第七章　7.3　7.3.1、2A組·素養(yǎng)自測一、選擇題1．設復數(shù)z＝a＋bi＝r(cos θ＋isin θ)，其中a，b∈R，＝r，arg z＝θ，下列說法正確的是(　D　)A．r＞0，θ∈[0,2π) B．r≥0，θ∈(0,2π)C．r∈R，θ∈(－π，π) D．r≥0，θ∈[0,2π)[解析]　由復數(shù)三角形式的特征知，r≥0,0≤θ＜2π．故選D．2．復數(shù)－2輻角的主值是(　C　)A． B．C． D．[解析]　解法1：∵－2＝2，∴輻角的主值為，故選C．解法2：復數(shù)對應點在第三象限，∴輻角主值是第三象限角．3．將代數(shù)形式的復數(shù)z＝2i改寫成三角形式為(　D　)A．2＋cos ＋isin  B．2C．2 D．2[解析]　因為2i在復平面內(nèi)所對應的點在y軸正半軸上，所以易知|2i|＝2，arg(2i)＝，從而可知2i＝2．4．復數(shù)－2－2i的輻角主值為(　C　)A． B．C． D．[解析]　∵－2－2i＝4＝4，又∵∈[0,2π)，故－2－2i的輻角主值為．5．復數(shù)(sin 10°＋icos 10°)(sin 10°＋icos 10°)的三角形式是(　B　)A．sin 30°＋icos 30° B．cos 160°＋isin 160°C．cos 30°＋isin 30° D．sin 160°＋icos 160°[解析]　令z＝sin 10°＋icos 10°，其三角形式為z＝cos 80°＋isin 80°，所以z·z＝(cos 80°＋isin 80°)2＝cos 160°＋isin 160°，故選B．二、填空題6．設z＝－i，對應的向量為，將繞點O按逆時針方向旋轉(zhuǎn)30°，則所得向量對應的復數(shù)為__2__．[解析]　根據(jù)復數(shù)乘法的幾何意義，所得向量對應的復數(shù)為：(－i)(cos 30°＋isin 30°)＝(－i)·＝2．7．計算下列式子，寫出其結(jié)果的代數(shù)形式：5·2＝__＋i__．[解析]　5·2＝10＝10＝＋i．8．計算(cos 40°＋isin 40°)÷(cos 10°＋isin 10°)＝__＋i__．[解析]　(cos 40°＋isin 40°)÷(cos 10°＋isin 10°)＝cos(40°－10°)＋isin(40°－10°)＝cos 30°＋isin 30°＝＋i．三、解答題9．已知z＝1＋i，求復數(shù)ω＝的模和輻角主值，并寫出復數(shù)的三角形式．[解析]　∵z＝1＋i，∴ω＝＝＝＝1－i，∴|ω|＝，1－i對應的點在第四象限且tan θ＝－1，∴ω輻角的主值為，∴復數(shù)ω的三角形式為ω＝．10．計算的值．[解析]　＝＝＝＝2＝1＋i．B組·素養(yǎng)提升一、選擇題1．(多選題)復數(shù)z＝3＋i化為三角形式正確的是(　AD　)A．z＝2 B．z＝2C．z＝2 D．z＝2[解析]　z＝3＋i＝2＝2＝2，故選AD．2．設復數(shù)2＋i和－3－i的輻角主值分別是α，β，則tan(α＋β)等于(　D　)A． B．－C．－1 D．1[解析]　因為復數(shù)2＋i和－3－i的輻角主值分別是α，β，所以tan α＝，tan β＝，所以tan(α＋β)＝＝1．3．向量，，分別對應非零復數(shù)z1，z2，若⊥，則是(　B　)A．負實數(shù) B．純虛數(shù)C．正實數(shù) D．虛數(shù)a＋bi(a，b∈R，a≠0)[解析]　設復數(shù)z1＝r1(cos θ1＋isin θ1)，z2＝r2(cos θ2＋isin θ2)，由于⊥，所以＝＝[cos(θ1－θ2)＋isin(θ1－θ2)]＝[cos(±90°)＋isin(±90°)]＝±i，即為純虛數(shù)．故選B．4．設π＜θ＜，則復數(shù)的輻角主值為(　B　)A．2π－3θ B．3θ－2πC．3θ D．3θ－π[解析]　＝＝cos 3θ＋isin 3θ．∵π＜θ＜，∴3π＜3θ＜，∴π＜3θ－2π＜，則輻角主值為3θ－2π．故選B．二、填空題5．復數(shù)z＝(a＋i)2的輻角主值為，則實數(shù)a＝__－1__．[解析]　由于復數(shù)z的輻角主值為，故z＝r＝－ir，又z＝(a＋i)2＝a2－1＋2ai，所以a2－1＋2ai＝－ir，所以a2－1＝0,2a＝－r，故a＝－1．6．＝__2－2i__．[解析]　＝＝4＝4＝2－2i．三、解答題7．若復平面內(nèi)單位圓上三點所對應的復數(shù)z1，z2，z3，滿足z＝z1z3且z2＋iz3－i＝0，求復數(shù)z1，z2，z3．[解析]　設z1＝cos α＋isin α，z2＝cos β＋isin β，z3＝cos γ＋isin γ，則由z2＋iz3－i＝0，可得利用cos2β＋sin 2β＝1，解得所以，z3＝．當z3＝時，z2＝－i(z3－1)＝，z1＝＝1；當z3＝時，z2＝－i(z3－1)＝，z1＝＝1．8．在復平面內(nèi)，把與復數(shù)＋i對應的向量繞原點O按逆時針方向旋轉(zhuǎn)，然后將其長度伸長為原來的2倍，求與所得向量對應的復數(shù)．[解析]　＋i＝＝由題意得×＝×2＝3＝3i，即與所得向量對應的復數(shù)為3i． 

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高中數(shù)學人教A版 (2019)必修 第二冊電子課本

7.3* 復數(shù)的三角表示

版本： 人教A版 (2019)

年級： 必修 第二冊

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