2023年山東省濟南市萊蕪區(qū)中考數(shù)學二模試卷一、選擇題（本大題共10小題，共40.0分。在每小題列出的選項中，選出符合題目的一項）1.  的絕對值是(    )A.  B.  C.  D. 2.  如圖是由個大小相同的小正方體組成的立體圖形，它的俯視圖是(    )A.
B.
C.
D. 3.  年月日，濟萊高鐵開通運營，濟萊高鐵由濟南站至鋼城站，線路全長約米，數(shù)字用科學記數(shù)法表示為(    )A.  B.  C.  D. 4.  如圖，直線，的直角頂點在直線上，邊與相交于點，若，則的度數(shù)為(    )
 A.  B.  C.  D. 5.  某校初中數(shù)學實踐活動小組在假期開展了剪紙的實踐活動，下列剪紙作品既是軸對稱圖形又是中心對稱圖形的是(    )A.  B.  C.  D. 6.  實數(shù)、在數(shù)軸上的位置如圖所示，化簡的結(jié)果是(    )A.  B.  C.  D. 7.  在一個不透明的袋子中有三個形狀完全相同的小球，小球的標號分別為，，，若隨機摸出一個小球，記下標號，不放回，再隨機摸出一個小球，記下標號，把兩次記下的標號分別當做點的橫坐標、縱坐標，則點在第四象限的概率是(    )A.  B.  C.  D. 8.  若，是一元二次方程的兩個實數(shù)根，則(    )A.  B.  C.  D. 9.  如圖，，在的兩邊上分別截取，，使；分別以，為圓心，以長為半徑畫弧，兩弧交于點，分別連接線段、、，若，點為的中點，連接交于點，連接則下列個結(jié)論中正確的個數(shù)是(    )
≌；
四邊形是菱形；
；
．A.  B.  C.  D. 10.  在平面直角坐標系中，若點，是拋物線上的兩點，且滿足時，都有，則的取值范圍是(    )A.  B.  C.  D. 二、填空題（本大題共6小題，共24.0分）11.  因式分解：          ．12.  小明把如圖的平行四邊形紙板掛在墻上，玩飛鏢游戲每次飛鏢均落在紙板上，則飛鏢落在陰影區(qū)域的概率是______ ．
 13.  一個多邊形外角和是內(nèi)角和的，則這個多邊形的邊數(shù)是______ ．14.  若關(guān)于的一元二次方程有兩個不相等的實數(shù)根，則的取值范圍是______ ．15.  已知邊長為的正方形，分別以各邊為直徑作半圓，則這個正方形與四個半圓所形成的陰影部分的面積是______ 結(jié)果保留
 
 16.  如圖，在矩形中，點是邊上的一點，把矩形沿折疊，點落在邊上的點處，，，點是線段上的動點，連接，過點作的垂線交于點，垂足為以下結(jié)論：；；；連接，則的最小值為；其中正確的結(jié)論是______ 把所有正確結(jié)論的序號都填在橫線上．三、解答題（本大題共10小題，共86.0分。解答應(yīng)寫出文字說明，證明過程或演算步驟）17.  本小題分
計算：．18.  本小題分
先化簡，再求值：，其中．19.  本小題分
如圖，在?中，點、分別是對角線上的兩點，且，連接，求證：．
20.  本小題分
根據(jù)國家教育部和體育總局頒發(fā)的學生體質(zhì)健康標準精神，為提高學生的自我保健能力和體質(zhì)健康水平，近日，某校開展了學生體能測試活動中的一項：女生一分鐘跳繩比賽，并隨機抽取了名女生一分鐘跳繩次數(shù)進行調(diào)查統(tǒng)計，根據(jù)調(diào)查統(tǒng)計結(jié)果繪制了如下表格和統(tǒng)計圖： 等級次數(shù)頻數(shù)不合格合格 良好 優(yōu)秀請結(jié)合上述信息完成下列問題：
______ ， ______ ；
請補全頻數(shù)分布直方圖；
在扇形統(tǒng)計圖中，“良好”等級對應(yīng)的圓心角的度數(shù)是______ ；
若該校有名學生，根據(jù)抽樣調(diào)查結(jié)果，請估計該校學生一分鐘跳繩次數(shù)達到合格及以上的人數(shù)．

 21.  本小題分
某景區(qū)在建筑物附近新建了一座高的建筑物，小明在此建筑物底端的點處測得建筑物的頂端的仰角是，當他到達建筑物的頂端時，測得點的俯角是．
求的度數(shù)；
請你幫小明計算建筑物的高結(jié)果精確到參考數(shù)據(jù)：
 
22.  本小題分
如圖，已知是的直徑，是上一點，的平分線交于點，是的切線，為切點，交的延長線于點連接，．
求證：；
若的半徑為，，求的長．
23.  本小題分
生態(tài)優(yōu)先，綠色發(fā)展，讓美麗的地球添上更多“中國綠”某小區(qū)為抓好“園區(qū)綠化”，購買了甲、乙兩種樹苗，購買甲種樹苗花了元，購買乙種樹苗花了元，甲種樹苗的單價是乙種樹苗的倍，購買甲種樹苗的數(shù)量比購買乙種樹苗的數(shù)量少棵．
求甲、乙兩種樹苗單價分別是多少元？
為擴大園區(qū)綠化面積，該小區(qū)準備再次購進甲、乙兩種樹苗共棵，若總金額不超過元，問最少購進多少棵乙種樹苗？24.  本小題分
如圖，一次函數(shù)的圖象與反比例函數(shù)在第一象限的圖象交于和兩點，與軸交于點．
求反比例函數(shù)的解析式；
若點在軸上，且的面積為，求點的坐標；
將線段在平面內(nèi)平移，當一個端點的對應(yīng)點在軸上，另一個端點的對應(yīng)點是平面內(nèi)一點，是否存在以、、、為頂點的四邊形為矩形？若存在，求出所有符合條件的點坐標；若不存在，請說明理由．

 25.  本小題分
如圖，在同一平面內(nèi)的和，連接、，點、分別是線段、的中點，繞點自由旋轉(zhuǎn)時，、、三點會在同一條直線上．
如圖，當和都是等邊三角形時，判斷線段、、的數(shù)量關(guān)系，并給出證明；
如圖，當和都是等腰直角三角形時，請直接寫出線段、、的數(shù)量關(guān)系______ ；
如圖，當，，時，求點到直線的距離．

 26.  本小題分
拋物線的頂點坐標為，與軸交于，兩點，與軸交于點．
求這條拋物線的函數(shù)表達式；
如圖，點是直線上的一個動點，連接，，求的最小值，并求出此時點的坐標；
如圖，點在第四象限的拋物線上，連接，與相交于點，與軸交于點，是否存在點，使若存在，請求出點的坐標；若不存在，請說明理由．


答案和解析 1.【答案】 【解析】解：的絕對值是．
故選：．
負數(shù)的絕對值是它的相反數(shù)，由此即可得到答案．
本題考查絕對值，關(guān)鍵是掌握絕對值的意義．
 2.【答案】 【解析】解：從上面看，底層是兩個小正方形，上層的左邊是一個小正方形．
故選：．
根據(jù)簡單組合體三視圖的意義，得出從上面看所得到的圖形即可．
本題考查簡單組合體的三視圖，掌握視圖的意義，得到各種視圖的形狀是正確判斷的前提．
 3.【答案】 【解析】解：．
故選：．
科學記數(shù)法的表示形式為的形式，其中，為整數(shù)．確定的值時，要看把原數(shù)變成時，小數(shù)點移動了多少位，的絕對值與小數(shù)點移動的位數(shù)相同．當原數(shù)絕對值時，是正整數(shù)；當原數(shù)的絕對值時，是負整數(shù)．
此題考查科學記數(shù)法的表示方法．科學記數(shù)法的表示形式為的形式，其中，為整數(shù)，表示時關(guān)鍵要正確確定的值以及的值．
 4.【答案】 【解析】解：，
，
，
，
故選：．
根據(jù)平行線的性質(zhì)可得，因為，所以求得即可．
本題考查平行線的性質(zhì)，熟練掌握平行線的性質(zhì)，兩直線平行，內(nèi)錯角相等相等是解題的關(guān)鍵．
 5.【答案】 【解析】解：、不是軸對稱圖形，是中心對稱圖形，不合題意；
B、是軸對稱圖形，不是中心對稱圖形，不符合題意；
C、是軸對稱圖形，也是中心對稱圖形，符合題意；
D、是軸對稱圖形，不是中心對稱圖形，不合題意．
故選：．
根據(jù)軸對稱圖形與中心對稱圖形的概念求解．
此題主要考查了中心對稱圖形與軸對稱圖形的概念．軸對稱圖形的關(guān)鍵是尋找對稱軸，圖形兩部分折疊后可重合，中心對稱圖形是要尋找對稱中心，旋轉(zhuǎn)度后兩部分重合．
 6.【答案】 【解析】解：由，兩點在數(shù)軸上的位置可知，，
所以，
故原式．
故選：．
先根據(jù)，兩點在數(shù)軸上的位置判斷出，的大小，進而判斷出的符號，據(jù)此得出結(jié)論．
本題考查的是二次根式的性質(zhì)與化簡，熟知二次根式的被開方數(shù)具有非負性是解題的關(guān)鍵．
 7.【答案】 【解析】解：從標有，，的三個小球中，先摸出一球，記下標號，不放回，再隨機摸出一個小球，把兩次記下的標號分別當做點的橫坐標、縱坐標，所有能可能出現(xiàn)的結(jié)果如下： 縱、橫坐標                                            共有種等可能出現(xiàn)的結(jié)果，其中橫坐標是正數(shù)，縱坐標是負數(shù)，即這個點在第四象限的有種，
所以點在第四象限的概率是，
故選：．
用列表法表示從標有，，的三個小球中，先摸出一球，記下標號，不放回，再隨機摸出一個小球，把兩次記下的標號分別當做點的橫坐標、縱坐標，所有能可能出現(xiàn)的結(jié)果，再根據(jù)概率的定義進行計算即可．
本題考查列表法或樹狀圖法，列舉出所有等可能出現(xiàn)的結(jié)果是正確解答的前提．
 8.【答案】 【解析】解：，是一元二次方程的兩個實數(shù)根，
，，，
，




，
故選：．
根據(jù)，是一元二次方程的兩個實數(shù)根，得，，，把所求式子變形后整體代入計算即可．
本題考查一元二次方程根與系數(shù)的關(guān)系，解題的關(guān)鍵是掌握一元二次方程根與系數(shù)的關(guān)系，用整體思想解決問題．
 9.【答案】 【解析】解：，，
是等邊三角形，
，
，
，
四邊形是菱形，故正確，
，故錯誤，
，，，
≌，故正確，
過點作于點，于點．
設(shè)，
菱形的面積，
，
，
，，
，
，
，
，
≌，
，
，
，
故正確．
故選：．
正確．根據(jù)證明即可；
正確．證明，都是等邊三角形，可得結(jié)論；
錯誤．利用菱形的面積公式判斷即可．
正確．過點作于點，于點設(shè)，求出，，可得結(jié)論．
本題考查作圖復雜作圖，菱形的判定和性質(zhì)，等邊三角形的判定和性質(zhì)，解直角三角形等知識，解題時的關(guān)鍵是理解題意，靈活運用所學知識解決問題．
 10.【答案】 【解析】解：由可得，
，
整理，得：，
，
，
，
，
，
解得，
；
故選：．
根據(jù)且時，都有，可以得到，即可得到的取值范圍．
本題考查二次函數(shù)圖象與系數(shù)的關(guān)系、二次函數(shù)圖象上點的坐標特征，解答本題的關(guān)鍵是明確題意，利用二次函數(shù)的性質(zhì)解答．
 11.【答案】 【解析】解：原式
，
故答案為：
【分析】此題考查了提公因式法與公式法的綜合運用，熟練掌握因式分解的方法是解本題的關(guān)鍵．
原式提取公因式，再利用平方差公式分解即可．  12.【答案】 【解析】解：根據(jù)平行四邊形的性質(zhì)易證平行四邊形的對角線把矩形分成的四個三角形均為同底等高的三角形，故其面積相等，
根據(jù)平行線的性質(zhì)易證，故陰影部分的面積占一份，
故飛鏢落在陰影區(qū)域的概率為：．
故答案為：．
先根據(jù)平行四邊形的性質(zhì)求出平行四邊形對角線所分的四個三角形面積相等，再求出即可．
此題主要考查了幾何概率問題，用到的知識點為：概率相應(yīng)的面積與總面積之比．
 13.【答案】 【解析】解：設(shè)這個多邊形為邊形，由題意得，，
解得，
即這個多邊形為邊形，
故答案為：．
根據(jù)多邊形的內(nèi)角和、外角和的計算方法列方程求解即可．
本題考查多邊形的內(nèi)角與外角，掌握多邊形的內(nèi)角和的計算公式以及多邊形的外角和是是正確解答的前提．
 14.【答案】且 【解析】解：根據(jù)題意得且，
解得；
所以的取值范圍為：且．
故答案為：且．
根據(jù)根的判別式的意義得到，然后解不等式即可．
本題考查了根的判別式：一元二次方程的根與有如下關(guān)系：當時，方程有兩個不相等的實數(shù)根；當時，方程有兩個相等的實數(shù)根；當時，方程無實數(shù)根．
 15.【答案】 【解析】解：正方形的邊長是，
半圓的半徑是，
圓的面積，
正方形的面積，
陰影的面積圓的面積正方形的面積．
故答案為：．
求出以正方形邊長為直徑的圓的面積，正方形的面積，由陰影的面積圓的面積正方形的面積，即可求出陰影的面積，
本題考查圓面積、正方形面積的計算，關(guān)鍵是明白陰影的面積圓的面積正方形的面積．
 16.【答案】 【解析】解：如圖：

矩形沿折疊，點落在邊上的點處，
，，，
，故正確；
，，
，
，
設(shè)，則，
在中，，
，
解得：，
，故錯誤；
過作于，如圖：

，
，
，即，
，
∽，
，故正確；
，，
點的運動軌跡為以中點為圓心，為半徑的弧，過作于，交于，如圖：

，為中點，
，，，
，，，
，
當，，共線時，取最小值，最小值為，
的最小值為，故正確；
正確的結(jié)論是，
故答案為：．
由矩形沿折疊，點落在邊上的點處，可得，，，故，判斷正確；求出，，設(shè)，可得，即可解得，判斷錯誤；過作于，證明∽，知，判斷正確；根據(jù)，，可得點的運動軌跡為以中點為圓心，為半徑的弧，過作于，交于，由，為中點，可求出，，，即得，當，，共線時，取最小值，最小值為，可得的最小值為，判斷正確．
本題考查矩形中的翻折變換，涉及三角形相似的判定與性質(zhì)，勾股定理及應(yīng)用，共圓等問題，解題的關(guān)鍵是掌握翻折的性質(zhì)．
 17.【答案】解：


． 【解析】本題涉及零指數(shù)冪、負整數(shù)指數(shù)冪、絕對值、特殊角的三角函數(shù)值個知識點．在計算時，需要針對每個知識點分別進行計算，然后根據(jù)實數(shù)的運算法則求得計算結(jié)果．
本題主要考查了實數(shù)的綜合運算能力，是各地中考題中常見的計算題型．解決此類題目的關(guān)鍵是熟練掌握負整數(shù)指數(shù)冪、零指數(shù)冪、特殊角的三角函數(shù)值、絕對值等知識點的運算．
 18.【答案】解：

，
當時，
原式
． 【解析】先根據(jù)完全平方公式，平方差公式，多項式乘多項式算乘法，再合并同類項，最后代入求出答案即可．
本題考查了整式的混合運算與求值，掌握整式的運算法則進行化簡是解此題的關(guān)鍵．
 19.【答案】證明：四邊形是平行四邊形，
，，
，
，
，
在與中，
，
≌，
，
． 【解析】根據(jù)平行四邊形的性質(zhì)得出，，進而利用證明與全等解答即可．
此題考查平行四邊形的性質(zhì)，關(guān)鍵是根據(jù)平行四邊形的性質(zhì)得出，解答．
 20.【答案】     【解析】解：根據(jù)頻數(shù)分布直方圖可知優(yōu)秀的人數(shù)，
合格人數(shù)為人，良好的人數(shù)為人，
；
故答案為：，；
根據(jù)的數(shù)據(jù)補全頻數(shù)分布直方圖如下：

在扇形統(tǒng)計圖中，“良好”等級對應(yīng)的圓心角的度數(shù)是；
故答案為：；
人，
答：估計該校學生一分鐘跳繩次數(shù)達到合格及以上的人數(shù)為人．
根據(jù)合格所占的百分比求出合格的人數(shù)，再根據(jù)頻數(shù)分布直方圖求出良好和優(yōu)秀的人數(shù)，用總?cè)藬?shù)減去其他人數(shù)求出即可；
根據(jù)的數(shù)據(jù)補全頻數(shù)分布直方圖即可；
用乘以“良好”等級所占的百分比即可；
用該校的總?cè)藬?shù)乘以一分鐘跳繩次數(shù)達到合格及以上的人數(shù)所占的百分比即可．
本題考查的是頻數(shù)率分布直方圖、扇形統(tǒng)計圖以及用樣本估計總體，讀懂統(tǒng)計圖，從不同的統(tǒng)計圖中得到必要的信息是解決問題的關(guān)鍵．
 21.【答案】解：過點作于，
，，
，
，，
；
，，，
四邊形是矩形，
，，
在中，，
，
在中，，，
，
，
．
答：建筑物的高約為． 【解析】過點作于，根據(jù)平行線的性質(zhì)即可求出結(jié)論；
在中可證得，在中，根據(jù)三角函數(shù)的定義求得，由求出，進而求得．
本題考查了解直角三角形的應(yīng)用，關(guān)鍵是根據(jù)仰角構(gòu)造直角三角形，利用三角函數(shù)求解．
 22.【答案】證明：連接，
是的直徑，
，
的平分線交于點，
，
，
是的切線，為切點，
，
，
，
．
解：作于點，則，
，，
四邊形是矩形，
，
四邊形是正方形，
，
，，，
，
，
的長是． 【解析】連接，由是的直徑，得，則，所以，由切線的性質(zhì)得，則，所以；
作于點，可證明四邊形是正方形，則，，而，，則，所以．
此題重點考查切線的性質(zhì)、圓周角定理、平行線的判定、正方形的判定與性質(zhì)、銳角三角函數(shù)與解直角三角形等知識，正確地作出所需要的輔助線是解題的關(guān)鍵．
 23.【答案】解：設(shè)乙種樹苗單價是元，則甲種樹苗單價是元，
依題意得：，
解得：，
經(jīng)檢驗，是原方程的解，且符合題意，
，
答：甲種樹苗單價是元，乙種樹苗單價是元；
設(shè)購進乙種樹苗棵，則購進甲種樹苗棵，
依題意得：，
解得：，
又為整數(shù)，
的最，小值為，
答：最少購進棵乙種樹苗． 【解析】設(shè)乙種樹苗單價是元，則甲種樹苗單價是元，由題意：購買甲種樹苗的數(shù)量比購買乙種樹苗的數(shù)量少棵．列出分式方程，解方程即可；
設(shè)購進乙種樹苗棵，則購進甲種樹苗棵，由題意：總金額不超過元，列出一元一次不等式，再取其中的最小整數(shù)值即可得出結(jié)論．
本題考查了分式方程的應(yīng)用以及一元一次不等式的應(yīng)用，解題的關(guān)鍵是：找準等量關(guān)系，正確列出分式方程；找出數(shù)量關(guān)系，正確列出一元一次不等式．
 24.【答案】解：當時，，即點，
將點的坐標代入反比例函數(shù)表達式得：，
即房比例函數(shù)表達式為：；

聯(lián)立一次函數(shù)和反比例函數(shù)表達式得：，
解得：或，
即點；
設(shè)點的坐標為：，
則的面積，
解得：或，
即點的坐標為：或；

存在，理由：
設(shè)點，點，
當是對角線時，由中點坐標公式和得：
，解得：，
即點；
當是對角線時，由中點坐標公式和得：
，解得：，
即點的坐標為：；
綜上，點的坐標為：或． 【解析】由待定系數(shù)法即可求解；
由的面積，即可求解；
當是對角線時，由中點坐標公式和列出方程組，即可求解；當是對角線時，同理可解．
本題為反比例函數(shù)綜合題，涉及到一次函數(shù)的基本性質(zhì)、待定系數(shù)法求函數(shù)表達式、矩形的性質(zhì)等，有一定的綜合性，難度適中．
 25.【答案】 【解析】解：，理由如下：
如圖，連接，

和都是等邊三角形，
，，，
，
≌，
，，
點、分別是線段、的中點，
，，
，
≌，
，，
，
是等邊三角形，
，
；
，理由如下：
如圖，連接，

和都是等腰直角三角形，
，，，
，
≌，
，，
點、分別是線段、的中點，
，，
，
≌，
，，
，
都是等腰直角三角形，
，
，
故答案為：；
如圖，過點作于，

，，
點，點，點三點共線，，，
，
∽，
，
又，
，
又，
，，
，
，
，
，
是等邊三角形，
，
，，
，
，
，，
，
點到直線的距離．
由“”可證≌，可得，，由“”可證≌，可得，，即可求解；
由“”可證≌，可得，，由“”可證≌，可得，，即可求解；
通過證明∽，可得，通過證明是等邊三角形，可得，由直角三角形的性質(zhì)可求解．
本題是幾何變換綜合題，考查了等邊三角形的性質(zhì)，等腰直角三角形的性質(zhì)，全等三角形的判定和性質(zhì)，相似三角形的判定和性質(zhì)等知識，靈活運用這些性質(zhì)解決問題是解題的關(guān)鍵．
 26.【答案】解：拋物線的頂點坐標為，
設(shè)拋物線的解析式為，將點代入，得：，
解得：，
，
故該拋物線的函數(shù)表達式為；
如圖，作點關(guān)于直線的對稱點，連接交于點，連接，

由對稱性可知，，
，
當、、三點共線時，有最小值，
，，
，
，
由對稱性可知，
，
，
設(shè)直線的解析式為，
，
解得：，
直線的解析式為，
設(shè)直線的解析式為，
，
，
直線的解析式為，
聯(lián)立方程組，
解得：，
；
存在點，使理由如下：
如圖，過點作軸的平行線交過點與軸的平行線于點，則，

即，則，
則；
過點作軸于點，則，
則，
，
過點作軸交過點與軸的平行線于點，
軸，軸，
，
，
在中，，
設(shè)點，
則，
解得：舍去或，
經(jīng)檢驗，是方程的根，
． 【解析】運用待定系數(shù)法即可求得答案；
作點關(guān)于直線的對稱點，連接交于點，連接，利用待定系數(shù)法可得直線的解析式，直線的解析式為，聯(lián)立方程即可求解即可得出答案；
證明，設(shè)點，則，解方程即可得出答案．
本題是二次函數(shù)綜合題，考查了待定系數(shù)法求函數(shù)解析式，二次函數(shù)的圖象和性質(zhì)，利用軸對稱的性質(zhì)求線段長的最值問題，解直角三角形，相似三角形的判定和性質(zhì)等，涉及知識點較多，綜合性強，熟練掌握二次函數(shù)的性質(zhì)是解題的關(guān)鍵．
 

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