2023年浙江省湖州市長興縣等2地中考數(shù)學(xué)一模試卷學(xué)校:___________姓名：___________班級(jí)：___________考號(hào)：___________第I卷（選擇題）一、選擇題（本大題共10小題，共30.0分。在每小題列出的選項(xiàng)中，選出符合題目的一項(xiàng)）1.  下列有理數(shù)，，，中，最小的是(    )A.  B.  C.  D. 2.  經(jīng)文化和旅游部數(shù)據(jù)中心測算，年春節(jié)假期國內(nèi)旅游出游億人這里用科學(xué)記數(shù)法表示為(    )A.  B.  C.  D. 3.  如圖是由個(gè)相同的正方體搭成的立體圖形，則它的主視圖為(    )
 
 A.
B.
C.
D. 4.  拋物線的頂點(diǎn)坐標(biāo)是(    )A.  ， B.  C.  D. 5.  某市五月份連續(xù)五天的日最高氣溫分別為、、、、單位：，這組數(shù)據(jù)的眾數(shù)是(    )A.  B.  C.  D. 6.  “二十四節(jié)氣”是中華上古農(nóng)耕文明的智慧結(jié)晶，被國際氣象界譽(yù)為“中國第五大發(fā)明”小文購買了“二十四節(jié)氣”主題郵票，他要將“立春”“立夏”“秋分”“大寒”四張郵票中的一張送給好朋友小樂，小文將它們背面朝上放在桌面上郵票背面完全相同，則小樂抽到的郵票恰好是“立夏”的概率是(    )A.  B.  C.  D. 7.  如圖，是的外接圓，若，則的度數(shù)等于(    )A.
B.
C.
D. 8.  如圖，矩形繞點(diǎn)旋轉(zhuǎn)得到矩形，在旋轉(zhuǎn)過程中，恰好過點(diǎn)，過點(diǎn)作平行交，于，若，，則圖中陰影部分的面積的是(    )A.
B.
C.
D. 9.  九年級(jí)班計(jì)劃在勞動(dòng)實(shí)踐基地內(nèi)種植蔬菜，班長買回來米長的圍欄，準(zhǔn)備圍成一邊靠墻墻足夠長的菜園，為了讓菜園面積盡可能大，同學(xué)們提出了圍成矩形、等腰三角形底邊靠墻、半圓形這三種方案，最佳方案是(    )

 A. 方案 B. 方案 C. 方案 D. 方案或方案10.  二次函數(shù)的圖象過，，，四個(gè)點(diǎn)，下列說法一定正確的是(    )A. 若，則 B. 若，則
C. 若，則 D. 若，則第II卷（非選擇題）二、填空題（本大題共6小題，共24.0分）11.  分解因式：______．12.  已知一組數(shù)據(jù)的方差為，則這組數(shù)據(jù)的標(biāo)準(zhǔn)差為______ ．13.  一個(gè)扇形的半徑為，圓心角為，則此扇形的弧長為______．14.  石拱橋是中國傳統(tǒng)橋梁四大基本形式之一，它的主橋拱是圓弧形．如圖，已知某公園石拱橋的跨度米，拱高米，那么橋拱所在圓的半徑____米．
 15.  如圖，菱形中，對角線，相交于點(diǎn)，反比例函數(shù)的圖象過點(diǎn)和點(diǎn)，則的值為______ ．
 16.  數(shù)學(xué)活動(dòng)課上，將底邊的等腰三角形按圖所示剪成三個(gè)直角三角形，這三個(gè)直角三角形按圖方式進(jìn)行拼搭，其中點(diǎn)，，，四點(diǎn)處在同一直線上，且點(diǎn)與點(diǎn)重合，點(diǎn)與點(diǎn)重合，點(diǎn)恰好在與交點(diǎn)處，則的長是______ ．

 三、解答題（本大題共8小題，共66.0分。解答應(yīng)寫出文字說明，證明過程或演算步驟）17.  本小題分
計(jì)算：．18.  本小題分
先化簡，再求值：，其中．19.  本小題分
如圖，，，證明：．
20.  本小題分
某省教育廳決定在全省中小學(xué)開展“關(guān)注校車、關(guān)愛學(xué)生”為主題的交通安全教育周活動(dòng)，某中學(xué)為了了解本校學(xué)生的上學(xué)方式，在全校范圍內(nèi)隨機(jī)抽查了部分學(xué)生，將收集到的數(shù)據(jù)繪制成如下兩幅不完整的圖表如表，圖所示．上學(xué)方式頻數(shù)頻率步行騎自行車乘公交其他請根據(jù)圖表中提供的信息，解答下列問題：
表中和所表示的數(shù)分別為：______，______；
補(bǔ)全條形統(tǒng)計(jì)圖；
如果該校共有名學(xué)生，請你估計(jì)該校騎自行車上學(xué)的學(xué)生有多少名？
21.  本小題分
如圖，在中，，點(diǎn)是上一點(diǎn)，以為半徑，與相交于點(diǎn)，與相切于點(diǎn)，連結(jié)．
求證：平分；
已知，，求的半徑．
22.  本小題分
為提升青少年的身體素質(zhì)，某市在全市中小學(xué)推行“陽光體育”活動(dòng)，某中學(xué)為滿足學(xué)生的需求，準(zhǔn)備再購買一些籃球和足球如果分別用元購買籃球和足球，則購買籃球的個(gè)數(shù)比足球的個(gè)數(shù)少個(gè)，已知足球的單價(jià)為籃球單價(jià)的．
求籃球、足球的單價(jià)分別為多少元？
學(xué)校計(jì)劃購買籃球、足球共個(gè)，如果購買足球個(gè)，總費(fèi)用為元，請寫出與的函數(shù)關(guān)系式；
在的條件下學(xué)校計(jì)劃總費(fèi)用不多于元，那么應(yīng)如何安排購買方案才能使費(fèi)用最少，最少費(fèi)用應(yīng)為多少？23.  本小題分
如圖，已知拋物線的對稱軸為直線，且與軸交于，兩點(diǎn)，與軸交于點(diǎn)，其中，連結(jié)．
求點(diǎn)的坐標(biāo)及此拋物線的表達(dá)式；
點(diǎn)為軸上一點(diǎn)，若直線和直線的夾角為，求線段的長度；
當(dāng)時(shí)，函數(shù)的最大值與最小值的差是一個(gè)定值，直接寫出的取值范圍．
24.  本小題分
【問題呈現(xiàn)】
如圖，在中，，在上取點(diǎn)，過點(diǎn)作的垂線交于點(diǎn)若，，求的值；
【類比探究】
在的條件下，繞點(diǎn)逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)一定角度點(diǎn)在的內(nèi)部，如圖，連接，，求的值；
【拓展提升】
在的條件下，延長交于點(diǎn)，交于點(diǎn)，如圖求的值．


答案和解析 1.【答案】 【解析】解：有理數(shù)，，，中，最小的是．
故選：．
利用有理數(shù)的大小比較判斷．
本題考查了有理數(shù)的大小比較，解題的關(guān)鍵是掌握有理數(shù)的大小比較．
 2.【答案】 【解析】解：．
故選：．
科學(xué)記數(shù)法的表示形式為的形式，其中，為整數(shù)．確定的值時(shí)，要看把原數(shù)變成時(shí)，小數(shù)點(diǎn)移動(dòng)了多少位，的絕對值與小數(shù)點(diǎn)移動(dòng)的位數(shù)相同．
此題主要考查了用科學(xué)記數(shù)法表示絕對值較大的數(shù)，一般形式為，準(zhǔn)確確定、的值是解答本題的關(guān)鍵．
 3.【答案】 【解析】【分析】
本題考查簡單組合體的主視圖，理解視圖的意義，掌握三視圖的畫法是正確判斷的前提．
根據(jù)主視圖的意義，從正面看該組合體所得到的圖形進(jìn)行判斷即可．
【解答】
解：從正面看該組合體，所看到的圖形與選項(xiàng)A中的圖形相同，
故選：．  4.【答案】 【解析】解：，
拋物線頂點(diǎn)坐標(biāo)為，
故選：．
由拋物線解析式可得拋物線頂點(diǎn)坐標(biāo)．
本題考查二次函數(shù)的性質(zhì)，解題關(guān)鍵是掌握二次函數(shù)的頂點(diǎn)式．
 5.【答案】 【解析】解：一組數(shù)據(jù)、、、、，
這組數(shù)據(jù)的眾數(shù)是，
故選：．
根據(jù)題目中的數(shù)據(jù)，可以直接寫出這組數(shù)據(jù)的眾數(shù)，本題得以解決．
本題考查眾數(shù)，解答本題的關(guān)鍵是明確眾數(shù)的含義，可以寫出一組數(shù)據(jù)的眾數(shù)．
 6.【答案】 【解析】解：由題意知，一共有種等可能結(jié)果，其中小樂抽到的郵票恰好是“立夏”的只有種結(jié)果，
所以小樂抽到的郵票恰好是“立夏”的概率為，
故選：．
一共有種等可能結(jié)果，其中小樂抽到的郵票恰好是“立夏”的只有種結(jié)果，再根據(jù)概率公式求解即可．
本題主要考查概率公式，隨機(jī)事件的概率事件可能出現(xiàn)的結(jié)果數(shù)所有可能出現(xiàn)的結(jié)果數(shù)．
 7.【答案】 【解析】解：連接，
，
，
，
，
故選：．
連接，根據(jù)等腰三角形的性質(zhì)得到，根據(jù)三角形內(nèi)角和定理求得，由圓周角定理即可求出的度數(shù)．
本題主要考查了三角形的外接圓與外心，圓周角定理，等腰三角形的性質(zhì)，正確作出輔助線，熟練掌握圓周角定理是解決問題的關(guān)鍵．
 8.【答案】 【解析】解：矩形繞點(diǎn)旋轉(zhuǎn)得到矩形，
，
，
，
，，
四邊形是平行四邊形，，
四邊形是平行四邊形，
，
陰影部分的面積，
故選：．
由旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)可得，由勾股定理可求，可求的面積，由平行四邊形的性質(zhì)可求解．
本題考查了旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)，矩形的性質(zhì)，勾股定理等知識(shí)，靈活運(yùn)用這些性質(zhì)解決問題是解題的關(guān)鍵．
 9.【答案】 【解析】解：方案：設(shè)米，則米，

則菜園面積，
當(dāng)時(shí)，此時(shí)菜園最大面積為米；
方案：當(dāng)時(shí)，菜園最大面積米；

方案：半圓的半徑，
此時(shí)菜園最大面積米米；
故選：．
分別計(jì)算三個(gè)方案的菜園面積進(jìn)行比較即可．
本題考查了計(jì)算同周長的幾何圖形的面積的問題，根據(jù)周長為米計(jì)算三個(gè)方案的邊長及半徑是解本題的關(guān)鍵．
 10.【答案】 【解析】解：如圖，由題意對稱軸為直線，
觀察圖象可知，，
若，如圖中，則，選項(xiàng)A不符合題意，

若，如圖中，則，選項(xiàng)B不符合題意，

若，如圖中，則，選項(xiàng)C符合題意，

若，如圖中，則，選項(xiàng)D不符合題意，

故選：．
觀察圖象可知，，再結(jié)合題目一一判斷即可．
本題考查二次函數(shù)的性質(zhì)，二次函數(shù)圖象上的點(diǎn)的坐標(biāo)特征，解題的關(guān)鍵是學(xué)會(huì)利用圖象法解決問題，屬于中考常考題型．
 11.【答案】 【解析】解：．
本題剛好是兩個(gè)數(shù)的平方差，所以利用平方差公式分解則可．平方差公式：．
本題考查了平方差公式因式分解．能用平方差公式進(jìn)行因式分解的式子的特點(diǎn)是：兩項(xiàng)平方項(xiàng)；符號(hào)相反．
 12.【答案】 【解析】解：數(shù)據(jù)的方差是，
這組數(shù)據(jù)的標(biāo)準(zhǔn)差是；
故答案為：．
根據(jù)標(biāo)準(zhǔn)差是方差的算術(shù)平方根，即可得出答案．
本題考查了標(biāo)準(zhǔn)差，關(guān)鍵是掌握標(biāo)準(zhǔn)差和方差的關(guān)系，標(biāo)準(zhǔn)差即方差的算術(shù)平方根；注意標(biāo)準(zhǔn)差和方差一樣都是非負(fù)數(shù)．
 13.【答案】 【解析】解：扇形弧長為，
故答案為．
根據(jù)弧長的計(jì)算公式直接解答即可．
本題考查了弧長的計(jì)算．
 14.【答案】 【解析】解：，
米，
設(shè)米，則米，
在中，得：，
即，
解得：，
即橋拱所在圓的半徑是米．
故答案為：．
利用直角三角形，根據(jù)勾股定理和垂徑定理解答．
此題主要考查了垂徑定理的應(yīng)用題，解題的關(guān)鍵是利用垂徑定理和勾股定理求線段的長．
 15.【答案】 【解析】解：作軸于，軸于，則，
點(diǎn)，反比例函數(shù)的圖象過點(diǎn)和點(diǎn)，
，
反比例函數(shù)為，
四邊形是菱形，
是的中點(diǎn)，
，，
點(diǎn)的縱坐標(biāo)為，
，
，
，
，
，
在中，，
，
解得負(fù)數(shù)舍去，
故答案為：．
由反比例函數(shù)的圖象過點(diǎn)求得反比例函數(shù)為，根據(jù)菱形的性質(zhì)為的中點(diǎn)，可知，，即可求得的橫坐標(biāo)為，從而求得，得到菱形邊長為，利用勾股定理得到關(guān)于的方程，解方程即可．
本題考查了菱形的性質(zhì)，反比例函數(shù)圖象上點(diǎn)的坐標(biāo)特征，勾股定理的應(yīng)用，求得菱形的邊長是解此題的關(guān)鍵．
 16.【答案】 【解析】解：由圖及等腰三角形的性質(zhì)可知，
，，，
如圖，，
，
，
，
，
設(shè)，則，
在中，，
，
，
，
故答案為：．
根據(jù)等腰三角形的性質(zhì)求出，，，，根據(jù)勾股定理求解即可．
此題考查了勾股定理，熟記勾股定理是解題的關(guān)鍵．
 17.【答案】解：原式
． 【解析】直接利用絕對值的性質(zhì)以及零指數(shù)冪的性質(zhì)分別化簡得出答案．
此題主要考查了實(shí)數(shù)運(yùn)算，正確化簡各數(shù)是解題關(guān)鍵．
 18.【答案】解：


，
當(dāng)時(shí)，原式． 【解析】先根據(jù)單項(xiàng)式乘多項(xiàng)式和平方差公式進(jìn)行計(jì)算，再合并同類項(xiàng)，最后代入求出答案即可．
本題考查了整式的化簡求值，能正確根據(jù)整式的運(yùn)算法則進(jìn)行化簡是解此題的關(guān)鍵．
 19.【答案】證明：在和中，
，
≌，
． 【解析】根據(jù)證明≌，進(jìn)而利用全等三角形的性質(zhì)解答即可．
此題考查全等三角形的判定和性質(zhì)，關(guān)鍵是根據(jù)證明≌解答．
 20.【答案】   【解析】解：被調(diào)查的學(xué)生共有：人，
，；
由知，“騎自行車”的學(xué)生有人，補(bǔ)全條形圖如圖：

人．
答：該校騎自行車上學(xué)的學(xué)生約有人．
故答案為：，．
根據(jù)“乘公交”的頻數(shù)、頻率可得總?cè)藬?shù)，依據(jù)：頻率可分別求得、的值；
由可得“騎自行車”的人數(shù)，補(bǔ)全條形圖即可；
用樣本中“騎自行車”所占百分比乘以總?cè)藬?shù)即可．
本題考查的是條形統(tǒng)計(jì)圖和頻數(shù)分布表的綜合運(yùn)用，熟練掌握頻數(shù)分布表中頻率及條形統(tǒng)計(jì)圖中每個(gè)項(xiàng)目的數(shù)據(jù)是解題的關(guān)鍵；
 21.【答案】證明：連接，

切于點(diǎn)，
，
，
，
，
，
，
，即平分；

解：在中，，
，
，，
，
，
∽，
，即，
解得：． 【解析】連接，根據(jù)切線的性質(zhì)得到，進(jìn)而得到，根據(jù)平行線的性質(zhì)、等腰三角形的性質(zhì)證明結(jié)論；
根據(jù)余弦的定義求出，根據(jù)∽列出比例式，把已知數(shù)據(jù)代入計(jì)算即可．
本題考查的是切線的性質(zhì)、圓周角定理、相似三角形的判定和性質(zhì)，掌握圓的切線垂直于經(jīng)過切點(diǎn)的半徑是解題的關(guān)鍵．
 22.【答案】解：設(shè)籃球每個(gè)元，足球每個(gè)元，
由題意得：，
解得：，
經(jīng)檢驗(yàn)：是原方程的解且符合題意，
則足球的單價(jià)為：元，
答：籃球每個(gè)元，足球每個(gè)元；
由題意得：，
即與的函數(shù)關(guān)系式為；
由題意可得：，
解得：，
，
由得：，
，
隨的增大而減小，
當(dāng)時(shí)，取得最小值，
此時(shí)元，， 【解析】根據(jù)題意，可以列出相應(yīng)的分式方程，從而可以得到籃球、足球的單價(jià)，注意分式方程要檢驗(yàn)；
根據(jù)題意，可以寫出與的函數(shù)關(guān)系式；
根據(jù)題意和一次函數(shù)的性質(zhì)，可以求得如何安排購買方案才能使費(fèi)用最少，最少費(fèi)用應(yīng)為多少．
本題考查一次函數(shù)的應(yīng)用、分式方程的應(yīng)用、一元一次不等式的應(yīng)用，解答本題的關(guān)鍵是明確題意，列出相應(yīng)的分式方程，利用一次函數(shù)的性質(zhì)和不等式的性質(zhì)解答．
 23.【答案】解：對稱軸為直線，
，
，
拋物線與軸交于點(diǎn)，代入得：
，
拋物線的解析式為，
由拋物線的表達(dá)式知，點(diǎn)；

，，
是等腰直角三角形，
則，
直線和直線的夾角為，
或，
在中，，
，
當(dāng)時(shí)，如圖所示：

，
則，
則；
當(dāng)時(shí)，如圖所示：

，
，
的長度為或；

當(dāng)和在對稱軸兩側(cè)時(shí)，
此時(shí)，拋物線在時(shí)，取得最小值，
當(dāng)和關(guān)于對稱時(shí)，最大值相等且為定值，即時(shí)，的值為最大值，
此時(shí)，函數(shù)的最大值與最小值的差是一個(gè)定值，
此時(shí)，
即，函數(shù)的最大值與最小值的差是一個(gè)定值． 【解析】由待定系數(shù)法即可求解；
證明或，即可求解；
當(dāng)和在對稱軸兩側(cè)時(shí)，函數(shù)的最大值與最小值的差是一個(gè)定值，進(jìn)而求解．
本題是二次函數(shù)綜合題，主要考查了一次函數(shù)的性質(zhì)、解直角三角形等，其中，要注意分類求解，避免遺漏．
 24.【答案】解：，，
，

，
，
≌，
；
，
，
即，
，
∽，
；
由得：∽，
，
，
，
． 【解析】根據(jù)勾股定理得到，根據(jù)相似三角形的判定和性質(zhì)定理即可得到結(jié)論；
根據(jù)角的和差得到，根據(jù)相似三角形的判定和性質(zhì)定理即可得到結(jié)論；
由得：∽，根據(jù)相似三角形的性質(zhì)得到，等量代換得到，根據(jù)三角函數(shù)的定義即可得到結(jié)論．
本題是相似形的綜合題，考查了相似三角形的判定和性質(zhì)，垂直的定義，勾股定理，熟練掌握相似三角形的判定和性質(zhì)定理是解題的關(guān)鍵．
 

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