? 山東省濱州市2023屆高三數(shù)學(xué)二?？荚嚹M試卷
2023.5
一、單選題
1．已知集合，，則
A． B．
C． D．
2．已知復(fù)數(shù)的共軛復(fù)數(shù)為，若（i為虛數(shù)單位），則復(fù)數(shù)的虛部為（????）
A． B． C． D．
3．如圖，在平行四邊形中，是邊的中點，是的一個三等分點（），若存在實數(shù)和，使得，則（????）

A． B． C． D．
4．已知圓臺的上底面半徑為2，下底面半徑為6，若該圓臺的體積為，則其母線長為（????）
A． B． C． D．
5．回文數(shù)是指從左往右讀與從右往左讀都是一樣的正整數(shù)，如，等，在所有小于的三位回文數(shù)中任取兩個數(shù)，則兩個回文數(shù)的三位數(shù)字之和均大于的概率為（????）
A． B． C． D．
6．筒車是我國古代發(fā)明的一種水利灌溉工具，因其經(jīng)濟又環(huán)保，至今還在農(nóng)業(yè)生產(chǎn)中得到使用．假設(shè)在水流量穩(wěn)定的情況下，筒車上的每一個盛水筒都做逆時針勻速圓周運動．現(xiàn)將筒車抽象為一個幾何圖形，如圖所示，圓的半徑為4米，盛水筒從點處開始運動， 與水平面的所成角為，且每分鐘恰好轉(zhuǎn)動1圈，則盛水筒距離水面的高度（單位；）與時間（單位： ）之間的函數(shù)關(guān)系式的圖象可能是

A． B． C． D．
7．設(shè)，，，則下列關(guān)系正確的是（????）．
A． B．
C． D．
8．已知函數(shù)，若恒成立，則實數(shù)的取值范圍為（????）
A． B．
C． D．

二、多選題
9．如圖，在四面體中，截面是正方形，則在下列命題中，正確的為

A．
B．截面
C．
D．異面直線與所成的角為
10．已知函數(shù)，下列說法正確的有（???）
A．的單調(diào)遞增區(qū)間為(－∞，1)
B．在處的切線方程為y=1
C．若方程有兩個不相等的實數(shù)根，則
D．的極大值點為(1，1)
11．已知拋物線的焦點為F，是拋物線上兩點，則下列結(jié)論正確的是（????）
A．點F的坐標為 B．若A，F(xiàn)，B三點共線，則
C．若直線與的斜率之積為，則直線過點F D．若，則的中點到x軸距離的最小值為2
12．已知連續(xù)函數(shù)f(x)對任意實數(shù)x恒有f（x＋y）＝f(x)＋f（y），當x＞0時，f(x)＜0，f（1）＝－2，則以下說法中正確的是（????）
A．f（0）＝0
B．f(x)是R上的奇函數(shù)
C．f(x)在[－3，3]上的最大值是6
D．不等式的解集為

三、填空題
13．的展開式中的系數(shù)為12，則_________．
14．寫出與兩圓均相切的一條直線方程為___________.
15．過點且與曲線相切的直線方程為______．
16．過點的直線交橢圓于兩點，為橢圓的右焦點，當?shù)闹荛L最大時，的面積為__________．
四、解答題
17．已知等差數(shù)列的前項和為，，.
（1）求數(shù)列的通項公式；
（2）設(shè)，其前項和為，證明.
18．在中，角A，B，C的對邊分別為a，b，c，已知.
(1)求角B；
(2)若，且的面積為，求b的值.
19．如圖，四棱柱的底面是菱形，，底面，，．

（1）證明：平面平面；
（2）若，求點到面的距離．
20．第五屆中國國際進口博覽會于2022年11月4日在上海開幕，本次進口博覽會共有145個國家、地區(qū)和國際組織參展，企業(yè)商業(yè)展延續(xù)食品及農(nóng)產(chǎn)品、汽車、技術(shù)裝備、消費品、醫(yī)療器械及醫(yī)藥保健、服務(wù)貿(mào)易六大展區(qū)設(shè)置.進口博覽會的舉辦向世界展示了中國擴大開放的決心與自信、氣魄與擔當.為調(diào)查上海地區(qū)大學(xué)生對進口博覽會展區(qū)設(shè)置的了解情況，從上海各高校抽取400名學(xué)生進行問卷調(diào)查，得到部分數(shù)據(jù)如下表：

男
女
總計
了解
80


不了解

160

總計

200
400
(1)完成上述列聯(lián)表，并判斷是否有99.9%的把握認為上海地區(qū)大學(xué)生對進口博覽會展區(qū)設(shè)置的了解情況與性別有關(guān)；
(2)據(jù)調(diào)查，上海某高校學(xué)生會宣傳部6人中有3人了解進口博覽會展區(qū)設(shè)置情況，現(xiàn)從這6人中隨機抽取4人參加進口博覽會志愿服務(wù)，設(shè)抽取的人中了解進口博覽會展區(qū)設(shè)置情況的人數(shù)為，求的分布列與數(shù)學(xué)期望.
參考公式：，.
參考數(shù)據(jù)：

0.10
0.05
0.01
0.005
0.001

2.706
3.841
6.635
7.879
10.828

21．在一張紙片上，畫有一個半徑為4的圓（圓心為M）和一個定點N，且，若在圓上任取一點A，將紙片折疊使得A與N重合，得到折痕BC，直線BC與直線AM交于點P．

(1)若以MN所在直線為軸，MN的垂直平分線為x軸，建立如圖所示的平面直角坐標系，求點P的軌跡方程；
(2)在（1）中點P的軌跡上任取一點D，以D點為切點作點P的軌跡的切線，分別交直線，于S，T兩點，求證：的面積為定值，并求出該定值；
(3)在（1）基礎(chǔ)上，在直線，上分別取點G，Q，當G，Q分別位于第一、二象限時，若，，求面積的取值范圍．
22．設(shè)函數(shù)的導(dǎo)函數(shù)為.若不等式對任意實數(shù)x恒成立，則稱函數(shù)是“超導(dǎo)函數(shù)”.
（1）請舉一個“超導(dǎo)函數(shù)” 的例子，并加以證明；
（2）若函數(shù)與都是“超導(dǎo)函數(shù)”，且其中一個在R上單調(diào)遞增，另一個在R上單調(diào)遞減，求證：函數(shù)是“超導(dǎo)函數(shù)”；
（3）若函數(shù)是“超導(dǎo)函數(shù)”且方程無實根，（e為自然對數(shù)的底數(shù)），判斷方程的實數(shù)根的個數(shù)并說明理由.


山東省濱州市2023屆高三數(shù)學(xué)二?？荚嚹M試卷
2023.5
一、單選題
1．已知集合，，則
A． B．
C． D．
【答案】D
【詳解】試題分析：解得，故.
考點：一元二次不等式，集合交集．
【易錯點晴】集合的三要素是：確定性、互異性和無序性.研究一個集合，我們首先要看清楚它的研究對象，是實數(shù)還是點的坐標還是其它的一些元素，這是很關(guān)鍵的一步.第二步常常是解一元二次不等式，我們首先用十字相乘法分解因式，求得不等式的解集.在解分式不等式的過程中，要注意分母不能為零.元素與集合之間是屬于和不屬于的關(guān)系，集合與集合間有包含關(guān)系. 在求交集時注意區(qū)間端點的取舍.
2．已知復(fù)數(shù)的共軛復(fù)數(shù)為，若（i為虛數(shù)單位），則復(fù)數(shù)的虛部為（????）
A． B． C． D．
【答案】D
【分析】利用復(fù)數(shù)相等列方程組，解方程組求得，由此求得的虛部.
【詳解】設(shè)，，則，
∵，
∴，
即，解得，
∴，
故復(fù)數(shù)的虛部為.
故選：D
3．如圖，在平行四邊形中，是邊的中點，是的一個三等分點（），若存在實數(shù)和，使得，則（????）

A． B． C． D．
【答案】C
【分析】根據(jù)平面向量的基本定理，利用向量的線性運算進行向量的基底表示，即可得的值.
【詳解】因為是的一個三等分點（），所以.因為是邊的中點，所以.又，所以.
故選：C.
4．已知圓臺的上底面半徑為2，下底面半徑為6，若該圓臺的體積為，則其母線長為（????）
A． B． C． D．
【答案】B
【分析】根據(jù)圓臺的體積公式先求高，再利用勾股定理可求母線長.
【詳解】依題意，圓臺的體積，解得，
故圓臺的母線長，
故選：B.
5．回文數(shù)是指從左往右讀與從右往左讀都是一樣的正整數(shù)，如，等，在所有小于的三位回文數(shù)中任取兩個數(shù)，則兩個回文數(shù)的三位數(shù)字之和均大于的概率為（????）
A． B． C． D．
【答案】B
【分析】首先列舉所有的回文數(shù)，再利用古典概型求概率.
【詳解】列出所有小于的三位回文數(shù)如下：，，，，，，，，，共個，從中任取兩個數(shù)共有種情況，
其中兩個回文數(shù)的三位數(shù)字之和均大于有種情況，
故所求概率為.
故選:B．
【點睛】本題考查古典概型，屬于基礎(chǔ)題型，本題的關(guān)鍵是正確列舉所有的回文數(shù).
6．筒車是我國古代發(fā)明的一種水利灌溉工具，因其經(jīng)濟又環(huán)保，至今還在農(nóng)業(yè)生產(chǎn)中得到使用．假設(shè)在水流量穩(wěn)定的情況下，筒車上的每一個盛水筒都做逆時針勻速圓周運動．現(xiàn)將筒車抽象為一個幾何圖形，如圖所示，圓的半徑為4米，盛水筒從點處開始運動， 與水平面的所成角為，且每分鐘恰好轉(zhuǎn)動1圈，則盛水筒距離水面的高度（單位；）與時間（單位： ）之間的函數(shù)關(guān)系式的圖象可能是

A． B． C． D．
【答案】D
【解析】先根據(jù)題意建立坐標系，寫出盛水筒距離水面的高度與時間之間的函數(shù)關(guān)系式，再根據(jù)關(guān)系式即可判斷.
【詳解】解：以為圓心，過點的水平直線為軸，建立如圖所示的平面直角坐標系：

，
在內(nèi)轉(zhuǎn)過的角為：，
以軸正半軸為始邊，以為終邊的角為：，
點的縱坐標為：，
與之間的函數(shù)關(guān)系式為：，
當時，，
當時，，
對A，B，由圖像易知，故A，B錯誤；
對C，，故C錯誤；
對D，，故D正確.
故選：D.
【點睛】關(guān)鍵點點睛：本題解題的關(guān)鍵是理解題意，根據(jù)題意寫出與之間的函數(shù)關(guān)系式.
7．設(shè)，，，則下列關(guān)系正確的是（????）．
A． B．
C． D．
【答案】D
【分析】構(gòu)造函數(shù)，利用導(dǎo)數(shù)求出函數(shù)的單調(diào)區(qū)間，即可比較，再構(gòu)造函數(shù)，判斷函數(shù)在上的單調(diào)性，即可比較，從而可得出答案.
【詳解】令，則，
當時，，當時，，
所以函數(shù)在上遞減，在上遞增，
所以，即，
所以，
令，則，
令，
則，
所以在上遞減，
所以，所以，
所以在上遞減，
所以，
即當時，，
所以，
即，
所以．
故選：D.
【點睛】關(guān)鍵點點睛：解決本題的關(guān)鍵在于構(gòu)造函數(shù)和，即，當且僅當時，取等號，當時，.
8．已知函數(shù)，若恒成立，則實數(shù)的取值范圍為（????）
A． B．
C． D．
【答案】A
【分析】等價于.構(gòu)造，根據(jù)導(dǎo)函數(shù)知函數(shù)單調(diào)遞增，只需，分離可得恒成立.構(gòu)造，求出函數(shù)的最大值即可得出實數(shù)的取值范圍.
【詳解】等價于.
令函數(shù)，則，故是增函數(shù).
所以等價于，即.
令函數(shù)，則.
當時，，單調(diào)遞增；
當時，，單調(diào)遞減.
所以，故實數(shù)的取值范圍為.
故選：A.

二、多選題
9．如圖，在四面體中，截面是正方形，則在下列命題中，正確的為

A．
B．截面
C．
D．異面直線與所成的角為
【答案】ABD
【解析】根據(jù)線線、線面平行判定和性質(zhì)逐一判斷即可.
【詳解】解：因為截面是正方形 ，所以，
又平面
所以平面
又平面,平面平面

截面，故B正確
同理可證
因為，所以，故A正確
又
所以異面直線與所成的角為，故D正確
和 不一定相等，故C錯誤
故選：ABD
【點睛】考查線線、線面平行的判定和性質(zhì)以及異面直線所成的角；基礎(chǔ)題.
10．已知函數(shù)，下列說法正確的有（???）
A．的單調(diào)遞增區(qū)間為(－∞，1)
B．在處的切線方程為y=1
C．若方程有兩個不相等的實數(shù)根，則
D．的極大值點為(1，1)
【答案】BC
【分析】由函數(shù)的定義域，可判定A不正確；根據(jù)導(dǎo)數(shù)的幾何意義求得切線方程，可判定B正確；利用導(dǎo)數(shù)求得函數(shù)的單調(diào)性與極值，結(jié)合圖象可判定C正確；根據(jù)極值點的定義，可判定D不正確.
【詳解】由題意，函數(shù)的定義域為，所以A不正確；
又由，所以，，
所以在的切線方程為，即，所以B正確；
令，解得，
當時，，單調(diào)遞增；
當時，，單調(diào)遞減，
所以當時，函數(shù)取得最大值，最大值為，
又由當時，；當時，，
要使得方程有兩個不相等的實數(shù)根，如圖所示，則，所以C正確；
其中是函數(shù)的極大值點，所以D不正確.
故選：BC.

11．已知拋物線的焦點為F，是拋物線上兩點，則下列結(jié)論正確的是（????）
A．點F的坐標為 B．若A，F(xiàn)，B三點共線，則
C．若直線與的斜率之積為，則直線過點F D．若，則的中點到x軸距離的最小值為2
【答案】ACD
【分析】根據(jù)拋物線方程求得，利用向量數(shù)量積運算、斜率乘積、弦長等知識對選項進行分析，由此確定正確選項.
【詳解】拋物線的焦點為，A選項正確.
若三點共線，則直線的斜率存在，設(shè)直線的方程為，
，，所以，B選項錯誤.
，
設(shè)直線的方程為，
，，，
（舍去）或.
所以直線的方程為，過，C選項正確.
，
，
，
所以的中點到軸的距離
，
當且僅當時等號成立.
故AB的中點到軸的距離的最小值為，D選項正確.
故選：ACD
12．已知連續(xù)函數(shù)f(x)對任意實數(shù)x恒有f（x＋y）＝f(x)＋f（y），當x＞0時，f(x)＜0，f（1）＝－2，則以下說法中正確的是（????）
A．f（0）＝0
B．f(x)是R上的奇函數(shù)
C．f(x)在[－3，3]上的最大值是6
D．不等式的解集為
【答案】ABC
【分析】根據(jù)函數(shù)對任意實數(shù)恒有，令，可得，判斷奇偶性和單調(diào)性，即可判斷選項；
【詳解】解：對于A，函數(shù)對任意實數(shù)恒有，
令，可得，A正確；
對于B，令，可得，所以，
所以是奇函數(shù)；B正確；
對于C，令，則，
因為當x＞0時，f(x)＜0，
所以，即，
所以在均遞減，
因為，所以在上遞減；
，可得；
令，
可得
，
；
，
在，上的最大值是6，C正確；
對于D，由不等式的可得，
即，
，
，
則，
，
解得：或；
D不對；
故選：ABC．
【點睛】本題主要考查函數(shù)求值和性質(zhì)問題，根據(jù)抽象函數(shù)條件的應(yīng)用，賦值法是解決本題的關(guān)鍵．

三、填空題
13．的展開式中的系數(shù)為12，則_________．
【答案】
【分析】應(yīng)用二項式定理寫出含項，結(jié)合已知項系數(shù)列方程求值即可.
【詳解】由的展開式通項為，
所以，含項為，
故，可得.
故答案為：
14．寫出與兩圓均相切的一條直線方程為___________.
【答案】（答案不唯一）
【分析】根據(jù)圓的方程判斷圓的位置關(guān)系，公切線斜率存在，設(shè)為，應(yīng)用點線距離公式求參數(shù)，即可寫出直線方程.
【詳解】由，圓心為，半徑為1；
由，圓心為，半徑為4；
所以圓心距為，故兩圓外切，如下圖，

公切線斜率存在，設(shè)為，
所以，解得或或，
所以，公切線方程有或或.
故答案為：（答案不唯一）
15．過點且與曲線相切的直線方程為______．
【答案】或
【分析】設(shè)切點坐標為，求得，列出方程，求得的值，結(jié)合導(dǎo)數(shù)的幾何意義，即可求解.
【詳解】由題意，設(shè)切點坐標為，則，
又由函數(shù)，可得，可得，所以，
根據(jù)斜率公式和導(dǎo)數(shù)的幾何意義，可得，即，
解得或，所以切線的斜率為或，
所以切線方程為或，即或.
故答案為：或.
16．過點的直線交橢圓于兩點，為橢圓的右焦點，當?shù)闹荛L最大時，的面積為__________．
【答案】
【詳解】分析：根據(jù)橢圓的定義和性質(zhì)可得右焦點，設(shè)左焦點為,當且僅當共線時周長最長，再根據(jù)兩點式求出直線的方程，進而求解面積.
詳解：由題意，橢圓的左右焦點坐標分別為，
又由橢圓的定義可得,
所以的周長為,
顯然，當且僅當共線時周長最長，最大值為，
此時直線的方程為，
聯(lián)立方程組，可得，
則，所以，
所以此時的面積為.
點睛：本題主要考查了橢圓的定義域標準方程及幾何性質(zhì)，以及直線與橢圓的位置關(guān)系應(yīng)用，其中根據(jù)橢圓的定義，得到當且僅當共線時周長最長是解答的關(guān)鍵，著重考查了分析問題和解答問題的能力.

四、解答題
17．已知等差數(shù)列的前項和為，，.
（1）求數(shù)列的通項公式；
（2）設(shè)，其前項和為，證明.
【答案】（1）；（2）證明見解析.
【分析】（1）設(shè)等差數(shù)列的公差為，由題意可得關(guān)于首項和公差的方程組，解之代入通項公式可得；
（2）由（1）可知，由裂項相消法可得其和．
【詳解】解：（1）設(shè)數(shù)列的公差為，依題意得，
∴，∴，
∴.
（2）由（1）得，
∴，
∴
，
∵，∴，∴.
【點睛】本題考查等差數(shù)列的通項公式和求和公式，涉及裂項相消法求數(shù)列的和，屬于中檔題．
18．在中，角A，B，C的對邊分別為a，b，c，已知.
(1)求角B；
(2)若，且的面積為，求b的值.
【答案】(1)
(2)

【分析】（1）由，利用正弦定理得到求解；
（2）根據(jù)的面積為，得到，然后利用余弦定理求解.
(1)
解：因為，
所以，
即，
因為，
所以，
所以；
(2)
因為的面積為，
所以，
解得，
由余弦定理得，
，
所以.
19．如圖，四棱柱的底面是菱形，，底面，，．

（1）證明：平面平面；
（2）若，求點到面的距離．
【答案】（1）證明見解析；（2）.
【分析】（1）要證面面垂直只要證明其中一個面內(nèi)的一條直線垂直于另外一個平面即可；
（2）利用等體積法，根據(jù)所給條件求得各已知量，代入即可得解.
【詳解】（1）∵平面，平面，
∴．∵是菱形，
∴，∵，
∴平面，∵平面，
∴平面平面；

（2）根據(jù)題意可得，所以，
，所以，
，
所以，
易知，
所以，由，，
設(shè)點到面的距離為，
根據(jù)等體積法可得
代入數(shù)據(jù)可得，
所以點到面的距離為.
20．第五屆中國國際進口博覽會于2022年11月4日在上海開幕，本次進口博覽會共有145個國家、地區(qū)和國際組織參展，企業(yè)商業(yè)展延續(xù)食品及農(nóng)產(chǎn)品、汽車、技術(shù)裝備、消費品、醫(yī)療器械及醫(yī)藥保健、服務(wù)貿(mào)易六大展區(qū)設(shè)置.進口博覽會的舉辦向世界展示了中國擴大開放的決心與自信、氣魄與擔當.為調(diào)查上海地區(qū)大學(xué)生對進口博覽會展區(qū)設(shè)置的了解情況，從上海各高校抽取400名學(xué)生進行問卷調(diào)查，得到部分數(shù)據(jù)如下表：

男
女
總計
了解
80


不了解

160

總計

200
400
(1)完成上述列聯(lián)表，并判斷是否有99.9%的把握認為上海地區(qū)大學(xué)生對進口博覽會展區(qū)設(shè)置的了解情況與性別有關(guān)；
(2)據(jù)調(diào)查，上海某高校學(xué)生會宣傳部6人中有3人了解進口博覽會展區(qū)設(shè)置情況，現(xiàn)從這6人中隨機抽取4人參加進口博覽會志愿服務(wù)，設(shè)抽取的人中了解進口博覽會展區(qū)設(shè)置情況的人數(shù)為，求的分布列與數(shù)學(xué)期望.
參考公式：，.
參考數(shù)據(jù)：

0.10
0.05
0.01
0.005
0.001

2.706
3.841
6.635
7.879
10.828

【答案】(1)列聯(lián)表見解析，有99.9%的把握
(2)分布列見解析，數(shù)學(xué)期望

【分析】（1）先根據(jù)已知完善列聯(lián)表，再根據(jù)表中數(shù)據(jù)求出，從而比較與值查表得出答案；
（2）根據(jù)已知結(jié)合離散型隨機分布的分布列與數(shù)學(xué)期望求法得出答案.
【詳解】（1）根據(jù)已知完成列聯(lián)表如下，

男
女
總計
了解
80
40
120
不了解
120
160
280
總計
200
200
400
則，
則，則有99.9%的把握認為上海地區(qū)大學(xué)生對進口博覽會展區(qū)設(shè)置的了解情況與性別有關(guān)；
（2）根據(jù)題意，的可能取值為1,2,3，
，
，
，
則的分布列為：

1
2
3




則.
21．在一張紙片上，畫有一個半徑為4的圓（圓心為M）和一個定點N，且，若在圓上任取一點A，將紙片折疊使得A與N重合，得到折痕BC，直線BC與直線AM交于點P．

(1)若以MN所在直線為軸，MN的垂直平分線為x軸，建立如圖所示的平面直角坐標系，求點P的軌跡方程；
(2)在（1）中點P的軌跡上任取一點D，以D點為切點作點P的軌跡的切線，分別交直線，于S，T兩點，求證：的面積為定值，并求出該定值；
(3)在（1）基礎(chǔ)上，在直線，上分別取點G，Q，當G，Q分別位于第一、二象限時，若，，求面積的取值范圍．
【答案】(1)
(2)證明見解析，定值為2
(3)

【分析】（1）結(jié)合幾何關(guān)系將所求問題轉(zhuǎn)化為求的定值問題即可求解曲線方程；
（2）先由斜率為0求出，當斜率不為0時，設(shè)直線方程為，聯(lián)立直線與雙曲線方程，由得，再由切割法得
，求出點，聯(lián)立直線與漸近線方程求出，代入面積公式化簡即可；
（3）設(shè)，，，由代換出點坐標，將代入雙曲線方程化簡得，再結(jié)合坐標面積公式進一步化簡得關(guān)于的對勾函數(shù)，由對勾函數(shù)性質(zhì)可求面積的取值范圍．
【詳解】（1）過點N作圓M的切線，切點分別為E，F(xiàn)．

由題意知，BC是線段AN的垂直平分線，
因為直線BC與直線AM交于點P，所以，
當點A在劣弧EF上時，點P在射線MA上，所以；
當點A在優(yōu)弧EF上時，點P在射線AM上，所以．
所以，
所以點P的軌跡是以M，N為焦點的雙曲線．
設(shè)該雙曲線的標準方程為，
則，，
所以a＝2，，，
所以點P的軌跡方程為；
（2）雙曲線的漸近線為．由題意知直線l的斜率存在，設(shè)
當直線l的斜率為0時，易知是以ST為底邊的等腰三角形，
,，則，此時．
當直線l的斜率不為0時，設(shè)直線l的方程為，
聯(lián)立消去x得，
．①
設(shè)直線l與y軸交于點H，則，
則．
（直接求的面積不易求得，將進行拆分）
聯(lián)立，
聯(lián)立．
則（定值）．
綜上所述，的面積為定值2；

（3）由題可設(shè)，，，，．
因為，所以
將點的坐標代入雙曲線方程有，化簡得．
故．
（三角形面積公式）
因為，所以由對勾函數(shù)性質(zhì)得，
故．
22．設(shè)函數(shù)的導(dǎo)函數(shù)為.若不等式對任意實數(shù)x恒成立，則稱函數(shù)是“超導(dǎo)函數(shù)”.
（1）請舉一個“超導(dǎo)函數(shù)” 的例子，并加以證明；
（2）若函數(shù)與都是“超導(dǎo)函數(shù)”，且其中一個在R上單調(diào)遞增，另一個在R上單調(diào)遞減，求證：函數(shù)是“超導(dǎo)函數(shù)”；
（3）若函數(shù)是“超導(dǎo)函數(shù)”且方程無實根，（e為自然對數(shù)的底數(shù)），判斷方程的實數(shù)根的個數(shù)并說明理由.
【答案】(1)見解析.
(2)見解析.
(3)見解析.
【詳解】分析：（1）根據(jù)定義舉任何常數(shù)都可以；（2）∵，∴，即證-在R上成立即可；（3）構(gòu)造函數(shù)，因為是“超導(dǎo)函數(shù)”， ∴對任意實數(shù)恒成立，而方程無實根，故恒成立，所以在上單調(diào)遞減， 故方程等價于，即，
設(shè) ，分析函數(shù)單調(diào)性結(jié)合零點定理即可得出結(jié)論.
詳解：
（1）舉例：函數(shù)是“超導(dǎo)函數(shù)”，
因為，，滿足對任意實數(shù)恒成立，故是“超導(dǎo)函數(shù)”.
注：答案不唯一，必須有證明過程才能給分，無證明過程的不給分.
（2）∵，∴，
∴
???
因為函數(shù)與都是“超導(dǎo)函數(shù)”，所以不等式與對任意實數(shù)都恒成立，故，，①?????
而與一個在上單調(diào)遞增，另一個在上單調(diào)遞減，故，②
由①②得對任意實數(shù)都恒成立，所以函數(shù)是“超導(dǎo)函數(shù)”.
（3）∵，所以方程可化為，
設(shè)函數(shù)，，則原方程即為，③???
因為是“超導(dǎo)函數(shù)”， ∴對任意實數(shù)恒成立，
而方程無實根，故恒成立，所以在上單調(diào)遞減，
故方程③等價于，即，??????????????????
設(shè) ，，則在上恒成立，
故在上單調(diào)遞增，
而，，且函數(shù)的圖象在上連續(xù)不斷，
故 在上有且僅有一個零點，從而原方程有且僅有唯一實數(shù)根.
點睛：考查函數(shù)的新定義，首先要讀懂新定義，將新定義的知識與所學(xué)導(dǎo)函數(shù)的知識相聯(lián)系是解題關(guān)鍵，本題的難點在于能否將新定義的語言轉(zhuǎn)化為自己所熟悉的函數(shù)語言進行等價研究問題是解題關(guān)鍵，屬于壓軸題.


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