2022北京東城高二（上）期末數(shù)    學(xué)一、選擇題：共10小題，每小題3分，共30分。在每小題列出的四個(gè)選項(xiàng)中，選出符合題目要求的一項(xiàng)。1．下列直線中，傾斜角為銳角的是　　A． B． C． D．2．已知為等差數(shù)列，且，，則　　A．12 B．9 C．6 D．33．拋物線的焦點(diǎn)到準(zhǔn)線的距離為　　A．16 B．8 C．4 D．24．已知平面，的法向量分別為，1，，，，，且，則　　A． B．1 C． D．5．已知的三個(gè)頂點(diǎn)是，，，則邊上的高所在的直線方程為　　A． B． C． D．6．設(shè)數(shù)列的前項(xiàng)和為，若，，，則，，，中，最大的是　　)A． B． C． D．7．在長方體中，，，點(diǎn)，分別在棱，上，，，則　　A．1 B． C．2 D．8．“”是“圓與軸相切”的　　A．充分而不必要條件 B．必要而不充分條件 C．充分必要條件 D．既不充分也不必要條件9．已知拋物線過點(diǎn)，點(diǎn)為平面直角坐標(biāo)系平面內(nèi)一點(diǎn)，若線段的垂直平分線過拋物線的焦點(diǎn)，則點(diǎn)與原點(diǎn)間的距離的最小值為　　A． B．2 C． D．310．均勻壓縮是物理學(xué)一種常見現(xiàn)象．在平面直角坐標(biāo)系中曲線的均勻壓縮，可用曲線上點(diǎn)的坐標(biāo)來描述．設(shè)曲線上任意一點(diǎn)，若將曲線縱向均勻壓縮至原來的一半，則點(diǎn)的對應(yīng)點(diǎn)為．同理，若將曲線橫向均勻壓縮至原來的一半，則曲線上點(diǎn)的對應(yīng)點(diǎn)為．若將單位圓先橫向均勻壓縮至原來的一半，再縱向均勻壓縮至原來的，得到的曲線方程為　　A． B． C． D．二、填空題：共6小題，每小題4分，共24分。11．（4分）若過點(diǎn)和的直線與直線平行，則　　．12．（4分）寫出一個(gè)離心率且焦點(diǎn)在軸上的雙曲線的標(biāo)準(zhǔn)方程 　　，并寫出該雙曲線的漸近線方程 　　．13．（4分）已知數(shù)列滿足，，若，則　　．14．（4分）已知點(diǎn)，2，，平面過，0，，，1，，，1，三點(diǎn)，則點(diǎn)到平面的距離為 　　．15．（4分）1970年4月我國成功發(fā)射了第一顆人造地球衛(wèi)星“東方紅一號”，這顆衛(wèi)星的運(yùn)行軌道是以地心（地球的中心）為一個(gè)焦點(diǎn)的橢圓．已知衛(wèi)星的近地點(diǎn)（離地面最近的點(diǎn)）距地面的高度約為，遠(yuǎn)地點(diǎn)（離地面最遠(yuǎn)的點(diǎn)）距地面的高度約為，且地心、近地點(diǎn)、遠(yuǎn)地點(diǎn)三點(diǎn)在同一直線上，地球半徑約為，則衛(wèi)星運(yùn)行軌道是上任意兩點(diǎn)間的距離的最大值為 　　．16．（4分）如圖，在棱長都為1的平行六面體中，，，兩兩夾角均為，則　　；請選擇該平行六面體的三個(gè)頂點(diǎn)，使得經(jīng)過這三個(gè)頂點(diǎn)的平面與直線垂直．這三個(gè)頂點(diǎn)可以是 　　．三、解答題：共5小題，共46分。解答應(yīng)寫出文字說明，演算步驟或證明過程。17．（8分）已知圓的方程為．（Ⅰ）求圓的圓心及半徑；（Ⅱ）是否存在直線滿足：經(jīng)過點(diǎn)，且____？如果存在，求出直線的方程；如果不存在，請說明理由．從下列三個(gè)條件中任選一個(gè)補(bǔ)充在上面問題中并作答：條件①：被圓所截得的弦長最長；條件②：被圓所截得的弦長最短；條件③：被圓所截得的弦長為8．18．（9分）某學(xué)校一航模小組進(jìn)行飛機(jī)模型飛行高度實(shí)驗(yàn)，飛機(jī)模型在第一分鐘時(shí)間內(nèi)上升了10米高度．若通過動力控制系統(tǒng)，可使飛機(jī)模型在以后的每一分鐘上升的高度都是它在前一分鐘上升高度的．（Ⅰ）在此動力控制系統(tǒng)下，該飛機(jī)模型在第三分鐘內(nèi)上升的高度是多少米？（Ⅱ）這個(gè)飛機(jī)模型上升的最大高度能超過50米嗎？如果能，求出從第幾分鐘開始高度超過50米；如果不能，請說明理由．19．（10分）如圖，四棱錐中，底面為正方形，底面，，點(diǎn)，，分別為，，的中點(diǎn)，平面棱．（Ⅰ）試確定的值，并證明你的結(jié)論；（Ⅱ）求平面與平面夾角的余弦值．20．（10分）已知橢圓過點(diǎn)，且離心率．（Ⅰ）求橢圓的方程；（Ⅱ）設(shè)點(diǎn)為橢圓的左焦點(diǎn)，點(diǎn)，過點(diǎn)作的垂線交橢圓于點(diǎn)，，連接與交于點(diǎn)．①若，求；②求的值．21．（9分）設(shè)等差數(shù)列的各項(xiàng)均為整數(shù)，且滿足對任意正整數(shù)，總存在正整數(shù)，使得，則稱這樣的數(shù)列具有性質(zhì)．（Ⅰ）若數(shù)列的通項(xiàng)公式為，數(shù)列是否具有性質(zhì)？并說明理由；（Ⅱ）若，求出具有性質(zhì)的數(shù)列公差的所有可能值；（Ⅲ）對于給定的，具有性質(zhì)的數(shù)列是有限個(gè)，還是可以無窮多個(gè)？（直接寫出結(jié)論）
參考答案一、選擇題：共10小題，每小題3分，共30分。在每小題列出的四個(gè)選項(xiàng)中，選出符合題目要求的一項(xiàng)。1．【分析】根據(jù)斜率的正負(fù)判斷其傾斜角的范圍即可．【解答】解：對于，是銳角，對于，是鈍角，對于，是角，對于不存在，是直角，故選：．【點(diǎn)評】本題考查了直線的傾斜角問題，是一道基礎(chǔ)題．2．【分析】由已知先求，再由等差中項(xiàng)的概念求解．【解答】解：在等差數(shù)列中，由，得，即，又，且，．故選：．【點(diǎn)評】本題考查等差數(shù)列的性質(zhì)，考查運(yùn)算求解能力，是基礎(chǔ)題．3．【分析】直接利用拋物線的性質(zhì)，求解即可．【解答】解：拋物線，可得，拋物線的焦點(diǎn)到準(zhǔn)線的距離為：4．故選：．【點(diǎn)評】本題考查拋物線的簡單性質(zhì)的應(yīng)用，是基礎(chǔ)題．4．【分析】由，得，列出方程組，能求出結(jié)果．【解答】解：平面，的法向量分別為，1，，，，，且，，，解得，，．故選：．【點(diǎn)評】本題考查面面平行的運(yùn)算，考查面面平行的性質(zhì)等基礎(chǔ)知識，考查運(yùn)算求解能力，是基礎(chǔ)題．5．【分析】先求出直線的斜率，再根據(jù)兩直線垂直時(shí)斜率相乘等于求出邊上的高所在的直線斜率，再利用點(diǎn)斜式即可求出結(jié)果．【解答】解：，，直線的斜率為，邊上的高所在的直線斜率為，又，邊上的高所在的直線方程為，即，故選：．【點(diǎn)評】本題主要考查了直線的一般方程，考查了兩直線垂直時(shí)的斜率關(guān)系，是基礎(chǔ)題．6．【分析】根據(jù)已知條件判斷出數(shù)列為等差數(shù)列，且公差，就可求出結(jié)果．【解答】解：，，故數(shù)列為等差數(shù)列，且公差，，，最大．故選：．【點(diǎn)評】本題主要考查了等差數(shù)列的性質(zhì)，屬于基礎(chǔ)題．7．【分析】直接利用向量的共線和向量的模的應(yīng)用求出結(jié)果．【解答】解：根據(jù)題意，如圖所示： 連接和，根據(jù)，，所以點(diǎn)為的三等分點(diǎn)；故，故選：．【點(diǎn)評】本題考查的知識要點(diǎn)：平線性的性質(zhì)，向量的共線，向量的模，主要考查學(xué)生的運(yùn)算能力和數(shù)學(xué)思維能力，屬于基礎(chǔ)題．8．【分析】圓與軸相切，則，即可判斷．【解答】解：圓與軸相切，則，故“”是“圓與軸相切”的充分不必要條件．故選：．【點(diǎn)評】本題主要考查圓與直線相切的關(guān)系，屬于基礎(chǔ)題．9．【分析】求出的軌跡方程，利用的軌跡，判斷點(diǎn)與原點(diǎn)間的距離的最小值即可．【解答】解：拋物線過點(diǎn)，可得，解得，拋物線方程，，，點(diǎn)為平面直角坐標(biāo)系平面內(nèi)一點(diǎn)，若線段的垂直平分線過拋物線的焦點(diǎn)，可知．可知的軌跡是以為圓心，以為半徑的圓，當(dāng)在一條直線上時(shí)，點(diǎn)與原點(diǎn)間的距離取得最小值：．故選：．【點(diǎn)評】本題考查軌跡方程的判斷，拋物線的簡單性質(zhì)的應(yīng)用，考查分析問題解決問題的能力，是中檔題．10．【分析】設(shè)曲線上的點(diǎn)為，對應(yīng)壓縮后點(diǎn)的坐標(biāo)為，則，進(jìn)而可得，化簡即可得出答案．【解答】解：設(shè)曲線上的點(diǎn)為，對應(yīng)壓縮后點(diǎn)的坐標(biāo)為，所以，則，所以，所以，所以得到的曲線的方程為．故選：．【點(diǎn)評】本題考查曲線的方程，解題中需要理清思路，屬于中檔題．二、填空題：共6小題，每小題4分，共24分。11．【分析】利用直線與直線平行的性質(zhì)、斜率公式直接求解．【解答】解：過點(diǎn)和的直線與直線平行，，則．故答案為：3．【點(diǎn)評】本題考查直線的斜率的求法，考查直線與直線平行的性質(zhì)、斜率公式等基礎(chǔ)知識，考查運(yùn)算求解能力，是基礎(chǔ)題．12．【分析】利用離心率，推出，關(guān)系，然后寫出有關(guān)雙曲線方程，然后寫出漸近線方程．【解答】解：離心率且焦點(diǎn)在軸上的雙曲線，可知，所以，不妨取，則，所以滿足條件的雙曲線方程可以為：，漸近線方程為：，故答案為：（答案不唯一）；．【點(diǎn)評】本題考查雙曲線的簡單性質(zhì)的應(yīng)用，雙曲線方程的求法，漸近線方程的求法，是中檔題．13．【分析】利用數(shù)列的遞推關(guān)系式逐步求解即可得到數(shù)列的首項(xiàng)．【解答】解：數(shù)列滿足，，若，，可得，，．故答案為：．【點(diǎn)評】本題考查數(shù)列的遞推關(guān)系式的應(yīng)用，數(shù)列項(xiàng)的求法，是基礎(chǔ)題．14．【分析】先求得平面的一個(gè)法向量，然后由求解．【解答】解：因?yàn)?/span>，2，，，0，，，1，，，1，，所以，設(shè)平面的一個(gè)法向量為，則，即，令，則，所以則點(diǎn)到平面的距離為，故答案為：．【點(diǎn)評】本題主要考查點(diǎn)面距離的計(jì)算，屬于基礎(chǔ)題．15．【分析】由題意這顆衛(wèi)星的運(yùn)行軌道為橢圓，可得橢圓上任意兩點(diǎn)的最大距離為長軸長，由題意可得，的值，求出的值．【解答】解：這顆衛(wèi)星的運(yùn)行軌道是以地心（地球的中心）為一個(gè)焦點(diǎn)的橢圓，則衛(wèi)星運(yùn)行軌道是上任意兩點(diǎn)間的距離的最大值為，由題意可得，，所以可得，故答案為：15565．【點(diǎn)評】本題考查橢圓的定義的應(yīng)用及橢圓的性質(zhì)的應(yīng)用，屬于基礎(chǔ)題．16．【分析】根據(jù)向量數(shù)量積的定義及其運(yùn)算性質(zhì)計(jì)算即可．【解答】解：，所以，同理，因?yàn)?/span>，所以平面，同理平面，所以選擇該平行六面體的三個(gè)頂點(diǎn)，使得經(jīng)過這三個(gè)頂點(diǎn)的平面與直線垂直．這三個(gè)頂點(diǎn)可以是，，和，，，故答案為：0；，，和，，．【點(diǎn)評】本題考查了空間向量數(shù)量積的運(yùn)算及其運(yùn)算，屬于中檔題．三、解答題：共5小題，共46分。解答應(yīng)寫出文字說明，演算步驟或證明過程。17．【分析】求出圓的標(biāo)準(zhǔn)方程，則圓的圓心坐標(biāo)和半徑可求；選條件①，直線過圓心，可求直線的方程；條件②，最短弦為過且與直徑垂直的直線與圓相交的弦，故，可求直線方程；選條件③，設(shè)直線的方程為，化為一般式為，直線圓所截得的弦長為8，所以，求解可得的值，從而可求直線方程．【解答】解：圓的方程，化為標(biāo)準(zhǔn)方程為，則圓的圓心坐標(biāo)為，半徑；因?yàn)?/span>，所以點(diǎn)在圓內(nèi)，選條件①，所以直線過圓心，所以，所以直線的方程為，即．選條件②，最短弦為過且與直徑垂直的直線與圓相交的弦，故，所以，所以直線的方程為，即．選條件③，設(shè)直線的方程為，化為一般式為，則圓心到直線的距離，因?yàn)橹本€圓所截得的弦長為8，所以，解得，所以直線方程為．【點(diǎn)評】本題考查圓的方程的性質(zhì)，以及考查直線與圓的位置關(guān)系，屬中檔題．18．【分析】根據(jù)已知條件，即可直接求得該飛機(jī)模型在第三分鐘內(nèi)上升的高度是． 根據(jù)已知條件，結(jié)合等比數(shù)列的前項(xiàng)和公式，即可求解．【解答】解：飛機(jī)模型在第一分鐘時(shí)間內(nèi)上升了10米高度，且機(jī)模型在以后的每一分鐘上升的高度都是它在前一分鐘上升高度的，該飛機(jī)模型在第三分鐘內(nèi)上升的高度是米．不能超過，由題意可得，飛機(jī)模型每分鐘上升的高度構(gòu)成，的等比數(shù)列，則，故這個(gè)飛機(jī)模型上升的最大高度不能超過50米．【點(diǎn)評】本題主要考查函數(shù)的實(shí)際應(yīng)用，掌握等比數(shù)列的前項(xiàng)和公式是解本題的關(guān)鍵，屬于基礎(chǔ)題．19．【分析】，利用線面平行的判定和性質(zhì)可得答案；以 為原點(diǎn)，，， 所在直線分別為，， 的正方向建立空間直角坐標(biāo)系，求出平面 的法向量和平面 的法向量由向量夾角公式可得答案．【解答】證明：．證明如下：在 中，因?yàn)辄c(diǎn)，分別為，的中點(diǎn)，所以．又平面，平面，所以平面．因?yàn)?/span>平面，平面平面，所以．所以．在中，因?yàn)辄c(diǎn)為的中點(diǎn)，所以點(diǎn)為的中點(diǎn)，即．解：因?yàn)榈酌?/span>為正方形，所以．因?yàn)?/span>底面，所以，．如圖，建立空間直角坐標(biāo)系， 則，0，，，0，，，2，，，2，，，0，，因?yàn)?/span>，，分別為，，的中點(diǎn)，所以，0，，，1，，，2，．所以．設(shè)平面的法向量，則 即令，，，于是，1，．又因?yàn)槠矫?/span>的法向量為，1，，所以．所以平面與平面夾角的余弦值為．【點(diǎn)評】本題考查利用向量法求二面角，考查學(xué)生的運(yùn)算能力，屬于難題．20．【分析】（Ⅰ）根據(jù)題意列出關(guān)于，，的方程組，解方程可得，的值，從而求得橢圓方程；（Ⅱ）①聯(lián)立直線的方程與橢圓的方程，解得，坐標(biāo)可得；②依題意顯然斜率存在，，分和兩種情況分別求解即可．【解答】解：由題意得解得，．所以橢圓的方程為．①當(dāng)時(shí)，直線的斜率，則的垂線的方程為，由 得，解得，故；②由，，顯然斜率存在，，當(dāng)時(shí)，，當(dāng)時(shí)，直線過點(diǎn)且與直線垂直，則直線方程為，由得，顯然 △，設(shè)，，，，則，則，中點(diǎn)，直線的方程為，由 得，所以．綜上，的值為1．【點(diǎn)評】本題考查了橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程，直線與橢圓的綜合，屬于中檔題．21．【分析】由題意，由性質(zhì)的定義，即可知是否具有性質(zhì)．由題設(shè)，存在，結(jié)合已知得且，則，由性質(zhì)的定義只需保證為整數(shù)即可確定公差的所有可能值；根據(jù) （2）的思路，可得 且，由為整數(shù)，在 為定值只需為整數(shù)，即可判斷數(shù)列的個(gè)數(shù)是否有限．【解答】解：由，對任意正整數(shù)，，說明仍為數(shù)列中的項(xiàng)，數(shù)列具有性質(zhì)．設(shè) 的公差為．由條件知：，則，即，必有 且，則，而此時(shí)對任意正整數(shù)，，又，為一奇一偶，即為整數(shù)，因此，只要為整數(shù)，那么 為中的一項(xiàng)．易知：可取，3，對應(yīng)得到3個(gè)滿足條件的等差數(shù)列．同（2）知：，則，必有且，則，故任意給定，公差均為有限個(gè)，具有性質(zhì)的數(shù)列是有限個(gè)．【點(diǎn)評】本題考查數(shù)列的應(yīng)用，考查學(xué)生的綜合能力，屬于難題． 

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