2023年山東省濟(jì)南市萊蕪區(qū)中考數(shù)學(xué)一模試卷學(xué)校:___________姓名：___________班級(jí)：___________考號(hào)：___________第I卷（選擇題）一、選擇題（本大題共10小題，共40.0分。在每小題列出的選項(xiàng)中，選出符合題目的一項(xiàng)）1.  的倒數(shù)是(    )A.  B.  C.  D. 2.  如圖是某幾何體的三視圖，該幾何體是(    )A. 長(zhǎng)方體
B. 圓錐
C. 三棱柱
D. 圓柱
 3.  年月日，搭載神舟十五號(hào)載人飛船的長(zhǎng)征二號(hào)遙十五運(yùn)載火箭在酒泉衛(wèi)星發(fā)射中心發(fā)射，月日名航天員進(jìn)駐中國(guó)空間站，會(huì)師神舟十四乘組，兩個(gè)航天員乘組首次實(shí)現(xiàn)“太空會(huì)師”神舟十五號(hào)飛船遠(yuǎn)地點(diǎn)高度約，近地點(diǎn)高度約將數(shù)字用科學(xué)記數(shù)法并保留三位有效數(shù)字表示為(    )A.  B.  C.  D. 4.  如圖，，點(diǎn)在上，平分，若，則的度數(shù)為
(    )A.
B.
C.
D. 5.  我國(guó)新能源汽車發(fā)展迅猛，下列新能源汽車標(biāo)志既是軸對(duì)稱圖形又是中心對(duì)稱圖形的是(    )A.  B.
C.  D. 6.  實(shí)數(shù)，在數(shù)軸上的對(duì)應(yīng)點(diǎn)的位置如圖所示，下列式子成立的是(    )
A.  B.  C.  D. 7.  某學(xué)校成立了、、三個(gè)志愿者小組，在“學(xué)雷鋒活動(dòng)月”，利用周末時(shí)間到“殘障兒童服務(wù)站”舉行獻(xiàn)愛(ài)心活動(dòng)，如果小明和小剛每人隨機(jī)選擇參加其中一個(gè)小組，則他們恰好選到同一個(gè)小組的概率是(    )A.  B.  C.  D. 8.  如果，那么代數(shù)式的值是(    )A.  B.  C.  D. 9.  如圖，在中，，，，分別以，為圓心，以大于的長(zhǎng)為半徑畫弧，兩弧相交于，兩點(diǎn)，作直線交于，交于，連接為上一動(dòng)點(diǎn)，過(guò)作，垂足為，連接，則的最小值為(    )A.  B.  C.  D. 10.  已知、在拋物線的對(duì)稱軸的同側(cè)，當(dāng)時(shí)，則的取值范圍是(    )A.  B.  C.  D. 第II卷（非選擇題）二、填空題（本大題共6小題，共24.0分）11.  因式分解：______．12.  如果小球在如圖所示的地板上自由滾動(dòng)，并隨機(jī)停留在某塊方磚上，則它最終停留在陰影區(qū)域的概率是______ ．
 13.  一個(gè)多邊形的每個(gè)外角都是，則這個(gè)多邊形的對(duì)角線共有______ 條14.  代數(shù)式的值比代數(shù)式的值大，則 ______ ．15.  已知正方形，點(diǎn)是邊上一動(dòng)點(diǎn)，將正方形沿折疊，點(diǎn)的對(duì)應(yīng)點(diǎn)為點(diǎn)，若是以為底的等腰三角形，則的度數(shù)為______ ．
 16.  對(duì)數(shù)的定義：一般地，若，那么叫做以為底的對(duì)數(shù)，記作：比如指數(shù)式可以轉(zhuǎn)化為，對(duì)數(shù)式，可以轉(zhuǎn)化為我們根據(jù)對(duì)數(shù)的定義可得到對(duì)數(shù)的一個(gè)性質(zhì)：理由如下：設(shè)，，則，，，由對(duì)數(shù)的定義得，又，，類似還可以證明對(duì)數(shù)的另一個(gè)性質(zhì)：．
請(qǐng)利用以上內(nèi)容計(jì)算 ______ ．三、解答題（本大題共10小題，共86.0分。解答應(yīng)寫出文字說(shuō)明，證明過(guò)程或演算步驟）17.  本小題分
計(jì)算：．18.  本小題分
解不等式組：，并寫出它所有的整數(shù)解．19.  本小題分
在?中，點(diǎn)、在對(duì)角線上，且，求證：．
20.  本小題分
讀書是文化建設(shè)的基礎(chǔ)，為了充分發(fā)揮讀書啟智潤(rùn)心的正能量，十四屆政協(xié)委員林麗潁建議設(shè)立了“國(guó)家讀書日”，讓讀書成為一種有品質(zhì)的生活方式，成為新時(shí)代的新風(fēng)尚某社區(qū)設(shè)立了家庭成年人閱讀問(wèn)卷調(diào)查，社區(qū)管理人員隨機(jī)抽查了戶家庭進(jìn)行問(wèn)卷調(diào)查，將調(diào)查結(jié)果分為個(gè)等級(jí)：、、、整理如下：
下面是家庭成年人閱讀時(shí)間在小時(shí)內(nèi)的數(shù)據(jù)：，，，，，，，，，，，，，，．
家庭成年人閱讀時(shí)間統(tǒng)計(jì)表： 等級(jí)閱讀時(shí)間小時(shí)頻數(shù)合計(jì) 請(qǐng)結(jié)合以上信息回答下列問(wèn)題：
統(tǒng)計(jì)表中的 ______ ， ______ ；
組數(shù)據(jù)的眾數(shù)是______ ，中位數(shù)是______ ；
扇形統(tǒng)計(jì)圖中組對(duì)應(yīng)扇形的圓心角為______ 度， ______ ；
該社區(qū)宣傳管理人員有男女，要從中隨機(jī)選兩名人員參加讀書日宣傳活動(dòng)，請(qǐng)用樹狀圖法或列表法求出恰好選中“男女”的概率．
21.  本小題分
某數(shù)學(xué)興趣小組要測(cè)量山坡上的聯(lián)通信號(hào)發(fā)射塔的高度，已知信號(hào)塔與斜坡的坡頂在同一水平面上，興趣小組的同學(xué)在斜坡底處測(cè)得塔頂的仰角為，然后他們沿著坡度為：的斜坡爬行了米，在坡頂處又測(cè)得該塔塔頂的仰角為．
求坡頂到地面的距離；
求聯(lián)通信號(hào)發(fā)射塔的高度結(jié)果精確到米．
參考數(shù)據(jù)：，，
22.  本小題分
如圖，在中，以為直徑的與相交于點(diǎn)，是的切線，于．
求證：；
若的半徑為，，求的長(zhǎng)．
23.  本小題分
“五一”勞動(dòng)節(jié)馬上來(lái)了，為了抓住“五一”小長(zhǎng)假旅游商機(jī)，某旅游景點(diǎn)決定購(gòu)進(jìn)，兩種紀(jì)念品，購(gòu)進(jìn)種紀(jì)念品件，種紀(jì)念品件，共需元；購(gòu)進(jìn)種紀(jì)念品件，種紀(jì)念品件，共需元．
求購(gòu)進(jìn)，兩種紀(jì)念品每件各需多少元？
若購(gòu)買兩種紀(jì)念品共件，并且購(gòu)買種紀(jì)念品的數(shù)量不大于種紀(jì)念品數(shù)量的倍種紀(jì)念品每件獲利元，種紀(jì)念品每件獲利是進(jìn)價(jià)的八折，請(qǐng)?jiān)O(shè)計(jì)一個(gè)方案：怎樣購(gòu)進(jìn)，兩種紀(jì)念品獲利潤(rùn)最大？最大利潤(rùn)是多少？24.  本小題分
如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，雙曲線經(jīng)過(guò)、兩點(diǎn)，為直角三角形，軸，軸，，．
求反比例函數(shù)的表達(dá)式及點(diǎn)的坐標(biāo)；
點(diǎn)是軸正半軸上的動(dòng)點(diǎn)，連接、；
求的最小值；
點(diǎn)是反比例函數(shù)的圖象上的一個(gè)點(diǎn)，若是以為直角邊的等腰直角三角形時(shí)，求所有滿足條件的點(diǎn)的坐標(biāo)．
25.  本小題分
如圖，是等腰直角三角形，，點(diǎn)在的內(nèi)部，連接，將線段繞點(diǎn)逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)，得到線段，連接、、．
判斷線段與的數(shù)量關(guān)系并給出證明；
如圖，當(dāng)、、三點(diǎn)在同一條直線上時(shí)，寫出線段、、的數(shù)量關(guān)系為______ ；
如圖，若，，點(diǎn)為線段中點(diǎn)，當(dāng)、、三點(diǎn)在同一條直線上時(shí)，連接，求的長(zhǎng)度．
 26.  本小題分
拋物線與軸交于，兩點(diǎn)，與軸交于點(diǎn)，點(diǎn)是拋物線在第一象限內(nèi)的一個(gè)動(dòng)點(diǎn)，且在對(duì)稱軸右側(cè)．
求，，的值；
如圖，連接、，交點(diǎn)為，連接，若，求點(diǎn)的坐標(biāo)；
如圖，在的條件下，過(guò)點(diǎn)作軸的垂線交軸于點(diǎn)，將線段繞點(diǎn)逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)得到，旋轉(zhuǎn)角為，連接，，求的最小值．

答案和解析 1.【答案】 【解析】解：的倒數(shù)是．
故選：．
乘積是的兩數(shù)互為倒數(shù)，由此即可得到答案．
本題考查倒數(shù)，關(guān)鍵是掌握倒數(shù)的定義．
 2.【答案】 【解析】解：該幾何體的主視圖為矩形，左視圖為矩形，俯視圖是一個(gè)矩形，且三個(gè)矩形大小不一，
故該幾何體是長(zhǎng)方體．
故選：．
該幾何體的主視圖與左視圖、俯視圖均為矩形，易得出該幾何體的形狀．
本題主要考查的是由三視圖判斷幾何體，涉及三視圖的相關(guān)知識(shí)，解題時(shí)要有豐富的空間想象力．
 3.【答案】 【解析】解：．
故選：．
科學(xué)記數(shù)法就是將一個(gè)數(shù)字表示成的形式，其中，表示整數(shù)．為整數(shù)位數(shù)減，即從左邊第一位開(kāi)始，在首位非零的后面加上小數(shù)點(diǎn)，再乘以的次冪．用科學(xué)記數(shù)法是正整數(shù)表示的數(shù)的有效數(shù)字應(yīng)該由首數(shù)來(lái)確定，首數(shù)中的數(shù)字就是有效數(shù)字．
本題考查了科學(xué)記數(shù)法和有效數(shù)字，掌握科學(xué)記數(shù)法和有效數(shù)字的概念是解題的關(guān)鍵．
 4.【答案】 【解析】解：平分，，
，
，
，
，
故選：．
根據(jù)角平分線的定義得出的度數(shù)，進(jìn)而利用鄰補(bǔ)角得出的度數(shù)，利用平行線的性質(zhì)解答即可．
本題考查的是平行線的性質(zhì)和判定和角平分線，靈活運(yùn)用性質(zhì)和概念是解題的關(guān)鍵，解答時(shí)，注意步驟要規(guī)范、清楚．
 5.【答案】 【解析】解：該圖形不是中心對(duì)稱圖形，是軸對(duì)稱圖形，故此選項(xiàng)不合題意；
B.該圖形不是中心對(duì)稱圖形，也不是軸對(duì)稱圖形，故此選項(xiàng)不合題意；
C.該圖形既是中心對(duì)稱圖形，也是軸對(duì)稱圖形，故此選項(xiàng)符合題意；
D.該圖形不是中心對(duì)稱圖形，是軸對(duì)稱圖形，故此選項(xiàng)不合題意．
故選：．
根據(jù)中心對(duì)稱圖形與軸對(duì)稱圖形的概念進(jìn)行判斷即可．
本題考查的是中心對(duì)稱圖形與軸對(duì)稱圖形的概念．軸對(duì)稱圖形的關(guān)鍵是尋找對(duì)稱軸，圖形兩部分折疊后可重合，中心對(duì)稱圖形是要尋找對(duì)稱中心，旋轉(zhuǎn)度后與自身重合．
 6.【答案】 【解析】解：根據(jù)圖示，可得，，
，，
，
，
選項(xiàng)A符合題意；

，，
，，
，
選項(xiàng)B不符合題意；

，，
，
選項(xiàng)C不符合題意；

，，
，
選項(xiàng)D不符合題意．
故選：．
根據(jù)圖示，可得，，據(jù)此逐項(xiàng)判斷即可．
此題主要考查了實(shí)數(shù)大小比較的方法，絕對(duì)值的含義和求法，以及數(shù)軸的特征：一般來(lái)說(shuō)，當(dāng)數(shù)軸正方向朝右時(shí)，右邊的數(shù)總比左邊的數(shù)大．
 7.【答案】 【解析】解：畫樹狀圖如下：

共有種等可能的結(jié)果，其中他們恰好選到同一個(gè)小組的結(jié)果有種，
他們恰好選到同一個(gè)小組的概率為．
故選：．
畫樹狀圖得出所有等可能的結(jié)果數(shù)以及他們恰好選到同一個(gè)小組的結(jié)果數(shù)，再利用概率公式可得出答案．
本題考查列表法與樹狀圖法，熟練掌握列表法與樹狀圖法以及概率公式是解答本題的關(guān)鍵．
 8.【答案】 【解析】解：



，
，
，
原式，
故選：．
先化簡(jiǎn)所求的式子，再根據(jù)，可以得到，然后代入化簡(jiǎn)后的式子即可．
本題考查分式的化簡(jiǎn)求值，熟練掌握運(yùn)算法則是解答本題的關(guān)鍵．
 9.【答案】 【解析】解：過(guò)作于，

根據(jù)兩點(diǎn)之間線段最短和垂線段最短得：，
即是的最小值，
，，
，
，
由作圖得：垂直平分，
，
，
平分，
、關(guān)于對(duì)稱，
在中，
，
故選：．
由作圖得垂直平分，再根據(jù)兩點(diǎn)之間線段最短和垂線段最短確定最小值，最后根據(jù)三角函數(shù)求解．
本題考查了基本作圖，理解兩點(diǎn)之間線段最短和垂線段最短是解題的關(guān)鍵．
 10.【答案】 【解析】解：，
，
拋物線的對(duì)稱軸為直線．
點(diǎn)，在拋物線上，
，
，
．
當(dāng)時(shí)，，
，
，
又，
；
同理：當(dāng)時(shí)，．
的取值范圍是．
故選：．
將拋物線的解析式變形為頂點(diǎn)式，由此可得出拋物線的對(duì)稱軸為直線，利用二次函數(shù)圖象上點(diǎn)的坐標(biāo)特征，結(jié)合，可得出，分及兩種情況，可求出的取值范圍，此題得解．
本題考查了二次函數(shù)圖象上點(diǎn)的坐標(biāo)特征以及不等式的性質(zhì)，利用二次函數(shù)圖象上點(diǎn)的坐標(biāo)特征及，找出是解題的關(guān)鍵．
 11.【答案】 【解析】解：．
故答案為：．
首先提取公因式，進(jìn)而利用公式法分解因式即可．
此題主要考查了提取公因式法以及公式法分解因式，熟練利用公式法分解因式是解題關(guān)鍵．
 12.【答案】 【解析】解：總面積為個(gè)小正方形的面積，其中陰影部分面積為個(gè)小正方形的面積，
小球最終停留在陰影區(qū)域的概率是．
故答案為：．
根據(jù)幾何概率的求法：小球落在陰影部分的概率就是陰影區(qū)域的面積與總面積的比值．
本題考查幾何概率的求法：首先根據(jù)題意將代數(shù)關(guān)系用面積表示出來(lái)，一般用陰影區(qū)域表示所求事件；然后計(jì)算陰影區(qū)域的面積在總面積中占的比例，這個(gè)比例即事件發(fā)生的概率．
 13.【答案】 【解析】解：多邊形的邊數(shù)：，
對(duì)角線條數(shù)：．
故答案為：．
根據(jù)多邊形的外角和外角的度數(shù)求出多邊形的邊數(shù)，然后根據(jù)多邊形的對(duì)角線條數(shù)公式即可解答．
本題主要考查了多邊形的外角和，多邊形的對(duì)角線的條數(shù)等知識(shí)點(diǎn)，掌握對(duì)角線總條數(shù)的計(jì)算公式是解答本題的關(guān)鍵．
 14.【答案】 【解析】解：由題意得：
，
，
解得：，
檢驗(yàn)：當(dāng)時(shí)，，
是原方程的根，
故答案為：．
根據(jù)題意可得：，然后按照解分式方程的步驟，進(jìn)行計(jì)算即可解答．
本題考查了解分式方程，一定要注意解分式方程必須檢驗(yàn)．
 15.【答案】 【解析】解：如圖所示，連接，
，
，
又，
，
又，
≌，
，
又，
，
是等邊三角形，
，
又，，
．
故答案為：．
先連接，即可≌，進(jìn)而得到，進(jìn)而得出是等邊三角形，結(jié)合折疊的性質(zhì)即可得到的度數(shù)．
本題屬于折疊問(wèn)題，主要考查了正方形的性質(zhì)，軸對(duì)稱的性質(zhì)，等腰三角形的性質(zhì)以及等邊三角形的判定與性質(zhì)，解決問(wèn)題的關(guān)鍵是作輔助線構(gòu)造全等三角形，利用全等三角形的對(duì)應(yīng)邊相等得出結(jié)論．
 16.【答案】 【解析】解：





．
故答案為：．
根據(jù)所給的運(yùn)算的法則進(jìn)行求解即可．
本題主要考查同底數(shù)冪的乘法，解答的關(guān)鍵是對(duì)相應(yīng)的運(yùn)算法則的掌握．
 17.【答案】解：


． 【解析】首先計(jì)算零指數(shù)冪、負(fù)整數(shù)指數(shù)冪、特殊角的三角函數(shù)值和絕對(duì)值，然后計(jì)算乘法，最后從左向右依次計(jì)算，求出算式的值即可．
此題主要考查了實(shí)數(shù)的運(yùn)算，解答此題的關(guān)鍵是要明確：在進(jìn)行實(shí)數(shù)運(yùn)算時(shí)，和有理數(shù)運(yùn)算一樣，要從高級(jí)到低級(jí)，即先算乘方、開(kāi)方，再算乘除，最后算加減，有括號(hào)的要先算括號(hào)里面的，同級(jí)運(yùn)算要按照從左到右的順序進(jìn)行．
 18.【答案】解：解不等式得：，
解不等式得：，
則不等式組的解集為，
所以不等式組的整數(shù)解為、、． 【解析】分別求出每一個(gè)不等式的解集，根據(jù)口訣：同大取大、同小取小、大小小大中間找、大大小小找不到確定不等式組的解集．
本題考查的是解一元一次不等式組，正確求出每一個(gè)不等式解集是基礎(chǔ)，熟知“同大取大；同小取?。淮笮⌒〈笾虚g找；大大小小找不到”的原則是解答此題的關(guān)鍵．
 19.【答案】證明：四邊形是平行四邊形，
，，
，
，
，
，
在和中，，
≌，
． 【解析】由平行四邊形的性質(zhì)得出，，由平行線的性質(zhì)得出，，得出，由證明≌，即可得出結(jié)論．
本題考查了平行四邊形的性質(zhì)、全等三角形的判定與性質(zhì)、平行線的性質(zhì)；熟練掌握平行四邊形的性質(zhì)，證明三角形全等是解題的關(guān)鍵．
 20.【答案】           【解析】解：由家庭成年人閱讀時(shí)間在小時(shí)內(nèi)的數(shù)據(jù)可知，，．
故答案為：；．
小時(shí)內(nèi)的數(shù)據(jù)中，出現(xiàn)的次數(shù)最多，
組數(shù)據(jù)的眾數(shù)是．
將小時(shí)內(nèi)的數(shù)據(jù)按從小到大排列，排在第個(gè)的是，
組數(shù)據(jù)的中位數(shù)是．
故答案為：；．
扇形統(tǒng)計(jì)圖中組對(duì)應(yīng)扇形的圓心角為．
，
．
故答案為：；．
設(shè)名男生記為，名女生記為，，
畫樹狀圖如下：

共有種等可能的結(jié)果，其中恰好選中“男女”的結(jié)果有：，，，，共種，
恰好選中“男女”的概率為．
由家庭成年人閱讀時(shí)間在小時(shí)內(nèi)的數(shù)據(jù)可得答案．
根據(jù)眾數(shù)和中位數(shù)的定義可得答案．
用乘以等級(jí)的人數(shù)所占的百分比，即可求出組對(duì)應(yīng)扇形的圓心角的度數(shù)；求出等級(jí)的人數(shù)所占的百分比即可得出答案．
畫樹狀圖得出所有等可能的結(jié)果數(shù)以及恰好選中“男女”的結(jié)果數(shù)，再利用概率公式可得出答案．
本題考查列表法與樹狀圖法、頻數(shù)率分布表、扇形統(tǒng)計(jì)圖、眾數(shù)、中位數(shù)，能夠理解頻數(shù)率分布表和扇形統(tǒng)計(jì)圖，熟練掌握列表法與樹狀圖法以及眾數(shù)和中位數(shù)的定義是解答本題的關(guān)鍵．
 21.【答案】解：過(guò)點(diǎn)作，垂足為，

斜坡的坡度為：，
，
設(shè)米，則米，
在中，米，
米，
，
，
米，米，
坡頂到地面的距離為米；
延長(zhǎng)交于點(diǎn)，

由題意得：米，，
設(shè)米，則米，
在中，，
米，
米，
在中，，
，
，
，
解得：，
米，
聯(lián)通信號(hào)發(fā)射塔的高度約為米． 【解析】過(guò)點(diǎn)作，垂足為，根據(jù)已知可，從而可設(shè)米，則米，然后在中，利用勾股定理進(jìn)行計(jì)算即可解答；
延長(zhǎng)交于點(diǎn)，根據(jù)題意可得：米，，然后設(shè)米，則米，在中，利用銳角三角函數(shù)的定義求出的長(zhǎng)，從而求出的長(zhǎng)，最后在中，利用銳角三角函數(shù)的定義可，從而列出關(guān)于的方程，進(jìn)行計(jì)算即可解答．
本題考查了解直角三角形的應(yīng)用仰角俯角問(wèn)題，坡度坡角問(wèn)題，據(jù)題目的已知條件并結(jié)合圖形添加適當(dāng)?shù)妮o助線是解題的關(guān)鍵．
 22.【答案】證明：如圖，連接、，

是的切線，
，
，
，
，
，
，
，
；
解：如圖，連接，

的半徑為，是的直徑，
，，
，
，
，
，
，
，
，
． 【解析】連接、，利用切線性質(zhì)可得，結(jié)合，可得，再運(yùn)用平行線性質(zhì)和等腰三角形的判定和性質(zhì)即可證得結(jié)論；
連接，由是的直徑，可得，，利用等腰三角形性質(zhì)可得，推出，再根據(jù)直角三角形性質(zhì)得出．
本題考查切線的性質(zhì)，等腰三角形的判定和性質(zhì)，直角三角形的邊角關(guān)系，掌握切線的性質(zhì)是解決問(wèn)題的關(guān)鍵．
 23.【答案】解：設(shè)購(gòu)進(jìn)種紀(jì)念品每件需元，種紀(jì)念品每件需元，
根據(jù)題意得：，
解得：．
答：購(gòu)進(jìn)種紀(jì)念品每件需元，種紀(jì)念品每件需元；
設(shè)購(gòu)進(jìn)種紀(jì)念品件，則購(gòu)進(jìn)種紀(jì)念品件，
根據(jù)題意得：，
解得：．
設(shè)購(gòu)進(jìn)的件紀(jì)念品全部售出后獲得的總利潤(rùn)為元，則，
即，
，
隨的增大而減小，
又，且為正整數(shù)，
當(dāng)時(shí)，取得最大值，最大值，此時(shí)．
當(dāng)購(gòu)進(jìn)種紀(jì)念品件，種紀(jì)念品件時(shí)，獲得的總利潤(rùn)最大，最大總利潤(rùn)為元． 【解析】設(shè)購(gòu)進(jìn)種紀(jì)念品每件需元，種紀(jì)念品每件需元，根據(jù)“購(gòu)進(jìn)種紀(jì)念品件，種紀(jì)念品件，共需元；購(gòu)進(jìn)種紀(jì)念品件，種紀(jì)念品件，共需元”，可得出關(guān)于，的二元一次方程組，解之即可得出結(jié)論；
設(shè)購(gòu)進(jìn)種紀(jì)念品件，則購(gòu)進(jìn)種紀(jì)念品件，根據(jù)購(gòu)買種紀(jì)念品的數(shù)量不大于種紀(jì)念品數(shù)量的倍，可得出關(guān)于的一元一次不等式，解之可得出的取值范圍，設(shè)購(gòu)進(jìn)的件紀(jì)念品全部售出后獲得的總利潤(rùn)為元，利用總利潤(rùn)每件的銷售利潤(rùn)銷售數(shù)量購(gòu)進(jìn)數(shù)量，可得出關(guān)于的函數(shù)關(guān)系式，再利用一次函數(shù)的性質(zhì)，即可解決最值問(wèn)題．
本題考查了二元一次方程組的應(yīng)用、一元一次不等式的應(yīng)用以及一次函數(shù)的應(yīng)用，解題的關(guān)鍵是：找準(zhǔn)等量關(guān)系，正確列出二元一次方程組；根據(jù)各數(shù)量之間的關(guān)系，找出關(guān)于的函數(shù)關(guān)系式．
 24.【答案】解：，，
，
將代入得：
，
解得，
反比例函數(shù)的表達(dá)式為，
在中，令得，
的坐標(biāo)為；
作關(guān)于軸的對(duì)稱點(diǎn)，連接交軸于，此時(shí)最小，如圖：

，關(guān)于軸對(duì)稱，
，
當(dāng)，，共線時(shí)，最小，即最小，最小值為的長(zhǎng)度，
由知，，
，
，
的最小值是；
設(shè)，，
當(dāng)為直角頂點(diǎn)時(shí)，過(guò)作軸，過(guò)作于，過(guò)作于，如圖：

的等腰直角三角形，
，，
，
≌，
，，
，
解得，
；
當(dāng)為直角頂點(diǎn)時(shí)，過(guò)作軸于，過(guò)作于，如圖：

同理可得，，
，
解得或舍去，
；
綜上所述，的坐標(biāo)為或． 【解析】求出，用待定系數(shù)法可得反比例函數(shù)的表達(dá)式為，令得的坐標(biāo)為；
作關(guān)于軸的對(duì)稱點(diǎn)，連接交軸于，此時(shí)最小，由，，可得，，即可得到答案；
設(shè)，，分兩種情況：當(dāng)為直角頂點(diǎn)時(shí)，過(guò)作軸，過(guò)作于，過(guò)作于，由的等腰直角三角形，證明≌，可得，即可解得；當(dāng)為直角頂點(diǎn)時(shí)，過(guò)作軸于，過(guò)作于，同理可得，解得．
本題考查反比例函數(shù)的綜合應(yīng)用，涉及待定系數(shù)法，全等三角形的判定與性質(zhì)，對(duì)稱變換等知識(shí)，解題的關(guān)鍵是用含字母的代數(shù)式表示相關(guān)點(diǎn)坐標(biāo)和相關(guān)線段的長(zhǎng)度．
 25.【答案】 【解析】解：，理由如下：
根據(jù)旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)得，，，
，
，
在和中，
，
≌，
；
在中，，，
，
，，
，
故答案為：；
如圖，連接，

、是等腰直角三角形，
，
、、、四點(diǎn)共圓，
，
≌，
，
，
、、、四點(diǎn)共圓，
，
點(diǎn)為線段中點(diǎn)，
，
，
，
，
，
，，
．
根據(jù)旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)得出，，進(jìn)而推出，結(jié)合等腰直角三角形的性質(zhì)利用證明≌，根據(jù)全等三角形的性質(zhì)即可得解；
根據(jù)勾股定理求出，根據(jù)全等三角形的性質(zhì)及線段的和差求解即可；
連接，根據(jù)等腰直角三角形的性質(zhì)、全等三角形的判定與性質(zhì)推出、、、四點(diǎn)共圓，、、、四點(diǎn)共圓，，結(jié)合三角形內(nèi)角和定理求出，根據(jù)勾股定理求解即可．
此題是三角形綜合題，考查了等腰直角三角形的性質(zhì)、旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)、全等三角形的判定與性質(zhì)、勾股定理等知識(shí)，熟練掌握等腰直角三角形的性質(zhì)、旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)、全等三角形的判定與性質(zhì)、勾股定理并作出合理的輔助線是解題的關(guān)鍵．
 26.【答案】解：將代入，
得，
，
拋物線的解析式為，
令，則，
，
令，則，
，，
，即；
過(guò)點(diǎn)作軸，交于點(diǎn)，過(guò)點(diǎn)作軸的平行線交的延長(zhǎng)線于，

設(shè)：，將，代入得，，
：，
設(shè)，則，
，
，
∽，
，
將代入，
，
，
，
，
，
舍，，
；
在軸上取一點(diǎn)，使得，連接，在上取一點(diǎn)，使得，

，，
，
，
，
∽，
，
，
，此時(shí)最小，
最小值為：． 【解析】利用待定系數(shù)法求解即可；
過(guò)點(diǎn)作軸，交于點(diǎn)，過(guò)點(diǎn)作軸的平行線交的延長(zhǎng)線于，求得的解析式，設(shè)，則，利用相似三角形的判定與性質(zhì)可得答案；
在軸上取一點(diǎn)，使得，連接，在上取一點(diǎn)，使得，由相似三角形的判定與性質(zhì)可得，可得，此時(shí)最小，即可解答．
此題考查的是二次函數(shù)的綜合題意，涉及到相似三角形的判定與性質(zhì)、二次函數(shù)的性質(zhì)、待定系數(shù)法求解析式等知識(shí)，正確作出輔助線是解決此題的關(guān)鍵．
 

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