第19講 利用平面向量解決平行四邊形問(wèn)題 參考答案與試題解析一．解答題（共16小題）1．在平面直角坐標(biāo)系中，已知橢圓經(jīng)過(guò)，且離心率，（1）求橢圓方程．（2）經(jīng)過(guò)點(diǎn)且斜率的直線與橢圓有兩個(gè)不同的交點(diǎn)和．①求的取值范圍．②設(shè)橢圓與軸正半軸、軸正半軸的交點(diǎn)分別為、，是否存在常數(shù)，使向量與共線？如果存在，求值；如果不存在，請(qǐng)說(shuō)明理由．【解答】解：（1）由焦點(diǎn)在軸，經(jīng)過(guò)，故，又離心率，解得：，橢圓方程為；（2）①由已知條件，直線的方程為，，整理得，直線與橢圓有兩個(gè)不同的交點(diǎn)和等價(jià)于△，△，解得：．即的取值范圍為．②設(shè)，，，，則，，由韋達(dá)定理得：，又，而，與共線等價(jià)于，解得，由①知．矛盾，故沒(méi)有符合題意的常數(shù)．2．已知橢圓的右焦點(diǎn)，點(diǎn)，為橢圓的半焦距）在軸上，若橢圓的離心率，且．（1）求橢圓方程；（2）若過(guò)的直線交橢圓與，兩點(diǎn)，且與向量共線（其中為坐標(biāo)原點(diǎn)），求證：．【解答】解：（1）依題意有：，，橢圓方程：（6分）（2）設(shè)直線的方程為：，，，，，聯(lián)立方程組，整理得：，，，，由與向量共線，得，故．．（13分）3．在平面直角坐標(biāo)系中，經(jīng)過(guò)點(diǎn)且斜率為的直線與橢圓有兩個(gè)不同的交點(diǎn)、，（Ⅰ）若；求直線的斜率的值；（Ⅱ）設(shè)橢圓與軸正半軸、軸正半軸的交點(diǎn)分別為、，是否存在常數(shù)，使得向量與共線，如果存在，求出的值；如果不存在，請(qǐng)說(shuō)明理由．【解答】（本小題12分）解：（1）直線經(jīng)過(guò)點(diǎn)且斜率為，，（1分）由，得，（3分）由△，得，（4分），解得，或（舍．（6分）（2）設(shè)，，，，則（7分），，（9分）與共線等價(jià)于，（10分）由上述式子得：（11分）又，不存在這樣的常數(shù)滿足條件．（12分）4．如圖，設(shè)拋物線方程為，為直線上任意一點(diǎn)，不在軸上，過(guò)引拋物線的切線，切點(diǎn)分別為，．（Ⅰ）設(shè)線段的中點(diǎn)為；（?。┣笞C：平行于軸；（ⅱ）已知當(dāng)點(diǎn)的坐標(biāo)為時(shí)，，求此時(shí)拋物線的方程；（Ⅱ）是否存在點(diǎn)，使得點(diǎn)關(guān)于直線的對(duì)稱點(diǎn)在拋物線上，其中，點(diǎn)滿足為坐標(biāo)原點(diǎn)）．若存在，求出所有適合題意的點(diǎn)的坐標(biāo)；若不存在，請(qǐng)說(shuō)明理由．【解答】（Ⅰ）（?。┳C明：由題意設(shè)，，，，，，．由得，則，所以，．因此直線的方程為，直線的方程為．所以，①．②由①、②得，因此，即．所以平行于軸．（ⅱ）解：由（?。┲?，當(dāng)時(shí)，將其代入①、②并整理得：，，所以，是方程的兩根，因此，，又，所以．由弦長(zhǎng)公式的．又，所以或，因此所求拋物線方程為或．（Ⅱ）解：設(shè)，，由題意得，，則的中點(diǎn)坐標(biāo)為，設(shè)直線的方程為，由點(diǎn)在直線上，并注意到點(diǎn)也在直線上，代入得．若，在拋物線上，則，因此或．即或．（1）當(dāng)時(shí)，則，此時(shí)，點(diǎn)適合題意．（2）當(dāng)，對(duì)于，此時(shí)，，又，，所以，即，矛盾．對(duì)于，因?yàn)?/span>，此時(shí)直線平行于軸，又，所以直線與直線不垂直，與題設(shè)矛盾，所以時(shí)，不存在符合題意得點(diǎn)．綜上所述，不存在符合題意得點(diǎn)．5．已知點(diǎn)，的坐標(biāo)分別是，，，，動(dòng)點(diǎn)滿足直線和的斜率之積為，記的軌跡為曲線．（1）求曲線的方程；（2）直線與曲線相交于，兩點(diǎn)，若曲線上存在點(diǎn)，使得四邊形為平行四邊形（其中為坐標(biāo)原點(diǎn)），求的取值范圍．【解答】解：（1），化簡(jiǎn)得曲線的方程：．（2）設(shè)，，，聯(lián)立，得，，，△，即，①若四邊形為平行四邊形，則的中點(diǎn)也是的中點(diǎn)，所以點(diǎn)的坐標(biāo)為，，又點(diǎn)在曲線上得，化簡(jiǎn)得②將②代入①得，，所以，由②得，所以或，當(dāng)直線經(jīng)過(guò)，時(shí)，，代入②得，不符合題意所以的取值范圍為，，，，．6．如圖所示，已知圓與直線相切．（Ⅰ）求的值．（Ⅱ）直線與圓相交于，兩點(diǎn)，若在圓上存在一點(diǎn)，使四邊形為平行四邊形，求實(shí)數(shù)的取值范圍．【解答】解：（Ⅰ）圓心到直線的距離為，直線與圓相切，．（Ⅱ）設(shè)，，，，聯(lián)立方程組，消去得，，，四邊形為平行四邊形，線段的中點(diǎn)即為線段的中點(diǎn)，點(diǎn)的坐標(biāo)為，，即，由點(diǎn)在圓上，，整理得，此時(shí)△，，即或，即的取值范圍為，，．7．在中，，的坐標(biāo)分別是，點(diǎn)是的重心，軸上一點(diǎn)滿足，且．（Ⅰ）求的頂點(diǎn)的軌跡的方程；（Ⅱ）直線與軌跡相交于，兩點(diǎn)，若在軌跡上存在點(diǎn)，使四邊形為平行四邊形（其中為坐標(biāo)原點(diǎn)），求的取值范圍．【解答】解：設(shè)，點(diǎn)是的重心，，軸上一點(diǎn)滿足，．，，化為即為的頂點(diǎn)的軌跡的方程；設(shè)，，，，聯(lián)立，化為，由△，化為，，．四邊形為平行四邊形，，，，，．點(diǎn)在橢圓上，，化為．代入△，可得，又，解得或．的取值范圍是．8．已知橢圓，直線不過(guò)原點(diǎn)且不平行于坐標(biāo)軸，與有兩個(gè)交點(diǎn)，，線段的中點(diǎn)為．（1）證明：直線的斜率與的斜率的乘積為定值；（2）若過(guò)點(diǎn)，，延長(zhǎng)線段與交于點(diǎn)，四邊形能否為平行四邊形？若能，求此時(shí)的斜率；若不能，說(shuō)明理由．【解答】解：（1）設(shè)直線，，，，，，，，將代入，得，則判別式△，則，則，，于是直線的斜率，即，直線的斜率與的斜率的乘積為定值．（2）四邊形能為平行四邊形．直線過(guò)點(diǎn)，，由判別式△，即，，，即，即，則，不過(guò)原點(diǎn)且與有兩個(gè)交點(diǎn)的充要條件是，，由（1）知的方程為，設(shè)的橫坐標(biāo)為，由得，即，將點(diǎn)，的坐標(biāo)代入的方程得，即的方程為，將，代入，得解得，四邊形為平行四邊形當(dāng)且僅當(dāng)線段與線段互相平分，即，于是，解得或，，，，2，當(dāng)的斜率為或時(shí)，四邊形能為平行四邊形．9．設(shè)為橢圓的右焦點(diǎn)，點(diǎn)在橢圓上，直線與以原點(diǎn)為圓心、以橢圓的長(zhǎng)半軸長(zhǎng)為半徑的圓相切．（1）求橢圓的方程；（2）過(guò)點(diǎn)的直線與橢圓相交于，兩點(diǎn)，過(guò)點(diǎn)且平行于的直線與橢圓交于另一點(diǎn)．問(wèn)是否存在直線，使得四邊形的對(duì)角線互相平分？若存在，求出的方程；若不存在，說(shuō)明理由．【解答】解：（1）由題意知所以橢圓 的方程為（4分）（2）結(jié)論：存在直線，使得四邊形的對(duì)角線互相平分．（5分）理由如下：由題可知直線、的斜率存在．設(shè)直線的方程為，直線的方程為由消去得則，（7分）由消去得則，（9分）若四邊形的對(duì)角線互相平分，則四邊形為平行四邊形，，直線的方程為時(shí)，四邊形的對(duì)角線互相平分．（12分）10．已知橢圓的左、右頂點(diǎn)分別為，，上、下頂點(diǎn)分別為，，四邊形的面積為，坐標(biāo)原點(diǎn)到直線的距離為．（1）求橢圓的方程；（2）過(guò)橢圓上一點(diǎn)作兩條直線分別與橢圓相交于點(diǎn)，（異于點(diǎn)，試判斷以和為對(duì)角線的四邊形是否為菱形？若是，求出直線的方程；若不是，請(qǐng)說(shuō)明理由．【解答】解：（1）設(shè)直線的方程為，由題意得，解得：，所以橢圓的方程為．（2）當(dāng)直線的斜率不存在時(shí)，若平行四邊形為菱形，則為左頂點(diǎn)或右頂點(diǎn)，此時(shí)直線的方程為．當(dāng)直線的斜率為0時(shí)，若四邊形為菱形，則點(diǎn)為上頂點(diǎn)或下頂點(diǎn)，此時(shí)的方程為，當(dāng)直線的斜率存在時(shí)，設(shè)，，，，聯(lián)立直線方程與橢圓方程可得：，則△，所以，若四邊形為菱形，則，所以點(diǎn)，所以直線的斜率，所以，這與 矛盾，所以四邊形不能是菱形，綜上，四邊形能為菱形，此時(shí)直線的方程為或．11．已知橢圓左右兩個(gè)焦點(diǎn)分別為，，為橢圓上一點(diǎn)，過(guò)且與軸垂直的直線與橢圓相交所得弦長(zhǎng)為3．拋物線的頂點(diǎn)是橢圓的中心，焦點(diǎn)與橢圓的右焦點(diǎn)重合．（Ⅰ）求橢圓和拋物線的方程；（Ⅱ）過(guò)拋物線上一點(diǎn)（異于原點(diǎn)作拋物線切線交橢圓于，兩點(diǎn)，求面積的最大值；（Ⅲ）過(guò)橢圓右焦點(diǎn)的直線與橢圓相交于，兩點(diǎn)，過(guò)且平行于的直線交橢圓于另一點(diǎn)，問(wèn)是否存在直線，使得四邊形的對(duì)角線互相平分？若存在，求出的方程；若不存在，說(shuō)明理由．【解答】解：（Ⅰ）設(shè)，令，代入橢圓方程可得，，由題意可得，又在橢圓上，可得，解得，，，可得橢圓的方程為；即有拋物線的焦點(diǎn)為，可得拋物線的方程為；（Ⅱ）設(shè)，，設(shè)拋物線切線的方程為，由兩邊對(duì)求導(dǎo)，可得，即為，可得，即有切線的方程為，即為，代入橢圓方程，可得，設(shè)，，，，即有△，得，，，，原點(diǎn)到直線的距離為，則面積，令，，可得，則，可令，由，可得在遞增，可得，即有，即有當(dāng)時(shí)，取得最大值．由，解得，，故當(dāng)時(shí)，的面積取得最大值；（Ⅲ）可設(shè)直線，代入橢圓，可得，設(shè)，，，，可得，，直線，代入橢圓，可得，設(shè)，，可得，，假設(shè)四邊形的對(duì)角線互相平分，可得四邊形為平行四邊形，與的中點(diǎn)重合．即有，即為，即有，則有，，即為，解得．故存在直線，方程為．12．設(shè)，分別為橢圓的左、右焦點(diǎn)，點(diǎn)在橢圓上，且點(diǎn)和關(guān)于點(diǎn)對(duì)稱．（1）求橢圓的方程；（2）過(guò)右焦點(diǎn)的直線與橢圓相交于，兩點(diǎn)，過(guò)點(diǎn)且平行于的直線與橢圓交于另一點(diǎn)，問(wèn)是否存在直線，使得四邊形的對(duì)角線互相平分？若存在，求出的方程；若不存在，說(shuō)明理由．【解答】解：（1）點(diǎn)和關(guān)于點(diǎn)對(duì)稱，，橢圓的焦點(diǎn)為，，由橢圓定義，得，從而，，故橢圓的方程為；（2）結(jié)論：存在直線，使得四邊形的對(duì)角線互相平分．理由如下：由題可知直線、直線的斜率存在，設(shè)直線的方程為、直線的方程為，由 消去，得，根據(jù)題意可知△，設(shè)，，，，由韋達(dá)定理可知，，由 消去，得，由△，可知，設(shè)，，又，則，，若四邊形的對(duì)角線互相平分，則有與的中點(diǎn)重合，所以，即，故，所以，解得，從而直線方程為時(shí)，四邊形的對(duì)角線互相平分．13．設(shè)，分別為橢圓的左，右焦點(diǎn)，點(diǎn)在橢圓上，且點(diǎn)和關(guān)于點(diǎn)對(duì)稱．（Ⅰ）求橢圓的方程；（Ⅱ）過(guò)右焦點(diǎn)的直線與橢圓相交于，兩點(diǎn)，過(guò)點(diǎn)且平行于的直線與橢圓交于另一點(diǎn)，問(wèn)是否存在直線，使得四邊形的對(duì)角線互相平分？若存在，求出的方程；若不存在，說(shuō)明理由．【解答】解：（Ⅰ）點(diǎn)和關(guān)于點(diǎn)對(duì)稱，，，，，，，橢圓方程為：；（Ⅱ）結(jié)論：存在直線，使得四邊形的對(duì)角線互相平分．理由如下：如圖，設(shè)，，三點(diǎn)的橫坐標(biāo)分別為，，，直線的方程為：，的方程為：，由方程與橢圓方程聯(lián)立消去，得，得，，由方程與橢圓方程聯(lián)立消去，得，得，，四邊形的對(duì)角線互相平分，，的中點(diǎn)重合，，，平方可得，，，，解得，故直線為時(shí)，四邊形對(duì)角線互相平分．14．在平面直角坐標(biāo)系中，橢圓的左、右焦點(diǎn)分別為，，已知點(diǎn)和都在橢圓上，其中為橢圓的離心率．（Ⅰ）求橢圓的方程；（Ⅱ）設(shè)直線與橢圓相交于，兩點(diǎn)，若在橢圓上存在點(diǎn)，使四邊形為平行四邊形，求的取值范圍．【解答】解：（Ⅰ）點(diǎn)和都在橢圓上，其中為橢圓的離心率，，，，，解得，，橢圓的方程為．（Ⅱ）設(shè)，，，，，，四邊形為平行四邊形，線段的中點(diǎn)即為線段的中點(diǎn)，即，，點(diǎn)在橢圓上，，，化簡(jiǎn)，得，①由，得，由△，得，②又，代入①式，得，化簡(jiǎn)，得，代入②式，得，又，，或．的取值范圍為，，．15．已知橢圓的右焦點(diǎn)為，上頂點(diǎn)為，短軸長(zhǎng)為2，為原點(diǎn)，直線與橢圓的另一個(gè)交點(diǎn)為，且的面積是的面積的3倍．（1）求橢圓的方程；（2）如圖，直線與橢圓相交于，兩點(diǎn)，若在橢圓上存在點(diǎn)，使為平行四邊形，求的取值范圍．【解答】解：（1）短軸長(zhǎng)為2，可得，即有，設(shè)，，，的面積是的面積的3倍，即為，可得，由直線經(jīng)過(guò)，可得，即，，代入橢圓方程可得，，即為，即有，則橢圓方程為；（2）設(shè)，，，，由為平行四邊形，可得，，在橢圓上，可得，即為，化為，①由可得，由△，即為，②，代入①可得，化為，代入②可得，又，解得或．則的取值范圍是，，．16．橢圓左、右焦點(diǎn)分別為，，過(guò)點(diǎn)的直線交橢圓于，兩點(diǎn)．當(dāng)直線軸時(shí)，．（Ⅰ）求橢圓的離心率；（Ⅱ）若橢圓上存在點(diǎn)，使得四邊形是平行四邊形，求此時(shí)直線的斜率．【解答】解：（Ⅰ）方法一：因?yàn)?/span>過(guò)，且，設(shè)，不妨設(shè)為第一象限點(diǎn)，則．則，所以，所以，則，所以，所以所以，所以；方法二：因?yàn)?/span>，所以，因此，所以，所以；（Ⅱ）由（Ⅰ），可設(shè)橢圓，，，，，線段的中點(diǎn)，，由題意可以判斷直線的斜率存在，設(shè)，聯(lián)立方程組，消去，整理得，所以，因此，則①因?yàn)樗倪呅?/span>是平行四邊形，所以是的中點(diǎn)，所以，，又因?yàn)?/span>在橢圓上，所以②①代入②，得，整理得，解得或（舍去），所以所以直線的斜率為． 
 

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