2021北京北大附中高一（下）期中數(shù)    學(xué)一、選擇題，共6小題，每小題3分，共18分．在每小題的四個(gè)選項(xiàng)中，選出符合條件的一項(xiàng)．1．（3分）若且，則是　　A．第一象限角 B．第二象限角 C．第三象限角 D．第四象限角2．（3分）設(shè)，則下列函數(shù)值一定是正值的是　　A． B． C． D．3．（3分）已知，則　　A． B． C． D．4．（3分）要得到函數(shù)圖象，只需把函數(shù)的圖象　　A．向左平移個(gè)單位 B．向左平移個(gè)單位 C．向右平移個(gè)單位 D．向右平移個(gè)單位5．（3分）已知，其中，，在一個(gè)周期內(nèi)的圖象如圖所示．則　　A． B． C． D．6．（3分）在中，若，則為　　A．等腰三角形 B．直角三角形 C．等腰直角三角形 D．等腰三角形或直角三角形二、填交題，共6小題，每小題3分，共18分.7．（3分）若角與角的終邊關(guān)于軸對(duì)稱，則與角同終邊的所有角構(gòu)成集合 　　．8．（3分）已知扇形的圓心角為，扇形的面積為，則該扇形所在圓的半徑為 　　．9．（3分）　　．10．（3分）已知點(diǎn)在的終邊上，則　　，　　．11．（3分）在中，，是的中點(diǎn)，若，在線段上運(yùn)動(dòng)，則的最小值是　　．12．（3分）如圖，矩形公園中，，，公園的左下角陰影部分為以為圓心，半徑為的圓面的人工湖，現(xiàn)計(jì)劃修建一條與圓相切的觀光道路（點(diǎn)，分別在邊與上），為切點(diǎn)，令，則道路的長(zhǎng)度與的函數(shù)關(guān)系為 　　．三、解答題，共4小題，共51分.解答應(yīng)寫(xiě)出文字說(shuō)明，演算步驟或證明過(guò)程.13．（17分）已知三角形，，，．（1）寫(xiě)出一個(gè)與垂直的非零向量 　　；（坐標(biāo)形式）（2）求；（3）求向量在向量上投影的數(shù)量；（4）若，求的值；（5）求．14．（16分）已知角終邊落在直線上，且．（1）　　；（2）求的值；（3）若，，求的值．15．（11分）已知函數(shù)，．（1）函數(shù)的單調(diào)遞增區(qū)間為 　　．（2）求函數(shù)的單調(diào)遞增區(qū)間；（3）求函數(shù)的對(duì)稱軸方程；（4）求解不等式．16．（7分）已知函數(shù)．從①，；②，．這兩個(gè)條件中選擇一個(gè)作為已知條件，完成問(wèn)題（1）至（3）．注：如果選擇兩個(gè)條件分別作答，按第一個(gè)解答給分．我選擇的是_____．（填寫(xiě)選擇的條件序號(hào)①或②（1）則　　．（2）的最小正周期為 　　．（3）求時(shí)，函數(shù)的最大值和最小值．一、選擇題共2小題，每小題2分，共4分.在每小題的四個(gè)選項(xiàng)中，選出符合條件的一項(xiàng).17．（2分）下列說(shuō)法錯(cuò)誤的是　　A．，，使 B．，，成立 C．，，使 D．，，成立18．（2分）已知函數(shù)，當(dāng)時(shí)，取得最大值，則的值為　　A． B． C．1 D．二、填空題共2小題，每小題2分，共4分.19．（2分）菱形中，，為中點(diǎn)，記，，若，則　　．20．（2分）若函數(shù)在區(qū)間上單調(diào)遞減，則的取值范圍是 　　．三、解答題（5分，解答應(yīng)寫(xiě)出文字說(shuō)明，演算步驟或證明過(guò)程）.21．（5分）雨過(guò)天晴時(shí)，我們常能見(jiàn)到天空的彩虹，這種現(xiàn)象是陽(yáng)光經(jīng)空氣中的水滴反射與折射綜合產(chǎn)生的自然現(xiàn)象．為研究方便將水滴近似視為一個(gè)球體．且各光線在球的同一截面大圓內(nèi)．Ⅰ．如圖1，入射光線經(jīng)折射進(jìn)入該球體內(nèi)部，折射光線經(jīng)一次內(nèi)部反射形成反射光線，再折射出球體外得到折射光線當(dāng)時(shí)，則稱為光線為虹；Ⅱ．如圖2，入射光線經(jīng)折射進(jìn)入該球體內(nèi)部，折射光線經(jīng)兩次內(nèi)部反射形成反射光線，再折射出球體外得到折射光線，當(dāng)時(shí)則稱為光線為霓．可參考的物理光學(xué)反射與折射的知識(shí)，有如下定義與規(guī)律：Ⅲ．光被鏡面反射時(shí)，過(guò)入射點(diǎn)與鏡面垂直的直線稱為法線，入射光線與反射光線與法線的夾角分別稱為入射角與反射角，則入射角等于反射角；Ⅳ．從介質(zhì)1射入介質(zhì)2發(fā)生折射時(shí)，入射角與折射角折射光線與法線的夾角的正弦之比叫做介質(zhì)2相對(duì)介質(zhì)1的折射角，即．設(shè)球半徑．球?yàn)槟撤N透光性較高的介質(zhì)．空氣相對(duì)該介質(zhì)的折射率為．圓弧對(duì)光線入射或折射時(shí)，其反射鏡面為過(guò)入射（或反射）點(diǎn)的圓切線，法線為過(guò)該點(diǎn)的半徑所在直線．（1）圖3中，入射光線經(jīng)入射點(diǎn)進(jìn)入球內(nèi)得到折射光線，過(guò)的圓切線為，過(guò)點(diǎn)的半徑所在直線為法線，設(shè)入射角，若球介質(zhì)的折射率，求折射角大小；（2）圖1中，設(shè)初始入射光線的入射角為，球介質(zhì)的折射率．折射光線為虹，求；（3）圖2中，設(shè)初始入射光線的入射角為，球介質(zhì)的折射率．折射光線為霓，求．
參考答案一、選擇題，共6小題，每小題3分，共18分．在每小題的四個(gè)選項(xiàng)中，選出符合條件的一項(xiàng)．1．【分析】由正弦和正切的符號(hào)確定角的象限，當(dāng)正弦值小于零時(shí)，角在第三四象限，當(dāng)正切值大于零，角在第一三象限，要同時(shí)滿足這兩個(gè)條件，角的位置是第三象限，實(shí)際上我們解的是不等式組．【解答】解：，在三、四象限；，在一、三象限．故選：．【點(diǎn)評(píng)】記住角在各象限的三角函數(shù)符號(hào)是解題的關(guān)鍵，可用口訣幫助記憶：一全部，二正弦，三切值，四余弦，它們?cè)谏厦嫠龅南笙逓檎?/span>2．【分析】利用三角函數(shù)在各個(gè)象限的符號(hào)的判定，即可得到答案．【解答】解：因?yàn)?/span>，則．故選：．【點(diǎn)評(píng)】本題考查了三角函數(shù)在各個(gè)象限的符號(hào)的判定，考查了邏輯推理能力，屬于基礎(chǔ)題．3．【分析】由題意利用同角三角函數(shù)的基本關(guān)系式，二倍角公式，計(jì)算求得結(jié)果．【解答】解：，平方可得，則，故選：．【點(diǎn)評(píng)】本題主要考查同角三角函數(shù)的基本關(guān)系式，二倍角公式的應(yīng)用，屬于基礎(chǔ)題．4．【分析】根據(jù)三角恒等變換與平移法則，先化簡(jiǎn)函數(shù)，再判斷平移過(guò)程．【解答】解：函數(shù)，要得到函數(shù)的圖象，只需把函數(shù)的圖象向左平移個(gè)單位．故選：．【點(diǎn)評(píng)】本題考查了三角恒等變換與圖象平移的應(yīng)用問(wèn)題，是基礎(chǔ)題目．5．【分析】通過(guò)函數(shù)的圖象的最高點(diǎn)求出，利用圖象求出函數(shù)的周期，得到，圖象過(guò)點(diǎn)，，求出的值，從而可得的解析式．【解答】解：由圖象可知，，，將，代入，可得，，，．故選：．【點(diǎn)評(píng)】本題主要考查三角函數(shù)的解析式的求法，考查計(jì)算能力，屬于基礎(chǔ)題．6．【分析】利用兩角和與差的三角函數(shù)化簡(jiǎn)等式右側(cè)，然后化簡(jiǎn)可得，分類討論即可得解．【解答】解：在中，角，，的對(duì)邊分別為，，，滿足，可得：，所以，或，所以為直角，或，即為等腰三角形或直角三角形．故選：．【點(diǎn)評(píng)】本題考查兩角和與差的三角函數(shù)，正弦定理的應(yīng)用，考查計(jì)算能力，屬于基礎(chǔ)題．二、填交題，共6小題，每小題3分，共18分.7．【分析】若，，則由題意可知，由此可求出與角同終邊的所有角構(gòu)成的集合．【解答】解：若，，則由角，且角與角的終邊關(guān)于軸對(duì)稱，所以，所以與角同終邊的所有角構(gòu)成集合為，，故答案為：，．【點(diǎn)評(píng)】本題主要考查了終邊相同角的集合，是基礎(chǔ)題．8．【分析】利用扇形的面積計(jì)算公式即可得出．【解答】解：，，，故答案為：3．【點(diǎn)評(píng)】本題考查了扇形的面積計(jì)算公式，屬于基礎(chǔ)題．9．【分析】先由誘導(dǎo)公式，知，再由兩角和的正弦公式，得解．【解答】解：原式．故答案為：．【點(diǎn)評(píng)】本題考查兩角和的正弦公式，誘導(dǎo)公式，考查運(yùn)算求解能力，屬于基礎(chǔ)題．10．【分析】直接利用三角函數(shù)的定義可求的值，進(jìn)而利用二倍角的正切公式即可求解的值．【解答】解：點(diǎn)在的終邊上，，．故答案為：，．【點(diǎn)評(píng)】本題考查三角函數(shù)的定義，二倍角的正切公式在三角函數(shù)求值中的應(yīng)用，考查學(xué)生的計(jì)算能力，屬于基礎(chǔ)題．11．【分析】先判斷是等腰直角三角形，，以所在的直線為軸，以的中點(diǎn)為坐標(biāo)原點(diǎn)建立平面直角坐標(biāo)系，寫(xiě)出點(diǎn)，的坐標(biāo)，設(shè)且，，求出和的坐標(biāo)，然后計(jì)算，再求出其最小值即可．【解答】解：在中，，，，，是等腰直角三角形，，如右圖所示，以所在的直線為軸，以的中點(diǎn)為坐標(biāo)原點(diǎn)建立平面直角坐標(biāo)系，則，，，，，設(shè)，，，則，，，，，，當(dāng)時(shí)，取最小值，故答案為：．【點(diǎn)評(píng)】本題主要考查平面向量數(shù)量積的坐標(biāo)運(yùn)算及最值的求法，屬于中檔題．12．【分析】求出，分別求出，的表達(dá)式，從而求出關(guān)于的表達(dá)式．【解答】解：點(diǎn)，分別在邊與上，，則，在中，，在中，，，即道路的長(zhǎng)度與的函數(shù)關(guān)系為，故答案為：．【點(diǎn)評(píng)】本題主要考查了函數(shù)的實(shí)際應(yīng)用，考查了三角函數(shù)的性質(zhì)，是中檔題．三、解答題，共4小題，共51分.解答應(yīng)寫(xiě)出文字說(shuō)明，演算步驟或證明過(guò)程.13．【分析】（1）設(shè)與垂直的非零向量，根據(jù)垂直性質(zhì)得到，關(guān)系式，即可得到答案；（2）根據(jù)向量夾角公式可得，代入計(jì)算即可；（3）結(jié)合（2）得到向量在向量上投影的數(shù)量為，代入計(jì)算即可；（4）表示出，，利用向量共線性質(zhì)，得到關(guān)于的方程，解之即可；（5）表示出，利用向量模的求解公式即可求出答案．【解答】解：（1）由題得，設(shè)與垂直的非零向量，則，令，則，即；（2）由題得，，，則；（3）向量在向量上投影的數(shù)量為；（4），，，，，，，，因?yàn)?/span>，所以，解得；（5），，，．【點(diǎn)評(píng)】本題考查平面向量數(shù)量積的運(yùn)算性質(zhì)，涉及向量垂直、向量共線、向量夾角公式等，考查學(xué)生計(jì)算能力，屬于中檔題．14．【分析】（1）易角是第三象限的角，從而確定的符號(hào)，再由同角三角函數(shù)的關(guān)系式，得解；（2）結(jié)合（1）中結(jié)論，根據(jù)兩角和的正弦公式，展開(kāi)運(yùn)算，即可；（3）可得，再求得的值，根據(jù)，由兩角差的余弦公式，展開(kāi)運(yùn)算即可．【解答】解：（1）由題意知，角是第三象限的角，，，．（2）．（3）由（1）知，，，，，，，．【點(diǎn)評(píng)】本題考查三角恒等變換的綜合應(yīng)用，熟練掌握兩角和差公式，同角三角函數(shù)的關(guān)系式是解題的關(guān)鍵，考查邏輯推理能力和運(yùn)算能力，屬于中檔題．15．【分析】由題意利用三角函數(shù)的圖象和性質(zhì)，得出結(jié)論．【解答】解：函數(shù)，，（1）函數(shù)的單調(diào)遞增區(qū)間為，，，故答案為：，，．（2）函數(shù)，令，求得，可得函數(shù)的單調(diào)遞增區(qū)間為，，．（3）函數(shù)，令，求得，可得函數(shù)圖象的對(duì)稱軸方程為，．（4）求解不等式，即，即，求得，．故原不等式的解集為，．【點(diǎn)評(píng)】本題主要考查三角函數(shù)的圖象和性質(zhì)，屬于中檔題．16．【分析】若取①：（1）利用三角函數(shù)恒等變換化簡(jiǎn)函數(shù)解析式，利用特殊角的三角函數(shù)值即可計(jì)算得解．（2）利用正弦函數(shù)的周期公式可求的最小正周期，利用正弦函數(shù)的對(duì)稱性即可求解一條對(duì)稱軸方程．（3）由題意可求，利用正弦函數(shù)的性質(zhì)即可求解其最值．若取②：（1）利用三角函數(shù)恒等變換及配方法化簡(jiǎn)函數(shù)解析式，利用特殊角的三角函數(shù)值即可計(jì)算得解．（2）利用函數(shù)的周期性和對(duì)稱性即可求解．（3）由題意可求，利用二次函數(shù)的性質(zhì)即可求解其最值．【解答】解：若取①，（1），；（2），的最小正周期；（3），，函數(shù)在，上的最大值為：，函數(shù)在，上的最小值為：．若取②，（1），；（2），的最小正周期．（3），，函數(shù)在，上的最大值為：，函數(shù)在，上的最小值為：．【點(diǎn)評(píng)】本題考查三角函數(shù)的圖象與性質(zhì)的應(yīng)用問(wèn)題，考查轉(zhuǎn)化與運(yùn)算能力，屬于中檔題．一、選擇題共2小題，每小題2分，共4分.在每小題的四個(gè)選項(xiàng)中，選出符合條件的一項(xiàng).17．【分析】對(duì)于：取時(shí)，即可判斷是否正確；對(duì)于：利用兩角和差公式化簡(jiǎn)，即可判斷是否正確；對(duì)于：取，時(shí)，，即可判斷是否正確；對(duì)于：利用兩角和差公式化簡(jiǎn)，即可判斷是否正確；【解答】解：對(duì)于：取時(shí)，，故正確；對(duì)于，故正確；對(duì)于：當(dāng)，時(shí)，，故正確；對(duì)于，故錯(cuò)誤，故選：．【點(diǎn)評(píng)】本題考查三角函數(shù)的恒等變換，解題中需要理清思路，屬于中檔題．18．【分析】根據(jù)已知條件，結(jié)合三角函數(shù)的輔助角公式和正弦函數(shù)的性質(zhì)，即可求解．【解答】解：，其中，，又當(dāng)時(shí)，取得最大值，，化簡(jiǎn)可得，，解得．故選：．【點(diǎn)評(píng)】本題主要考查三角函數(shù)的輔助角公式和正弦函數(shù)的性質(zhì)，屬于基礎(chǔ)題．二、填空題共2小題，每小題2分，共4分.19．【分析】根據(jù)題意，設(shè)菱形的邊長(zhǎng)為，用、表示、，由向量數(shù)量積的計(jì)算公式可得，解可得的值，即可得答案．【解答】解：根據(jù)題意，設(shè)菱形的邊長(zhǎng)為，則，，則，若，則，解可得：；故答案為：．【點(diǎn)評(píng)】本題考查向量數(shù)量積的性質(zhì)以及應(yīng)用，涉及平面向量基本定理的應(yīng)用，屬于基礎(chǔ)題．20．【分析】由題意利用正弦函數(shù)的增區(qū)間，求得的取值范圍．【解答】解：函數(shù)在區(qū)間上單調(diào)遞減，，且，求得，令，可得的取值范圍為，，故答案為：，．【點(diǎn)評(píng)】本題主要考查正弦函數(shù)的增區(qū)間，屬于中檔題．三、解答題（5分，解答應(yīng)寫(xiě)出文字說(shuō)明，演算步驟或證明過(guò)程）.21．【分析】（1）利用，代入數(shù)據(jù)求解即可；（2）由折射光線為虹，所以，根據(jù)幾何性質(zhì)求出，代入公式求解，再利用同角三角函數(shù)關(guān)系式求解即可；（3）由折射光線為霓，所以，根據(jù)幾何性質(zhì)求出，代入公式求解，再利用同角三角函數(shù)關(guān)系式求解即可．【解答】解：（1）由題意可得，，所以，因?yàn)?/span>，所以；（2）折射光線為虹，所以，所以，且，故，又，所以，所以；（3）因?yàn)檎凵涔饩€為霓，所以，則，且，所以，因?yàn)?/span>，所以，故．【點(diǎn)評(píng)】本題考查了數(shù)學(xué)在實(shí)際問(wèn)題中的應(yīng)用，折射光線的理解與應(yīng)用，邊角關(guān)系的應(yīng)用以及同角三角函數(shù)關(guān)系式的應(yīng)用，考查了邏輯推理能力與化簡(jiǎn)運(yùn)算能力，屬于中檔題．

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