2022-2023學(xué)年江蘇省常州市教育學(xué)會(huì)高一下學(xué)期期中數(shù)學(xué)試題 一、單選題1．的值為（    ）A． B． C． D．【答案】C【分析】利用誘導(dǎo)公式化簡(jiǎn)可得出所求代數(shù)式的值.【詳解】.故選：C.2．半徑為，面積為的扇形的圓心角為（    ）A． B． C． D．【答案】A【分析】設(shè)扇形的圓心角為，代入扇形的面積公式即可求解.【詳解】設(shè)扇形的圓心角為，由題意可知，，即，解得，所以半徑為，面積為的扇形的圓心角為，故選：A.3．在中，若，則邊的長(zhǎng)為（    ）A． B． C． D．【答案】B【分析】利用正弦定理即可.【詳解】因?yàn)?/span>，所以由正弦定理得：，故選：B.4．若復(fù)數(shù)z滿足，其中i為虛數(shù)單位，則z的實(shí)部為（    ）A． B． C． D．【答案】D【分析】根據(jù)復(fù)數(shù)的運(yùn)算法則，化簡(jiǎn)復(fù)數(shù)為，結(jié)合復(fù)數(shù)的概念，即可求解.【詳解】由復(fù)數(shù)滿足，可得，所以復(fù)數(shù)的實(shí)部為.故選：D.5．已知向量，滿足，則在上的投影向量為（    ）A． B． C． D．【答案】A【分析】先求出向量，夾角的余弦值，然后利用求解投影向量的方法求解即可.【詳解】設(shè)向量，的夾角為，因?yàn)?/span>，所以，所以，所以在上的投影向量為：，故選：A.6．已知非零向量與向量共線，則的值為（    ）A． B． C． D．【答案】D【分析】根據(jù)向量共線的知識(shí)列方程，化簡(jiǎn)求得，進(jìn)而求得的值.【詳解】由于非零向量與向量共線，所以，即，由于不同時(shí)為零，所以，所以，所以.故選：D7．已知的內(nèi)角A，B，C的對(duì)邊分別為a，b，c，的面積為，，，則（    ）A．4 B． C．8 D．【答案】B【分析】由已知利用三角形面積公式可求，結(jié)合利用余弦定理求出邊.【詳解】解：，的面積為，∴，又，由余弦定理，，可得： .故選：B8．已知下列關(guān)于函數(shù)的四個(gè)命題中，有且僅有一個(gè)假命題，則該命題是（    ）甲：該函數(shù)圖象的一個(gè)對(duì)稱中心為乙：該函數(shù)圖象的一條對(duì)稱軸方程為丙：該函數(shù)在區(qū)間上單調(diào)遞減?。涸摵瘮?shù)圖象向左平移個(gè)單位長(zhǎng)度得到一個(gè)奇函數(shù)的圖象A．甲 B．乙 C．丙 D．丁【答案】B【分析】先判斷甲乙不能同時(shí)正確，再根據(jù)丙丁同時(shí)正確得到且為偶數(shù)，故可判斷甲乙錯(cuò)誤與否.【詳解】若甲乙都正確，則且，但，故矛盾，所以甲乙中有一個(gè)是錯(cuò)誤的，故丙丁都正確，因?yàn)?/span>的圖象向左平移個(gè)單位長(zhǎng)度后對(duì)應(yīng)的解析式為：，又平移后的圖象對(duì)應(yīng)的函數(shù)為奇函數(shù)，故，故，若為偶數(shù)，則，當(dāng)時(shí)，，因?yàn)?/span>在為減函數(shù)，故在為減函數(shù)，符合，若為奇數(shù)，則，當(dāng)時(shí)，，因?yàn)?/span>在為減函數(shù)，故在為增函數(shù)，不符合，綜上，.而，故函數(shù)圖象的對(duì)稱中心為，甲正確，又，故不是該函數(shù)圖象的一條對(duì)稱軸方程，乙錯(cuò)誤.故選：B 二、多選題9．已知向量的夾角為，，則在下列向量中，與向量的夾角為銳角的向量有（    ）A． B． C． D．【答案】BC【分析】根據(jù)夾角為銳角可得不可能平行，因此只要計(jì)算出數(shù)量積為正即可.【詳解】由已知各選項(xiàng)中向量與向量不平行，，，，，，只有BC選項(xiàng)符合題意．故選：BC．10．已知復(fù)數(shù)，其中i為虛數(shù)單位，則下列結(jié)論正確的有（    ）A．復(fù)數(shù)z的共軛復(fù)數(shù)的模為1 B．復(fù)數(shù)z在復(fù)平面內(nèi)對(duì)應(yīng)的點(diǎn)在第四象限C．復(fù)數(shù)z是方程的解 D．復(fù)數(shù)滿足，則的最大值為2【答案】ABD【分析】利用復(fù)數(shù)的運(yùn)算法則求出，再逐一對(duì)各個(gè)選項(xiàng)分析判斷即可求出結(jié)果.【詳解】因?yàn)?/span>，所以，對(duì)于選項(xiàng)A，因?yàn)?/span>，所，故選項(xiàng)A正確；對(duì)于選項(xiàng)B，因?yàn)閺?fù)數(shù)z在復(fù)平面內(nèi)對(duì)應(yīng)的點(diǎn)為，故選項(xiàng)B正確；對(duì)于選項(xiàng)C，，所以，故選項(xiàng)C錯(cuò)誤；對(duì)于選項(xiàng)D，設(shè)，則由，得到，又，由幾何意義知，可看成圓上的動(dòng)點(diǎn)到原點(diǎn)的距離，所以的最大值為，故選項(xiàng)D正確.故選：ABD.11．設(shè)函數(shù)，若函數(shù)為偶函數(shù)，則的值可以是（    ）A． B． C． D．【答案】BCD【分析】根據(jù)三角函數(shù)變換結(jié)合條件可得，進(jìn)而，即得.【詳解】因?yàn)?/span>，所以，又函數(shù)為偶函數(shù)，所以，即，所以當(dāng)時(shí)的值可以是，，.故選：BCD.12．已知的內(nèi)角A，B，C的對(duì)邊分別為a，b，c，則下列結(jié)論正確的有（    ）A．若，則為等腰三角形B．若，則為等腰三角形C．若，則為等腰直角三角形D．若，則為直角三角形【答案】ACD【分析】根據(jù)正弦定理，三角函數(shù)恒等變換的應(yīng)用，逐一判斷各個(gè)選項(xiàng)即可.【詳解】對(duì)于A，，由正弦定理可得，則，即，所以，則為等腰三角形，A選項(xiàng)正確；對(duì)于B，，由正弦定理可得，即，所以，則或，即或，所以為等腰三角形或直角三角形，B選項(xiàng)錯(cuò)誤；對(duì)于C，，由正弦定理可得，則，所以，所以為等腰直角三角形，C選項(xiàng)正確；對(duì)于D，，由射影定理，則，則為直角三角形，D選項(xiàng)正確；故選：ACD. 三、填空題13．已知，則=___________【答案】【分析】先求出的值，再利用兩角和的正切得到的值【詳解】，故，填.【點(diǎn)睛】本題考查二倍角的正切公式和兩角和的正切公式，屬于容易題.14．在正六邊形中，若，則________．【答案】【分析】根據(jù)給定條件，利用數(shù)量積求出正六邊形的邊長(zhǎng)，再利用數(shù)量積運(yùn)算律求解作答.【詳解】在正六邊形中，，由，得，解得，顯然，所以.故答案為：15．在中，點(diǎn)D在邊上，，則的長(zhǎng)為________．【答案】【分析】在中，由正弦定理求得，再在在中，由余弦定理，即可求解的長(zhǎng).【詳解】如圖所示，在中，由正弦定理得，即，因?yàn)?/span>，可得，且，在中，由余弦定理得：，所以.故答案為：. 四、雙空題16．質(zhì)點(diǎn)P和Q在以坐標(biāo)原點(diǎn)O為圓心，半徑為1的圓O上逆時(shí)針作勻速圓周運(yùn)動(dòng)，同時(shí)出發(fā)．P的角速度大小為，起點(diǎn)為圓O與x軸正半軸的交點(diǎn)；Q的角速度大小為，起點(diǎn)為射線與圓O的交點(diǎn)．當(dāng)P與Q第二次重合時(shí)，P的坐標(biāo)為________；當(dāng)P與Q第三次重合時(shí)，點(diǎn)P相對(duì)于其起點(diǎn)的位移的大小是________【答案】          （或?qū)懽?/span>）【分析】由題意解出重合時(shí)刻t的值，進(jìn)而可得P點(diǎn)位置，可求坐標(biāo).【詳解】設(shè)時(shí)P與Q第二次重合，則有，解得，此時(shí)點(diǎn)P是單位圓與角終邊的交點(diǎn)，所以P的坐標(biāo)為；設(shè)時(shí)P與Q第二次重合，則有，解得，此時(shí)點(diǎn)P是單位圓與角終邊的交點(diǎn)，所以P的坐標(biāo)為，由起點(diǎn)坐標(biāo)為，則點(diǎn)P相對(duì)于其起點(diǎn)的位移的大小為.故答案為：；.【點(diǎn)睛】思路點(diǎn)睛：由點(diǎn)P和Q的位置和旋轉(zhuǎn)方向可知，時(shí)P與Q重合，由，由的值，可確定P點(diǎn)位置，求出坐標(biāo) 五、解答題17．已知為第二象限角，且滿足．求值：(1)；(2)．【答案】(1)3(2) 【分析】（1）為第二象限角，由和，解出與，代入求值即可；（2）利用兩角和的余弦公式展開求值即可．【詳解】（1）若為第二象限角，則．又因?yàn)?/span>，故．．（也可以由得，．）（2）.18．已知函數(shù)的最大值為．(1)求的最小正周期；(2)求使成立的自變量x的集合．【答案】(1)(2) 【分析】（1）用倍角公式和輔助角公式化簡(jiǎn)函數(shù)解析式，由周期公式求函數(shù)最小正周期，由函數(shù)最大值求出的值.（2）根據(jù)函數(shù)解析式，利用整體代入法解不等式.【詳解】（1）因?yàn)?/span>．根據(jù)題意，，解得．故．所以函數(shù)的最小正周期．（2）由，即．則，解得，其中．故使成立時(shí)x的集合．19．已知函數(shù)（其中，，）的部分圖象如圖所示．將函數(shù)的圖象向右平移個(gè)單位長(zhǎng)度，得到函數(shù)的圖象．(1)求與的解析式；(2)令，求方程在區(qū)間內(nèi)的所有實(shí)數(shù)解的和．【答案】(1)，(2) 【分析】（1）利用圖象求出函數(shù)的解析式，再利用三角函數(shù)圖象變換可得出函數(shù)的解析式；（2）利用兩角和與差的正弦公式函數(shù)的解析式，然后在時(shí)解方程，將相應(yīng)的根全部相加可得結(jié)果.【詳解】（1）解：由圖可知，函數(shù)的最小正周期為，則，因?yàn)?/span>，可得，因?yàn)?/span>，則，所以，，可得，所以，的解析式為．由題可知，．（2）解：因?yàn)?/span>，由可得，故或，解得或．又，故．故所求的實(shí)數(shù)解的和為．20．已知復(fù)數(shù)，其中i為虛數(shù)單位，．(1)若是實(shí)數(shù)，求的值；(2)設(shè)復(fù)數(shù)，對(duì)應(yīng)的向量分別是，，若，求的值．【答案】(1)(2) 【分析】（1）根據(jù)復(fù)數(shù)乘法計(jì)算后應(yīng)用實(shí)數(shù)概念列式求解即可；（2）根據(jù)向量垂直數(shù)量積為0，再用已知角表示未知角，結(jié)合應(yīng)用兩角和正弦公式計(jì)算可得.【詳解】（1）．因?yàn)?/span>為實(shí)數(shù)，所以，即，又，故，則，故；（2）復(fù)數(shù)，對(duì)應(yīng)的向量分別為．因?yàn)?/span>，所以．故，故，即，又因?yàn)?/span>，所以，則．．21．已知的內(nèi)角A，B，C的對(duì)邊分別為a，b，c，且滿足下列條件中的一個(gè)或多個(gè)：①；②；③；④．(1)若滿足條件①，求證：滿足條件②；(2)求證：同時(shí)滿足條件②，③，④的是唯一的（其三邊長(zhǎng)唯一確定）．【答案】(1)證明見解析(2)證明見解析 【分析】（1）利用正弦定理和三角形內(nèi)角和定理得到，然后利用三角形內(nèi)角的取值即可得證；（2）（方法1）利用正弦定理和余弦定理得到或，然后分情況利用余弦定理討論即可得證；（方法2）根據(jù)邊長(zhǎng)的關(guān)系，可設(shè)，其中，再根據(jù)角的關(guān)系和余弦定理即可證明；（方法3）利用三角形內(nèi)角和定理和兩角和與差的正弦公式先證明條件①與②等價(jià)，再利用余弦定理證明同時(shí)滿足①，③，④的是唯一的即可.【詳解】（1）由條件①，，根據(jù)正弦定理得，因?yàn)?/span>，所以，所以．因?yàn)?/span>，所以，所以，或．即或（舍去），故．即滿足條件②．（2）（方法1）若同時(shí)滿足條件②，③，④，由及正弦定理得．因?yàn)?/span>，所以，又，所以．根據(jù)余弦定理得，．又因?yàn)?/span>，所以，即，解得或．當(dāng)時(shí)，，由余弦定理，，而，故．又A為銳角，故，又，注意到函數(shù)在上單調(diào)遞減，．此時(shí)，同時(shí)滿足條件②，③，④；當(dāng)時(shí)，，由余弦定理，，而，故，故．此時(shí)，不滿足條件②，舍去．綜上所述，同時(shí)滿足條件②，③，④的是唯一的，其中．（方法2）若同時(shí)滿足條件②，③，④，因?yàn)?/span>，所以可設(shè)，其中．因?yàn)?/span>，所以，又因?yàn)?/span>，，所以．整理得，，．又，故，從而．當(dāng)時(shí)，，滿足．又A為銳角，故，又，注意到函數(shù)在上單調(diào)遞減，．此時(shí)，同時(shí)滿足條件②，③，④：故同時(shí)滿足條件②，③，④的是唯一的，其中．（方法3）先證明條件①與②等價(jià)：根據(jù)（1）知，只需證明當(dāng)時(shí)，有．證明如下：因?yàn)?/span>，所以，所以，所以，所以，又，所以，根據(jù)正弦定理，．再證明同時(shí)滿足①，③，④的是唯一的，證明如下：由及余弦定理得，，即，又，，解得，故同時(shí)滿足條件①，③，④的是唯一的．綜合兩方面得到，同時(shí)滿足條件②，③，④的是唯一的，其中，，．22．若一個(gè)平面四邊形對(duì)邊不相交且任意三邊都在第四條邊所在直線的一側(cè)，則稱其為平面凸四邊形．容易知道，與之等價(jià)的說(shuō)法為：若一個(gè)平面四邊形對(duì)邊不相交且每個(gè)內(nèi)角都小于，則稱其為平面凸四邊形．圖①，②給出了兩個(gè)不是平面凸四邊形的例子．如圖③，在平面凸四邊形中，，設(shè)．(1)求的取值范圍；(2)試用表示對(duì)角線的長(zhǎng)，并指出取何值時(shí)的長(zhǎng)最大．【答案】(1)(2)，當(dāng)時(shí)，的長(zhǎng)最大值為． 【分析】（1）根據(jù)題意只需滿足為銳角，且即可，設(shè)，在中，利用余弦定理列出不等式，求得，結(jié)合余弦定理，即可求解的取值范圍；（2）在中，求得，在中，利用余弦定理化簡(jiǎn)得到，結(jié)合三角函數(shù)的性質(zhì)，即可求解.【詳解】（1）解：若平面四邊形為平面凸四邊形，只需滿足為銳角，且即可．在中，，故為銳角，設(shè)，在中，可得，整理得，解得．因?yàn)?/span>，所以，在中，由余弦定理得：，所以的取值范圍為.（2）解：在中，由余弦定理得，在中，由正弦定理得，，又由，在中，由余弦定理得：，故，當(dāng)，即，此時(shí)滿足，所以當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)，對(duì)角線長(zhǎng)取最大值． 

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