?常州市教育學會學業(yè)水平監(jiān)測
高二數(shù)學
注意事項：
1. 答卷前，考生務(wù)必將自己的姓名、考生號等填寫在答題卡和試卷指定位置上.
2. 回答選擇題時，選出每小題答案后，用2B鉛筆把答題卡上對應(yīng)題目的答案標號涂黑.如需改動，用橡皮擦干凈后，再選涂其他答案標號.回答非選擇題時，將答案寫在答題卡上.寫在本試卷上無效.
3. 考試結(jié)束后，將答題卡交回.
一、選擇題：本題共8小題，每小題5分，共40分.在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的.
1. 已知為復(fù)數(shù)，為的共軛復(fù)數(shù)，且，則的虛部是（ ）
A. B. C. 5 D.
【答案】D
【解析】
【分析】利用共軛復(fù)數(shù)的概念，直接求解.
【詳解】因為與互為共軛復(fù)數(shù)，所以的虛部與的虛部互為相反數(shù).

因為的虛部為，所以的虛部為.
故選：D.
2. 設(shè)a，b是兩條不同的直線，，是兩個不同的平面，則下列選項中能得出的是（ ）
A. ，， B. ，，
C. ，， D. ，，
【答案】A
【解析】
【分析】根據(jù)線線，線面，面面的位置關(guān)系，即可判斷選項.
【詳解】A.若，，，則，那么，故A正確；
B.若，，，則，故B錯誤；
C.若，，則，或，又，則與有可能垂直，平行，或既不垂直也不平行，故C錯誤；
D.若，，，則與有可能垂直，平行，或既不垂直也不平行，故D錯誤.
故選：A
3. 投擲3枚質(zhì)地均勻的正方體骰子，觀察正面向上的點數(shù)，則對于這3個點數(shù)，下列說法正確的是（ ）
A. 有且只有1個奇數(shù)的概率為
B. 事件“都是奇數(shù)”和事件“都是偶數(shù)”是對立事件
C. 在已知有奇數(shù)的條件下，至少有2個奇數(shù)的概率為
D. 事件“至少有1個是奇數(shù)”和事件“至少有1個是偶數(shù)”是互斥事件
【答案】C
【解析】
【分析】根據(jù)獨立重復(fù)事件求概率，可判斷A；根據(jù)獨立事件和互斥事件的定義，可判斷BD；根據(jù)條件概率公式，即可判斷C.
【詳解】A．每個骰子奇數(shù)點向上的概率為，則三個骰子有且只有1個奇數(shù)的概率，故A錯誤；
B．事件“都是奇數(shù)”和事件“都是偶數(shù)”不能構(gòu)成樣本空間，這兩個事件是互斥事件，不是對立事件，故B錯誤；
C．有奇數(shù)的對立事件是沒有奇數(shù)，即三個都是偶數(shù)，概率為，
所以有奇數(shù)的概率,至少有2個奇數(shù)的概率,
所以在已知有奇數(shù)的條件下，至少有2個奇數(shù)的概率，故C正確；
D．事件“至少有1個是奇數(shù)”包含事件：1個奇數(shù)，2個偶數(shù)，或2個奇數(shù)，1個偶數(shù)，或3個奇數(shù)，
事件“至少有1個是偶數(shù)”包含事件：1個偶數(shù)，2個奇數(shù)，或2個偶數(shù)，1個奇數(shù)，或3個偶數(shù)，
兩個事件有公共事件：1個奇數(shù)，2個偶數(shù)，或2個奇數(shù)，1個偶數(shù)，所以不是互斥事件，故D錯誤.
故選：C
4. 已知平面上的三點A，B，C滿足，，向量與的夾角為，且，則實數(shù)（ ）
A. 0 B. 1 C. －2 D. 2
【答案】D
【解析】
【分析】根據(jù)向量的數(shù)量積運算即可求解.
【詳解】因為，所以，
因為，，向量與的夾角為，
所以，
所以，所以.
故選：D
5. 一個不透明的盒子里裝有10個大小形狀都相同的小球，其中3個黑色、7個白色，現(xiàn)在3個人依次從中隨機地各取一個小球，前一個人取出一個小球記錄顏色后放回盒子，后一個人接著取球，則這3個人中恰有一人取到黑球的概率為（ ）
A. B. C. D.
【答案】D
【解析】
【分析】直接利用概率公式求解.
【詳解】因為是有放回地取球，所以每個人取到黑球的概率相同，
且每個人取到黑球的概率為，
所以3個人中恰有一人取到黑球的概率為：.
故選：D.
6. 已知圓錐的高為1，體積為，則過圓錐頂點作圓錐截面的面積最大值為（ ）
A B. 2 C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】首先計算圓錐的底面半徑和母線長，再根據(jù)軸截面的頂角大小，確定圓錐截面的面積的最大值.
【詳解】設(shè)圓錐的底面半徑為，高為，母線為，則，
得，，
如圖，下圖為圓錐的軸截面，等腰三角形，，則，
則等腰三角形的頂角為，

所以過圓錐頂點作圓錐截面，設(shè)頂角為，面積，
當頂角為時，面積最大，最大值為.
故選：B
7. 對一個十位數(shù)1234567890，現(xiàn)將其中3個數(shù)位上的數(shù)字進行調(diào)換，使得這3個數(shù)字都不在原來的數(shù)位上，其他數(shù)位上的數(shù)字不變，則可以得到不同的十位數(shù)（首位不為0）的個數(shù)為（ ）
A. 120 B. 232 C. 240 D. 360
【答案】B
【解析】
【分析】對選到的數(shù)字，分有0和沒有0，以及是否選到首位，結(jié)合組合數(shù)公式，即可求解.
【詳解】第一種情況，若這3個數(shù)位沒有0，則在其它9位任選3個數(shù)位，每個數(shù)位都不是原來的數(shù)位有2種方法，則有，
第二種情況，若這3個數(shù)位有個位0，和首位1，其它8位任選1個數(shù)位，每個數(shù)位都不是原來的數(shù)位有1種方法，有種方法，
第三種情況，若這3個數(shù)位有個位0，除首位之外的其它8位任選2個數(shù)位，有種方法，
則得到不同的十位數(shù)有.
故選：B
8. 正四棱錐的底面邊長為，各側(cè)棱長為2，各頂點都在同一個球面上，則過球心與底面平行的平面截得的臺體體積是（ ）
A. B. C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】設(shè)底面正方形的中心為，正四棱錐的外接球的球心為，過球心與底面平行的平面與棱錐的側(cè)面交于正方形，在中，求出外接球的半徑，再利用∽，可求出，然后利用棱臺的體積公式可求得答案.
【詳解】設(shè)底面正方形的中心為，正四棱錐的外接球的球心為，過球心與底面平行的平面與棱錐的側(cè)面交于正方形，
因為正方形的邊長為，所以，
因為，所以，
設(shè)正四棱錐的外接球的半徑為，則，
在中，，
因為， 所以，解得，
所以，
因為∽，所以，
所以，得，
因為四邊形為正方形，所以，
所以，
所以所求臺體的體積為，
故選：C

二、選擇題：本題共4小題，每小題5分，共20分.在每小題給出的選項中，有多項符合題目要求.全部選對的得5分，部分選對的得2分，有選錯的得0分.
9. 已知復(fù)數(shù)，，，則下列說法正確的有（ ）
A. B.
C. 若，則 D. 若，則
【答案】AB
【解析】
【分析】根據(jù)題意，由復(fù)數(shù)的相關(guān)定義結(jié)合復(fù)數(shù)的運算，代入計算，即可得到結(jié)果.
【詳解】設(shè)，
對于A，因為
，
則，
且
，
所以，故正確；
對于B，因為，
所以，，
所以，故正確；
對于C，因為，，
所以，，
且，所以，
所以，
因為不一定等于，所以錯誤；
對于D，若和為實數(shù)，但是和不一定為實數(shù)，故錯誤；
故選：AB
10. 下列說法正確的有（ ）
A. 在中，，則為銳角三角形
B. 已知O為的內(nèi)心，且，，則
C. 已知非零向量，滿足：，，則的最小值為
D. 已知，，且與的夾角為鈍角，則實數(shù)的取值范圍是
【答案】BD
【解析】
【分析】綜合應(yīng)用平面向量的坐標運算和數(shù)量積等知識即可解決問題.
【詳解】對于A，在中，，說明角C是銳角，不能判斷角A、B是否為銳角，故A錯誤；
對于B，不妨記，建系如圖，，
記，由的面積得，，可得，
所以，故，，，
滿足，故B正確；

對于C，記與夾角為，由，，可得，
即，又，
即，
又，
即，
，
所以，
記，則研究，，
令，則，
可得，故，當且僅當時，的最小值為，故C錯誤；
對于D，因為，，且與的夾角為鈍角，所以，且與不共線，
即
，
可得，
當與共線時，，可得，
所以的取值范圍是，故D正確.
故選：BD.
11. 某課外興趣小組在探究學習活動中，測得的10組數(shù)據(jù)如下表所示：
x
165
168
170
172
173
174
175
177
179
182
y
55
89
61
65
67
70
75
75
78
80
由最小二乘法計算得到線性回歸方程為，相關(guān)系數(shù)為；經(jīng)過觀察散點圖，分析殘差，把數(shù)據(jù)去掉后，再用剩下的9組數(shù)據(jù)計算得到線性回歸方程為，相關(guān)系數(shù)為.則（ ）
A. B. C. D. ，
【答案】BCD
【解析】
【分析】求出身高的平均值，再根據(jù)，，的意義逐一分析判斷即可.
【詳解】身高的平均數(shù)為，
因為離群點的橫坐標168小于平均值173.5，縱坐標89相對過大，
所以去掉離群點后經(jīng)驗回歸直線的截距變小而斜率變大，
所以，，故選項A錯誤，選項B正確，
去掉離群點后成對樣本數(shù)據(jù)的線性相關(guān)程度更強，擬合效果會更好，所以，
由表格可知，隨著的增大，變大，所以，，，
所以，故選項C正確，選項D正確.
故選：BCD.
12. 已知在棱長為4的正方體中，點O為正方形的中心，點P在棱上，下列說法正確的有（ ）
A.
B. 當直線AP與平面所成角的正切值為時，
C. 當時，點到平面的距離是
D. 當時，以O(shè)為球心，OP為半徑的球面與側(cè)面的交線長為
【答案】ABD
【解析】
【分析】對于選項A，證明平面即可判斷；對于選項B，連接,則就是直線AP與平面所成角，求出即可判斷；對于選項C，建立如圖所示的空間直角坐標系，利用向量法求解判斷；對于選項D，取的中點，OP為半徑的球面與側(cè)面的交線為以點E為圓心，以為半徑，圓心角為的扇形的弧長，即可判斷得解.
【詳解】對于選項A，由正方體得平面，所以, 又. 又,所以, 因為平面,
,所以平面, 所以. 所以該選項正確；

對于選項B，連接,則就直線AP與平面所成角，所以，所以該選項正確；

對于選項C, 建立如圖所示的空間直角坐標系，則,
設(shè)平面的法向量為，所以，
又.所以該選項錯誤；

對于選項D，取的中點，由題得,
則截面圓的半徑為.
由題得截面圓的圓心為點,在平面內(nèi)作，且.
以點為圓心，以為半徑作圓與棱分別交于.
所以.
所以，
以O(shè)為球心，OP為半徑的球面與側(cè)面的交線為以點E為圓心，以為半徑，圓心角為的扇形的弧長，
所以以O(shè)為球心，OP為半徑的球面與側(cè)面的交線長. 所以該選項正確.
故選：ABD

三、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分.
13. 的展開式中二項式系數(shù)最大的項的系數(shù)是______.（用數(shù)字作答）
【答案】252
【解析】
【分析】根據(jù)公式可知最大二項式系數(shù)，即可求對應(yīng)的項的系數(shù).
【詳解】因為，所以展開式中最大的二項式系數(shù)為，對應(yīng)的是第6項，第6項的系數(shù)是.
故答案為：252
14. 在平面直角坐標系中，已知，，以為旋轉(zhuǎn)中心，將線段按順時針方向旋轉(zhuǎn)，得到線段，則向量在向量上的投影向量的坐標是______.
【答案】
【解析】
【分析】依題意畫出圖形，過點作軸，交軸于點，求出點坐標，即可得到，的坐標，再根據(jù)投影向量的定義計算可得.
【詳解】如圖，因為，，所以，則，
所以，，過點作軸，交軸于點，
則，，所以，
則，，所以，
所以向量在向量上的投影向量為.

故答案為：
15. 已知平面四邊形ABCD，，，，則______.
【答案】
【解析】
【分析】建立平面直角坐標系，用點的坐標表示兩個向量的數(shù)量積，然后依據(jù)題給條件列出關(guān)系式，運用整體思想，將結(jié)果算出.
【詳解】以點為坐標原點，所在直線分別為軸建立平面直角坐標系.設(shè)

則由題意知.則.
所以.
因為,
所以,整理化簡得.
故.
故答案為：.
16. 已知在矩形中，，，P為AB的中點，將沿DP翻折，得到四棱錐，則二面角的余弦值最小是______.
【答案】
【解析】
【分析】作出輔助線，證明線面垂直，找到即為二面角的平面角，設(shè)，表達出各邊長，得到，求出，由函數(shù)單調(diào)性得到余弦值的最小值.
【詳解】矩形，連接，與相交于點，
因為，，P為AB的中點，
所以，則∽，所以，
則，故⊥，
將將沿DP翻折，則由⊥，⊥，
因為，平面，所以⊥平面，
過點作⊥于點，則⊥，
又，平面，所以⊥平面，
過點作⊥于點，連接，
因為平面，所以⊥，
因為，平面，
所以⊥平面，
因為平面，所以⊥，
故即為二面角的平面角，顯然為銳角，
在矩形中，，故，，
設(shè)，則，，
故，
因為，所以，

則，
設(shè)，，則，
所以，即，
解得，即，
因為，所以，
當時，，
因為，所以，故，時，等號成立，
因為在上單調(diào)遞減，
所以二面角的余弦值最小值為.
故答案為：
【點睛】
方法點睛：在解決平面圖形的翻折問題時，應(yīng)找出其中變化的量和沒有變化的量，包括位置關(guān)系和數(shù)量關(guān)系，通常翻折后還在同一平面上的元素之間的位置關(guān)系不發(fā)生變化，不在同一平面上的元素之間的位置關(guān)系發(fā)生變化，解題時應(yīng)抓住不變量，利用解三角形知識或建立空間直角坐標系進行求解.
四、解答題：本題共6小題，共70分.解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟.
17. 設(shè)z是虛數(shù)，在平面直角坐標系xOy中，z，，對應(yīng)的向量分別為，，.
（1）證明：O，B，C三點共線；
（2）若，求向量的坐標.
【答案】（1）證明見解析
（2）
【解析】
【分析】（1）首先設(shè)，，結(jié)合復(fù)數(shù)的運算，以及復(fù)數(shù)的幾何意義，即可證明，說明三點共線；
（2）首先利用立方差共公式，化簡為，即可計算，結(jié)合復(fù)數(shù)的幾何意義，即可求解.
【小問1詳解】
設(shè)，，則，a，，
所以.
，所以，
所以.
又因為O為公共點，所以O(shè)，B，C三點共線.
【小問2詳解】
因為，則，
又因為z是虛數(shù)，所以.
，所以.
18. 如圖，在六面體中，，平面菱形ABCD. 證明：

（1）B，，，D四點共面；
（2）.
【答案】（1）證明見解析
（2）證明見解析
【解析】
【分析】（1）先證明線面平行，得出線線平行，進而得到四點共面；
（2）利用面面垂直得出線面垂直，從而得到線線垂直.
【小問1詳解】
證明：由，平面，平面，
所以平面.
又因為平面，平面平面，
所以.
同理：，所以，
所以B，，，D四點共面.
【小問2詳解】
證明：菱形ABCD中，又因為平面平面ABCD，
且平面平面，平面ABCD，
所以平面.
因為平面，所以，
由（1）有，所以.

19. 在平面直角坐標系中三點A，B，C滿足，，D，E分別是線段BC，AC上的點，滿足，，AD與BE的交點為G.
（1）求的余弦值；
（2）求向量坐標.
【答案】（1）
（2）
【解析】
【分析】（1）計算出與，即可求出的余弦值；
（2）利用三點共線，由平面向量基本定理即可求出向量的坐標.
【小問1詳解】
由題意，在平面直角坐標系中，將，平移到以原點為起點，如圖，

因為，，，，
所以，
又，
所以.
【小問2詳解】
由題意及（1）得，在平面直角坐標系中，A，G，D三點共線，
所以，
，
所以由平面向量基本定理，得，解得：，
故.
20. 某種季節(jié)性疾病可分為輕癥、重癥兩種類型，為了解該疾病癥狀輕重與年齡的關(guān)系，在某地隨機抽取了患該疾病的位病人進行調(diào)查，其中年齡不超過50歲的患者人數(shù)為，輕癥占；年齡超過50歲的患者人數(shù)為，輕癥占.
（1）完成下面的列聯(lián)表.若要有99%以上的把握認為“該疾病癥狀輕重”與“年齡”有關(guān)，則抽取的年齡不超過50歲的患者至少有多少人？

輕癥
重癥
合計
不超過50歲


s
超過50歲


2s
合計


3s
附：（其中），.
（2）某藥品研發(fā)公司安排甲、乙兩個研發(fā)團隊分別研發(fā)預(yù)防此疾病的疫苗，兩個團隊各至多安排2個周期進行疫苗接種試驗，每人每次疫苗接種花費元.甲團隊研發(fā)的藥物每次疫苗接種后產(chǎn)生抗體的概率為，根據(jù)以往試驗統(tǒng)計，甲團隊平均花費為.乙團隊研發(fā)的藥物每次疫苗接種后產(chǎn)生抗體的概率為，每個周期必須完成3次疫苗接種，若第一個周期內(nèi)至少出現(xiàn)2次抗體，則該周期結(jié)束后終止試驗，否則進入第二個疫苗接種周期.假設(shè)兩個研發(fā)團隊每次疫苗接種后產(chǎn)生抗體與否均相互獨立.若，從兩個團隊試驗的平均花費考慮，該公司應(yīng)如何選擇團隊進行藥品研發(fā)？
【答案】（1）列聯(lián)表見解析，抽取的年齡不超過50歲的患者至少有12人
（2）該公司應(yīng)選擇乙團隊進行研發(fā)
【解析】
【分析】（1）完善列聯(lián)表，計算卡方，根據(jù)卡方和臨界值的關(guān)系可得答案；
（2）先求出乙的期望，作差比較大小可得答案.
【小問1詳解】
列聯(lián)表如下：

輕癥
重癥
合計
不超過50歲


s
超過50歲


2s
合計


3s
要有99%以上的把握認為“該疾病癥狀輕重”與“年齡”有關(guān)，則
.
解得，由題意知是6的倍數(shù)，所以s的最小整數(shù)值為12.
所以抽取的年齡不超過50歲的患者至少有12人.
【小問2詳解】
甲研發(fā)團隊試驗總花費為X元，根據(jù)以往試驗統(tǒng)計得，
設(shè)乙研發(fā)團隊試驗總花費為Y元，則Y的可能取值為3t，6t，
所以，，
所以.
因為，所以，
所以乙團隊試驗的平均花費較少，
所以該公司應(yīng)選擇乙團隊進行研發(fā).
21. 記，.
（1）化簡：；
（2）證明：的展開式中含項的系數(shù)為.
【答案】（1）
（2）證明見解析
【解析】
【分析】（1）先利用二項式定理求得，再利用二項式系數(shù)的性質(zhì)與倒序相加法即可得證；
（2）先得到題設(shè)條件中含項的系數(shù)，再利用二項式系數(shù)的性質(zhì)即可得證.
【小問1詳解】
因為，
的二項展開式為，
所以，
所以，
則，
又，
所以，
故.
【小問2詳解】
因為的展開式中含項的系數(shù)為，
而.
所以含項的系數(shù)為：



.
22. 如圖，在多面體中，底面ABCD是菱形，且底面ABCD，，，點M在線段EF上.

（1）若M為EF的中點，求直線AM和平面BDE的距離；
（2）試確定M點位置，使二面角的余弦值為.
【答案】（1）；
（2）點是線段上靠近點的四等分點.
【解析】
【分析】（1）先證明，， 再以O(shè)為原點，建立如圖空間直角坐標系，利用向量法求解；
（2）設(shè)，，先求出平面ADM和平面ABM的法向量，即得解.
【小問1詳解】
連接BD交AC于O，取EF中點G，因為四邊形ABCD為菱形，
所以，O為AC中點.
因為，，
所以四邊形ACEF為平行四邊形.
因為O，G分別為AC，EF中點，
所以.
因為平面ABCD，AC，平面ABCD，
所以，，
所以，.
以O(shè)為原點，建立如圖空間直角坐標系，則
，，，，，
所以，，
設(shè)平面BDE法向量，
，所以，
所以，.
，所以平面BDE.
設(shè)A到平面BDE距離為d，
，，所以直線AM和平面BDE的距離為.
【小問2詳解】
設(shè)，，因為，，，
所以，，，
設(shè)平面ADM，平面ABM的法向量分別為，，
，所以，所以，
，所以 .
因為二面角的余弦值為，
所以.
解得或（舍），即，
所以點是線段上靠近點的四等分點.


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2022-2023學年江蘇省常州市教育學會高一上學期期末學業(yè)水平監(jiān)測數(shù)學試題（解析版）

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江蘇省常州市教育學會2022-2023學年高一下學期期中數(shù)學試題

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