2023年湖南省長沙市華益中學(xué)、廣益中學(xué)、立信中學(xué)中考數(shù)學(xué)一模試卷一、選擇題（本大題共10小題，共30.0分。在每小題列出的選項(xiàng)中，選出符合題目的一項(xiàng)）1.  計算的結(jié)果等于(    )A.  B.  C.  D. 2.  下列運(yùn)算一定正確的是(    )A.  B.  C.  D. 3.  如圖是由個相同的小正方體組成的幾何體，它的俯視圖是(    )A.
B.
C.
D. 4.  一個盒子里裝有僅顏色不同的張紅色和若干張藍(lán)色卡片，隨機(jī)從盒子里摸出張卡片記下顏色后再放回，經(jīng)過多次的重復(fù)試驗(yàn)，發(fā)現(xiàn)摸到藍(lán)色卡片的頻率穩(wěn)定在附近，則估計盒子中藍(lán)色卡片有(    )A. 張 B. 張 C. 張 D. 張5.  在平面直角坐標(biāo)系中，點(diǎn)關(guān)于軸對稱的點(diǎn)的坐標(biāo)是(    )A.  B.  C.  D. 6.  菲爾茲獎是數(shù)學(xué)領(lǐng)域的一項(xiàng)國際大獎，被視為數(shù)學(xué)界的諾貝爾獎，其規(guī)定獲獎數(shù)學(xué)家年齡不得超過歲截止目前，菲爾茲獎得主中最年輕的位數(shù)學(xué)家獲獎時年齡分別為：，，，，，，，，則該組由年齡組成的數(shù)據(jù)的眾數(shù)和中位數(shù)是(    )A. ， B. ， C. ， D. ，7.  九章算術(shù)是中國傳統(tǒng)數(shù)學(xué)最重要的著作，奠定了中國傳統(tǒng)數(shù)學(xué)的基本框架．其中均輸卷記載了一道有趣的數(shù)學(xué)問題：“今有鳧注釋：野鴨起南海，七日至北海；雁起北海，九日至南海．今鳧雁俱起，問何日相逢？”譯文：“野鴨從南海起飛，天飛到北海；大雁從北海起飛，天飛到南海．現(xiàn)野鴨與大雁分別從南海和北海同時起飛，問經(jīng)過多少天相遇．”設(shè)野鴨與大雁經(jīng)過天相遇，根據(jù)題意，下面所列方程正確的是(    )
 A.  B.  C.  D. 8.  圖是一地鐵站入口的雙翼閘機(jī)，雙翼展開時示意圖如圖所示，它是一個軸對稱圖形，，則雙翼邊緣端點(diǎn)與之間的距離為(    )

 A.  B.
C.  D. 9.  如圖，點(diǎn)，，均在上，若，，則(    )A.
B.
C.
D.
 10.  若三條長度分別為，，的線段能構(gòu)成三角形，我們就把稱為三角數(shù)組，已知是三角數(shù)組，則下列說法正確的是(    )
一定是三角數(shù)組；
不一定是三角數(shù)組；
一定是三角數(shù)組；
不一定是三角數(shù)組；A.  B.  C.  D. 二、填空題（本大題共6小題，共18.0分）11.  分解因式：______．12.  計算： ______ ．13.  “碧玉妝成一樹高，萬條垂下綠絲絳”每到春天，人們流連于柳綠桃紅之間的同時也被漫天飛舞的柳絮所煩擾據(jù)測定，柳絮纖維的直徑約為，該數(shù)值用科學(xué)記數(shù)法表示為______ ．14.  若是方程的一個根，則代數(shù)式的值為______ ．15.  如圖，用一個半徑為的定滑輪拉動重物上升，滑輪旋轉(zhuǎn)了，假設(shè)繩索粗細(xì)不計，且與輪滑之間沒有滑動，則重物上升的高度為______ 結(jié)果保留
 
 16.  如圖，平行四邊形中，在上截取，分別以點(diǎn)、為圓心，大于的長為半徑畫弧，兩弧交于點(diǎn)，連接交于，若，，則的長為______ ．
三、解答題（本大題共9小題，共72.0分。解答應(yīng)寫出文字說明，證明過程或演算步驟）17.  本小題分
計算：．18.  本小題分
解不等式組：．19.  本小題分
下面是小穎同學(xué)解一元一次方程的過程，請認(rèn)真閱讀并解答問題． 解方程：
解：去分母，得第一步
去括號，得第二步
移項(xiàng)，得第三步
合并同類項(xiàng)，得，第四步
方程兩邊同除以，得第五步以上求解過程中，第三步的依據(jù)是______ ．
A.等式的基本性質(zhì)
B.不等式的基本性質(zhì)
C.分式的基本性質(zhì)
D.乘法分配律
從第______ 步開始出現(xiàn)錯誤；
該方程正確的解為______ ．20.  本小題分
某中學(xué)九年級班為了了解全班學(xué)生喜歡球類活動的情況，采取全面調(diào)查的方法，從足球、乒乓球、籃球、排球四個方面調(diào)查了全班學(xué)生的興趣愛好，根據(jù)調(diào)查的結(jié)果組建了個興趣小組，并繪制成如圖所示的兩幅不完整的統(tǒng)計圖如圖，，要求每位學(xué)生只能選擇一種自己喜歡的球類，請你根據(jù)圖中提供的信息解答下列問題：

由圖可知，共調(diào)查了______ 名學(xué)生；并把條形統(tǒng)計圖補(bǔ)充完整；
表示“足球”的扇形的圓心角是______ 度；
排球興趣小組名學(xué)生中有男女，現(xiàn)在打算從中隨機(jī)選出名學(xué)生參加學(xué)校的排球隊，請用列表或畫樹狀圖的方法求選出的名學(xué)生恰好是男女的概率．21.  本小題分
如圖，，．
求證：≌；
若，，求的面積．
22.  本小題分
長沙已成為國內(nèi)游客最喜歡的旅游目的地城市之一，調(diào)查顯示，長沙在年五一假期，共接待游客萬人次，在年五一假期，共接待游客萬人次．
求長沙至五一假期接待游客人次的平均增長率；
茶顏悅色已經(jīng)成為外地游客在長沙的打卡地，其中幽蘭拿鐵和聲聲烏龍是游客最愛的兩款產(chǎn)品，已知幽蘭拿鐵的單價比聲聲烏龍貴元，某導(dǎo)游花費(fèi)元購買幽蘭拿鐵的杯數(shù)是元購聲聲烏龍的兩倍，求幽蘭拿鐵的單價．23.  本小題分
如圖，平行四邊形中，，過點(diǎn)作交的延長線于點(diǎn)，點(diǎn)為的中點(diǎn)，連接．
求證：四邊形是矩形；
若，且，求四邊形的周長．
24.  本小題分
已知，是兩個不相等的實(shí)數(shù)且，我們約定，對于一個函數(shù)，如果它的自變量與函數(shù)值滿足：當(dāng)時，為正數(shù)，我們就稱此函數(shù)是上的“倍函數(shù)”例如：正比例函數(shù)，當(dāng)時，，則是上的“倍函數(shù)”．
已知反比例函數(shù)是上的“倍函數(shù)”，求；
當(dāng)時，是否存在一次函數(shù)在上是“倍函數(shù)”，若存在，請求出的值；若不存在，請說明理由；
若二次函數(shù)是上的“倍函數(shù)”，求、的值．25.  本小題分
如圖，銳角中，，是的外接圓，的延長線交邊于點(diǎn)．

求證：；
當(dāng)是等腰三角形時，求的度數(shù)；
記、、的面積分別為、、，且，
求的值；
求．
答案和解析 1.【答案】 【解析】解：

，
故選：．
運(yùn)用有理數(shù)的乘法法則進(jìn)行計算、求解．
此題考查了有理數(shù)乘法的運(yùn)算能力，關(guān)鍵是能準(zhǔn)確理解并運(yùn)用該知識，并能進(jìn)行正確地計算．
 2.【答案】 【解析】解：、，故A不符合題意；
B、，故B不符合題意；
C、，故C不符合題意；
D、，故D符合題意；
故選：．
利用單項(xiàng)式乘單項(xiàng)式的法則，合并同類項(xiàng)的法則，同底數(shù)冪的乘法的法則，冪的乘方的法則對各項(xiàng)進(jìn)行運(yùn)算即可．
本題主要考查單項(xiàng)式乘單項(xiàng)式，合并同類項(xiàng)，冪的乘方，同底數(shù)冪的乘法，解答的關(guān)鍵是對相應(yīng)的運(yùn)算法則的掌握．
 3.【答案】 【解析】解：從上面看，是一行三個小正方形．
故選：．
找到從上面看所得到的圖形即可，注意所有的看到的棱都應(yīng)表現(xiàn)在俯視圖中．
本題考查了三視圖的知識，掌握俯視圖是從物體的上面看得到的視圖是關(guān)鍵．
 4.【答案】 【解析】【分析】
此題考查了利用頻率估計概率，利用如果一個事件有種可能，而且這些事件的可能性相同，其中事件出現(xiàn)種結(jié)果，那么事件的概率是解題關(guān)鍵．
設(shè)木箱中藍(lán)色卡片有張，根據(jù)摸到藍(lán)色卡片的頻率穩(wěn)定在附近，列方程，求出的值再檢驗(yàn)即可．
【解答】
解：設(shè)木箱中藍(lán)色卡片有張，根據(jù)題意得：
，
解得：，
經(jīng)檢驗(yàn)是原方程的解，
則估計木箱中藍(lán)色卡片有張．
故選：．  5.【答案】 【解析】解：點(diǎn)關(guān)于軸對稱的點(diǎn)的坐標(biāo)為．
故選：．
根據(jù)“關(guān)于軸對稱的點(diǎn)，橫坐標(biāo)相同，縱坐標(biāo)互為相反數(shù)”解答即可．
本題考查了關(guān)于軸、軸對稱的點(diǎn)的坐標(biāo)，解決本題的關(guān)鍵是掌握好對稱點(diǎn)的坐標(biāo)規(guī)律：關(guān)于軸對稱的點(diǎn)，橫坐標(biāo)相同，縱坐標(biāo)互為相反數(shù)；關(guān)于軸對稱的點(diǎn)，縱坐標(biāo)相同，橫坐標(biāo)互為相反數(shù)．
 6.【答案】 【解析】解：出現(xiàn)的次數(shù)最多，
這組數(shù)據(jù)的眾數(shù)是，
把這些數(shù)從小到大排列為：，，，，，，，，
則中位數(shù)是：；
故選：．
根據(jù)中位數(shù)和眾數(shù)的定義求解可得．
本題主要考查眾數(shù)和中位數(shù)，求一組數(shù)據(jù)的眾數(shù)的方法：找出頻數(shù)最多的那個數(shù)據(jù)，若幾個數(shù)據(jù)頻數(shù)都是最多且相同，此時眾數(shù)就是這多個數(shù)據(jù)．將一組數(shù)據(jù)按照從小到大或從大到小的順序排列，如果數(shù)據(jù)的個數(shù)是奇數(shù)，則處于中間位置的數(shù)就是這組數(shù)據(jù)的中位數(shù)．如果這組數(shù)據(jù)的個數(shù)是偶數(shù)，則中間兩個數(shù)據(jù)的平均數(shù)就是這組數(shù)據(jù)的中位數(shù)．
 7.【答案】 【解析】解：設(shè)野鴨與大雁經(jīng)過天相遇，
根據(jù)題意得：．
故選：．
設(shè)野鴨與大雁經(jīng)過天相遇，南海和北海之間的路程為，則野鴨每天飛行，大雁每天飛行，根據(jù)野鴨和大雁路程和等于，即可得出關(guān)于的一元一次方程，此題得解．
本題考查了由實(shí)際問題抽象出一元一次方程，找準(zhǔn)等量關(guān)系，正確列出一元一次方程是解題的關(guān)鍵．
 8.【答案】 【解析】解：如圖，作直線，交雙翼閘機(jī)于點(diǎn)、，則，，

由題意可得，，
在直角三角形中，
，
．
故選：．
作輔助線如圖，由題意可得，，解直角三角形求出，然后根據(jù)即可得出答案．
本題考查了解直角三角形的應(yīng)用，正確理解題意、熟練掌握銳角三角函數(shù)的知識是解題的關(guān)鍵．
 9.【答案】 【解析】解：如圖，連接，

，
，
，
，
，
．
故選：．
連接，根據(jù)，得，再根據(jù)，可得結(jié)論．
本題考查了圓的性質(zhì)和等腰三角形的性質(zhì)，關(guān)鍵是利用圓的半徑相等和等腰三角形的性質(zhì)．
 10.【答案】 【解析】解：是三角數(shù)組，
可設(shè)，且，
．
，
，
一定是三角數(shù)組，故正確，錯誤；
令，，，則即是三角數(shù)組，
，
不是三角數(shù)組，
是三角數(shù)組時，不一定是三角數(shù)組，故錯誤，正確．
故選：．
根據(jù)三角形三邊關(guān)系定理判斷；利用取特殊值法判斷．
本題考查了三角形三邊關(guān)系定理：三角形兩邊之和大于第三邊．在運(yùn)用三角形三邊關(guān)系判定三條線段能否構(gòu)成三角形時并不一定要列出三個不等式，只要兩條較短的線段長度之和大于第三條線段的長度即可判定這三條線段能構(gòu)成一個三角形．也考查了新定義以及實(shí)數(shù)大小比較．
 11.【答案】 【解析】解：，
，

先利用提取公因式法提取數(shù)字，再利用完全平方公式繼續(xù)進(jìn)行分解．
本題考查了用提公因式法和公式法進(jìn)行因式分解，一個多項(xiàng)式有公因式首先提取公因式，然后再用其他方法進(jìn)行因式分解，同時因式分解要徹底，直到不能分解為止．
 12.【答案】 【解析】解：


，
故答案為：．
根據(jù)同分母分式加法計算法則求解即可．
本題主要考查了同分母分式加法計算，掌握同分母分式加法計算法則是關(guān)鍵．
 13.【答案】 【解析】解：．
故答案為：．
絕對值小于的正數(shù)也可以利用科學(xué)記數(shù)法表示，一般形式為，與較大數(shù)的科學(xué)記數(shù)法不同的是其所使用的是負(fù)整數(shù)指數(shù)冪，指數(shù)由原數(shù)左邊起第一個不為零的數(shù)字前面的的個數(shù)所決定．
本題考查用科學(xué)記數(shù)法表示較小的數(shù)，一般形式為，其中，為由原數(shù)左邊起第一個不為零的數(shù)字前面的的個數(shù)所決定．
 14.【答案】 【解析】解：是一元二次方程的一個根，
，
，



．
故答案為：．
先根據(jù)一元二次方程解的定義得到，然后利用整體代入的方法計算代數(shù)式的值．
本題考查了解一元二次方程的解：能使一元二次方程左右兩邊相等的未知數(shù)的值是一元二次方程的解．
 15.【答案】 【解析】解：由題意得，重物上升的距離是半徑為，圓心角為所對應(yīng)的弧長，
即．
故答案為：．
根據(jù)弧長的計算方法計算半徑為，圓心角為的弧長即可．
本題考查弧長的計算，掌握弧長的計算方法是正確解答的前提．
 16.【答案】 【解析】解：連接，設(shè)，交于，
由尺規(guī)作圖的過程可知，直線是線段的垂直平分線，，
，，
，
，
，
，
，
四邊形是菱形，
，，，
，
．
故答案為：．
通過證明四邊形是菱形，可得，，，由勾股定理，即可求的長．
本題考查作圖基本作圖，勾股定理，平行四邊形的性質(zhì)，菱形的判定和性質(zhì)，證明四邊形是菱形是解題的關(guān)鍵．
 17.【答案】解：


． 【解析】先化簡各式，然后再進(jìn)行計算即可解答．
本題考查了實(shí)數(shù)的運(yùn)算，特殊角的三角函數(shù)值，負(fù)整數(shù)指數(shù)冪，準(zhǔn)確熟練地進(jìn)行計算是解題的關(guān)鍵．
 18.【答案】解：，
解不等式得：，
解不等式得：，
不等式組的解集為． 【解析】先分別求出每個不等式得解集，然后根據(jù)夾逼原則求出不等式組的解集即可．
本題主要考查了解一元一次不等式組，正確求出每個不等式的解集是解題的關(guān)鍵．
 19.【答案】等式的性質(zhì)  一   【解析】解：以上求解過程中，第三步的依據(jù)是等式的性質(zhì)，
故答案為：等式的性質(zhì)；
從第一步開始出現(xiàn)錯誤，具體的錯誤是方程的右邊沒乘，
故答案為：一；
，
去分母，得，
去括號，得，
移項(xiàng)，得，
合并同類項(xiàng)，得，
系數(shù)化成，得，
故答案為：．
根據(jù)等式的性質(zhì)得出即可；
根據(jù)等式的性質(zhì)判斷即可；
去分母，去括號，移項(xiàng)，合并同類項(xiàng)，系數(shù)化成即可．
本題考查了解一元一次方程，能正確根據(jù)等式的性質(zhì)進(jìn)行變形是解此題的關(guān)鍵．
 20.【答案】   【解析】解：，
共調(diào)查了名學(xué)生，
故答案為：．
選足球人數(shù)為：人，
補(bǔ)充條形統(tǒng)計圖如下：

表示“足球”扇形的圓心角是：，
故答案為：；
三名男生記為：男，男，男，畫樹狀圖如下：

由樹狀圖可知，一共有種等可能情況，其中一男一女有種可能，
選出的名學(xué)生恰好是男女．
根據(jù)選藍(lán)球或乒乓球的人數(shù)和相應(yīng)的百分比可求出共調(diào)查學(xué)生數(shù)，根據(jù)總?cè)藬?shù)和選其它項(xiàng)目的人數(shù)可求得選足球的人數(shù)，再補(bǔ)充完整條形統(tǒng)計圖即可；
先求出足球所占百分比，然后乘以即可得到答案；
用列表法或畫樹狀圖得到所有可能的結(jié)果數(shù)，以及其中一男一女的結(jié)果數(shù)，再利用概率公式求概率．
本題考查條形統(tǒng)計圖、扇形統(tǒng)計圖，等可能事件概率的求法，掌握各類統(tǒng)計圖的特點(diǎn)和列舉法求等可能事件的概率的方法是解題的關(guān)鍵．
 21.【答案】證明：，
在和中，
，
≌．
≌，
，
，，
，
，
，
． 【解析】因?yàn)?/span>，所以由斜邊直角邊定理證明全等即可．
由≌得，，進(jìn)一步得到，，再求出，即可求出面積．
本題主要考查了全等三角形的判定與性質(zhì)，正確運(yùn)用判定定理是解題的關(guān)鍵．
 22.【答案】解：設(shè)長沙至五一假期接待游客人次的平均增長率為，
由題意得：，
解得：，不合題意，舍去，
的值為，
答：長沙至五一假期接待游客人次的平均增長率為；
設(shè)幽蘭拿鐵的單價為元，則聲聲烏龍的單價為元，
由題意得：，
解得：，
經(jīng)檢驗(yàn)，是原方程的解，且符合題意，
答：幽蘭拿鐵的單價為元． 【解析】設(shè)長沙至五一假期接待游客人次的平均增長率為，根據(jù)年五一假期共接待游客人次年五一假期共接待游客人次，列出一元二次方程，解之取其正值即可得出結(jié)論；
設(shè)幽蘭拿鐵的單價為元，則聲聲烏龍的單價為元，根據(jù)某導(dǎo)游花費(fèi)元購買幽蘭拿鐵的杯數(shù)是元購聲聲烏龍的兩倍，列出分式方程，解方程即可．
本題考查了一元二次方程的應(yīng)用以及分式方程的應(yīng)用，解題的關(guān)鍵是：找準(zhǔn)等量關(guān)系，正確列出一元二次方程；找準(zhǔn)等量關(guān)系，正確列出分式方程
．
 23.【答案】證明：四邊形是平行四邊形，
，
，
四邊形是平行四邊形，
，
，
四邊形是矩形；
解：，
，
點(diǎn)為的中點(diǎn)，
，
，
，
四邊形是平行四邊形，
，
四邊形的周長． 【解析】根據(jù)平行四邊形的性質(zhì)得到，推出四邊形是平行四邊形，根據(jù)垂直的定義得到，于是得到結(jié)論；
根據(jù)直角三角形的性質(zhì)得到，根據(jù)勾股定理得到，根據(jù)矩形的周長公式即可得到結(jié)論．
本題考查了矩形的判定和性質(zhì)，平行四邊形的性質(zhì)，勾股定理，正確的識別圖形是解題的關(guān)鍵．
 24.【答案】解：反比例函數(shù)是上的“倍函數(shù)”，
當(dāng)時，，
當(dāng)時，；當(dāng)時，，
當(dāng)時，，
；
當(dāng)時，不存在一次函數(shù)在上是“倍函數(shù)”，理由如下：
若存在一次函數(shù)在上是“倍函數(shù)”，則當(dāng)時，，
，
隨的增大而增大，即時，取最小為；當(dāng)時，取最大值為，
即，，
，
，
這與，是兩個不相等的實(shí)數(shù)且矛盾，
假設(shè)不成立，
當(dāng)時，不存在一次函數(shù)在上是“倍函數(shù)”；
，
拋物線的對稱軸為，頂點(diǎn)是，
二次函數(shù)是上的“倍函數(shù)”，
當(dāng)時，；
若時，當(dāng)，取最大值為；當(dāng)，取最小值為，
，
，
，
，
把代入得：，
解得：或，
當(dāng)時，此時不滿足，舍去，
當(dāng)時，，
的值為，的值為；
當(dāng)且時，當(dāng)，取最大值為；當(dāng)，取最小值為，
，
解得，
，
這種情況不存在；
當(dāng)且時，當(dāng)，取最大值為；當(dāng)，取最小值為，
，
解得：或此時舍去，
的值為，的值為；
當(dāng)時，當(dāng)，取最小值為；當(dāng)，取最大值為，
，
解得：，舍去或舍去或，舍去或，舍去，
這種情況不存在；
綜上所述，的值為，的值為或的值為，的值為． 【解析】求出當(dāng)時，，即可得到答案；
若存在一次函數(shù)在上是“倍函數(shù)”，則當(dāng)時，，根據(jù)一次函數(shù)性質(zhì)可得，，即可得，這與，是兩個不相等的實(shí)數(shù)且矛盾，故當(dāng)時，不存在一次函數(shù)在上是“倍函數(shù)”；
求出拋物線的對稱軸為，頂點(diǎn)是，由二次函數(shù)是上的“倍函數(shù)”，可知當(dāng)時，；分種情況討論：若時，當(dāng)，取最大值為；當(dāng)，取最小值為，故；當(dāng)且時，當(dāng)，取最大值為；當(dāng)，取最小值為，有；當(dāng)且時，當(dāng)，取最大值為；當(dāng)，取最小值為，有，當(dāng)時，當(dāng)，取最小值為；當(dāng)，取最大值為，有，分別解方程組并檢驗(yàn)可得答案．
本題綜合考查二次函數(shù)的應(yīng)用，涉及新定義，一次函數(shù)的性質(zhì)，反比例函數(shù)的性質(zhì)等知識，解題的關(guān)鍵是讀懂題意，理解“倍函數(shù)”的定義，解題時需注意“分類討論”數(shù)學(xué)思想的應(yīng)用．
 25.【答案】證明：連接并延長交于，
，
弧弧，
過圓心，
垂直平分，
平分，
，
，
，
；

解：設(shè)，
由知，
，
是等腰三角形，
若，
則，
，
，
在中，，
，
解得，
；
若，則，
，
在中，，
，
，
；
綜上所述，是等腰三角形時，為或；
解：、、的面積分別為、、，
，
，
，
，
，
設(shè)，
則，
解得：，，
設(shè)中邊上的高為，
；
如圖，在上取一點(diǎn)，連接，使，過點(diǎn)作于，

設(shè)，則，
，
，
，
又，
，
，
，
，
，，
，
． 【解析】連接并延長交于，證明和即可得結(jié)論，
設(shè)為，用表示出有關(guān)的角，再列方程即得答案；
根據(jù)已知條件進(jìn)行變形可得：，設(shè)，則，解方程，并根據(jù)同高三角形面積的比可得結(jié)論；
作輔助線，構(gòu)建等腰三角形，根據(jù)三角函數(shù)的定義可解答．
本題是圓的綜合題，考查圓及內(nèi)接三角形，垂徑定理，等腰三角形的性質(zhì)和判定，三角函數(shù)的定義，三角形外角的性質(zhì)等知識，關(guān)鍵是垂徑定理及等腰三角形性質(zhì)的應(yīng)用．
 

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