值，判斷的正誤；
通過平面與平面平行，說明直線與平面平行，即可判斷的正誤；
利用求與平面的交點，即可判斷的正誤；
求解與所成角的正切值范圍，判斷的正誤；
本題考查空間直線與直線以及直線與平面的位置關(guān)系的應(yīng)用，考查空間想象能力，轉(zhuǎn)化思想以及計算能力，是中檔題．
 11.【答案】 【解析】解：對于，當直線，一條斜率為，另一條斜率不存在時，則；
由蒙日圓的定義可得蒙日圓方程為；，故A正確；

對于，為橢圓上的點，，
；
的最小值為點到直線的距離，又，
，，B錯誤；
對于，矩形四條邊均與相切，該矩形為蒙日圓的內(nèi)接矩形，
設(shè)矩形的長為，寬為，蒙日圓的半徑，，
當且僅當時取等號，
此矩形面積最大值為，C正確；
對于，設(shè)位于橢圓上半部分，即，，
在處的切線斜率，切線方程為：，
即，在處的切線方程為；，
同理可得：當位于橢圓下半部分，即，切線方程為；，
在點處的切線方程為，同理可知：在點處的切線方程為；，
設(shè)，則且，
可知，坐標滿足方程，，
即切點弦所在直線方程為：，
當時，，此時所在直線方程為：，
，；
當時，由，得：，
由知：，，
設(shè)，，則，，
，
又原點到直線的距離，

，
令，，則，
為開口方向向下，對稱軸為的拋物線，
，，
，，
綜上所述：的面積的最小值為，最大值為，故D正確．
故選：．
由蒙日圓的定義可求蒙日圓方程判斷A正確；利用橢圓定義將轉(zhuǎn)化為，由平面幾何知識可知最小值為點到直線的距離，結(jié)合點到直線距離公式可求得B錯誤；根據(jù)矩形為蒙日圓的內(nèi)接矩形，結(jié)合基本不等式可求得C正確；推導(dǎo)可得過橢圓外一點的橢圓的切點弦直線方程為，當時，可求得的值；當時，將直線與橢圓方程聯(lián)立可得韋達定理的結(jié)論，結(jié)合弦長公式和點到直線距離公式可化簡得到，結(jié)合二次函數(shù)最值的求法可求得結(jié)果，知D正確．
本題考查新定義題型，考查運算求解能力，屬難題．
 12.【答案】 【解析】解：令，得，即，，令，得，即，即，，
記函數(shù)，，則，
所以函數(shù)在上單調(diào)遞增，
因為，，
所以，故A錯誤；
又，，
所以，，
所以，故B正確；
所以，故C錯誤；
又，所以，結(jié)合，得，
因為，所以，且，
因為在區(qū)間上單調(diào)遞減，所以，
即，故D正確．
故選：．
利用函數(shù)與方程思想，得到兩根滿足的方程關(guān)系，然后根據(jù)結(jié)構(gòu)構(gòu)造函數(shù)，求導(dǎo)，研究單調(diào)性，得到及，結(jié)合指對互化即可判斷選項A、、；最后再通過對勾函數(shù)單調(diào)性求解范圍即可判斷選項D．
本題考查函數(shù)的零點問題、轉(zhuǎn)化思想及導(dǎo)數(shù)的綜合運用，屬于中檔題．
 13.【答案】 【解析】解：因為，則，
又與垂直，則，
則．
故答案為：．
由與垂直，可得，后由向量夾角余弦的坐標表示可得答案．
本題主要考查了平面向量數(shù)量積的坐標運算，屬于基礎(chǔ)題．
 14.【答案】 【解析】解：令，則，
令，則，
故，，
則有．
故答案為：．
根據(jù)賦值法，令，，計算即可．
本題考查二項式定理的應(yīng)用，屬于基礎(chǔ)題．
 15.【答案】 【解析】解：的定義域為，且，
令得或，令得，
故在，上單調(diào)遞增，在上單調(diào)遞減，
所以在處取得極大值，在處取得極小值，，，
畫出的圖象如下：

設(shè)存在三個不相等的實數(shù)，，，使得，
對于方程可化為，
整理得，
故．
故答案為：．
先求導(dǎo)得到的單調(diào)性，極值情況，得到若存在三個不相等的實數(shù)，，，使得，則，將化為，得到．
本題主要考查利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的極值，考查數(shù)形結(jié)合思想與運算求解能力，屬于中檔題．
 16.【答案】  【解析】解：依題意，，由等差數(shù)列性質(zhì)得，即，解得，
，顯然數(shù)列是等差數(shù)列，
其前項和記為，則，
令均滿足上式，因此，
于是
，則，
令，
則有，
兩式相減得：，
因此，所以．
故答案為：；．
求出數(shù)列的通項公式，由已知直接求出，再利用等差數(shù)列性質(zhì)求出數(shù)列的前項和，并利用錯位相減法求和作答．
本題主要考查等差數(shù)列與等比數(shù)列的綜合，等差數(shù)列的性質(zhì)，數(shù)列的求和，錯位相減求和法的應(yīng)用，考查運算求解能力，屬于中檔題．
 17.【答案】解：，，
即，
，
，，
，，，
由正弦理得，；
由余弦定理知，，即，
由基本不等式可得，當且僅當時取等號，
，
，
又，．
邊上高的最大值為． 【解析】由已知可得，可得，進而可求和的值；
求得的最大值，進而可求三角形面積的最大值，進而可求邊上高的最大值．
本題考查正余弦定理的應(yīng)用，考查運算求解能力，屬中檔題．
 18.【答案】解：設(shè)等比數(shù)列的公比為，
，
，
又等比數(shù)列各項為正數(shù)，則，，
，故；
由得，，
，
當為奇數(shù)時，，
則當為偶數(shù)時，．
． 【解析】設(shè)等比數(shù)列的公比為，由可得，化簡后可得，，即可得出答案；
由題可得當為奇數(shù)時，，當為偶數(shù)時，利用分組求和法，即可得出答案．
本題考查等比數(shù)列的性質(zhì)和數(shù)列的求和，考查轉(zhuǎn)化思想，考查邏輯推理能力和運算能力，屬于中檔題．
 19.【答案】證明：取中點為，連接，因，分別為，中點，
則，即四邊形為平行四邊形，
則，又平面，平面，則面；
解：取中點為，因，則．
又平面平面，平面平面，平面，
則平面過點作平行線，交于因，平面，
則，過做平行線，
則以為原點，所在直線為軸，所在直線為軸，所在直線為軸，如圖建立空間直角坐標系．

則，，，
注意到，則，故，
則，，，
．
設(shè)為平面的一個法向量，
則，即，
令，則平面的一個法向量；
設(shè)為平面的一個法向量，
則，即，
令，則，
則平面的一個法向量．
因二面角余弦值為，則，
即，
又，則． 【解析】取中點為，連接，通過證明，可得面；
如圖建立以為原點，所在直線為軸，所在直線為軸，所在直線為軸的空間直角坐標系，由，可得，后分別求出平面法向量，平面法向量，則，據(jù)此可得答案．
本題主要考查線面平行的證明，二面角的求法，空間向量法的應(yīng)用，考查運算求解能力與邏輯推理能力，屬于中檔題．
 20.【答案】解：設(shè)事件：在三次中只有次拿到黃球，
事件：三次中至多一次抽到紅球，
則事件：在三次中只有次抽到黃球，其他兩次至多一次抽到紅球，
，
，
所以；
拿到紅球的次數(shù)為，，，則：
，
，
，
故的分布列為： 設(shè)事件“拿到紅球的個數(shù)比黃球的個數(shù)多”，
：紅黃，，
：紅綠，，
：紅綠，，
． 【解析】設(shè)事件：在三次中只有次拿到黃球，事件：三次中至多一次抽到紅球，則事件：在三次中只有次抽到黃球，其他兩次至多一次抽到紅球，求出，，然后利用條件概率公式求解；
拿到紅球的次數(shù)為，，，求出對應(yīng)的概率，從而可得的分布列；設(shè)事件“拿到紅球的個數(shù)比黃球的個數(shù)多”，分為三種情況：：紅黃，：紅綠，：紅綠，求出對應(yīng)的概率再相加即可得的概率．
本題主要考查了條件概率的概率公式，考查了離散型隨機變量的分布列，屬于中檔題．
 21.【答案】解：由題意得，因為直線垂直于軸，，
所以點的橫坐標為，代入：中，，則，

其中，由勾股定理得，
解得，故拋物線方程為；
由知，因為，所以，直線的斜率存在且不為，
設(shè)直線的方程為，
與聯(lián)立得，，
設(shè)，，，，
則，，
因為，由焦半徑公式可知，即，
將其代入中得，解得，負值舍去，

則，．
證明：若選，設(shè)直線：，且，，
聯(lián)立，得，故，，
故，同理，
故，
即，解得，
所以：，即直線經(jīng)過點；
若選，由題意直線：，且，，
聯(lián)立得，所以，
，同理，
所以；
若選，由題意得直線：，且，，，
聯(lián)立得，所以，
，同理，
，
所以，即，
要想上式對任意的成立，則，即，
故點坐標為． 【解析】表達出，，由勾股定理列出方程，求出，得到拋物線方程；設(shè)出直線的方程，聯(lián)立拋物線方程，設(shè)，，，，由焦半徑公式得到方程，得到，，再由焦點弦長公式求出答案；
選，設(shè)直線：，聯(lián)立拋物線方程，得到兩根之和，兩根之積，表達出，，由列出方程，求出，證明出直線經(jīng)過點；
選，由題意直線：，聯(lián)立拋物線方程，得到兩根之和，兩根之積，計算出；
選，設(shè)直線：，聯(lián)立拋物線方程，得到兩根之和，兩根之積，表達出，，代入中，變形得到，求出，得到點坐標為．
本題主要考查拋物線的性質(zhì)，直線與拋物線的綜合，考查方程思想與運算求解能力，屬于難題．
 22.【答案】解：，
，又，
在處的切線方程為；
由題意知：定義域為，
由知：，
當時，，，；
當時，，，；
的單調(diào)遞減區(qū)間為，單調(diào)遞增區(qū)間為；
當時，由，
可得，
即恒成立，
設(shè)，則恒成立，；
設(shè)，
則在上恒成立，
在上單調(diào)遞增，，
則，在上單調(diào)遞增；
設(shè)，則，
當時，；當時，；
在上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增，
，
即當且僅當時取等號，
，
，對恒成立，
，即的取值范圍為． 【解析】根據(jù)導(dǎo)數(shù)幾何意義可求得切線斜率，結(jié)合可得切線方程；
分別在和的情況下，根據(jù)正負可求得單調(diào)區(qū)間；
令，將恒成立的不等式轉(zhuǎn)化為恒成立；利用導(dǎo)數(shù)可求得單調(diào)遞增，采用放縮法可求得，由此可得結(jié)果．
本題考查利用導(dǎo)數(shù)求切線問題，利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性，恒成立問題的求解，化歸轉(zhuǎn)化思想，屬中檔題．
 

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