2023-2024學年湖南省長沙一中新華都學校九年級（上）第一次月考數學試卷一、選擇題（本大題共10小題，共30.0分。在每小題列出的選項中，選出符合題目的一項）1.的絕對值是(    )A.  B.  C.  D. 2.下列四個圖案中，是中心對稱圖形，但不是軸對稱圖形的是(    )A.  B.  C.  D. 3.下列計算正確的是(    )A.  B.
C.  D. 4.如圖，將一塊三角尺的直角頂點放在直尺的一邊上，當時，的度數為(    )
 A.  B.  C.  D. 5.義務教育課程標準年版首次把學生學會炒菜納入勞動教育課程，并作出明確規(guī)定某班有名學生已經學會炒的菜品的種數依次為：，，，，，，則這組數據的眾數和中位數分別是(    )A. ， B. ， C. ， D. ，6.如圖，點、、為上的點，，則(    )A.
B.
C.
D. 7.關于二次函數的圖象，下列說法不正確的是(    )A. 圖象的開口向下 B. 圖象的頂點坐標為
C. 圖象的對稱軸為直線 D. 當時，隨的增大而減小8.如圖，在中，，，將繞點順時針旋轉至，使點恰好落在上，則旋轉角度為(    )A.
B.
C.
D. 9.若方程  的一個根是，則它的另一個根是(    )A.  B.  C.  D. 10.下面的三個問題中都有兩個變量：
汽車從地勻速行駛到地，汽車的剩余路程與行駛時間；
將水箱中的水勻速放出，直至放完，水箱中的剩余水量與放水時間；
用長度一定的繩子圍成一個矩形，矩形的面積與一邊長．
其中，變量與變量之間的函數關系可以用如圖所示的圖象表示的是(    )
 A.  B.  C.  D. 二、填空題（本大題共6小題，共18.0分）11.若代數式有意義，則實數的取值范圍為           ．12.分解因式：______．13.如圖所示，，兩點分別位于一個池塘的兩端，小聰想用繩子測量，間的距離，但繩子不夠長，一位同學幫他想了一個主意：先在地上取一個可以直接到達，的點，找到，的中點，，并且測出的長為，則，間的距離為______．
 14.設、，是方程的兩個根，則 ______ ．15.一條排水管的截面如圖所示，已知排水管的半徑，水面寬，則截面圓心到水面的距離是______．
 16.如圖所示是拋物線的部分圖象，其頂點坐標為，且與軸的一個交點在點和之間，則下列結論：；；；一元二次方程沒有實數根其中正確的結論個數是______ ．
三、解答題（本大題共9小題，共72.0分。解答應寫出文字說明，證明過程或演算步驟）17.本小題分
計算：．18.本小題分
先化簡，再求值：，其中．19.本小題分
如圖，方格紙中的每個小方格都是邊長為個單位長度的正方形，在直角坐標系中，的頂點均在格點上，點．
把向上平移個單位長度后得到對應的，畫出，并寫出點的坐標；
以原點為對稱中心，畫出關于原點對稱的，并寫出點的坐標．
20.本小題分
已知函數為常數，求當為何值時：
是的一次函數？
是的二次函數？并求出此時縱坐標為的點的坐標．21.本小題分
運動是一切生命的源泉，運動使人健康、使人聰明、使人快樂，運動不僅能改變人的體質，更能改變人的品格，某初級中學為了解學生一周在家運動時長單位：小時的情況，從本校學生中隨機抽取了部分學生進行問卷調查，并將收集到的數據整理分析，共分為四組，其中每周運動時間不少于小時為達標，繪制了如下兩幅不完整的統(tǒng)計圖．

根據以上信息，解答下列問題：
在這次抽樣調查中，共調查了______ 名學生．
請補全頻數分布直方圖，并計算在扇形統(tǒng)計圖中組所對應扇形的圓心角的度數．
若該校有學生人，試估計該校學生一周在家運動時長不足小時的人數．
根據調查結果，請對該學校學生每周在家運動情況作出評價，并提出一條合理化的建議．22.本小題分
某中學為落實教育部辦公廳關于進一步加強中小學生體質管理的通知文件要求，決定增設籃球、足球兩門選修課程，需要購進一批籃球和足球已知購買個籃球和個足球共需費用元；購買個籃球和個足球共需費用元．
求籃球和足球的單價分別是多少元；
學校計劃采購籃球、足球共個，并要求籃球不少于個，且總費用不超過元那么最多采購籃球多少個？23.本小題分

如圖，是矩形對角線的交點，，．
求證：四邊形是菱形；
若，，求菱形的面積．
24.本小題分
約定：若某函數圖象上至少存在不同的兩點關于直線對稱，則把該函數稱為“對稱函數”，其圖象上關于直線對稱的兩點叫做一對“對稱點”根據該約定，完成下列各題：
在下列關于的函數中，是“對稱函數”的，請在相應題目后面的橫線中打“”，不是“對稱函數”的打“”．
______ ；
______ ．
關于的函數是常數是“對稱函數”嗎？如果是，寫出距離為的一對“對稱點”坐標；如果不是，請說明理由；
若關于的“對稱函數”是常數，的一對“對稱點”，、分別位于軸、軸上，求同時滿足下列兩個條件的“對稱函數”的解析式：
該“對稱函數”截軸所得的線段長為；
該“對稱函數”截直線所得的線段長為．25.本小題分
如圖，二次函數與軸相交于點，，點在軸負半軸，過點的直線交該拋物線于另一點，交軸正半軸于點．

如圖，若，求該拋物線的解析式；
如圖，若點是線段上一點，當時，求點的坐標用含的代數式表示；
如圖，在的條件下，設拋物線交軸于點，過，，三點作，經過點的直線交于點，，交拋物線于點，當時，求的值．
答案和解析 1.【答案】 【解析】解：，
故選：．
一個數在數軸上對應的點到原點的距離即為這個數的絕對值，正數的絕對值是它本身，負數的絕對值是它的相反數，的絕對值是，據此即可求得答案．
本題考查絕對值的定義及絕對值的性質，此為基礎且重要知識點，必須熟練掌握．2.【答案】 【解析】解：、是中心對稱圖形，但不是軸對稱圖形．故本選項符合題意；
B、是軸對稱圖形，不是中心對稱圖形．故本選項不符合題意；
C、是軸對稱圖形，不是中心對稱圖形．故本選項不符合題意；
D、是軸對稱圖形，不是中心對稱圖形．故本選項不符合題意．
故選：．
根據軸對稱圖形與中心對稱圖形的概念求解．
本題考查了中心對稱圖形與軸對稱圖形的概念：軸對稱圖形的關鍵是尋找對稱軸，圖形兩部分沿對稱軸折疊后可重合；中心對稱圖形是要尋找對稱中心，繞對稱中心旋轉度后與原圖重合．3.【答案】 【解析】解：，即項不合題意，
B.和不是同類項不能合并，即項不合題意，
C.，即項符合題意，
D.，即項不合題意，
故選：．
根據去括號法則和合并同類項法則計算即可求解．
本題考查了整式的加減，整式的加減的實質就是去括號、合并同類項．一般步驟是：先去括號，然后合并同類項．4.【答案】 【解析】【分析】
本題考查的是平行線的性質，用到的知識點為：兩直線平行，同位角相等．先根據平行線的性質求出的度數，再由余角的定義即可得出結論．
【解答】
解：直尺的兩邊互相平行，，
．
，
．
故選：．5.【答案】 【解析】解：這組數據，，，，，，中出現次，次數最多，
所以這組數據的眾數為，
中位數為．
故選：．
根據中位數和眾數的概念求解即可．
本題主要考查眾數和中位數，一組數據中出現次數最多的數據叫做眾數．將一組數據按照從小到大或從大到小的順序排列，如果數據的個數是奇數，則處于中間位置的數就是這組數據的中位數．如果這組數據的個數是偶數，則中間兩個數據的平均數就是這組數據的中位數．6.【答案】 【解析】【分析】
本題考查圓周角定理，解題的關鍵是熟練掌握基本知識，屬于?？碱}型．
根據圓周角定理即可解決問題．
【解答】
解：，
，
，
，
故選：．7.【答案】 【解析】解：二次函數，
，函數的圖象開口向下，故選項A正確；
頂點坐標是，故選項B正確；
對稱軸是直線，故選項C不正確；
當時，隨的增大而減小，故選項D正確；
故選：．
根據題目中的函數解析式和二次函數的性質，可以判斷各個選項中的說法是否正確，從而可以解答本題．
本題考查二次函數的圖象、性質、最值，解答本題的關鍵是明確題意，利用二次函數的性質解答．8.【答案】 【解析】【分析】
 本題考查了旋轉的性質：對應點到旋轉中心的距離相等；對應點與旋轉中心所連線段的夾角等于旋轉角；旋轉前、后的圖形全等．本題的關鍵是證明為等邊三角形．
先利用互余得到，再根據旋轉的性質得，等于旋轉角，然后判斷為等邊三角形得到，從而得到旋轉角的度數．
【解答】
解：，，
，
繞點順時針旋轉至，使得點恰好落在上，
，等于旋轉角，
為等邊三角形，
，
即旋轉角度為．
故選C．9.【答案】 【解析】解：
設方程的另一根為，
由根與系數的關系可得，解得，
方程的另一根為，
故選：．
由根與系數的關系即可求得答案．
本題主要考查根與系數的關系，熟練掌握一元二次方程兩根之和等于、兩根之積等于是解題的關鍵．10.【答案】 【解析】解：汽車從地勻速行駛到地，根據汽車的剩余路程隨行駛時間的增加而減小，故符合題意；
將水箱中的水勻速放出，直至放完，根據水箱中的剩余水量隨放水時間的增大而減小，故符合題意；
用長度一定的繩子圍成一個矩形，周長一定時，矩形面積是長的二次函數，故不符合題意；
所以變量與變量之間的函數關系可以用如圖所示的圖象表示的是．
故選：．
根據汽車的剩余路程隨行駛時間的增加而減小判斷即可；
根據水箱中的剩余水量隨放水時間的增大而減小判斷即可；
根據矩形的面積公式判斷即可．
本題考查了利用函數的圖象解決實際問題，正確理解函數圖象表示的意義，理解問題的過程，就能夠通過圖象得到函數問題的相應解決．11.【答案】 【解析】本題考查了分式有意義的條件，從以下三個方面透徹理解分式的概念：
分式無意義分母為零；
分式有意義分母不為零；
分式值為零分子為零且分母不為零．12.【答案】 【解析】解：

．
故答案為：．
先提公因式，再利用平方差公式繼續(xù)分解即可解答．
本題考查了提公因式法與公式法的綜合運用，一定要注意如果多項式的各項含有公因式，必須先提公因式．13.【答案】 【解析】解：點，是，的中點，，
，
故答案為：．
根據三角形中位線定理解答即可．
本題考查的是三角形中位線定理的應用，掌握三角形的中位線平行于第三邊，并且等于第三邊的一半是解題的關鍵．14.【答案】 【解析】解：、，是方程的兩個根，
．
故答案為：．
直接利用根與系數的關系求解．
本題考查了一元二次方程根與系數的關系：若，是一元二次方程的兩根時，，．15.【答案】 【解析】解：，過圓心點，
，
在中，由勾股定理得：，
故答案為：．
根據垂徑定理求出，根據勾股定理求出即可．
本題考查了勾股定理和垂徑定理的應用；由垂徑定理求出是解決問題的關鍵．16.【答案】 【解析】解：拋物線頂點坐標為，
拋物線的對稱軸為直線，
與軸的一個交點在點和之間，
當時，，即，故正確；
拋物線的對稱軸為直線，即，
，
時，，
，
即，故正確；
拋物線頂點坐標為，
拋物線與直線有唯一一個交點，
即方程有兩個相等的實數根，
，
，故正確；
拋物線的開口向下，
，
直線與拋物線沒交點，
一元二次方程沒實數根，故正確；
故答案為：．
根據已知條件得到當時，，即，故正確；根據拋物線的對稱軸為直線，即，得到，故正確；根據已知條件得到方程有兩個相等的實數根，得到，故正確；根據拋物線的開口向下，得到，于是得到直線與拋物線沒交點，即可得到一元二次方程沒實數根，故正確．
本題考查的是二次函數圖象與系數的關系，圖象開口方向判斷出，由對稱軸得出，拋物線與軸的交點判斷，拋物線與軸交點的個數確定．17.【答案】解：原式

． 【解析】按照有理數混合運算的法則進行計算即可，需注意非零有理數的零次冪等于的法則．
本題考查了有理數的混合運算，熟練掌握有理數運算法則是解題關鍵．18.【答案】解：

，
當時，
原式
． 【解析】先根據完全平方公式，平方差公式，多項式乘多項式算乘法，再合并同類項，最后代入求出答案即可．
本題考查了整式的混合運算與求值，掌握整式的運算法則進行化簡是解此題的關鍵．19.【答案】解：如圖所示，即為所求；的坐標為；

如圖所示，即為所求；的坐標為． 【解析】把這幾個關鍵點按照平移的方向和距離確定對應點后，再順次連接對應點即可得到平移后的圖形，再寫出的坐標；
關于中心對稱的兩個圖形，對應點的連線都經過對稱中心，并且被對稱中心平分，據此作圖并寫出點的坐標．
本題主要考查了利用平移變換和旋轉變換進行作圖，解題時注意：運用平移變換作圖時要先找到圖形的關鍵點，分別把這幾個關鍵點按照平移的方向和距離確定對應點后，再順次連接對應點即可得到平移后的圖形．20.【答案】解：由為常數，是的一次函數，得
，
解得，
當時，是的一次函數；
為常數，是二次函數，得
，
解得，不符合題意的要舍去，
當時，是的二次函數，
當時，，
解得，
故縱坐標為的點的坐標的坐標是． 【解析】根據題意，形如是常數是一次函數，可得一次函數；
根據題意，形如是常數，且是二次函數，可得答案，根據函數值，可得自變量的值，可得符合條件的點．
本題考查了二次函數的定義，利用了二次函數的定義，一次函數的定義，注意二次項的系數不能為零．21.【答案】 【解析】解：名，
故答案為：；
樣本中“組”的人數：名，
扇形統(tǒng)計圖中“組”所對應的圓心角的度數為：，
補全條形統(tǒng)計圖如圖：

人，
答：該校名學生中一周在家運動時長不足小時的人數大約有人；
需要加強學生在家體育鍛煉，努力提高身體素質．
由兩個統(tǒng)計圖可知，“組”的頻數為人，占調查總人數的，根據頻率即可求出調查總人數；
求出樣本中“組”的人數即可補全條形統(tǒng)計圖，求出“組”人數所占調查人數的百分比，即可求出相應的圓心角的度數；
求出樣本中一周在家運動時長不足小時的人數所占的百分比，進而估計總體總體中一周在家運動時長不足小時的人數所占的百分比，再根據頻率進行即可；
根據各個組所占的百分比，提出相應的建議即可．
本題考查頻數分布直方圖、扇形統(tǒng)計圖以及樣本估計總體，掌握頻率是正確解答的前提．22.【答案】解：設籃球的單價為元，足球的單價為元，
由題意可得：，
解得，
答：籃球的單價為元，足球的單價為元；
設采購籃球個，則采購足球為個，
要求籃球不少于個，且總費用不超過元，
，
解得，
為整數，
的值可為，，，，
共有四種購買方案，
方案一：采購籃球個，采購足球個；
方案二：采購籃球個，采購足球個；
方案三：采購籃球個，采購足球個；
方案四：采購籃球個，采購足球個． 【解析】根據購買個籃球和個足球共需費用元；購買個籃球和個足球共需費用元，可以列出相應的二元一次方程組，然后求解即可；
根據要求籃球不少于個，且總費用不超過元，可以列出相應的不等式組，從而可以求得籃球數量的取值范圍，然后即可寫出相應的購買方案．
本題考查二元一次方程組的應用、一元一次不等式組的應用，解答本題的關鍵是明確題意，列出相應的方程組和不等式組．23.【答案】證明：，，
四邊形是平行四邊形．
是矩形的對角線的交點，
，，，
，
平行四邊形是菱形；
解：由得：，四邊形是菱形，
，
，
，
是等邊三角形，
，
，
四邊形是矩形，
，
，
． 【解析】先證四邊形是平行四邊形，再由矩形的性質得，即可得出結論；
由菱形的性質得，證是等邊三角形，得，則，再由勾股定理得，即可解決問題．
本題考查了矩形的性質、菱形的判定與性質、平行四邊形的判定與性質、等邊三角形的判定與性質、勾股定理等知識，熟練掌握矩形的性質，證明四邊形為菱形是解題的關鍵．24.【答案】   【解析】解：不是軸對稱圖形，故不是“函數”；
，關于對稱滿足定義，是“函數”．
故答案為：，；
，
當時，，則直線過定點，
根據定義，其圖象關于直線對稱，
如圖，設直線與坐標軸分別交于點，，根據定義，，關于對稱，
，
由，令，則，令，則，
，
解得或，
或時，是“函數”，
當時，，
當時，，
以為圓心，為半徑作圓，則圓與，的交點的距離為，

如圖，設，為與直線的交點，則，即為所求的點，
設，則，
即，
解得，，
一對點的坐標分別為與；
該函數截軸所得的線段長為，
令，設兩根分別為，．
則，
，
即，
該“函數”截直線所得的線段長為，
過點，分別作坐標軸的垂線交于點，如圖，

，在上，則是等腰直角三角形，
則，
聯立，
得，設兩根分別為，，
，
，
即，
根據定義可知一對“點“、分別位于軸、軸上，
則，
由，
令，得，
解得：或，
令，則，
則或，
即，
聯立并整理得，，
解得：或或，
根據題意，，，
或．
同時滿足兩個條件的“函數”的解析式為或．
根據定義判斷即可求解；
根據題意求得直線過定點，根據“函數“的定義確定的值，進而設，則，根據勾股定理求得兩點坐標距離為，進而即可求解；
根據新定義，以及個條件，根據一元二次方程根與系數的關系，列出方程組，解方程組，待定系數法求解析式即可．
本題考查函數綜合運用，主要考查了新定義，待定系數法求解析式，一次函數的性質，反比例函數的性質，二次函數的性質，理解新定義是解題關鍵．25.【答案】解：，
，
把代入，得，
，
令，得，
解得：，
，
把代入，得，
解得：，
，
即該拋物線的解析式為；
在中，令，得，令，得，
，，
，
是等腰直角三角形，
，，
如圖，設，過點作于點，

則，，
和均為等腰直角三角形，
，，
由和聯立，
得：，
整理得：，
，
，
，
即，
，
，
，，
點的坐標為；
由題意得：，，
當時，，
解得：，，
，，
經過、、三點，
點在線段的垂直平分線上，即點的橫坐標為，
點也在線段的垂直平分線上，，
點在第二、四象限角平分線上，即點的橫縱坐標互為相反數，
，
如圖，過點作軸于點，連接，

則，，
，
，
，，
，
，即，
，
直線經過點，
，
，
，與聯立，
得，
整理得：，
，，
，，




，
，
，
． 【解析】根據直線與坐標軸的交點特征可得，代入，即可求得拋物線的解析式；
先證得是等腰直角三角形，得出，，設，過點作于點，由和聯立，可得，根據根與系數關系可得：，得出，即，再由，建立方程求解即可得出答案；
根據經過、、三點，可得，過點作軸于點，連接，運用勾股定理可得，再由，，可推出，由，與聯立，可得：，，進而推出，即可求得答案．
本題是二次函數綜合題，考查了待定系數法求函數解析式，一次函數圖象與拋物線交點，一元二次方程根與系數關系，勾股定理，等腰直角三角形性質，圓的性質等，本題綜合性較強，涉及知識點較多，難度較大，對學生運算能力要求較高．

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