2021北京六十六中高一（下）期中數(shù)    學(xué)一、選擇題（每小題4分，共48分）1．（4分）下列各角中，與終邊相同的角是　　A． B． C． D．2．（4分）若，且，則角是　　A．第一象限角 B．第二象限角 C．第三象限角 D．第四象限角3．（4分）若角的終邊經(jīng)過(guò)點(diǎn)，則的值為　　A． B． C． D．4．（4分）　　A． B． C． D．5．（4分）已知向量的，，那么　　A． B．2 C． D．6．（4分）函數(shù)是　　A．奇函數(shù)，且在區(qū)間上單調(diào)遞增 B．奇函數(shù)，且在區(qū)間上單調(diào)遞減 C．偶函數(shù)，且在區(qū)間上單調(diào)遞增 D．偶函數(shù)，且在區(qū)間上單調(diào)遞減7．（4分）函數(shù)的最小正周期為　　A． B． C． D．8．（4分）設(shè)向量，的模分別為2和3，且?jiàn)A角為，則等于　　A． B．13 C． D．199．（4分）已知函數(shù)，則　　A． B． C．1 D．10．（4分）如果函數(shù)的一個(gè)零點(diǎn)是，那么可以是　　A． B． C． D．11．（4分）為得到函數(shù)的圖象，只需將函數(shù)的圖象　　A．向左平移個(gè)長(zhǎng)度單位 B．向右平移個(gè)長(zhǎng)度單位 C．向左平移個(gè)長(zhǎng)度單位 D．向右平移個(gè)長(zhǎng)度單位12．（4分）已知，為單位向量，且，則的最小值為　　A． B．1 C． D．二、填空題（每小題5分，共30分13．（5分）的值為　　．14．（5分）是虛數(shù)單位，若復(fù)數(shù)滿足，則等于　　．15．（5分）若向量與向量垂直，則實(shí)數(shù)　　．16．（5分）若，，且，則的值為　　．17．（5分）如圖，正方形的邊長(zhǎng)為2，是線段上的動(dòng)點(diǎn)（含端點(diǎn)），則的取值范圍是　　．18．（5分）設(shè)函數(shù)，若對(duì)任意的實(shí)數(shù)都成立，則的最小值為　　．三、解答題（滿分72分）19．（14分）已知，，且．（Ⅰ）求的值；（Ⅱ）求的值．20．（14分）已知函數(shù)．（Ⅰ）求函數(shù)的單調(diào)遞增區(qū)間與對(duì)稱軸方程；（Ⅱ）當(dāng)，時(shí)，求函數(shù)的最大值與最小值．21．（15分）已知函數(shù)，的部分圖象如圖所示．（Ⅰ）寫出的最小正周期及其單調(diào)遞減區(qū)間；（Ⅱ）求的解析式；（Ⅲ）若要得到的圖象，只需要函數(shù)的圖象經(jīng)過(guò)怎樣的圖象變換？22．（15分）已知函數(shù)．（Ⅰ）求的值；（Ⅱ）求的單調(diào)遞增區(qū)間；（Ⅲ）作出在一個(gè)周期內(nèi)的圖象．23．（14分）如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，點(diǎn)，，，，銳角的終邊與單位圓交于點(diǎn)．（Ⅰ）用的三角函數(shù)表示點(diǎn)的坐標(biāo)；（Ⅱ）當(dāng)時(shí)，求的值；（Ⅲ）在軸上是否存在定點(diǎn)，使得恒成立？若存在，求出點(diǎn)的橫坐標(biāo)；若不存在，請(qǐng)說(shuō)明理由．
參考答案一、選擇題（每小題4分，共48分）1．【分析】把角化為對(duì)于，，，的形式，再判斷即可．【解答】解：與邊相同的角的集合為．取，得．故選：．【點(diǎn)評(píng)】本題考查了終邊相同的角的概念與應(yīng)用問(wèn)題，是基礎(chǔ)題．2．【分析】直接由三角函數(shù)的象限符號(hào)取交集得答案．【解答】解：由，可得為第一、第二及軸正半軸上的角；由，可得為第二、第三及軸負(fù)半軸上的角．取交集可得，是第二象限角．故選：．【點(diǎn)評(píng)】本題考查了三角函數(shù)的象限符號(hào)，是基礎(chǔ)的會(huì)考題型．3．【分析】由三角函數(shù)的定義，求出值即可【解答】解：角的終邊經(jīng)過(guò)點(diǎn)，．故選：．【點(diǎn)評(píng)】本題考查三角函數(shù)的定義，利用公式求值是關(guān)鍵．4．【分析】利用誘導(dǎo)公式即可求解．【解答】解：．故選：．【點(diǎn)評(píng)】本題主要考查了誘導(dǎo)公式在三角函數(shù)化簡(jiǎn)求值中的應(yīng)用，屬于基礎(chǔ)題．5．【分析】可求出向量的坐標(biāo)，然后即可得出的值．【解答】解：，．故選：．【點(diǎn)評(píng)】本題考查了向量坐標(biāo)的加法和數(shù)乘運(yùn)算，根據(jù)向量的坐標(biāo)求向量長(zhǎng)度的方法，考查了計(jì)算能力，屬于基礎(chǔ)題．6．【分析】由余弦函數(shù)的性質(zhì)可解決此題．【解答】解：，定義域?yàn)?/span>，函數(shù)為偶函數(shù)；由余弦函數(shù)圖象可知函數(shù)在上單調(diào)遞減．故選：．【點(diǎn)評(píng)】本題考查余弦函數(shù)的性質(zhì)、數(shù)形結(jié)合思想，考查數(shù)學(xué)運(yùn)算能力、直觀想象及推理能力，屬于基礎(chǔ)題．7．【分析】化簡(jiǎn)可得，由周期公式可得答案．【解答】解：化簡(jiǎn)可得，由周期公式可得，故選：．【點(diǎn)評(píng)】本題考查三角函數(shù)的恒等變換，涉及三角函數(shù)的周期性，屬基礎(chǔ)題．8．【分析】利用兩個(gè)向量的數(shù)量積的定義求出，再利用，即可求出答案．【解答】解：向量，的模分別為2和3，且?jiàn)A角為，，，，故選：．【點(diǎn)評(píng)】本題考查兩個(gè)向量的數(shù)量積的定義，向量的模的定義，求向量的模的方法．9．【分析】由兩角和的正弦公式化簡(jiǎn)解析式后代入即可求解．【解答】解：，，故選：．【點(diǎn)評(píng)】本題主要考查了兩角和與差的正弦函數(shù)公式的應(yīng)用，屬于基礎(chǔ)題．10．【分析】根據(jù)余弦函數(shù)的性質(zhì)即可得到結(jié)論．【解答】解：若的一個(gè)零點(diǎn)是，則，即，即，當(dāng)時(shí)，，故選：．【點(diǎn)評(píng)】本題主要考查余弦函數(shù)的求值，根據(jù)函數(shù)零點(diǎn)的定義結(jié)合余弦函數(shù)的性質(zhì)是解決本題的關(guān)鍵．11．【分析】將化為，再根據(jù)三角函數(shù)的圖象變換知識(shí)確定平移的方向和長(zhǎng)度即可．【解答】解：，，故只需將函數(shù)的圖象向左平移個(gè)長(zhǎng)度單位．故選：．【點(diǎn)評(píng)】本題考查了三角函數(shù)的圖象變換，中間用到了誘導(dǎo)公式，屬于?？碱}型．12．【分析】運(yùn)用向量的數(shù)量積的性質(zhì)，向量的平方即為模的平方，配方整理，再由二次函數(shù)的最值求法，即可得到所求最值．【解答】解：，為單位向量，且，則，當(dāng)時(shí)，取得最小值，則的最小值為．故選：．【點(diǎn)評(píng)】本題考查平面向量的數(shù)量積的性質(zhì)，考查二次函數(shù)的最值求法，考查運(yùn)算能力，屬于基礎(chǔ)題．二、填空題（每小題5分，共30分13．【分析】原式中的角度變形后，利用誘導(dǎo)公式化簡(jiǎn)，計(jì)算即可得到結(jié)果．【解答】解：．故答案為：【點(diǎn)評(píng)】此題考查了運(yùn)用誘導(dǎo)公式化簡(jiǎn)求值，熟練掌握誘導(dǎo)公式是解本題的關(guān)鍵．14．【分析】把已知等式變形，再由復(fù)數(shù)代數(shù)形式的乘除運(yùn)算化簡(jiǎn)得答案．【解答】解：由，得．故答案為：．【點(diǎn)評(píng)】本題考查復(fù)數(shù)代數(shù)形式的乘除運(yùn)算，是基礎(chǔ)題．15．【分析】由題意利用兩個(gè)向量垂直的性質(zhì)，求得的值．【解答】解：向量與向量垂直，，求得，故答案為：8．【點(diǎn)評(píng)】本題主要考查兩個(gè)向量垂直的性質(zhì)，屬于基礎(chǔ)題．16．【分析】根據(jù)余弦函數(shù)的圖象與性質(zhì)，求出，內(nèi)的值即可．【解答】解：在，內(nèi)，的值有2個(gè)，分別為，即或．故答案為：或．【點(diǎn)評(píng)】本題考查了余弦函數(shù)的圖象與性質(zhì)的應(yīng)用問(wèn)題，是基礎(chǔ)題．17．【分析】建立平面直角坐標(biāo)系，得到，，，的坐標(biāo)，利用向量的數(shù)量積解答．【解答】解：建立平面直角坐標(biāo)系，正方形的邊長(zhǎng)為2，是線段上的動(dòng)點(diǎn)（含端點(diǎn)），則，，，，所以，，所以，所以，．故答案為：，．【點(diǎn)評(píng)】本題考查了利用平面向量求數(shù)量積的范圍；本題的關(guān)鍵是正確建立坐標(biāo)系，明確各點(diǎn)的坐標(biāo)以及向量的坐標(biāo)，了利用坐標(biāo)運(yùn)算解答．18．【分析】由題意可得的最小值為，可得，，解方程可得的最小值．【解答】解：若對(duì)任意的實(shí)數(shù)都成立，可得的最小值為，可得，，即有，，由，可得的最小值為2，此時(shí)．故答案為：2．【點(diǎn)評(píng)】本題考查正弦函數(shù)的圖象和性質(zhì)，主要是正弦函數(shù)的最值，以及方程思想和運(yùn)算能力，屬于基礎(chǔ)題．三、解答題（滿分72分）19．【分析】（Ⅰ）由已知利用同角三角函數(shù)基本關(guān)系式可求，的值，利用兩角和的正切函數(shù)公式即可得解．（Ⅱ）利用倍角公式化簡(jiǎn)后，代入即可求值得解．【解答】解：（Ⅰ），，且．，，．（Ⅱ）．【點(diǎn)評(píng)】本題主要考查了同角三角函數(shù)基本關(guān)系式，兩角和的正切函數(shù)公式，倍角公式的應(yīng)用，考查了計(jì)算能力和轉(zhuǎn)化思想，屬于中檔題．20．【分析】（Ⅰ）解可得單調(diào)遞增區(qū)間，解可得對(duì)稱軸方程；（Ⅱ）由的范圍可得，可得三角函數(shù)的最值．【解答】解：（Ⅰ），由可得，函數(shù)的單調(diào)遞增區(qū)間為，，，由可得，，的對(duì)稱軸方程為，；（Ⅱ），，，當(dāng)即時(shí)，的最小值為，當(dāng)即時(shí)，的最大值為2．【點(diǎn)評(píng)】本題考查三角函數(shù)的最值，涉及三角函數(shù)的單調(diào)性和對(duì)稱性，屬基礎(chǔ)題．21．【分析】（Ⅰ）直接利用函數(shù)的圖象求出函數(shù)的關(guān)系式，進(jìn)一步求出函數(shù)的最小正值周期和單調(diào)遞減區(qū)間；（Ⅱ）利用函數(shù)的圖象求出函數(shù)的關(guān)系式；（Ⅲ）利用函數(shù)的圖象的平移變換和伸縮變換的應(yīng)用求出結(jié)果．【解答】解：（Ⅰ）根據(jù)函數(shù)的圖象：，解得，故，由于，由于，故．所以．所以函數(shù)的最小正周期為；令，整理得，故函數(shù)的單調(diào)遞減區(qū)間為：，（Ⅱ）由函數(shù)的圖象，得到．（Ⅲ）要得到函數(shù)的圖象，只需將函數(shù)的圖象向右平移個(gè)單位，再將函數(shù)圖象的橫標(biāo)壓縮為原來(lái)的即可．【點(diǎn)評(píng)】本題考查的知識(shí)要點(diǎn)：三角函數(shù)的關(guān)系式的變換，正弦型函數(shù)的性質(zhì)的應(yīng)用，主要考查學(xué)生的運(yùn)算能力和數(shù)學(xué)思維能力，屬于基礎(chǔ)題．22．【分析】（Ⅰ）把直接代入函數(shù)的解析式，求得函數(shù)的值．（Ⅱ）利用兩角和差的正弦公式化簡(jiǎn)函數(shù)的解析式，再利用正弦函數(shù)的單調(diào)性求出它的增區(qū)間．（Ⅲ）用五點(diǎn)法作函數(shù)在一個(gè)周期上的簡(jiǎn)圖．【解答】解：（Ⅰ）由已知（2分）．（4分）（Ⅱ）（6分）．（7分）函數(shù)的單調(diào)遞增區(qū)間為，（8分）由，得．所以的單調(diào)遞增區(qū)間為．（9分）（Ⅲ）列表：00200作出在一個(gè)周期上的圖象如圖所示．（12分）【點(diǎn)評(píng)】本題主要考查用五點(diǎn)法作函數(shù)在一個(gè)周期上的簡(jiǎn)圖，兩角和差的正弦公式，正弦函數(shù)的單調(diào)性，屬于中檔題．23．【分析】（Ⅰ）用的三角函數(shù)的坐標(biāo)法定義得到 坐標(biāo)；（Ⅱ）首先寫成兩個(gè)向量的坐標(biāo)根據(jù)，得到關(guān)于的三角函數(shù)等式，求的值；（Ⅲ）假設(shè)存在，進(jìn)行向量的模長(zhǎng)運(yùn)算，得到三角等式，求得成立的值．【解答】解：銳角的終邊與單位圓交于點(diǎn)．（Ⅰ）用的三角函數(shù)表示點(diǎn)的坐標(biāo)為；（Ⅱ），，時(shí)，即，整理得到，所以銳角；（Ⅲ）在軸上假設(shè)存在定點(diǎn)，設(shè)，，則由恒成立，得到，整理得，所以存在時(shí)等式恒成立，所以存在．【點(diǎn)評(píng)】本題考查了三角函數(shù)的坐標(biāo)法定義的運(yùn)用以及平面向量的運(yùn)算；關(guān)鍵是正確利用坐標(biāo)表示各向量，并正確化簡(jiǎn)運(yùn)算．

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