2023屆山東省菏澤市高三下學期一模聯(lián)考數(shù)學試題 一、單選題1．已知集合，則（    ）A． B．C．或 D．或【答案】D【分析】根據(jù)不等式的解法，求得，結合補集的運算，即可求解.【詳解】由不等式，解得，即，根據(jù)補集的概念及運算，可得或.故選：D.2．設i是虛數(shù)單位，復數(shù)，則（    ）A． B． C． D．【答案】B【分析】先化簡復數(shù)，再根據(jù)共軛復數(shù)概念得結果.【詳解】故選：B【點睛】本題考查共軛復數(shù)概念，考查基本分析求解能力，屬基礎題.3．2020年12月17日凌晨1時59分，嫦娥五號返回器攜帶月球樣品成功著陸，這是我國首次實現(xiàn)了地外天體采樣返回，標志著中國航天向前又邁出了一大步．月球距離地球約38萬千米，有人說：在理想狀態(tài)下，若將一張厚度約為0.1毫米的紙對折次其厚度就可以超過到達月球的距離，那么至少對折的次數(shù)是（    ）（，）A．40 B．41 C．42 D．43【答案】C【解析】設對折次時，紙的厚度為，則是以為首項，公比為的等比數(shù)列，求出的通項，解不等式即可求解【詳解】設對折次時，紙的厚度為，每次對折厚度變?yōu)樵瓉淼?/span>倍，由題意知是以為首項，公比為的等比數(shù)列，所以，令，即，所以，即，解得：，所以至少對折的次數(shù)是，故選：C【點睛】關鍵點點睛：本題解題的關鍵是根據(jù)題意抽象出等比數(shù)列的模型，求出數(shù)列的通項，轉(zhuǎn)化為解不等式即可.4．如圖，八面體的每一個面都是正三角形，并且四個頂點在同一平面內(nèi)，下列結論：①平面；②平面平面；③；④平面平面，正確命題的個數(shù)為（    ）A．1 B．2 C．3 D．4【答案】D【分析】根據(jù)題意，以正八面體的中心為原點，分別為軸，建立如圖所示空間直角坐標系，由空間向量的坐標運算以及法向量，對選項逐一判斷，即可得到結果.【詳解】以正八面體的中心為原點，分別為軸，建立如圖所示空間直角坐標系，設正八面體的邊長為,則所以，,設面的法向量為，則，解得，取，即又，所以，面，即面，①正確；因為，所以，又，面，面，則面，由，平面，所以平面平面，②正確；因為，則，所以，③正確；易知平面的一個法向量為，平面的一個法向量為，因為，所以平面平面，④正確；故選：D5．過拋物線焦點作傾斜角為的直線交拋物線于，則（    ）A． B． C．1 D．16【答案】A【分析】點斜式設出直線l的方程，代入拋物線方程，根據(jù)拋物線的定義，利用韋達定理來求解.【詳解】化為標準形式由此知；設直線l的方程為：， ，，根據(jù)拋物線定義知；將，代入，可得，由此代入.故選：A6．為了迎接“第32屆菏澤國際牡丹文化旅游節(jié)”，某宣傳團體的六名工作人員需要制作宣傳海報，每人承擔一項工作，現(xiàn)需要一名總負責，兩名美工，三名文案，但甲，乙不參與美工，丙不能書寫文案，則不同的分工方法種數(shù)為（    ）A．9種 B．11種 C．15種 D．30種【答案】C【分析】利用分類加法計數(shù)原理進行分析，考慮丙是否是美工，由此展開分析并計算出不同的分工方法種數(shù).【詳解】解：若丙是美工，則需要從甲、乙、丙之外的三人中再選一名美工，然后從剩余四人中選三名文案，剩余一人是總負責人，共有種分工方法；若丙不是美工，則丙一定是總負責人，此時需從甲、乙、丙之外的三人中選兩名美工，剩余三人是文案，共有種分工方法；綜上，共有種分工方法，故選：C．7．設實數(shù)滿足，，，則的最小值為（    ）A． B． C． D．【答案】A【分析】分為與，去掉絕對值后，根據(jù)“1”的代換，化簡后分別根據(jù)基本不等式，即可求解得出答案.【詳解】當時，，當且僅當，即，時等號成立，此時有最小值；當時，.當且僅當，即，時等號成立，此時有最小值.所以，的最小值為.故選：A.8．定義在實數(shù)集上的函數(shù)，如果，使得，則稱為函數(shù)的不動點.給定函數(shù)，，已知函數(shù)，，在上均存在唯一不動點，分別記為，則（    ）A． B． C． D．【答案】C【分析】由已知可得，則，.然后證明在上恒成立.令，根據(jù)復合函數(shù)的單調(diào)性可知在上單調(diào)遞減，即可得出.令，根據(jù)導函數(shù)可得在上單調(diào)遞減，即可推得.【詳解】由已知可得，，則，且，所以.又，.令，，則恒成立，所以，在上單調(diào)遞增，所以，所以.所以，，即.令，，因為函數(shù)在上單調(diào)遞增，在上單調(diào)遞減，且，根據(jù)復合函數(shù)的單調(diào)性可知，函數(shù)在上單調(diào)遞減，所以在上單調(diào)遞減.又，，所以.因為在上單調(diào)遞減，，所以.又，所以，即.令，，則恒成立，所以，在上單調(diào)遞減.又，，所以.綜上可得，.故選：C.【點睛】關鍵點點睛：證明在上恒成立.然后即可采用放縮法構造函數(shù)，進而根據(jù)函數(shù)的單調(diào)性得出大小關系. 二、多選題9．為了解學生的身體狀況，某校隨機抽取了100名學生測量體重，經(jīng)統(tǒng)計，這些學生的體重數(shù)據(jù)（單位：千克）全部介于45至70之間，將數(shù)據(jù)整理得到如圖所示的頻率分布直方圖，則（    ）A．頻率分布直方圖中的值為0.04B．這100名學生中體重不低于60千克的人數(shù)為20C．這100名學生體重的眾數(shù)約為52.5D．據(jù)此可以估計該校學生體重的75%分位數(shù)約為61.25【答案】ACD【分析】利用頻率之和為1可判斷選項A，利用頻率與頻數(shù)的關系即可判斷選項B，利用頻率分布直方圖中眾數(shù)的計算方法求解眾數(shù)，即可判斷選項C，由百分位數(shù)的計算方法求解，即可判斷選項D．【詳解】解：由，解得，故選項A正確；體重不低于60千克的頻率為，所以這100名學生中體重不低于60千克的人數(shù)為人，故選項B錯誤；100名學生體重的眾數(shù)約為，故選項C正確；因為體重不低于60千克的頻率為0.3，而體重在，的頻率為，所以計該校學生體重的分位數(shù)約為，故選項D正確．故選：ACD．10．已知圓，下列說法正確有（    ）A．對于，直線與圓都有兩個公共點B．圓與動圓有四條公切線的充要條件是C．過直線上任意一點作圓的兩條切線（為切點），則四邊形的面積的最小值為4D．圓上存在三點到直線距離均為1【答案】BC【分析】對于選項A，轉(zhuǎn)化為判斷直線恒過的定點與圓的位置關系即可；對于選項B，轉(zhuǎn)化為兩圓外離，運用幾何法求解即可；對于選項C，由，轉(zhuǎn)化為求最小值即可；對于選項D，設圓心到直線的距離為d，比較與1的關系即可.【詳解】對于選項A，因為，即：，所以，所以直線恒過定點，又因為，所以定點在圓O外，所以直線與圓O可能相交、相切、相離，即交點個數(shù)可能為0個、1個、2個.故選項A錯誤；對于選項B，因為圓O與動圓C有4條公切線，所以圓O與圓C相離，又因為圓O的圓心，半徑，圓C的圓心，半徑，所以，即：，解得：.故選項B正確；對于選項C，，又因為O到P的距離的最小值為O到直線的距離，即：，所以四邊形PAOB的面積的最小值為.故選項C正確；對于選項D，因為圓O的圓心，半徑，則圓心O到直線的距離為，所以，所以圓O上存在兩點到直線的距離為1.故選項D錯誤.故選：BC.11．已知函數(shù)，下列命題正確的有（    ）A．在區(qū)間上有3個零點B．要得到的圖象，可將函數(shù)圖象上的所有點向右平移個單位長度C．的周期為，最大值為1D．的值域為【答案】BC【分析】，根據(jù)的范圍得出的零點，即可判斷A項；根據(jù)已知得出平移后的函數(shù)解析式，即可判斷B項；由已知化簡可得，即可判斷C項；由已知可得，，換元根據(jù)導函數(shù)求解在上的值域，即可判斷D項.【詳解】對于A項，由已知可得，.因為，所以，當或時，即或時，有，所以在區(qū)間上有2個零點，故A項錯誤；對于B項，將函數(shù)圖象上的所有點向右平移個單位長度得到函數(shù)，故B項正確；對于C項，由已知可得，，所以，的周期，最大值為，故C項正確；對于D項，.令，，，則.解，可得.解，可得，所以在上單調(diào)遞增；解，可得或，所以在上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞減.且，，，.所以，當時，有最小值；當時，有最大值.所以，的值域為，故D項錯誤.故選：BC.【點睛】思路點睛：求出.令，，.然后借助導函數(shù)求出在上的最值，即可得出函數(shù)的值域.12．已知雙曲線的左?右焦點分別為、，過點的直線與雙曲線的左?右兩支分別交于、兩點，下列命題正確的有（    ）A．當點為線段的中點時，直線的斜率為B．若，則C．D．若直線的斜率為，且，則【答案】BCD【分析】對于A選項，設，代入雙曲線，用點差法即可判斷；對于B選項，設，表示出和，得出，再結合即可得出結論；對于C選項，設，其中，由雙曲線方程，得出，利用兩點之間距離公式，分別表示出和，通過做差即可得出結論；對于D選項，根據(jù)雙曲線的定義，得出，再證出點與點關于直線對稱，則，即可得出結論．【詳解】選項A：設，代入雙曲線得，，兩式相減得，，∵點為線段的中點，∴，，即，，∴，，故A錯誤；選項B：設，，，，，又 ，，故B正確；選項C：設，其中，則，即，，，，，，，故C正確；選項D：，，，，，∵直線的斜率為即，且過點，∴直線的方程為：， 又∵，， ，即，又∵點到直線的距離：，點到直線的距離：，即，∴點與點關于直線對稱，，，故D正確；故選：BCD．【點睛】結論點睛：本題涉及到雙曲線中的有關結論：（1）若點是雙曲線上一條弦的中點，則直線的斜率；（2）若雙曲線上有兩點、，且位于不同兩支，則． 三、填空題13．已知夾角為的非零向量滿足，，則__________.【答案】2【分析】由得，化簡代入結合數(shù)量積的定義即可得出答案.【詳解】因為的夾角為，且，而，則，所以，則，解得：.故答案為：2.14．定義在上的函數(shù)，滿足為偶函數(shù)，為奇函數(shù)，若，則__________.【答案】1【分析】根據(jù)為偶函數(shù)、為奇函數(shù)的性質(zhì)，利用賦值法可得答案.【詳解】若為偶函數(shù)，為奇函數(shù)，則，，令，則，即，令，則，即，又因為，所以.故答案為：1.15．設均為非零實數(shù)，且滿足，則__________.【答案】1【分析】先將原式化簡得到，再令，即可得到，從而求得結果.【詳解】由題意可得，，令，則，即，所以，即故故答案為:16．正三棱錐的高為為中點，過作與棱平行的平面，將三棱錐分為上下兩部分，設上?下兩部分的體積分別為，則__________.【答案】【分析】根據(jù)題意，做出截面，然后利用向量的線性表示及共線定理推論可得，進而可得，從而可得的值.【詳解】連接并延長交于，連接，則為的中點，延長交于，過作分別交于，連接，因為，平面，平面，所以平面，又平面，故平面即為過作與棱平行的平面，由題可知，，即，設，則，又為中點，所以，所以，所以，即，，，所以.故答案為：. 四、解答題17．如圖,在平面四邊形中,,.(1)試用表示的長;(2)求的最大值.【答案】(1)(2) 【分析】(1)根據(jù)已知條件將用表示,再在中利用余弦定理求解即可;(2)在中先用余弦定理將用表示,再結合(1)的結論,利用二次函數(shù)的性質(zhì)求解最大值即可.【詳解】（1）（）,,,，則在中,,,則.（2）在中,,則當時,取到最大值.故的最大值是18．為了促進學生德?智?體?美?勞全面發(fā)展，某校成立了生物科技小組，在同一塊試驗田內(nèi)交替種植A?B?C三種農(nóng)作物（該試驗田每次只能種植一種農(nóng)作物），為了保持土壤肥度，每種農(nóng)作物都不連續(xù)種植，共種植三次.在每次種植后會有的可能性種植的可能性種植；在每次種植的前提下再種植的概率為，種植的概率為，在每次種植的前提下再種植的概率為，種植的概率為.(1)在第一次種植的前提下，求第三次種植的概率；(2)在第一次種植的前提下，求種植作物次數(shù)的分布列及期望.【答案】(1)(2)分布列見解析， 【分析】（1）設，，表示第次種植作物，，的事件，其中，2，3，由全概率公式可得，代入即可得出答案.（2）求出的可能取值及每個變量對應的概率，即可求出的分布列，再由期望公式求出的期望.【詳解】（1）設，，表示第次種植作物，，的事件，其中，2，3.在第一次種植的情況下，第三次種植的概率為：；（2）由已知條件，在第1次種植的前提下：，，，，，，因為第一次必種植，則隨機變量的可能取值為1，2，-，，所以的分布列為：12 .19．如圖，直四棱柱中，，與交于為棱上一點，且，點到平面的距離為.(1)判斷是否在平面內(nèi)，并說明理由；(2)求平面與平面所成角的余弦值.【答案】(1)直線不在平面內(nèi)，理由見解析(2) 【分析】（1）以為坐標原點，過作與垂直的直線為軸，所在的直線分別為軸，軸，建立如圖所示的空間直角坐標系，由到平面的距離公式求出直四棱錐的高，求出平面的一個法向量，由可證明直線不在平面內(nèi).（2）求出平面的一個法向量，由二面角的向量公式代入即可得出答案.【詳解】（1）以為坐標原點，過作與垂直的直線為軸，所在的直線分別為軸，軸，建立如圖所示的空間直角坐標系，設直四棱錐的高為，則，，，，，設平面的一個法向量為，則即取.-所以點到平面的距離為，令解得.設平面的一個法向量為，由，，則即，取，而，所以，又與，共面，故直線不在平面內(nèi).（2）依（1）知平面的一個法向量為，易知平面的一個法向量為，設二面角的平面角為，則，故二面角的余弦值.20．已知首項不為0的等差數(shù)列，公差（為給定常數(shù)），為數(shù)列前項和，且為所有可能取值由小到大組成的數(shù)列.(1)求；(2)設為數(shù)列的前項和，證明：.【答案】(1)(2)證明見解析 【分析】（1）根據(jù)題意，由等差數(shù)列的通項公式與求和公式得到關于的方程，即可得到結果；（2）根據(jù)題意，得到數(shù)列的通項公式，再由裂項相消法即可得到其前項和.【詳解】（1）由題意得，，得①由，得②由①②，可得且，則，由，當在范圍內(nèi)取值時的所有取值為：所以.（2）所以由于是遞減的，所以21．已知函數(shù).(1)若函數(shù)在R上單調(diào)遞增，求的取值范圍；(2)若，且有兩個零點，證明：.【答案】(1)(2)證明見解析 【分析】（1）由函數(shù)單調(diào)遞增，得到導函數(shù)大于等于0恒成立，參變分離得到，求出的單調(diào)性和極值，最值情況，得到答案；（2）轉(zhuǎn)化為為方程的兩根，由得到，記（），得到其單調(diào)性，求出在和過處的切線方程分別為和，作差法得到，，記與和的交點橫坐標分別為，求出，，利用放縮法求出答案.【詳解】（1）函數(shù)在R上單調(diào)遞增，因此，即，記，則，令得：，令得：，故在上單調(diào)遞增，在單調(diào)遞減，所以在處取得極大值，也是最大值，，因此；（2）不妨設，由，，即為方程的兩根，由，故，解得：，所以，記（），則，令得，當時，，當時，，在上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增，在處的切線方程為，記（），則單調(diào)遞減，則，其中在上單調(diào)遞增，且，即，設在的切線方程過點，則在的切線斜率為，所以，解得：，取，則在的切線方程過點，且斜率為，切線方程為，即，記（），則單調(diào)遞增；又，其中令，，故，令得：，令得：，當時，單調(diào)遞減，當時，單調(diào)遞增，故，故，記與和的交點橫坐標分別為，則，故，由，單調(diào)遞減，所以，，故，由，單調(diào)遞增，所以，由于，所以.【點睛】方法點睛：分離參數(shù)法基本步驟為：第一步：首先對待含參的不等式問題在能夠判斷出參數(shù)的系數(shù)正負的情況下，可以根據(jù)不等式的性質(zhì)將參數(shù)分離出來，得到一個一端是參數(shù)，另一端是變量表達式的不等式，第二步：先求出含變量一邊的式子的最值，通常使用導函數(shù)或基本不等式進行求解.第三步：由此推出參數(shù)的取值范圍即可得到結論.22．如圖，橢圓的焦點分別為為橢圓上一點，的面積最大值為.(1)求橢圓的方程；(2)若分別為橢圓的上?下頂點，不垂直坐標軸的直線交橢圓于（在上方，在下方，且均不與點重合）兩點，直線的斜率分別為，且，求面積的最大值.【答案】(1)(2) 【分析】（1）根據(jù)條件，得到關于的方程，即可得到結果；（2）根據(jù)題意設直線的方程為，聯(lián)立直線與橢圓方程，結合韋達定理，再由列出方程，代入計算，即可得到結果.【詳解】（1），，，故橢圓的方程為；（2）依題意設直線的方程為，，聯(lián)立方程組，消元得：，，，由得：，兩邊同除，，即；將代入上式得：整理得：所以或（舍），當時等號成立，滿足條件，所以面積的最大值為. 

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