2021北京清華附中高一（上）期末數(shù)    學(xué)一、選擇題：（共10道小題，每小題4分，共40分）1．已知為第三象限角，則為　　A．第一象限角 B．第二象限角 C．第三象限角 D．第四象限角2．已知集合與，的交集為，則的值可以為　　A．0 B．1 C．2 D．33．已知，，，，則下列不等式一定成立的是　　A． B． C． D．4．已知點(diǎn)是角終邊上一點(diǎn)，則　　A． B． C． D．5．“，”是“”的　　A．充分不必要條件 B．必要不充分條件 C．充分必要條件 D．既不充分也不必要條件6．若，則　　A． B． C． D．7．函數(shù)的圖像關(guān)于直線對稱，則的值可以為　　A． B． C． D．8．已知函數(shù)在，上的值域為，，則實數(shù)的取值范圍是　　A．， B．， C．， D．，9．某食品保鮮時間（單位：小時）與儲藏溫度（單位：滿足函數(shù)關(guān)系為自然對數(shù)的底數(shù)，，為常數(shù)）．若該食品在的保鮮時間是192小時，在的保鮮時間是48小時，則該食品在的保鮮時間是　　A．16小時 B．20小時 C．24小時 D．28小時10．已知函數(shù)，若函數(shù)在，，上有四個不同的零點(diǎn)，則實數(shù)的取值范圍為　　A． B．， C． D．，二、填空題（共5道小題，每小題5分，共25分）11．函數(shù)最小正周期為　 　．12．已知函數(shù)，若，則（1）　　．13．函數(shù)在上單調(diào)遞增，則實數(shù)的最大值為 　　．14．某種藥在病人血液中的含量不低于2克時，它才能起到有效的治療作用，已知服用個單位的藥劑，藥劑在血液中的含量（克隨著時間（小時）變化的函數(shù)關(guān)系式近似為，其中．（1）若病人一次服用3個單位的藥劑，則有效治療時間可達(dá) 　　小時．（2）若病人第一次服用2個單位的藥劑，6個小時后再服用個單位的藥劑，要使接下來的2小時中能夠持續(xù)有效治療，則的最小值為 　　．15．如果函數(shù)的圖像可以通過的圖像平移得到，稱函數(shù)為函數(shù)的“同形函數(shù)”．在①；②；③；④中，為函數(shù)的“同形函數(shù)”的有 　　（填上正確選項序號即可）三、解答題（共6道小題，第16～20題每題14分，第21題15分）16．（14分）（Ⅰ）計算求值：（1）　　；（2）　　；（Ⅱ）解關(guān)于的不等式：（1）；（2）．17．（14分）已知為第二象限角，且．（Ⅰ）求的值；（Ⅱ）求的值．18．（14分）已知函數(shù)，且．（Ⅰ）若（2），求的值．（Ⅱ）若在，上的最大值與最小值的差為1，求的值．19．（14分）已知函數(shù)．（Ⅰ）求的值；（Ⅱ）求函數(shù)在上的最大值及最小值．20．（14分）已知函數(shù)，，，且該函數(shù)的圖像經(jīng)過點(diǎn)，．（Ⅰ）求，的值；（Ⅱ）已知直線與軸交于點(diǎn)，且與函數(shù)的圖像只有一個公共點(diǎn)．求的最大值．（其中為坐標(biāo)原點(diǎn)）21．（15分）已知為不小于3的正整數(shù)，記，，，，對于中的兩個元素，，，，，，，，定義為，，，中的最小值．（Ⅰ）當(dāng)時，，，，求，，的值；（Ⅱ）若，為中的兩個元素，且，求實數(shù)的所有可能取值構(gòu)成的集合．（Ⅲ）若，且對于任意的，均有，求的最小值．
參考答案一、選擇題：（共10道小題，每小題4分，共40分）1．【分析】由的范圍求出的范圍，進(jìn)而看可確定的范圍．【解答】解：因為，，所以，，所以為第四象限．故選：．【點(diǎn)評】本題主要考查了象限角的判斷，屬于基礎(chǔ)題．2．【分析】根據(jù)題意可得，即可判斷正確的選項．【解答】解：集合與，的交集為，，的值可以為3．故選：．【點(diǎn)評】本題主要考查了集合的交運(yùn)算，是基礎(chǔ)題型，較為簡單．3．【分析】根據(jù)不等式的性質(zhì)判斷即可．【解答】解：由，當(dāng)時，故不成立；，，，故成立；，，，故不成立；例如，，，則，，故不成立．故選：．【點(diǎn)評】本題考查了不等式的性質(zhì)，屬于基礎(chǔ)題．4．【分析】直接利用任意角的三角函數(shù)的定義可求，的值，進(jìn)而根據(jù)兩角和的余弦公式即可得到結(jié)論．【解答】解：因為點(diǎn)是角終邊上一點(diǎn)，所以，，所以．故選：．【點(diǎn)評】本題考查任意角的三角函數(shù)的定義，兩角和的余弦公式在三角函數(shù)求值中的應(yīng)用，考查學(xué)生的計算能力，屬于基礎(chǔ)題．5．【分析】先利用特殊角的三角函數(shù)值，求出，再利用充分條件與必要條件的定義進(jìn)行判斷即可．【解答】解：等價于或，所以“，”是“”的充分不必要條件．故選：．【點(diǎn)評】本題考查了充分條件與必要條件的判斷，涉及了三角方程的求解，屬于基礎(chǔ)題．6．【分析】結(jié)合指數(shù)函數(shù)為的單調(diào)性即可比較，的大小．【解答】解：因為在上單調(diào)遞減，且，所以．故選：．【點(diǎn)評】本題主要考查了指數(shù)函數(shù)單調(diào)性在比較函數(shù)值大小中的應(yīng)用，屬于基礎(chǔ)題．7．【分析】由正弦函數(shù)的對稱性可令，，解得，再通過的取值可得結(jié)論．【解答】解：由正弦函數(shù)的對稱性可得，，解得，，當(dāng)時，，故選：．【點(diǎn)評】本題考查正弦函數(shù)的對稱軸方程，考查方程思想和運(yùn)算能力，屬于基礎(chǔ)題．8．【分析】先求函數(shù)的對稱軸，然后結(jié)合函數(shù)取得最大于最小值的位置即可求解．【解答】解：的開口向上，對稱軸，且（4），（2），函數(shù)在，內(nèi)的值域為，，則實數(shù)故選：．【點(diǎn)評】本題主要考查了二次函數(shù)閉區(qū)間上的最值求解，屬于基礎(chǔ)試題．9．【分析】由已知中保鮮時間與儲藏溫度是一種指數(shù)型關(guān)系，由已知構(gòu)造方程組求出，的值，運(yùn)用指數(shù)冪的運(yùn)算性質(zhì)求解即可．【解答】解：為自然對數(shù)的底數(shù)，，為常數(shù)）．當(dāng)時，，當(dāng)時，當(dāng)時，故選：．【點(diǎn)評】本題考查的知識點(diǎn)是函數(shù)解析式的運(yùn)用，列出方程求解即可，注意整體求解．10．【分析】根據(jù)該分段函數(shù)的性質(zhì)，由函數(shù)零點(diǎn)問題轉(zhuǎn)化為函數(shù)圖像交點(diǎn)問題，由 的奇函數(shù)的性質(zhì)，轉(zhuǎn)化為，時 有兩解，結(jié)合函數(shù)圖像即可得解．【解答】解：由，所以 為奇函數(shù)，根據(jù)對稱性可得，時有兩個零點(diǎn)即可，令，可得，若，則，，即 有兩解，結(jié)合對稱性可得：如圖所示可得：，所以．故選：．【點(diǎn)評】本題考查分段函數(shù)的應(yīng)用，考查學(xué)生的運(yùn)算能力，屬于中檔題．二、填空題（共5道小題，每小題5分，共25分）11．【分析】根據(jù)三角函數(shù)的周期公式即可得到結(jié)論．【解答】解：根據(jù)三角函數(shù)的周期公式可得函數(shù)的周期，故答案為：【點(diǎn)評】本題主要考查三角函數(shù)的周期計算，利用三角函數(shù)的周期公式是解決本題的關(guān)鍵，比較基礎(chǔ)．12．【分析】首先計算的和為常數(shù)，再由已知條件可得所求值．【解答】解：函數(shù)，則，所以（1）（1），解得（1）．故答案為：0．【點(diǎn)評】本題考查函數(shù)奇偶性的運(yùn)用，以及誘導(dǎo)公式的運(yùn)用，考查方程思想和運(yùn)算能力，屬于基礎(chǔ)題．13．【分析】由正弦函數(shù)的單調(diào)性，求得的增區(qū)間，再由集合的包含關(guān)系，解不等式可得所求最大值．【解答】解：函數(shù)，可令，，解得，，由題意可得，，，，即有且，，即，可得時，取得最大值，故答案為：．【點(diǎn)評】本題考查三角函數(shù)的單調(diào)性，考查轉(zhuǎn)化思想和運(yùn)算能力，屬于中檔題．14．【分析】（1）由題意可得，則可得的解析式，求解，即可得答案．（2）先分析有效治療末端時間點(diǎn)，由此列出滿足再服用個單位藥劑后，接下來2個小時能持續(xù)有效的不等式，利用恒成立 求得的范圍，即可得答案．【解答】解：（1）若病人一次服用3個單位的藥劑，則，所以 當(dāng)時，，當(dāng)時，令，解得，當(dāng) 時，令，解得，所以若病人一次服用3個單位的藥劑，則有效治療時間可達(dá) 小時．（2）若病人第一次服用2個單位的藥劑，則，所以，此時，所以治療時間末端為第6小時結(jié)束，因為在治療時間末端再服用個單位藥劑，所以，所以，所以 對于任意，恒成立，所以 對于任意，恒成立，設(shè)，為開口向上，對稱軸為的拋物線，所以在，上單調(diào)遞增，所以，故，所以的最小值為．【點(diǎn)評】本題考查分段函數(shù)的應(yīng)用，考查學(xué)生的運(yùn)算能力，屬于中檔題．15．【分析】利用三角函數(shù)恒等變換的應(yīng)用化簡函數(shù)解析式，根據(jù)三角函數(shù)圖像和圖像的變換即可求解．【解答】解：①，其可由先縱坐標(biāo)縮小一半，再向上平移得到，二者不是同形函數(shù)，故①錯誤；②，可由向右平移個單位得到，故②正確；③，可由向左平移個單位得到，故③正確；④，因為的定義域不是，而的定義域是．所以不可能平移得到．故④錯誤；綜上所述，②③正確．故答案為：②③．【點(diǎn)評】本題主要考查了三角函數(shù)恒等變換的應(yīng)用以及三角函數(shù)圖像和圖像的變換，考查了函數(shù)思想和轉(zhuǎn)化思想，屬于中檔題．三、解答題（共6道小題，第16～20題每題14分，第21題15分）16．【分析】（Ⅰ）（1）根據(jù)對數(shù)定義計算即可；（2）根據(jù)誘導(dǎo)公式計算即可；（1）根據(jù)一元二次不等式運(yùn)算即可；（2）根據(jù)一元二次不等式解法對進(jìn)行討論運(yùn)算即可．【解答】解：（Ⅰ）（1）；（2）；（Ⅱ）（1）一元二次方程的解為，4，結(jié)合二次函數(shù)的圖像可得一元二次不等式的解集為，；（2）關(guān)于的不等式即為，當(dāng)時，原不等式解集為；時，原不等式解集為，，；當(dāng)時，原不等式解集為，，．【點(diǎn)評】本題考查對數(shù)運(yùn)算、三角函數(shù)運(yùn)算、一元二次不等式解法，考查數(shù)學(xué)運(yùn)算能力，屬于基礎(chǔ)題．17．【分析】（Ⅰ）由已知利用同角三角函數(shù)基本關(guān)系式可求的值，進(jìn)而根據(jù)兩角和的正切公式即可求解的值．（Ⅱ）由題意利用同角三角函數(shù)基本關(guān)系式，二倍角公式即可求解．【解答】解：（Ⅰ）因為為第二象限角，且，所以，所以．（Ⅱ）因為為第二象限角，所以，，，是第一或第三象限角，所以．【點(diǎn)評】本題主要考查了同角三角函數(shù)基本關(guān)系式，兩角和的正切公式，二倍角公式在三角函數(shù)求值中的應(yīng)用，考查了計算能力和轉(zhuǎn)化思想，屬于基礎(chǔ)題．18．【分析】由已知（2）代入即可直接求解；結(jié)合對數(shù)函數(shù)的單調(diào)性對進(jìn)行分類討論，結(jié)合對數(shù)的運(yùn)算性質(zhì)可求．【解答】解：因為（2），所以，解得或（舍，當(dāng)時，在，上單調(diào)遞增，由題意得，，解得，，當(dāng)時，在，上單調(diào)遞減，由題意得，，解得，，綜上，或．【點(diǎn)評】本題主要考查了指數(shù)與對數(shù)相互轉(zhuǎn)化及對數(shù)函數(shù)單調(diào)性的應(yīng)用，體現(xiàn)了分類討論思想的應(yīng)用，屬于基礎(chǔ)題．19．【分析】（Ⅰ）利用兩角和差的正弦公式以及輔助角公式進(jìn)行轉(zhuǎn)化求解即可．（Ⅱ）求出角的范圍，根據(jù)三角函數(shù)的最值性質(zhì)進(jìn)行求解即可．【解答】解：（Ⅰ），則．（Ⅱ）當(dāng)時，，，，，則，，即，，則，，，，即的最大值為，最小值為0．【點(diǎn)評】本題主要考查三角函數(shù)的圖像和性質(zhì)，利用輔助角公式進(jìn)行化簡，利用三角函數(shù)的最值性質(zhì)是解決本題的關(guān)鍵，是中檔題．20．【分析】（1）把已知點(diǎn)的坐標(biāo)直接代入即可求解，；，由題意可得相應(yīng)方程只有一個解，然后結(jié)合二次方程根的存在條件可得，的關(guān)系，再結(jié)合二次函數(shù)的性質(zhì)可求．【解答】解：由題意得，，解得，，；由題意得，，，，由只有一個解，即只有一個解，因為，所以△，所以，根據(jù)二次函數(shù)的性質(zhì)得，當(dāng)時，上式取得最大值1，此時取得最大值1．【點(diǎn)評】本題主要考查了待定系數(shù)求解函數(shù)解析式及方程根的存在性的應(yīng)用，還考查了二次函數(shù)的性質(zhì)在求解最值中的應(yīng)用，屬于中檔題．21．【分析】 利用定義計算即得； 根據(jù)定義和條件得到不等式組，求解即得； 先找一特例，使得，然后證明不可能更大即可．【解答】解：，，； 若，，或，解得或，即實數(shù)的所有可能取值構(gòu)成的集合； 若，且對于任意的，均有，當(dāng)時，，所以．若存在，，，，使得，則，，，，矛盾．所以的最小值．【點(diǎn)評】本題考查集合的新定義問題，關(guān)鍵是構(gòu)造與證明相結(jié)合的思想方法，屬于中檔題．

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