2021北京北大附中高一下期末數(shù)    學注意事項1．考試時間:90分鐘；滿分:100分。2．所有試題答案都寫在答題紙的規(guī)定位置超出范圍無效。3．使用黑色字跡的簽字筆或鋼筆答題，不得使用鉛筆答題。不能使用涂改液、膠帶紙、修正帶修改。4．只呈交答題紙，試卷自己留存。 I卷(共87分)一、選擇題：共6小題，每小題3分，共18分.在每小題的四個選項中，選出符合條件的一項。1．在△ABC中，∠A=30°, AC=2, AB= , 則BC= (    )A.   B.2   C.   D.32．已知復數(shù),,則復數(shù)在復平面內所表示的點位于(    )A.第一象限   B.第二象限  C.第三象限  D.第四象限3．如右圖，在正方體中，面對角線條數(shù)、體對角線條數(shù)、與AB異面的棱數(shù)分別為(    )A.8，4，5   B.12，8，4C.12，4，4   D.8，8，44．已知圓錐的軸截面是邊長為1的等邊三角形，則它的側面展開圖中圓心角大小為(    ). A. π   B. (+1)π    C. π  D. 5．在△ABC中，內角A、B、C所對的邊分別為a、b、c. 若a=4，b=5，則當c=(    )時，△ABC是鈍角三角形.A.1    B.2    C.3  D.46．同為瓶裝水，有些瓶子的下半部分可以大致地看成是正四棱柱(比如某哈哈)，還有一些瓶子的下半部分可以大致地看成是圓柱(比如一層誠信水站的某山泉)．從數(shù)學角度來看，不同的設計各有什么優(yōu)點呢？現(xiàn)在考慮兩個等高、且均無上底面的圓柱和正四棱柱．在正四棱柱中裝滿水后，再將正四棱柱中的水全部倒入圓柱中，發(fā)現(xiàn)這些水也恰好可以注滿圓柱．則此正四棱柱和圓柱的底面積、表面積的關系為(    )A.底面積相等、表面積相等; B.底面積相等、圓柱的表面積小;C.底面積相等、圓柱的表面積大: D. 底面積和表面積都是正四棱柱比較小.二、填空題：共6小題，每小題3分，共18分.7．在△ABC中，c＝1, b＝，C＝，則B＝       ．8．在△ABC中，a=7，b=4，c=，則△ABC中最小角的大小為        ，△ABC的面積為        ．9．已知為i虛數(shù)單位，且復數(shù)z滿足.則的最大值為        ．10.異面直線的判定方法，文字語言描述為：平面的一條交線與面內不經過交點的直線異面；圖形語言呈現(xiàn)為：符號語言表達為：                                    ，則直線a與b異面．11．已知正四棱錐S-ABCD中，底面邊長為2，斜高為，則正四棱錐的體積為         ．12．平面四邊形ABCD中，AB=BC=CA=2,AD=DC，∠CDA= 90°，把三角形ABC沿AC折起，使得三角形ABC所在平面與三角形ACD所在平面垂直，連接BD，則直線BD與平面ACD所成角的余弦值為_____，點C到平面ABD的距離為        ．三、解答題：共4小題，共51分，解答應寫出文字說明，演算步驟或證明過程.13．已知復數(shù)其中m∈R,（1）若已知z為純虛數(shù)，求m的值并求z的虛部； （2）當m=2時，求； （3）若，求實數(shù)m，x的值． 14．如圖，△ABC是等邊三角形，點D在邊AC的延長線上，且AC=2CD，BD=,求（1）CD的長；（2）sin∠ABD； 15．已知長方體中，AB=2,，（1）若是中點，則EB=       .（2）EB與CD所成角的余弦值為       . （3）求證：面//面；（4）如圖，取線段AB上靠近點A的四等分點F，求證:平面⊥面.
16．已知△ABC滿足條件C＝，試從下列三條件① a＝c. ② cosB= ③ b=中再選出兩個，（1）若選出的兩個條件與條件C＝的組合使得△ABC不存在，則選出的兩個條件是             .并說明理由.  （2）若選出的兩個條件與條件C＝的組合使得△ABC存在且唯一，則選出的兩個條件是             .并求AB的長度.  II卷(共13分)一、選擇題：共2小題，每小題2分，其4分在每小題的四個選項中，遠出符合條件的一項。17．在△ABC中，若acosB-bcosA=c，則△ABC為(    )三角形.A.銳角   B.直角   C.鈍角   D.無法確定18．如圖，正方體的棱長為2,點O為底面ABCD的中心，點P在側面的邊界及其內部運動，且⊥,則△面積的最大值為(    ).A.    B. 2 C.   D.1 二、填空題：共2小題，每小題2分，共4分19．在△ABC中，a=3，b=2，∠B=2∠A，則cosA=           ， c=          .20．已知是各棱長均等于a的正三棱柱，D是側棱的中點，則平面ABC與平面所成角的大小為         .三、解答題(5分).21.定義：球冠及其高；球面與一個平面相交，被該平面截得的其中-個部分稱為球冠，球與平面垂直的直徑被平面分割的兩條線段中，與球冠同側的部分稱為該球冠的高(如圖)球冠的表面積，其中h為球冠的高，R為球半徑。2021年7月4日，中國天宮空間站宇航員首次執(zhí)行了出艙活動，其中國首創(chuàng)的太空7軸智能機器臂起到了很好的輔助作用。多軸機器人，是以三維直角坐標系統(tǒng)為基本數(shù)學模型的機器人系統(tǒng)，可以完成在局部空間中任意一點的到達，并遵循可控的運動軌跡。機器臂結構中能夠獨立運動的關節(jié)，稱為機器臂的軸，軸的數(shù)目稱為機器臂的自由度。機器臂的空間幾何特點是：軸臂末端可沿著固定線路往返運動，這些線路所在直線或平面之間平行或空間夾角為直角。目前工業(yè)用機察臂的自由度一般為3-7.（1）一種3軸機器臂(如圖1)，它的三個軸可以允許機器人沿三個互相垂直的軸的方向進行直線運動，這種機器臂一般被用于簡單的搬運工作，例如搬運碼頭貨物的龍門吊和物流倉儲立體庫房的取貨機器人.若該機器臂x，y，z軸長分別為a,b.c. 求：底座固定時機器臂末端手能達到的空間體積.
（2）一種2軸測試用機器臂，結構簡化如下(如圖2):第一節(jié)軸臂視為線段OA,其運動軌跡為以0為圓心，半徑為OA的圓；第二節(jié)軸臂視為線段AB,其運動軌跡為以A為圓心，半徑為AB的圓，且OA⊥AB,兩個圓所在平面互相垂真.若兩臂長均為1，描述機器臂末端點B能達到的空間區(qū)域特征,繪制出圖形，并求出區(qū)域的面積. （3）一種3軸測試用機器臂，結構簡化如下（如圖3）:第一節(jié)軸臂視為線段OA,其運動軌跡為以0為球心，半徑為OA的球面；第二節(jié)軸臂視為線段AB,其運動軌跡為以A為圓心，半徑為AB的圓，且始終保持0A⊥AB；第三節(jié)軸臂視為線段BC,其運動軌跡為以B為圓心，半徑為BC的圓，且始終保持AB⊥BC；若三臂長OA=a，AB=b，BC=c且a,b,c∈，問是否存在數(shù)組b，c),使得機器臂末端C能到達以0為球心的單位球體空間任意一點? 若能，例舉數(shù)組(a，b，c)并證明之；若不能，說明理由。 

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