2022-2023學(xué)年湖南省長(zhǎng)沙一中雙語(yǔ)中學(xué)九年級(jí)（上）期末數(shù)學(xué)試卷1.  的倒數(shù)是(    )A. 2023 B.  C.  D. 2.  下列運(yùn)算正確的是(    )A.  B.  C.  D. 3.  已知點(diǎn)，則P到y軸的距離為(    )A.  B. 4 C. 3 D. 4.  為落實(shí)“雙減”政策，某校利用課后服務(wù)開(kāi)展形式多樣的活動(dòng)，七、八、九年級(jí)共有50人參加書(shū)法學(xué)習(xí)，其中七年級(jí)的人數(shù)比八年級(jí)人數(shù)的2倍少1人，設(shè)八年級(jí)的人數(shù)為x人，則九年級(jí)的人數(shù)為(    )A.  B.  C.  D. 5.  如圖是由6個(gè)大小相同的正方體搭成的幾何體，其左視圖是(    )A.
B.
C.
D. 6.  下列說(shuō)法正確的是(    )A. 概率很小的事件是不可能事件
B. “任意畫(huà)出一個(gè)平行四邊形，它是中心對(duì)稱(chēng)圖形”是必然事件
C. 某彩票的中獎(jiǎng)概率是，那么買(mǎi)100張彩票一定有5張中獎(jiǎng)
D. 只要試驗(yàn)的次數(shù)足夠多，頻率就等于概率7.  在惠水縣中小學(xué)安全知識(shí)競(jìng)賽中，參加決賽的6個(gè)同學(xué)獲得的分?jǐn)?shù)分別為：95、97、97、96、98、95，對(duì)于這6個(gè)同學(xué)的成績(jī)下列說(shuō)法正確的是(    )A. 眾數(shù)為95 B. 眾數(shù)為97 C. 平均數(shù)為96 D. 極差為38.  如圖，將三角形紙板的直角頂點(diǎn)放在直尺的一邊上，，則等于(    )A.
B.
C.
D. 9.  如圖，四邊形ABCD內(nèi)接于，如果的度數(shù)為，則的度數(shù)為(    )A.
B.
C.
D. 10.  如圖，在中，，以A為圓心，任意長(zhǎng)為半徑畫(huà)弧分別交AB、AC于點(diǎn)M和N，再分別以M、N為圓心，大于的長(zhǎng)為半徑畫(huà)弧，兩弧交于點(diǎn)P，連接AP并延長(zhǎng)交BC于點(diǎn)D，若，則下列說(shuō)法中正確的個(gè)數(shù)是(    )
①AD是的平分線；
②；
③點(diǎn)D在AB的中垂線上；
④：：A. 1 B. 2 C. 3 D. 411.  已知，則______.12.  如果，那么a的取值范圍是______ .13.  關(guān)于x的一元二次方程有一個(gè)根是0，則k的值是______.14.  如圖，在中，點(diǎn)F、G在BC上，點(diǎn)E、H分別在AB、AC上，四邊形EFGH是矩形，，AD是的高，，，那么EH的長(zhǎng)為______.
15.  如圖，與x軸相切，與y軸相交于點(diǎn)、，那么扇形BAC的面積是______ .
 16.  如圖，中，，頂點(diǎn)A，B分別在反比例函數(shù)與的圖象上，則的度數(shù)為______ .
 17.  計(jì)算：18.  解下列一元二次方程：
；
 19.  體溫檢測(cè)是疫情防控中的一項(xiàng)重要工作，某公司設(shè)計(jì)了一款紅外線體溫檢測(cè)儀，該設(shè)備通過(guò)探測(cè)人體紅外輻射的能量對(duì)進(jìn)入測(cè)溫區(qū)域的人員進(jìn)行快速體溫檢測(cè)，無(wú)需人員停留和接觸.如圖所示，AC是水平地面，其中AB是測(cè)溫區(qū)域，測(cè)溫儀安裝在豎直標(biāo)桿PC上的點(diǎn)D處，若該測(cè)溫儀能識(shí)別體溫的最大張角為即，能識(shí)別體溫的最小張角為即
當(dāng)設(shè)備安裝高度米時(shí)，求出圖中AC的長(zhǎng)度；結(jié)果保留根號(hào)
為了達(dá)到良好的檢測(cè)效果，該公司要求測(cè)溫區(qū)AB的長(zhǎng)不低于3米，請(qǐng)計(jì)算得出設(shè)備的最低安裝高度CD是多少？結(jié)果保留1位小數(shù)，參考數(shù)據(jù)：
20.  為提高學(xué)生的綜合素養(yǎng)，我校開(kāi)設(shè)了四個(gè)興趣小組，A“健美操”、B“跳繩”、C“剪紙”、D“書(shū)法”.為了了解學(xué)生對(duì)每個(gè)興趣小組的喜愛(ài)情況，隨機(jī)抽取了部分同學(xué)進(jìn)行調(diào)查，并將調(diào)查結(jié)果繪制出下面不完整的統(tǒng)計(jì)圖，請(qǐng)結(jié)合圖中的信息解答下列問(wèn)題：

本次共調(diào)查了______ 名學(xué)生；并將條形統(tǒng)計(jì)圖補(bǔ)充完整；
組所對(duì)應(yīng)的扇形圓心角為______ 度；
若我校共有學(xué)生2000人，則估計(jì)該校喜歡跳繩的學(xué)生人數(shù)約是______ ；
現(xiàn)選出了4名跳繩成績(jī)最好的學(xué)生，其中有1名男生和3名女生.要從這4名學(xué)生中任意抽取2名學(xué)生去參加比賽，請(qǐng)用列表法或畫(huà)樹(shù)狀圖法，求剛好抽到1名男生與1名女生的概率.21.  如圖，在中，，，垂足分別為D，E，AD與BE相交于點(diǎn)
求證：∽；
當(dāng)，時(shí)，求BF的長(zhǎng)．
22.  2020年，受新冠肺炎疫情影響．口罩緊缺，某網(wǎng)店以每袋8元一袋十個(gè)的成本價(jià)購(gòu)進(jìn)了一批口罩，二月份以一袋14元銷(xiāo)售了256袋，三、四月該口罩十份暢銷(xiāo)，銷(xiāo)售量持續(xù)走高，在售價(jià)不變的基礎(chǔ)上，四月份的銷(xiāo)售量達(dá)到400袋．
求三、四這兩個(gè)月銷(xiāo)售量的月平均增長(zhǎng)率；
為回饋客戶(hù)．該網(wǎng)店決定五月降價(jià)促銷(xiāo)．經(jīng)調(diào)查發(fā)現(xiàn)．在四月分銷(xiāo)量的基礎(chǔ)上，該口罩每袋降價(jià)1元，銷(xiāo)售量就增加40袋，當(dāng)口罩每袋降價(jià)多少元時(shí)，五月份可獲利1920元？23.  如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，已知的兩條直角邊OA、OB分別在y軸和x軸上，，，且動(dòng)點(diǎn)P從點(diǎn)A開(kāi)始在線段AO上以每秒1個(gè)單位長(zhǎng)度的速度向點(diǎn)O運(yùn)動(dòng)；同時(shí)，動(dòng)點(diǎn)Q從點(diǎn)B開(kāi)始在線段BA上以每秒2個(gè)單位長(zhǎng)度的速度向點(diǎn)A運(yùn)動(dòng)，設(shè)點(diǎn)P、Q運(yùn)動(dòng)的時(shí)間為t秒.
求A、B兩點(diǎn)的坐標(biāo)；
當(dāng)與相似時(shí)，求t的值；
當(dāng)時(shí)，在坐標(biāo)平面內(nèi)，是否存在點(diǎn)M，使以A、P、Q、M為頂點(diǎn)的四邊形是平行四邊形？若存在，請(qǐng)直接寫(xiě)出M點(diǎn)的坐標(biāo)；若不存在，請(qǐng)說(shuō)明理由.
24.  定義：我們知道，四邊形的一條對(duì)角線把這個(gè)四邊形分成了兩個(gè)三角形，如果這兩個(gè)三角形相似不全等，我們就把這條對(duì)角線叫做這個(gè)四邊形的“相似對(duì)角線”.

如圖1，已知在正方形網(wǎng)格中，請(qǐng)你只用無(wú)刻度的直尺在網(wǎng)格中找到一點(diǎn)D，使四邊形ABCD是以AC為“相似對(duì)角線”的四邊形畫(huà)出1個(gè)即可；
如圖2，圓內(nèi)接四邊形ABCD中，，點(diǎn)E是的中點(diǎn)，連結(jié)BE交CD于點(diǎn)F，連結(jié)AF，
①求證：BF是四邊形ABCF的“相似對(duì)角線”；
②若的面積，求線段BF的長(zhǎng).25.  已知拋物線經(jīng)過(guò)，兩點(diǎn)，且與y軸交于點(diǎn)
求拋物線的函數(shù)關(guān)系式；
如圖1，連接AC，E為線段AC上一點(diǎn)且橫坐標(biāo)為1，是外接圓，求圓心P點(diǎn)的坐標(biāo)；
如圖2，連接AC，E為線段AC上任意一點(diǎn)不與A、C重合經(jīng)過(guò)A、E、O三點(diǎn)的圓交直線AB于點(diǎn)F；
①點(diǎn)E在運(yùn)動(dòng)過(guò)程中四邊形OEAF的面積是否為定值？如果是，請(qǐng)求出這個(gè)定值；如果不是，請(qǐng)說(shuō)明理由；
②求出當(dāng)的面積取得最大值時(shí)，點(diǎn)E的坐標(biāo).

答案和解析 1.【答案】D 【解析】解：的倒數(shù)是
故選：
根據(jù)倒數(shù)的定義解答即可．
此題考查的是倒數(shù)的定義，乘積是1的兩數(shù)互為倒數(shù)．
 2.【答案】D 【解析】解：A、，本選項(xiàng)計(jì)算錯(cuò)誤，不符合題意；
B、，本選項(xiàng)計(jì)算錯(cuò)誤，不符合題意；
C、，本選項(xiàng)計(jì)算錯(cuò)誤，不符合題意；
D、，本選項(xiàng)計(jì)算正確，符合題意；
故選：
根據(jù)冪的乘方法則、合并同類(lèi)項(xiàng)法則、同底數(shù)冪的除法法則、同底數(shù)冪的乘法法則計(jì)算，判斷即可．
本題考查的是單項(xiàng)式乘單項(xiàng)式、同底數(shù)冪的乘除法、合并同類(lèi)項(xiàng)，掌握它們的運(yùn)算法則是解題的關(guān)鍵．
 3.【答案】C 【解析】解：，則點(diǎn)P到y軸的距離是
故選：
根據(jù)點(diǎn)到y軸的距離是點(diǎn)的橫坐標(biāo)的絕對(duì)值，可得答案．
本題考查了點(diǎn)的坐標(biāo)，點(diǎn)到x軸的距離是點(diǎn)的縱坐標(biāo)的絕對(duì)值，點(diǎn)到y軸的距離是點(diǎn)的橫坐標(biāo)的絕對(duì)值．
 4.【答案】C 【解析】解：由題意得：七年級(jí)參加書(shū)法學(xué)習(xí)的人數(shù)為：人，
則九年級(jí)參加書(shū)法學(xué)習(xí)的人數(shù)為：人，
故選：
用含x的代數(shù)式表示出七年級(jí)的人數(shù)，再用總?cè)藬?shù)減去七、八年級(jí)的人數(shù)即可．
本題主要考查列代數(shù)式，解答的關(guān)鍵是理解清楚題意找到等量關(guān)系．
 5.【答案】B 【解析】解：該幾何體從左邊看，有兩列，從左到右第一列有兩個(gè)正方形，第二列有一個(gè)正方形．
故選：
左視圖是從物體的左邊觀察得到的圖形，結(jié)合選項(xiàng)進(jìn)行判斷即可．
本題考查了簡(jiǎn)單組合體的三視圖，屬于基礎(chǔ)題，解答本題的關(guān)鍵是掌握左視圖的定義．
 6.【答案】B 【解析】解：A、概率很小的事件也可能發(fā)生，是隨機(jī)事件，不是不可能事件，本選項(xiàng)錯(cuò)誤；
B、平行四邊形是中心對(duì)稱(chēng)圖形，本選項(xiàng)正確；
C、中獎(jiǎng)概率只是一種可能性，并不一定中獎(jiǎng)，本選項(xiàng)錯(cuò)誤；
D、試驗(yàn)的次數(shù)足夠多時(shí)，頻率只是穩(wěn)定在概率附近，頻率不一定等于概率，本選項(xiàng)錯(cuò)誤．
故選
根據(jù)概率的定義解答．
本題考查了概率的意義，熟悉概率的分類(lèi)是解題的關(guān)鍵．
 7.【答案】D 【解析】解：和97都出現(xiàn)了2次，出現(xiàn)的次數(shù)最多，
眾數(shù)是95和97，
這組數(shù)據(jù)的平均數(shù)是：，
極差是：
故選：
根據(jù)中位數(shù)、眾數(shù)和極差的概念分別進(jìn)行求解，即可得出答案．
此題考查了中位數(shù)、眾數(shù)和極差的概念．本題為統(tǒng)計(jì)題，中位數(shù)是將一組數(shù)據(jù)從小到大或從大到小重新排列后，最中間的那個(gè)數(shù)最中間兩個(gè)數(shù)的平均數(shù)，叫做這組數(shù)據(jù)的中位數(shù)，如果中位數(shù)的概念掌握得不好，不把數(shù)據(jù)按要求重新排列，就會(huì)錯(cuò)誤地將這組數(shù)據(jù)最中間的那個(gè)數(shù)當(dāng)作中位數(shù)．
 8.【答案】D 【解析】解：，
，
，，
，
，
故選：
根據(jù)兩直線平行同位角相等，得到、和的數(shù)量關(guān)系，進(jìn)而求出的度數(shù)．
本題考查平行線的性質(zhì)和外角，能夠正確運(yùn)用平行線的性質(zhì)是解答本題的關(guān)鍵．
 9.【答案】B 【解析】解：的度數(shù)為，
，
四邊形ABCD內(nèi)接于，
，
，
故選：
根據(jù)圓周角定理求出，根據(jù)圓內(nèi)接四邊形的性質(zhì)得到，根據(jù)鄰補(bǔ)角的概念求出即可．
本題考查的是圓內(nèi)接四邊形的性質(zhì)、圓周角定理，掌握?qǐng)A內(nèi)接四邊形的對(duì)角互補(bǔ)是解題的關(guān)鍵．
 10.【答案】C 【解析】解：①根據(jù)作圖的過(guò)程可知，AD是的平分線．故①正確；
②，，
，
是的平分線，
，
，
故②正確；
③，
，
點(diǎn)D在AB的中垂線上．故③正確；
④，
，
，
：：3，
：：故④不正確．
綜上所述，正確的有：①、②、③．
故選：
①根據(jù)作圖的過(guò)程可以判定AD是的角平分線；
②利用角平分線的定義以及，可以推知，則由直角三角形的性質(zhì)來(lái)求的度數(shù)；
③利用等角對(duì)等邊可以證得的等腰三角形，由線段的垂直平分線的性質(zhì)可以證明點(diǎn)D在AB的中垂線上；
④利用角所對(duì)的直角邊是斜邊的一半、三角形的面積計(jì)算公式來(lái)求兩個(gè)三角形的面積之比．
本題考查了角平分線的性質(zhì)、線段垂直平分線的性質(zhì)以及作圖-基本作圖．熟悉等腰三角形的判定與性質(zhì)是解題的關(guān)鍵．
 11.【答案】 【解析】解：，
，
；
故答案為：
根據(jù)比例的性質(zhì)可進(jìn)行求解．
本題主要考查比例的性質(zhì)，熟練掌握比例的性質(zhì)是解題的關(guān)鍵．
 12.【答案】 【解析】解：，
，
解得：
故答案為：
直接利用二次根式的性質(zhì)化簡(jiǎn)得出答案．
此題主要考查了二次根式的性質(zhì)與化簡(jiǎn)，正確掌握二次根式的性質(zhì)是解題關(guān)鍵．
 13.【答案】2 【解析】解：把代入一元二次方程，得
，
解得，，
而，即
所以k的值為
故答案為：
根據(jù)一元二次方程的解的定義得到，再解關(guān)于k的方程，然后根據(jù)一元二次方程的定義確定k的值．
本題考查了一元二次方程的解：能使一元二次方程左右兩邊相等的未知數(shù)的值是一元二次方程的解．也考查了一元二次方程的定義．
 14.【答案】 【解析】解：設(shè)AD交EH于點(diǎn)R，
矩形EFGH的邊FG在BC上，
，，
∽，
于點(diǎn)D，
，
，
，
，，，
，
，，，
，
解得，
的長(zhǎng)為，
故答案為：
設(shè)AD交EH于點(diǎn)R，由矩形EFGH的邊FG在BC上證明，，則∽，得，其中，，，可以列出方程，解方程求出EH的值即可．
此題重點(diǎn)考查矩形的性質(zhì)、兩條平行線之間的距離處處相等、相似三角形的判定與性質(zhì)等知識(shí)，根據(jù)“相似三角形對(duì)應(yīng)高的比等于相似比”列方程是解題的關(guān)鍵．
 15.【答案】 【解析】解：做，假設(shè)與x軸相切于E點(diǎn)，連接AE，做，
假設(shè)，圖象與y軸相交于點(diǎn)、，
，，
，，
，
，
解得：，
，
為等邊三角形，
，
扇形BAC的面積是：
故答案為：
利用垂徑定理的內(nèi)容得出，進(jìn)而得出AD與半徑的關(guān)系，從而得出為等邊三角形，利用扇形面積公式求出即可．
此題主要考查了等邊三角形的判定方法以及扇形的面積求法等知識(shí)，利用已知得出是解決問(wèn)題的關(guān)鍵．
 16.【答案】 【解析】解：過(guò)A作軸于點(diǎn)C，過(guò)B作軸于D，
則，
頂點(diǎn)A，B分別在反比例函數(shù)與的圖象上，
，，
，
，
，
∽，
，
，
，
，
故答案為：
過(guò)A作軸，過(guò)B作軸于D，于是得到，根據(jù)反比例函數(shù)的性質(zhì)得到，，根據(jù)相似三角形的性質(zhì)得到，求得，根據(jù)三角函數(shù)的定義即可得到結(jié)論．
此題考查了相似三角形的判定與性質(zhì)、反比例函數(shù)的性質(zhì)以及直角三角形的性質(zhì)．解題時(shí)注意掌握數(shù)形結(jié)合思想的應(yīng)用，注意掌握輔助線的作法．
 17.【答案】解：原式

 【解析】先化簡(jiǎn)，再進(jìn)行加減運(yùn)算．
本題考查了特殊角的三角函數(shù)值的混合運(yùn)算，掌握特殊角的三角函數(shù)值，負(fù)整數(shù)指數(shù)冪，開(kāi)方運(yùn)算，合并同類(lèi)二次根式是解題的關(guān)鍵．
 18.【答案】解：，
，
解得：，；
，

，
解得：， 【解析】因式分解法解一元二次方程即可；
因式分解法解一元二次方程即可．
本題考查解一元二次方程，熟練掌握因式分解法解一元二次方程是解題的關(guān)鍵．
 19.【答案】解：由題意可知：，，米，
米；
，，
，
又，
，
米，
在中，，，
米米米，
答：最低安裝高度為米． 【解析】根據(jù)特殊角的三角函數(shù)值解答即可；
根據(jù)已知條件判斷，再解直角三角形BDC即可．
本題考查了解直角三角形的應(yīng)用，解決本題的關(guān)鍵是掌握題目中的等量關(guān)系．
 20.【答案】40 72 800 【解析】解：名；
本次共調(diào)查了40名學(xué)生；
C組人數(shù)為：名，補(bǔ)全條形圖如下：

故答案為：40；
；
組所對(duì)應(yīng)的扇形圓心角為72度；
故答案為：72；
人；
估計(jì)該校喜歡跳繩的學(xué)生人數(shù)約是800；
故答案為：800；
列表如下：

由表格可知，共有12種等可能的情況，其中剛好抽到1名男生與1名女生的情況有6種，

用A組人數(shù)除以所占的百分比，求出總數(shù)，總數(shù)減去其他組的人數(shù)求出C組人數(shù)，補(bǔ)全條形圖即可；
用組人數(shù)所占的百分比，求出圓心角的度數(shù)即可；
用全校人數(shù)乘以樣本中喜歡跳繩的學(xué)生所占的比例，即可得解；
利用列表法進(jìn)行求解即可．
本題考查扇形圖與條形圖的綜合應(yīng)用，以及利用列表法求概率．從統(tǒng)計(jì)圖中有效的獲取信息，利用頻數(shù)除以百分比求出總數(shù)，熟練掌握列表法求概率，是解題的關(guān)鍵．
 21.【答案】證明：，，
，
，，
，
∽
，
，
，
∽，
，
 【解析】由，，推出，由此即可證明．
先證明，由∽，得，即可解決問(wèn)題．
本題考查相似三角形的判定和性質(zhì)、三角函數(shù)等知識(shí)，解題的關(guān)鍵是熟練掌握相似三角形的判定和性質(zhì)，屬于中考?？碱}型．
 22.【答案】解：設(shè)三、四這兩個(gè)月銷(xiāo)售量的月平均增長(zhǎng)率為x，
依題意，得：，
解得：，不合題意，舍去
答：三、四這兩個(gè)月銷(xiāo)售量的月平均增長(zhǎng)率為
設(shè)口罩每袋降價(jià)y元，則五月份的銷(xiāo)售量為袋，
依題意，得：，
化簡(jiǎn)，得：，
解得：，不合題意，舍去
答：當(dāng)口罩每袋降價(jià)2元時(shí)，五月份可獲利1920元． 【解析】設(shè)三、四這兩個(gè)月銷(xiāo)售量的月平均增長(zhǎng)率為x，根據(jù)二月份及四月份口罩的月銷(xiāo)售量，即可得出關(guān)于x的一元二次方程，解之取其正值即可得出結(jié)論；
設(shè)口罩每袋降價(jià)y元，則五月份的銷(xiāo)售量為袋，根據(jù)總利潤(rùn)=每袋口罩的銷(xiāo)售利潤(rùn)月銷(xiāo)售數(shù)量結(jié)合五月份可獲利1920元，即可得出關(guān)于y的一元二次方程，解之取其正值即可得出結(jié)論．
本題考查了一元二次方程的應(yīng)用，找準(zhǔn)等量關(guān)系，正確列出一元二次方程是解題的關(guān)鍵．
 23.【答案】解：在，，
設(shè)，，則：，
，
，
，
，，
，；
動(dòng)點(diǎn)P從點(diǎn)A開(kāi)始在線段AO上以每秒1個(gè)單位長(zhǎng)度的速度向點(diǎn)O運(yùn)動(dòng)；同時(shí)，動(dòng)點(diǎn)Q從點(diǎn)B開(kāi)始在線段BA上以每秒2個(gè)單位長(zhǎng)度的速度向點(diǎn)A運(yùn)動(dòng)，
，，
；
①當(dāng)∽時(shí)：

，即：，

解得：；
②當(dāng)∽時(shí)：

，即：，
解得：；
綜上：或；
解：存在；
當(dāng)時(shí)，，，
，

過(guò)點(diǎn)Q作軸于點(diǎn)E，

則：，
，
，
設(shè)，，
則：，
，
，
，
；
當(dāng)以A、P、Q、M為頂點(diǎn)的四邊形是平行四邊形時(shí)：設(shè)，
①當(dāng)AP為對(duì)角線時(shí)：，
解得：，
即：；
②當(dāng)AQ為對(duì)角線時(shí)：，
解得：，
即：；
③當(dāng)QP為對(duì)角線時(shí)：，
解得：，
即：；

綜上：當(dāng)M點(diǎn)坐標(biāo)為：或或時(shí)，以A、P、Q、M為頂點(diǎn)的四邊形是平行四邊形． 【解析】利用，，求出OA，OB的長(zhǎng)，即可得解；
分∽和∽兩種情況，進(jìn)行討論求解；
分別以AP，AQ，PQ，為對(duì)角線，進(jìn)行討論求解即可．
本題是相似形綜合題，考查坐標(biāo)與圖形，相似三角形的性質(zhì)，解直角三角形，勾股定理，平行四邊形的性質(zhì)．熟練掌握并運(yùn)用相關(guān)知識(shí)點(diǎn)，利用數(shù)形結(jié)合和分類(lèi)討論的思想進(jìn)行求解，是解題的關(guān)鍵．
 24.【答案】解：由圖可知，，，，
，
，
四邊形ABCD是以AC為“相似對(duì)角線”的四邊形，
①當(dāng)時(shí)，∽或∽，
或，
或
同理：當(dāng)時(shí)，或；
由于是無(wú)刻度尺，故，，
作圖如下：

①證明：點(diǎn)E是的中點(diǎn)，
，
四邊形ABCD為圓內(nèi)接四邊形，
，
，，
，
∽，
是四邊形ABCF的“相似對(duì)角線”；
②解：∽，
，
，
過(guò)點(diǎn)A作于點(diǎn)H，

，
，
，
，
，
，
 【解析】根據(jù)勾股定理求出，，，分兩種情況討論，根據(jù)相似三角形的性質(zhì)求解，確定D點(diǎn)位置作圖即可；
①證明∽，即可得證；②根據(jù)∽，得，過(guò)點(diǎn)A作于點(diǎn)H，易得，進(jìn)而得到，即可得解．
本題考查相似三角形的判定和性質(zhì)，圓內(nèi)接四邊形，解直角三角形．熟練掌握相似三角形的判定方法，證明三角形相似，是解題的關(guān)鍵．
 25.【答案】解：拋物線經(jīng)過(guò)，兩點(diǎn)，
，
解得，
拋物線解析式為：；

當(dāng)時(shí)，；
，
設(shè)直線AC：，
將代入直線AC，
得，
，
直線AC：，
為線段AC上一點(diǎn)且橫坐標(biāo)為1，
，
是外接圓，
圓心P必在弦OA的垂直平分線上，
設(shè)，
，
，
解得，
圓心P點(diǎn)的坐標(biāo)為；

①如圖，過(guò)B作軸于H，
，，，
，，
，，
又，，
，
，，即是直角三角形；
，
在與中，
，
≌，
，



，
四邊形OEAF的面積是定值，這個(gè)定值為；
②四邊形OEAF的面積是定值，
當(dāng)的面積取得最大值時(shí)，的面積最小，
當(dāng)OE最小時(shí)，的面積最小，
時(shí)，OE最小，，
，即E為AC中點(diǎn)，
，
當(dāng)的面積取得最小值時(shí)，E點(diǎn)坐標(biāo)為 【解析】根據(jù)，兩點(diǎn)利用待定系數(shù)法求二次函數(shù)解析式；
先求出直線AC解析式以及E的坐標(biāo)，再根據(jù)是外接圓得圓心P必在弦OA的垂直平分線上，設(shè)，由求得，即可求得圓心P點(diǎn)的坐標(biāo)為；
①如圖，作于根據(jù)點(diǎn)A、B、C的坐標(biāo)可得，再根據(jù)在同圓或等圓中，同弧所對(duì)的圓周角相等可得，然后根據(jù)等角對(duì)等邊可得，再證明≌，進(jìn)而得，再證明，即可說(shuō)明四邊形OEAF的面積是定值，這個(gè)定值為；
②根據(jù)四邊形OEAF的面積是定值，當(dāng)的面積取得最大值時(shí)，的面積最小，當(dāng)OE最小時(shí)，的面積最小，求得此時(shí)E的坐標(biāo)即可．
此題是二次函數(shù)綜合題，主要考查了二次函數(shù)的性質(zhì)，待定系數(shù)法求解析式，求三角形外接圓圓心，全等三角形的判定與性質(zhì)，根據(jù)點(diǎn)A、B、C的坐標(biāo)證明出是直角三角形是解決此題的關(guān)鍵．
 

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