2023北京清華附中高一（上）期末數(shù)學(xué)（非馬班）（清華附中高22級）第一部分（選擇題  共40分）一、選擇題共10小題，每小題4分，共40分．在每小題列出的四個選項中，選出符合題目要求的一項．1. 設(shè)集合，則等于（    ）A.  B.  C.  D. 2. 若點(diǎn)在角的終邊上，則（    ）A.  B.  C.  D. 3. 計算：（    ）A. 1 B. 2 C. 3 D. 64. 為了得到函數(shù)的圖象，可以將函數(shù)的圖象（    ）A. 向左平移個單位長度  B. 向右平移個單位長度C. 向左平移個單位長度 D. 向右平移個單位長度5. 已知，則a，b，c的大小關(guān)系為（    ）A.  B.  C.  D. 6. 下列函數(shù)中，以為最小正周期，且在區(qū)間上單調(diào)遞增的是（    ）A.  B.  C.  D. 7. 下列區(qū)間包含函數(shù)零點(diǎn)的為（    ）A.  B.  C.  D. 8. 若函數(shù)是奇函數(shù)，使得取到最大值時的一個值為（    ）A.  B. 0 C.  D. 9. 已知實(shí)數(shù)，則“”是“”（    ）A. 充分不必要條件 B. 必要不充分條件 C. 充分必要條件 D. 既不充分也不必要條件10. 已知函數(shù)，則下列說法正確的是（    ）①時，的最大值為；②時，方程在上有且只有三個不等實(shí)根；③時，為奇函數(shù)；④時，的最小正周期為A. ①② B. ①③ C. ②④ D. ①④第二部分（非選擇題  共110分）二、填空題共5小題，每小題5分，共25分．11. 函數(shù)的定義域為___________.12. 已知，則___________．13. 已知函數(shù)經(jīng)過點(diǎn)，則不等式的解集為___________．14. 設(shè)函數(shù)，若對任意的實(shí)數(shù)x都成立，則的最小值為___________．15. 已知，給出下列四個結(jié)論：①若，則或2；②若，且，則；③不存正數(shù)k，使得恰有1個零點(diǎn)；④存在實(shí)數(shù)，使得恰有3個零點(diǎn)．其中，所有正確結(jié)論的序號是___________．三、解答題共6小題，共85分．解答應(yīng)寫出文字說明，演算步驟或證明過程．16 已知二次函數(shù)，其中．（1）若的最小值為0，求m的值；（2）若有兩個不同零點(diǎn)，求證：．17. 已知函數(shù)的圖象過點(diǎn)，相鄰的兩個對稱中心之間的距離為.（1）求的解析式；（2）求單調(diào)遞增區(qū)間和對稱中心．18 已知函數(shù)，其中且．（1）已知的圖象經(jīng)過一個定點(diǎn)，寫出此定點(diǎn)的坐標(biāo)；（2）若，求的最小值；（3）若在區(qū)間上的最大值為2，求a的值．19. 已知函數(shù)．（1）求，并求的最小正周期；（2）求在區(qū)間上的最大值和最小值，并求相應(yīng)的x值．20. 如圖，在函數(shù)圖像任取三點(diǎn)，滿足，，，分別過A、B、C三點(diǎn)作x軸垂線交x軸于D、E、F．（1）當(dāng)時，求梯形ADEB的周長；（2）用a表示的面積S，并求S的最大值．21. 已知整數(shù)，集合，對于中的任意兩個元素，，定義A與B之間的距離為．若且，則稱是是中的一個等距序列．（1）若，判斷是否是中的一個等距序列？（2）設(shè)A，B，C是中的等距序列，求證：為偶數(shù)；（3）設(shè)是中的等距序列，且，，．求m的最小值．
參考答案一、選擇題共10小題，每小題4分，共40分．在每小題列出的四個選項中，選出符合題目要求的一項．1. 【答案】D【解析】【分析】首先解指數(shù)不等式得到，再求即可.【詳解】，，則.故選：D2. 【答案】C【解析】【分析】根據(jù)三角函數(shù)的概念求解即可得到答案.【詳解】點(diǎn)為坐標(biāo)原點(diǎn)，.根據(jù)三角函數(shù)的概念可得，.故選：C.3. 【答案】B【解析】【分析】由對數(shù)的運(yùn)算法則化簡即可求得.【詳解】由對數(shù)運(yùn)算法則化簡得故選：B4. 【答案】C【解析】【分析】根據(jù)正弦函數(shù)圖象變換的性質(zhì)，結(jié)合函數(shù)的解析式進(jìn)行判斷即可.【詳解】因為，所以由函數(shù)的圖象向左平移個單位長度可以得到函數(shù)的圖象，故選：C5. 【答案】C【解析】【分析】根據(jù)題意得到，，，即可得到答案.【詳解】，即.，即.，即.所以.故選：C6. 【答案】B【解析】【分析】逐項分析各選項中函數(shù)的最小正周期以及各函數(shù)在區(qū)間上的單調(diào)性，可得出結(jié)論.【詳解】對于A選項，函數(shù)的最小正周期為，故A錯誤；對于B選項，函數(shù)的最小正周期為，當(dāng)時，，因為在上單調(diào)遞增，所以在上單調(diào)遞增，故B正確；對于C選項，函數(shù)的最小正周期為，當(dāng)時，，因為在上單調(diào)遞減，所以在上單調(diào)遞減，故C錯誤；對于D選項，函數(shù)的最小正周期為，故D錯誤.故選：B.7. 【答案】C【解析】【分析】判斷函數(shù)的單調(diào)性，計算區(qū)間端點(diǎn)處的函數(shù)值，根據(jù)零點(diǎn)存在定理即可判斷答案.【詳解】因為函數(shù)在上單調(diào)遞增，函數(shù)在上單調(diào)遞增，函數(shù)在上單調(diào)遞增，因為，所以，函數(shù)零點(diǎn)在區(qū)間 內(nèi)，故選：C.8. 【答案】A【解析】【分析】根據(jù)三角函數(shù)的奇偶性求出,再根據(jù)對稱軸使得取到最大值,計算即可.【詳解】若函數(shù)是奇函數(shù),所以.所以,當(dāng)取到最大值時,,即,可得，當(dāng)時, .故選:.9. 【答案】A【解析】【分析】根據(jù)誘導(dǎo)公式，結(jié)合充分性、必要性、余弦型函數(shù)性質(zhì)進(jìn)行求解即可.【詳解】當(dāng)時，，當(dāng)時，，，或，所以“”是“”的充分不必要條件，故選：A10. 【答案】D【解析】【分析】利用輔助角公式化簡函數(shù)解析式，結(jié)合正弦函數(shù)性質(zhì)判斷命題①，結(jié)合平方關(guān)系，正弦函數(shù)性質(zhì)化簡不等式求方程的解，判斷命題②，根據(jù)奇函數(shù)的定義及正弦函數(shù)和余弦函數(shù)性質(zhì)判斷命題③，根據(jù)三角恒等變換及余弦型函數(shù)的周期公式判斷命題④，由此可得正確選項.【詳解】因為，所以當(dāng)時，，此時函數(shù)的最大值為，命題①為真命題；當(dāng)時，，方程可化為，當(dāng)時，，故，由正弦函數(shù)性質(zhì)可得方程在上有兩個解， 當(dāng)時，原方程可化為，方程在上無解，所以方程在上有且只有兩個不等實(shí)根；命題②為假命題；當(dāng)時，，，，所以，所以不為奇函數(shù)，命題③為假命題；當(dāng)時，，所以的最小正周期為，命題④正確；故選：D.第二部分（非選擇題  共110分）二、填空題共5小題，每小題5分，共25分．11. 【答案】【解析】【分析】根據(jù)函數(shù)的解析式，列出函數(shù)有意義時滿足的不等式，求得答案.【詳解】函數(shù)需滿足 ，解得 且 ，故函數(shù)的定義域為，故答案為：12. 【答案】【解析】【分析】直接運(yùn)用正弦的誘導(dǎo)公式進(jìn)行求解即可.【詳解】，故答案為：13. 【答案】【解析】【分析】首先代入求出，則，利用函數(shù)單調(diào)性即可得到不等式，解出即可.【詳解】由題意得，解得，故，則即為，根據(jù)在上為單調(diào)增函數(shù)，則有，解得，故解集為，故答案為：.14. 【答案】1【解析】【分析】由條件確定當(dāng)時，函數(shù)取得最大值，代入即可求的集合，從而得到的最小值.【詳解】由條件對任意的實(shí)數(shù)x都成立，可知，是函數(shù)的最大值，當(dāng)時，，，解得：，，所以當(dāng)k=0時，取最小值為1.故答案為：115. 【答案】①②【解析】【分析】對于①，解即可判斷；對于②，由對數(shù)函數(shù)的圖象與性質(zhì)可得，由對數(shù)的運(yùn)算可判斷；對于③，分與討論，結(jié)合對數(shù)函數(shù)的圖象即可判斷；對于④，根據(jù)指對數(shù)的圖象即可判斷.【詳解】對于①，若，則，解得或2，故①正確；對于②，若，且，則，則，解得，故②正確；對于③，當(dāng)，易知與的圖象有一個交點(diǎn)，當(dāng)時，與的圖象在上沒有交點(diǎn)，此時恰有1個零點(diǎn)，故③錯誤；對于④，當(dāng)時，，易知與的圖象在上有一個交點(diǎn)，因為與的圖象關(guān)于對稱，且沒有交點(diǎn)，故恰有1個零點(diǎn)，故④錯誤.故答案為:①②.三、解答題共6小題，共85分．解答應(yīng)寫出文字說明，演算步驟或證明過程．16. 【答案】（1）    （2）證明見解析【解析】【分析】（1）根據(jù)二次函數(shù)的性質(zhì)即可得到，再解方程即可.（2）首先根據(jù)題意得到，再利用基本不等式的性質(zhì)求解即可.【小問1詳解】，因為，，解得.【小問2詳解】因為有兩個不同零點(diǎn)，所以，又因為，所以.因為，，所以，當(dāng)且僅當(dāng)，即時等號成立，因為，所以，即證.17. 【答案】（1）    （2）的增區(qū)間為，對稱中心為【解析】【分析】（1）根據(jù)函數(shù)所過點(diǎn)，建立方程，結(jié)合周期的性質(zhì)以及公式，可得答案；（2）利用整體思想，根據(jù)正弦函數(shù)的單調(diào)性以及對稱性，可得答案.【小問1詳解】由函數(shù)的圖象過點(diǎn)，，則，由，則，由相鄰的兩個對稱中心之間的距離為，則函數(shù)的周期，解得，故.【小問2詳解】由（1）可知，，令，解得，則函數(shù)的增區(qū)間為；令，解得，則函數(shù)的對稱中心為.18. 【答案】（1）；    （2）；    （3）3.【解析】【分析】（1）求出即可得出結(jié)果；（2）由已知，令，，可得，即可求出最小值；（3）令，則.分類討論當(dāng)以及時，根據(jù)指數(shù)函數(shù)的單調(diào)性求出在上的值域.進(jìn)而根據(jù)二次函數(shù)的性質(zhì)，求出最大值，根據(jù)已知得到方程，求解即可得出a的值．【小問1詳解】因為，所以定點(diǎn)坐標(biāo)為.【小問2詳解】當(dāng)時，.令，.則，當(dāng)，即時，函數(shù)有最小值.【小問3詳解】令，則.①當(dāng)時，可知在上單調(diào)遞減，所以.又根據(jù)二次函數(shù)的性質(zhì)可知，當(dāng)時，單調(diào)遞減，所以在處取得最大值.由已知可得，，解得或.因為，所以兩個數(shù)值均不滿足；②當(dāng)時，可知在上單調(diào)遞增，所以.又根據(jù)二次函數(shù)的性質(zhì)可知，當(dāng)時，單調(diào)遞增，所以在處取得最大值.由已知可得，，解得或（舍去），所以.綜上所述，.19. 【答案】（1），    （2）時，；時，.【解析】【分析】(1)將函數(shù)化簡為正弦型函數(shù)即可求解；(2)整體替換法先計算區(qū)間內(nèi)是否含有極值，若有則為最值，若無則最值在端點(diǎn)處取得.【小問1詳解】，，.小問2詳解】由(1)知，令得,當(dāng)時，，，令得,與區(qū)間無交集，又，，故時，；時，.20. 【答案】（1）；    （2）答案見解析.【解析】【分析】對于（1），由題可得，.，據(jù)此可得答案；對于（2），設(shè)與BE交點(diǎn)為P，則S，據(jù)此可得答案.【小問1詳解】由題可得，，.，則梯形ADEB的周長為；小問2詳解】設(shè)與BE交點(diǎn)為P，則S.又，且，E為DF中點(diǎn)，則由梯形中位線定理得（若，變?yōu)槿切沃形痪€，結(jié)論不變.），則則S，其中.因，則函數(shù)在上單調(diào)遞增，得當(dāng)時，.當(dāng)且僅當(dāng)時取等號.又函數(shù)在上單調(diào)遞增，則，當(dāng)且僅當(dāng)時取等號.即的面積，其中；當(dāng)且僅當(dāng)時，的面積有最大值.21. 【答案】（1）不是中的一個等距序列    （2）見解析    （3）7【解析】【分析】（1）算出與驗證不相等；（2）結(jié)果為來討論；（3）分析從變成經(jīng)過變換次數(shù)的規(guī)律，根據(jù)知道每次需要變換幾個對應(yīng)坐標(biāo).【小問1詳解】所以不是中的一個等距序列【小問2詳解】設(shè)把分別稱作的第一個，第二個，第三個坐標(biāo)，若則中有個對應(yīng)坐標(biāo)不相同，例如當(dāng)時，說明中有個對應(yīng)坐標(biāo)不相同，其中就是符合的一種情況.①    當(dāng)得，所以是偶數(shù)②    當(dāng)，則中有個對應(yīng)坐標(biāo)不相同，并且中有個對應(yīng)坐標(biāo)不相同，所以中有或個對應(yīng)坐標(biāo)不相同，當(dāng)有個對應(yīng)坐標(biāo)不相同時，即則，當(dāng)有個對應(yīng)坐標(biāo)不相同時，，都滿足為偶數(shù).③    當(dāng)則中有個對應(yīng)坐標(biāo)不相同，并且中有個對應(yīng)坐標(biāo)不相同，所以中有或個對應(yīng)坐標(biāo)不相同，當(dāng)有個對應(yīng)坐標(biāo)不相同時，即則，當(dāng)有個對應(yīng)坐標(biāo)不相同時，，都滿足為偶數(shù).④    當(dāng)則中有個對應(yīng)坐標(biāo)不相同，并且中有個對應(yīng)坐標(biāo)不相同，所以中有個對應(yīng)坐標(biāo)不相同，即則，滿足為偶數(shù).綜上：A，B，C是中的等距序列，則為偶數(shù)【小問3詳解】根據(jù)第二問可得，則說明中有個對應(yīng)坐標(biāo)不相同由變換到需改變5個坐標(biāo)，保留1個不變，又因為從變成經(jīng)過奇數(shù)次變化，所以從變到至少經(jīng)過次變換，每個坐標(biāo)變換5次，故的最小值為. 

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