2021北京十二中高一（下）期中數(shù)學(xué)（教師版）-試卷下載-教習(xí)網(wǎng)

2021北京十二中高一（下）期中數(shù) 學(xué)一、選擇題共12小題，每小題5分，共60分，在每小題列出的四個選項中，選出符合題目要求的一項1．（5分）若復(fù)數(shù)，則復(fù)數(shù)所對應(yīng)的點在　　A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限2．（5分）已知向量，，，若，則　　A． B．11 C． D．103．（5分）和是表示平面內(nèi)所有向量的一組基底，則下面的四個向量中，不能作為一組基底的是　　A．和 B．和 C．和 D．和4．（5分）某幾何體有6個頂點，則該幾何體不可能是　　A．五棱錐 B．三棱柱 C．三棱臺 D．四棱臺5．（5分）已知，且為銳角，則　　A． B． C． D．6．（5分）對于任意向量，，下列命題中正確的是　　A．若，則 B． C． D．7．（5分）已知向量，，，且，則　　A．3 B． C． D．8．（5分）在中，角，，的對邊分別為，，，且，，，則　　A．或 B． C． D．或
9．（5分）在中，已知，則是　　A．直角三角形 B．銳角三角形 C．鈍角三角形 D．等邊三角形10．（5分）設(shè)，，，則有　　A． B． C． D．11．（5分）已知中，，，，為所在平面內(nèi)一點，且滿足，則的值為　　A． B． C．1 D．412．（5分）我國古代數(shù)學(xué)家秦九韶在《數(shù)書九章》中記述了“三斜求積術(shù)”，用現(xiàn)代式子表示即為：在中，角，，所對的邊分別為，，，則的面積，根據(jù)此公式，若，且，則的面積為　　A． B． C． D．二、填空題共6小題，每小題5分，共30分．13．（5分）　　．14．（5分）　　．15．（5分）若平面向量，都是單位向量，且，則，的夾角為　　．16．（5分）若實數(shù)，滿足方程組，則的一個值是　　．（答案不唯一，寫出滿足條件的一個值即可）17．（5分）如圖，在離地面高的熱氣球上，觀測到山頂處的仰角為、山腳處的俯角為，已知，則山的高度為　　．
18．（5分）如圖，在邊長為1的正方形中，為的中點，點在正方形內(nèi)（含邊界），且．①若，則的值是　　；②若向量，則的最小值為　　．三、解答題共5小題，共60分．解答應(yīng)寫出文字說明，演算步驟或證明過程．19．（10分）已知是虛數(shù)單位，復(fù)數(shù)．（Ⅰ）當(dāng)時，求復(fù)數(shù)的模；（Ⅱ）若為純虛數(shù)，求實數(shù)值． 20．（10分）已知，，，，是坐標原點．（Ⅰ）若點，，三點共線，求的值；（Ⅱ）當(dāng)取何值時，取到最小值？并求出最小值． 21．（14分）已知函數(shù)．（Ⅰ）求的值；（Ⅱ）求的最小正周期和對稱軸方程；（Ⅲ）求在上的值域．
22．（12分）銳角中滿足，其中，，分別為內(nèi)角，，的對邊．（Ⅰ）求角；（Ⅱ）若，求的取值范圍． 23．（14分）定義向量的“相伴函數(shù)”為，函數(shù)的“相伴向量”為，其中為坐標原點，記平面內(nèi)所有向量的“相伴函數(shù)”構(gòu)成的集合為．（Ⅰ）設(shè)函數(shù)，求證：；（Ⅱ）記向量的相伴函數(shù)為，當(dāng)且時，求的值；（Ⅲ）將（Ⅰ）中函數(shù)的圖象向右平移個單位長度，再把橫坐標伸長為原來的2倍（縱坐標不變）得到的圖象．已知，，問在的圖象上是否存在一點，使得．若存在，求出點坐標；若不存在，說明理由．
2021北京十二中高一（下）期中數(shù)學(xué)參考答案一、選擇題共12小題，每小題5分，共60分，在每小題列出的四個選項中，選出符合題目要求的一項1．【分析】利用復(fù)數(shù)代數(shù)形式的乘除運算化簡，求出在復(fù)平面內(nèi)對應(yīng)點的坐標得答案．【解答】解：，復(fù)數(shù)所對應(yīng)的點的坐標為，在第一象限．故選：．【點評】本題考查復(fù)數(shù)代數(shù)形式的乘除運算，考查復(fù)數(shù)的代數(shù)表示法及其幾何意義，是基礎(chǔ)題．2．【分析】由題意利用兩個向量垂直的性質(zhì)，兩個向量坐標形式的云算法則，計算得出結(jié)論．【解答】解：向量，，，，則，，故選：．【點評】本題主要考查兩個向量垂直的性質(zhì)，兩個向量坐標形式的云算法則，屬于基礎(chǔ)題．3．【分析】由題意，和是表示平面內(nèi)所有向量的一組基底，找出不能作為一組基底的向量方法就是驗證它們共線，故對四個選項進行考查，找出共線的那一組即可找到正確選項【解答】解：由題意和是表示平面內(nèi)所有向量的一組基底，選項中，存在一個實數(shù)使得，此兩向量共線，故不能作為基底，可選；選項中找不到一個非零實數(shù)使得成立，故不能選；選項與選項中的兩個向量是不共線的，可以作為一組基底，綜上，選項中的兩個向量不能作為基底．故選：．【點評】本題考查平面向量的基本定理中基底的意義，解題的關(guān)鍵是理解基底中的兩個基向量是不共線的，本題的難點是驗證向量的共線，對基底的考查是近幾年高考的熱點，題后要注意總結(jié)做題規(guī)律4．【分析】分別求出五棱錐、三棱柱、三棱臺和四棱臺的頂點個數(shù)即可．【解答】解：對于，五棱錐有個頂點，滿足題意；對于，三棱柱有個頂點，滿足題意；對于，三棱臺有個頂點，滿足題意；對于，四棱臺有個頂點，不符合題意．故選：．【點評】本題考查了棱柱、棱錐、棱臺的結(jié)構(gòu)特征與應(yīng)用問題，是基礎(chǔ)題．5．【分析】由題意利用同角三角函數(shù)的基本關(guān)系式，兩角和的余弦公式，計算求得結(jié)果．【解答】解：，且為銳角，，則，故選：．【點評】本題主要考查同角三角函數(shù)的基本關(guān)系式，兩角和的余弦公式的應(yīng)用，屬于基礎(chǔ)題．6．【分析】由向量不能比較大小，可判斷選項；將向量的終點與向量的起點平移到一起，由三角形的三邊關(guān)系即可判斷選項；由向量的數(shù)量積運算即可判斷選項；取，為單位向量，即可判斷選項．【解答】解：對于，向量不能比較大小，表示方式有誤，故錯誤；對于，將向量的終點與向量的起點平移到一起，則，，分別為三角形的三邊，因為在三角形中兩邊之和大于第三邊，可得，當(dāng)向量與向量同向時，，所以，故正確；對于，，故錯誤；對于，當(dāng)，為單位向量，則，故錯誤．故選：．【點評】本題主要考查向量的概念、向量的模、向量的數(shù)量積，考查邏輯推理能力，屬于基礎(chǔ)題．7．【分析】利用，列出含的方程求解即可．【解答】解：因為，又因為，所以，解得，故選：．【點評】本題考查平面向量的坐標運算，屬于基礎(chǔ)題8．【分析】根據(jù)題目中的條件，利用正弦定理可直接求出角的正弦值，依據(jù)邊的關(guān)系可求角的大小．【解答】解：，，，由正弦定理，可得：，或故選：．【點評】本題考查的知識點：正弦定理的應(yīng)用，三角形解的情況，屬于基礎(chǔ)題．9．【分析】逆用兩角和的正弦可得，利用正弦函數(shù)的性質(zhì)即可判斷的形狀．【解答】解：在中，，又，．又，．為直角三角形．故選：．【點評】本題考查三角形的形狀判斷，著重考查兩角和的正弦與正弦函數(shù)的性質(zhì)，屬于基礎(chǔ)題．10．【分析】由三角函數(shù)恒等變換化簡可得，，．根據(jù)角的范圍和正弦函數(shù)的單調(diào)性即可比較大小．【解答】解：，，．，即有：，故選：．【點評】本題主要考查了三角函數(shù)的恒等變換的應(yīng)用，正弦函數(shù)的單調(diào)性，屬于基本知識的考查．11．【分析】分別令，的中點為，，則可化簡式子得，于是為線段的靠近的三等分點，再計算數(shù)量積即可得出結(jié)論．【解答】解：中，，，，為所在平面內(nèi)一點，且滿足，設(shè)的中點為，的中點為，則，，為線段的靠近的三等分點，，故選：．【點評】本題考查了平面向量的數(shù)量積運算，確定點位置是解題關(guān)鍵，屬于中檔題．12．【分析】由已知結(jié)合正弦定理及和差角公式進行化簡可求，然后結(jié)合已知及余弦定理可求，代入已知公式即可求解．【解答】解：因為，所以，即，所以，因為，所以，，由余弦定理可得，，所以，則的面積．故選：．【點評】本題主要考查了正弦定理，余弦定理及和差角公式在三角化簡求值中的應(yīng)用，屬于中檔試題．二、填空題共6小題，每小題5分，共30分．13．【分析】利用復(fù)數(shù)的四則運算求解．【解答】解：．故答案為：．【點評】本題主要考查了復(fù)數(shù)的四則運算，是基礎(chǔ)題．14．【分析】由題意利用二倍角的正弦公式，求得結(jié)果．【解答】解：，故答案為：．【點評】本題主要考查二倍角的正弦公式的應(yīng)用，屬于基礎(chǔ)題．15．【分析】根據(jù)平面向量的數(shù)量積求模長和夾角即可．【解答】解：平面向量，都是單位向量，則，又，，，又，，，即，的夾角為．故答案為：．【點評】本題考查了平面向量的數(shù)量積與模長和夾角的應(yīng)用問題，是基礎(chǔ)題16．【分析】直接利用三角函數(shù)關(guān)系式的變換和同角三角函數(shù)的應(yīng)用求出結(jié)果．【解答】解：，所以①②得：，整列，故，當(dāng)時，．故答案為：．【點評】本題考查的知識要點：三角函數(shù)關(guān)系式的變換，同角三角函數(shù)的應(yīng)用，主要考查學(xué)生的運算能力和數(shù)學(xué)思維能力，屬于基礎(chǔ)題．17．【分析】首先在中，算出，然后在中，利用正弦定理算出，最后在中，利用三角函數(shù)的定義即可算出山的高度．【解答】解：根據(jù)題意，可得中，，，．中，，，，由正弦定理，得，在中，．故答案為：300【點評】本題給出實際應(yīng)用問題，求山的高度．著重考查了三角函數(shù)的定義、利用正弦定理解三角形等知識，屬于中檔題．18．【分析】由可知，點在以為圓心，半徑為1的四分之一圓弧上，可以為原點，，分別為，軸建系，將問題坐標化，則問題容易解決．【解答】解：①：由已知得，故三角形為邊長為1的等邊三角形，故．②：由已知，如圖建立平面直角坐標系：由正方形的邊長為1，，，，，，．由向量得，，，，得：，解得，．則，．令，．故，顯然，分子在，上恒成立，故恒成立，即在，上單調(diào)遞增，故．取最小值．故答案為：，．【點評】本題考查坐標條件下的向量運算，以及三角代換的應(yīng)用．屬于中檔題．
三、解答題共5小題，共60分．解答應(yīng)寫出文字說明，演算步驟或證明過程．19．【分析】（Ⅰ）將代入得，再利用復(fù)數(shù)的模長公式即可求解．（Ⅱ）由復(fù)數(shù)為純虛數(shù)列出方程組，然后求出．【解答】解：．（Ⅰ）當(dāng)時，，．（Ⅱ）當(dāng)復(fù)數(shù)為純虛數(shù)時，則，．【點評】本題考查了復(fù)數(shù)的有關(guān)概念，考查了方程思想，屬于基礎(chǔ)題．20．【分析】（1）求出向量的坐標，運用平行的條件可判斷求解的值．（2）運用坐標求解數(shù)量積，轉(zhuǎn)化為函數(shù)求解．【解答】解：（1），，，，三點共線，與共線，，（2），，，，，當(dāng)時，取得最小值．【點評】本題考查了向量的坐標運算，結(jié)合函數(shù)的性質(zhì)求解最值，屬于中檔題．21．【分析】（Ⅰ）利用輔助角公式進行化簡，直接代入即可，（Ⅱ）根據(jù)三角函數(shù)的周期公式，對稱性進行求解，（Ⅲ）求出角的范圍，利用函數(shù)最值與值域關(guān)系進行求解即可．【解答】解：（Ⅰ），則．（Ⅱ）由（Ⅰ）知函數(shù)的周期，由，，得，得，，即函數(shù)的對稱軸為，．（Ⅲ）當(dāng)時，，，則，，則當(dāng)時，函數(shù)取得最小值為，當(dāng)時，函數(shù)取得最大值為，即函數(shù)的值域為，．【點評】本題主要考查三角函數(shù)的圖象和性質(zhì)，利用輔助角公式進行化簡，結(jié)合三角函數(shù)的對稱性周期性以及最值性質(zhì)是解決本題的關(guān)鍵，是中檔題．22．【分析】（Ⅰ）直接利用余弦定理的應(yīng)用求出的值；（Ⅱ）利用正弦定理和三角函數(shù)的關(guān)系式的變換的應(yīng)用求出結(jié)果．【解答】解：（Ⅰ）銳角中滿足，利用正弦定理：，整理得，故，由于，故．（Ⅱ）由（Ⅰ）的，所以，由于，整理得．故，故．故．【點評】本題考查的知識要點：三角函數(shù)的關(guān)系式的恒等變換，正弦定理，余弦定理和三角函數(shù)的性質(zhì)的應(yīng)用，主要考查學(xué)生的運算能力和數(shù)學(xué)思維能力，屬于基礎(chǔ)題．23．【分析】通過三角函數(shù)的兩角差公式展開，并整理成“相伴函數(shù)”，即可證明，根據(jù)已知條件，并運用三角函數(shù)的同角和公式，即可求解，先通過對函數(shù)進行平移、伸縮變換得到，再運用向量垂直，其所對應(yīng)的向量坐標乘積和為零，即可求解．【解答】，是“相伴向量” 的“相伴函數(shù)”，記平面內(nèi)所有向量的“相伴函數(shù)”構(gòu)成的集合為，．記向量的相伴函數(shù)為，，當(dāng)且時，，，．由可得，，將函數(shù)的圖象向右平移個單位長度，得到函數(shù)，將橫坐標伸長為原來的2倍（縱坐標不變）得到，設(shè)，，，，，，，，（1），，又，當(dāng)且僅當(dāng)時，等式（1）成立，圖像上存在點，使得．【點評】本題主要考查三角函數(shù)的圖象平移、變換、以及三角函數(shù)的同角和公式，并且根據(jù)向量垂直，其所對應(yīng)的向量坐標乘積和為零，是解決本題的關(guān)鍵，本題知識點多，需要學(xué)生靈活使用，屬于難題．

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