2022-2023學(xué)年四川省宜賓市敘州區(qū)第一中學(xué)校高一下學(xué)期開學(xué)考試數(shù)學(xué)試題 一、單選題1．設(shè)集合，．則（    ）A． B． C． D．【答案】A【分析】先求得，然后求得.【詳解】.故選：A2．與-2022°終邊相同的最小正角是（    ）A．138° B．132° C．58° D．42°【答案】A【分析】根據(jù)任意角的周期性，將-2022°化為，即可確定最小正角.【詳解】由-2022°，所以與-2022°終邊相同的最小正角是138°.故選：A3．命題“,”的否定是A．, B．,C．, D．,【答案】D【解析】直接利用特稱命題的否定為全稱命題的定義，即可得答案.【詳解】∵命題“,”，∴命題的否定為：,.故選：D.【點(diǎn)睛】本題考查特稱命題的否定，考查對概念的理解與應(yīng)用，求解時注意將存在改成任意，同時對結(jié)論進(jìn)行否定.4．方程的解所在區(qū)間是（    ）．A． B． C． D．【答案】C【分析】判斷所給選項(xiàng)中的區(qū)間的兩個端點(diǎn)的函數(shù)值的積的正負(fù)性即可選出正確答案.【詳解】∵,∴,,，,∴,∵函數(shù)的圖象是連續(xù)的,∴函數(shù)的零點(diǎn)所在的區(qū)間是.故選C【點(diǎn)睛】本題考查了根據(jù)零存在原理判斷方程的解所在的區(qū)間,考查了數(shù)學(xué)運(yùn)算能力.5．函數(shù)的圖象大致是（    ）A． B．C． D．【答案】B【分析】根據(jù)函數(shù)的奇偶性和正負(fù)性，運(yùn)用排除法進(jìn)行判斷即可.【詳解】因?yàn)?/span>，所以函數(shù)是偶函數(shù)，其圖象關(guān)于縱軸對稱，故排除C、D兩個選項(xiàng)；顯然，故排除A，故選：B6．我國某科研機(jī)構(gòu)新研制了一種治療新冠肺炎的注射性新藥，并已進(jìn)入二期臨床試驗(yàn)階段．已知這種新藥在注射停止后的血藥含量c（t）（單位：mg/L）隨著時間t（單位：h）的變化用指數(shù)模型描述，假定某藥物的消除速率常數(shù)（單位：），剛注射這種新藥后的初始血藥含量，且這種新藥在病人體內(nèi)的血藥含量不低于1000mg/L時才會對新冠肺炎起療效，現(xiàn)給某新冠病人注射了這種新藥，則該新藥對病人有療效的時長大約為（    ）（參考數(shù)據(jù)：）A．5.32h B．6.23h C．6.93h D．7.52h【答案】C【分析】利用已知條件，該藥在機(jī)體內(nèi)的血藥濃度變?yōu)?/span>1000mg/L時需要的時間為，轉(zhuǎn)化求解即可.【詳解】解：由題意得：設(shè)該要在機(jī)體內(nèi)的血藥濃度變?yōu)?/span>1000mg/L需要的時間為故，故該新藥對病人有療效的時長大約為故選：C7．若函數(shù)在上的最大值為4，則的取值范圍為（    ）A． B． C． D．【答案】C【分析】先分別探究函數(shù)與的單調(diào)性，再求的最大值.【詳解】因?yàn)?/span>在上單調(diào)遞增，在上單調(diào)遞增.而，，所以的取值范圍為.【點(diǎn)睛】本題主要考查分段函數(shù)的最值以及指數(shù)函數(shù)，對數(shù)函數(shù)的單調(diào)性，屬于中檔題.8．已知函數(shù)，若（其中．），則的最小值為（    ）．A． B． C．2 D．4【答案】B【分析】根據(jù)二次函數(shù)的性質(zhì)及對數(shù)的運(yùn)算可得，利用均值不等式求最值即可.【詳解】,由，，即，，當(dāng)且僅當(dāng)，即時等號成立，故選：B 二、多選題9．下列函數(shù)中，最小正周期為，且為偶函數(shù)的有（    ）A． B．C． D．【答案】BD【解析】依次判斷函數(shù)的周期和奇偶性得到答案.【詳解】A. ，函數(shù)周期為，非奇非偶函數(shù)，排除；B. ，函數(shù)周期為，偶函數(shù)，滿足；C. ，函數(shù)周期為，偶函數(shù)，排除；D. ，函數(shù)周期為，偶函數(shù)，滿足；故選：【點(diǎn)睛】本題考查了三角函數(shù)的周期和奇偶性，意在考查學(xué)生對于三角函數(shù)性質(zhì)的綜合運(yùn)用.10．對，成立的充分不必要條件可以是（    ）A． B． C． D．【答案】AC【分析】首先求出滿足，恒成立時的取值集合，然后只需求這個集合的真子集即可.【詳解】若，恒成立，只需，又，所以，所以對，成立的充分不必要條件可以是，或者是.故選：AC.11．《幾何原本》中的幾何代數(shù)法是以幾何方法研究代數(shù)問題，這種方法是后西方數(shù)學(xué)家處理問題的重要依據(jù)，通過這一原理，很多代數(shù)公理或定理都能夠通過圖形實(shí)現(xiàn)證明，也稱之為無字證明．現(xiàn)有圖形如圖所示，為線段上的點(diǎn)，且，，為的中點(diǎn)，以為直徑作半圓．過點(diǎn)作的垂線交半圓于，連接，，，過點(diǎn)作的垂線，垂足為．則該圖形可以完成的所有的無字證明為（    ）A． B．C． D．【答案】AC【分析】分別在和中，利用射影定理和、判定選項(xiàng)A、C正確.【詳解】，，根據(jù)圖形，在中，由射影定理得，所以，由，且，得：（，），當(dāng)且僅當(dāng)時取等號，即A正確；在中，同理得，所以，又，所以（，），當(dāng)且僅當(dāng)時取等號，即C正確；故選：AC.12．已知奇函數(shù)，恒成立，且當(dāng)時，，設(shè)，則（    ）A．B．函數(shù)為周期函數(shù)C．函數(shù)在區(qū)間上單調(diào)遞減D．函數(shù)的圖像既有對稱軸又有對稱中心【答案】BCD【分析】由與的關(guān)系式及的周期性、奇偶性，即可求和判斷的周期，進(jìn)而判斷A 和B；利用奇函數(shù)性質(zhì)求在上的解析式，結(jié)合的周期性及求上的解析式判斷C，利用對稱性判斷、是否成立判斷D.【詳解】因?yàn)?/span>，所以，，又為奇函數(shù)，故，利用，可得，故的周期為4；因?yàn)?/span>周期為4，則的周期為4，又是奇函數(shù)，所以，A錯誤，B正確；當(dāng)時，，因?yàn)?/span>為奇函數(shù)，故時，，因?yàn)?/span>恒成立，令，此時，，則，，故時，，令，即，則，即；令，即，則，即；令，即，，所以，根據(jù)周期性在上的圖像與在相同，所以，當(dāng)，即時，，故在上單調(diào)遞減，C正確；由是周期為4的奇函數(shù)，則且，所以，故關(guān)于對稱，，所以關(guān)于對稱，D正確.故選：BCD 三、填空題13．已知冪函數(shù)的圖象過點(diǎn)______．【答案】3【分析】利用冪函數(shù)的定義先求出其解析式，進(jìn)而得出答案．【詳解】設(shè)冪函數(shù)為常數(shù)，冪函數(shù)的圖象過點(diǎn)，，解得．．．故答案為3．【點(diǎn)睛】本題考查冪函數(shù)的定義，正確理解冪函數(shù)的定義是解題的關(guān)鍵．14．已知函數(shù)若，則的值為______．【答案】4【解析】根據(jù)自變量所屬的區(qū)間，代入相應(yīng)段的解析式求值即可.【詳解】由題意可知，，解得，故答案為：4．15．如果方程x2＋(m－1)x＋m2－2＝0的兩個實(shí)根一個小于－1，另一個大于1，那么實(shí)數(shù)m的取值范圍是________．【答案】(0,1)【分析】結(jié)合二次函數(shù)的性質(zhì)得得到，在-1和1處的函數(shù)值均小于0即可.【詳解】結(jié)合二次函數(shù)的性質(zhì)得得到，在-1和1處的函數(shù)值均小于0即可，實(shí)數(shù)m滿足不等式組解得0<m<1.故答案為(0,1)【點(diǎn)睛】這個題目考查了二次函數(shù)根的分布的問題，結(jié)合二次函數(shù)的圖像的性質(zhì)即可得到結(jié)果,題型較為基礎(chǔ).16．已知定義在上的奇函數(shù)，滿足，當(dāng)時，，若函數(shù)，在區(qū)間上有2018個零點(diǎn)，則的取值范圍是______．【答案】【分析】由函數(shù)的奇偶性，對稱性及周期性及函數(shù)圖象的作法，分別作函數(shù)與的圖象，再觀察交點(diǎn)即可得解【詳解】由，，聯(lián)立可得：，即，所以函數(shù)是奇函數(shù)，圖象關(guān)于點(diǎn)對稱，周期為2，又因?yàn)楫?dāng)時，，又的周期為2，關(guān)于點(diǎn)對稱，令函數(shù)，得，所以函數(shù)，在區(qū)間上有2018個零點(diǎn)，轉(zhuǎn)化為兩個函數(shù)在區(qū)間上有2018個零點(diǎn)，在同一坐標(biāo)系中作出兩函數(shù)的圖象如下：由圖象知：與在，上有4個交點(diǎn)，且在上，，，，因?yàn)楹瘮?shù)，在區(qū)間上有2018個零點(diǎn)，所以：，故答案為：．【點(diǎn)睛】本題考查了函數(shù)的奇偶性，對稱性及周期性及函數(shù)圖象的作法，屬中檔題． 四、解答題17．已知集合（1）當(dāng)時，求；（2）若，求實(shí)數(shù)的取值范圍.【答案】（1）；（2）.【分析】（1）根據(jù)集合的運(yùn)算法則計算；（2）由得，然后分類和求解．【詳解】（1）當(dāng)時，中不等式為，即，∴或，則（2）∵，∴，①當(dāng)時，，即，此時；②當(dāng)時，，即，此時.綜上的取值范圍為.18．（1）計算：（2）已知，計算的值.【答案】（1）；（2）【解析】（1）利用對數(shù)的運(yùn)算性質(zhì)即可求解.（2）利用誘導(dǎo)公式以及齊次式的運(yùn)算即可求解.【詳解】（1）原式.（2）原式，又，解得，所以原式.19．已知函數(shù)．（1）求f（x）的定義域及單調(diào)區(qū)間；（2）求f（x）的最大值，并求出取得最大值時x的值；（3）設(shè)函數(shù)，若不等式f（x）≤g（x）在x∈（0，3）上恒成立，求實(shí)數(shù)a的取值范圍．【答案】（1）定義域?yàn)椋?/span>﹣1，3）；f（x）的單調(diào)增區(qū)間為（﹣1，1]，f（x）的單調(diào)減區(qū)間為[1，3）；（2）當(dāng)x＝1時，函數(shù)f（x）取最大值1；（3）a≥﹣2．【分析】（1）利用對數(shù)的真數(shù)大于零即可求得定義域，根據(jù)復(fù)合函數(shù)的單調(diào)性“同增異減”即可求得單調(diào)區(qū)間；（2）根據(jù)函數(shù)的單調(diào)性即可求解；（3）將f（x）≤g（x）轉(zhuǎn)化為x2＋ax＋1≥0在x∈（0，3）上恒成立，即a≥﹣（x＋）在x∈（0，3）上恒成立，即即可，結(jié)合基本不等式即可求解.【詳解】解：（1）令2x＋3﹣x2＞0，解得：x∈（﹣1，3），即f（x）的定義域?yàn)椋?/span>﹣1，3），令t＝2x＋3﹣x2，則，∵為增函數(shù)，x∈（﹣1，1]時，t＝2x＋3﹣x2為增函數(shù)；x∈[1，3）時，t＝2x＋3﹣x2為減函數(shù)；故f（x）的單調(diào)增區(qū)間為（﹣1，1]；f（x）的單調(diào)減區(qū)間為[1，3）（2）由（1）知當(dāng)x＝1時，t＝2x＋3﹣x2取最大值4，此時函數(shù)f（x）取最大值1；（3）若不等式f（x）≤g（x）在x∈（0，3）上恒成立，則2x＋3﹣x2≤（a＋2）x＋4在x∈（0，3）上恒成立，即x2＋ax＋1≥0在x∈（0，3）上恒成立，即a≥﹣（x＋）在x∈（0，3）上恒成立，當(dāng)x∈（0，3）時，x＋≥2，則﹣（x＋）≤﹣2，故a≥﹣2．20．一片森林原來面積為a，計劃每年砍伐一些樹，每年砍伐且使森林面積每年比上一年減少的百分比相同，當(dāng)砍伐到原面積的一半時，所用時間是20年.為保護(hù)生態(tài)環(huán)境，森林面積至少要保留原面積的﹐已知到今年為止，森林剩余面積為.（1）求每年砍伐面積的百分比；（2）該森林今后最多還能砍伐多少年？【答案】（1）；（2）今后最多還能砍30年.【解析】（1）根據(jù)題意，列出關(guān)于砍伐面積的百分比的方程，即可容易求得；（2）根據(jù)題意，列出不等式，求解指數(shù)不等式即可容易求得結(jié)果.【詳解】（1）設(shè)每年砍伐面積的百分比為則即，解得：.     （2）設(shè)從今年開始，最多可以砍年，依題意得 即，可得，，解得今后最多還能砍30年.【點(diǎn)睛】本題考查指數(shù)型函數(shù)模型的應(yīng)用，涉及指數(shù)不等式的求解，屬綜合中檔題.21．已知函數(shù)的周期為，圖象的一個對稱中心為，若先把函數(shù)的圖象向左平移個單位長度，然后再把所得圖象上各點(diǎn)的橫坐標(biāo)伸長到原來的2倍（縱坐標(biāo)不變），得到函數(shù)的圖象.(1)求函數(shù)與的解析式；(2)設(shè)函數(shù)中，試判斷在內(nèi)的零點(diǎn)個數(shù)【答案】(1)，(2)2 【分析】（1）根據(jù)周期可得，根據(jù)對稱中心可得，結(jié)合題意得，根據(jù)函數(shù)圖像變換可得；（2）令可得或，結(jié)合題意求解．【詳解】（1）根據(jù)題意可得：，則∵圖象的一個對稱中心為，則，即又∵，則∴函數(shù)的圖象向左平移個單位長度，得到然后再把所得圖象上各點(diǎn)的橫坐標(biāo)伸長到原來的2倍（縱坐標(biāo)不變），得到∴，（2）令，則或∵，則有：若，則或；若，無解∴在內(nèi)有2個零點(diǎn)22．定義在上的函數(shù)滿足：對于任意實(shí)數(shù)都有恒成立，且當(dāng)時，．（Ⅰ）判定函數(shù)的單調(diào)性，并加以證明；（Ⅱ）設(shè)，若函數(shù)有三個零點(diǎn)從小到大分別為，求的取值范圍．【答案】（Ⅰ）在上為增函數(shù)；見解析（Ⅱ）【分析】（Ⅰ）根據(jù)函數(shù)的單調(diào)性的定義，結(jié)合抽象函數(shù)的關(guān)系公式進(jìn)行證明即可；（Ⅱ）根據(jù)抽象函數(shù)關(guān)系，由進(jìn)行轉(zhuǎn)化得到，由在上為增函數(shù)，得到 ，利用數(shù)形結(jié)合進(jìn)行得到，，求解.【詳解】（Ⅰ）在上為增函數(shù)，證明：設(shè)，則，則，∵，當(dāng)時，．∴，即，即，所以在上為增函數(shù)；（Ⅱ）由得，又∵，∴，即，∴，由（1）知在上單調(diào)遞增，∴，所以題意等價于與的圖象有三個不同的交點(diǎn)（如下圖），則，且，，，∴，令，設(shè)，則，∵，∴，，，∴，即在上單調(diào)遞增，∴，即，綜上：的取值范圍是【點(diǎn)睛】本題主要考查函數(shù)與方程的應(yīng)用，結(jié)合抽象函數(shù)的關(guān)系，證明函數(shù)單調(diào)性及其應(yīng)用，還考查了數(shù)形結(jié)合，轉(zhuǎn)化化歸的思想方法，屬于難題. 

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