知識(shí)梳理 · 雙基自測(cè)
知識(shí)點(diǎn)一　圓的定義及方程
知識(shí)點(diǎn)二　點(diǎn)與圓的位置關(guān)系1．圓的標(biāo)準(zhǔn)方程(x－a)2＋(y－b)2＝r2，點(diǎn)M(x0，y0)，(1)(x0－a)2＋(y0－b)2______r2?點(diǎn)在圓上；(2)(x0－a)2＋(y0－b)2______r2?點(diǎn)在圓外；(3)(x0－a)2＋(y0－b)2______r2?點(diǎn)在圓內(nèi)．2．圓的一般方程x2＋y2＋Dx＋Ey＋F＝0，點(diǎn)M(x0，y0)．(1)x＋y＋Dx0＋Ey0＋F＝0?點(diǎn)在圓上；(2)x＋y＋Dx0＋Ey0＋F______0?點(diǎn)在圓外；(3)x＋y＋Dx0＋Ey0＋F______0?點(diǎn)在圓內(nèi)．
1．圓心在過(guò)切點(diǎn)且垂直于切線的直線上．2．圓心在任一弦的垂直平分線上．3．兩圓相切時(shí)，切點(diǎn)與兩圓心三點(diǎn)共線．4．以A(x1，y1)，B(x2，y2)為直徑的兩端點(diǎn)的圓的方程是(x－x1)(x－x2)＋(y－y1)(y－y2)＝0.
題組一　走出誤區(qū)1．判斷下列結(jié)論是否正確(請(qǐng)?jiān)诶ㄌ?hào)中打“√”或“×”)(1)確定圓的幾何要素是圓心與半徑．( 　　)(2)圓心為(1，－1)且過(guò)原點(diǎn)的圓的方程為(x＋1)2＋(y－1)2＝2.( 　　)(3)若A(2,0)，B(0，－4)，則AB以為直徑的圓的方程為(x－1)2＋(y＋2)2＝5.( 　　)
(4)方程(x＋a)2＋(y＋b)2＝t2(t∈R)表示圓心為(a，b)，半徑為t的圓．( 　　)(5)已知方程x2＋y2－2mx＋4y＋5＝0表示圓，則m的取值范圍是(1，＋∞)．( 　　)
題組二　走進(jìn)教材2．(選擇性必修1P88T4)圓C的圓心在x軸上，并且過(guò)點(diǎn)A(－1，1)和B(1,3)，則圓C的方程為_(kāi)__________________.[解析]　設(shè)圓心坐標(biāo)為C(a,0)，∵點(diǎn)A(－1,1)和B(1,3)在圓C上，∴|CA|＝|CB|，
(x－2)2＋y2＝10
3．(選擇性必修1P98T2(1))以點(diǎn)(2，－1)為圓心且與直線3x－4y＋5＝0相切的圓的方程為( 　　)A．(x－2)2＋(y＋1)2＝3B．(x＋2)2＋(y－1)2＝3C．(x－2)2＋(y＋1)2＝9D．(x＋2)2＋(y－1)2＝9
題組三　走向高考4．(2019·北京高考)設(shè)拋物線y2＝4x的焦點(diǎn)為F，準(zhǔn)線為l.則以F為圓心，且與l相切的圓的方程為_(kāi)________________________.[解析]　∵拋物線的方程為y2＝4x，∴其焦點(diǎn)坐標(biāo)為F(1,0)，準(zhǔn)線l的方程為x＝－1.又∵圓與直線l相切，∴圓的半徑r＝2，故圓的方程為(x－1)2＋y2＝4.
(x－1)2＋y2＝4
考點(diǎn)突破 · 互動(dòng)探究
(1)(2021·重慶一中、湖北鄂州期中)圓C半徑為2，圓心在x軸的正半軸上，直線3x＋4y＋4＝0與圓C相切，則圓C的方程為( 　　)A．x2＋y2－2x－3＝0 B．x2＋y2－4x＝0C．x2＋y2＋4x＝0 D．x2＋y2＋2x－3＝0
(x－2)2＋y2＝9
(3)(2022·高考全國(guó)乙卷)過(guò)四點(diǎn)(0,0)，(4,0)，(－1,1)，(4,2)中的三點(diǎn) 的一個(gè)圓的方程為_(kāi)_____________________________________________ ________________________________.(4)(2022·全國(guó)甲卷)設(shè)點(diǎn)M在直線2x＋y－1＝0上，點(diǎn)(3,0)和(0,1)均在⊙M上，則⊙M的方程為_(kāi)___________________.
(x－1)2＋(y＋1)2＝5
求圓的方程的兩種方法(1)直接法：根據(jù)圓的幾何性質(zhì)，直接求出圓心坐標(biāo)和半徑，進(jìn)而寫(xiě)出方程．(2)待定系數(shù)法：①若已知條件與圓心(a，b)和半徑r有關(guān)，則設(shè)圓的標(biāo)準(zhǔn)方程，依據(jù)已知條件列出關(guān)于a，b，r的方程組，進(jìn)而求出a，b，r的值；②若已知條件沒(méi)有明確給出圓心或半徑，則選擇圓的一般方程，依據(jù)已知條件列出關(guān)于D，E，F(xiàn)的方程組，進(jìn)而求出D，E，F(xiàn)的值．
(3)常見(jiàn)圓的方程的設(shè)法
(2)(2023·河南安陽(yáng)調(diào)研)過(guò)點(diǎn)(0,2)且與直線y＝x－2相切，圓心在x軸上的圓的方程為( 　　)A．(x＋1)2＋y2＝3 B．(x＋1)2＋y2＝5C．(x＋2)2＋y2＝4 D．(x＋2)2＋y2＝8
[引申]本例中若P(x，y)，則(1)(x＋3)2＋(y＋1)2的最大值為_(kāi)________，最小值為_(kāi)_____.(2)|x－2y－2|的取值范圍為_(kāi)_____________________.
(3)形如(x－a)2＋(y－b)2形式的最值問(wèn)題，可轉(zhuǎn)化為動(dòng)點(diǎn)到定點(diǎn)的距離的平方的最值問(wèn)題．(4)圓上的點(diǎn)到定點(diǎn)(定直線)距離的最大值與最小值可轉(zhuǎn)化為圓心到定點(diǎn)(定直線)距離與半徑的和與差．2．根據(jù)已知條件列出相關(guān)的函數(shù)關(guān)系式，再根據(jù)式子特征選用均值不等式或函數(shù)單調(diào)性等方法求最值．
已知圓x2＋y2＝4上一定點(diǎn)A(2,0)，B(1,1)為圓內(nèi)一點(diǎn)，P、Q為圓上的動(dòng)點(diǎn)．(1)求線段AP中點(diǎn)的軌跡方程；(2)若∠PBQ＝90°，求線段PQ中點(diǎn)的軌跡方程．[解析]　(1)設(shè)AP的中點(diǎn)為M(x，y)，由中點(diǎn)坐標(biāo)公式可知，P點(diǎn)坐標(biāo)為(2x－2,2y)．因?yàn)镻點(diǎn)在圓x2＋y2＝4上，所以(2x－2)2＋(2y)2＝4.故線段AP中點(diǎn)的軌跡方程為(x－1)2＋y2＝1.
(2)設(shè)PQ的中點(diǎn)為N(x，y)．在Rt△PBQ中，|PN|＝|BN|，設(shè)O為坐標(biāo)原點(diǎn)，連接ON，則ON⊥PQ，所以|OP|2＝|ON|2＋|PN|2＝|ON|2＋|BN|2，所以x2＋y2＋(x－1)2＋(y－1)2＝4.故線段PQ中點(diǎn)的軌跡方程為x2＋y2－x－y－1＝0.
求與圓有關(guān)的軌跡方程的方法
〔變式訓(xùn)練3〕(2022·河北衡水中學(xué)調(diào)研)已知Rt△ABC的斜邊為AB，且A(－1,0)，B(3,0)．求：(1)直角頂點(diǎn)C的軌跡方程；(2)直角邊BC的中點(diǎn)M的軌跡方程．
名師講壇 · 素養(yǎng)提升
(1)一條光線從點(diǎn)(－2，－3)射出，經(jīng)y軸反射后與圓(x＋3)2＋(y－2)2＝1相切，則反射光線所在直線的斜率為( 　　)(2)已知A(0,2)，點(diǎn)P在直線x＋y＋2＝0上，點(diǎn)Q在圓C：x2＋y2－4x－2y＝0上，則|PA|＋|PQ|的最小值是_________.
[引申]本例(1)中入射光線所在直線的方程為_(kāi)______________________________.
4x－3y－1＝0或3x－4y
1．光的反射問(wèn)題一般化為軸對(duì)稱解決．2．求解形如|PM|＋|PN|(其中M，N均為動(dòng)點(diǎn))且與圓C有關(guān)的折線段的最值問(wèn)題的基本思路：(1)“動(dòng)化定”，把與圓上動(dòng)點(diǎn)的距離轉(zhuǎn)化為與圓心的距離；(2)“曲化直”，即將折線段之和轉(zhuǎn)化為同一直線上的兩線段之和，一般要通過(guò)對(duì)稱性解決．3．定點(diǎn)到圓上動(dòng)點(diǎn)距離的最大(小)值為定點(diǎn)到圓心的距離加(減)半徑；圓上的點(diǎn)到定直線距離的最大(小)值為圓心到直線的距離加(減)半徑．

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