?第2課時(shí)　導(dǎo)數(shù)與函數(shù)的極值、最值

一、教材概念·結(jié)論·性質(zhì)重現(xiàn)
1．函數(shù)的極值與導(dǎo)數(shù)
條件
設(shè)函數(shù)f(x)在x0處可導(dǎo)，且f′(x0)＝0
在點(diǎn)x＝x0附近的左側(cè)f′(x)>0，右側(cè)f′(x)－1時(shí)，y′>0；當(dāng)x0，故ab>a2．綜上所述，ab>a2成立．

根據(jù)函數(shù)極值情況求參數(shù)的2個(gè)要領(lǐng)
(1)列式：根據(jù)極值點(diǎn)處導(dǎo)數(shù)為0和極值這兩個(gè)條件列方程組，利用待定系數(shù)法求解．
(2)驗(yàn)證：求解后驗(yàn)證根的合理性．

1．若函數(shù)f(x)＝(x2＋a)·ex的一個(gè)極值點(diǎn)為x＝1，則f(x)的極大值為(　　)
A．－3　　　　 B．1　　　　
C．　　　　 D．－2e
C　解析： 因?yàn)閒(x)＝(x2＋a)·ex，所以f′(x)＝(x2＋2x＋a)ex．
因?yàn)閤＝1是f(x)的一個(gè)極值點(diǎn)，所以f′(1)＝(a＋3)e＝0，解得a＝－3．
當(dāng)a＝－3時(shí)，f(x)＝(x2－3)·ex，f′(x)＝(x2＋2x－3)ex．
令f′(x)＞0，解得x＞1或x＜－3；
令f′(x)＜0，解得－3＜x＜1，
故f(x)在(－∞，－3)上單調(diào)遞增，在(－3,1)上單調(diào)遞減，在(1，＋∞)上單調(diào)遞增，
故f(x)的極大值是f(－3)＝．
2．已知函數(shù)f(x)＝x3－ax2－bx＋a2在x＝1處有極值10，則(　　)
A．a(chǎn)＝－4，b＝11
B．a(chǎn)＝3，b＝－3或a＝－4，b＝11
C．a(chǎn)＝－1，b＝5
D．以上都不正確
A　解析：函數(shù)的導(dǎo)數(shù)為f′(x)＝3x2－2ax－b．
因?yàn)楹瘮?shù)f(x)＝x3－ax2－bx＋a2在x＝1處有極值10，
所以f(1)＝10且f′(1)＝0．
即解得或
當(dāng)a＝3，b＝－3時(shí)，f′(x)＝3x2－6x＋3＝3(x－1)2≥0，
此時(shí)函數(shù)單調(diào)遞增，函數(shù)沒有極值，所以不滿足條件．
經(jīng)檢驗(yàn)，當(dāng)a＝－4，b＝11時(shí)，滿足條件．

考點(diǎn)2　利用導(dǎo)數(shù)求函數(shù)的最值——綜合性

(1)函數(shù)f(x)＝xln x－x在上的最小值為(　　)
A．－ B．－1
C．0 D．2ln 2－2
B　解析：f(x)＝xln x－x，x∈，f′(x)＝ln x，
令f′(x)＞0，解得x＞1，
令f′(x)＜0，解得x＜1，
故f(x)在上單調(diào)遞減，在(1,2]上單調(diào)遞增，故f(x)min＝f(1)＝－1．
(2)(2021·新高考全國(guó)Ⅰ卷)函數(shù)f(x)＝－2ln x的最小值為________．
1　解析：由題設(shè)知f(x)＝|2x－1|－2ln x的定義域?yàn)?0，＋∞)，
所以當(dāng)00，此時(shí)f(x)單調(diào)遞增．
又f(x)在各分段的界點(diǎn)處連續(xù)，
綜上，當(dāng)01時(shí)，f(x)單調(diào)遞增，
所以f(x)≥f(1)＝1．

本例(1)若把函數(shù)改為：f(x)＝xln x，求函數(shù)f(x)在上的最大值．
解：f(x)＝xln x的定義域?yàn)?0，＋∞)，f′(x)＝ln x＋1．令f′(x)>0，得x>，
所以f(x)在上單調(diào)遞增，
所以f(x)在上單調(diào)遞增，
所以f(x)max＝f(2)＝2ln 2．

求最值的3種情況
(1)若函數(shù)f(x)在區(qū)間[a，b]上單調(diào)遞增或單調(diào)遞減，f(a)與f(b)中有一個(gè)為最大值，另一個(gè)為最小值．
(2)若函數(shù)f(x)在閉區(qū)間[a，b]內(nèi)有極值，要先求出[a，b]上的極值，與f(a)，f(b)比較，最大的是最大值，最小的是最小值，可列表完成．
(3)函數(shù)f(x)在區(qū)間(a，b)上有唯一一個(gè)極值點(diǎn)，這個(gè)極值點(diǎn)就是最大(或最小)值點(diǎn)．

1．(2021·天河區(qū)期末)函數(shù)f(x)＝x3－4x＋3在[0,3]上的最小值為(　　)
A．－ B．－ C．0 D．3
A　解析：f′(x)＝x2－4，
由f′(x)＞0，得x＞2或x＜－2，
由f′(x)＜0，得－2＜x＜2．
又x∈[0,3]，所以f(x)在[0,2)上單調(diào)遞減，在[2,3]上單調(diào)遞增，
所以f(x)min＝f(2)＝－8＋3＝－．
2．(2021·北京卷)已知函數(shù)f(x)＝．
(1)若a＝0，求y＝f(x)在(1，f(1))處的切線方程；
(2)若函數(shù)f(x)在x＝－1處取得極值，求f(x)的單調(diào)區(qū)間，以及最大值和最小值．
解：(1)當(dāng)a＝0時(shí)，f(x)＝，則f′(x)＝，所以f(1)＝1，f′(1)＝－4，
因此，曲線y＝f(x)在點(diǎn)(1，f(1))處的切線方程為y－1＝－4(x－1)，即4x＋y－5＝0．
(2)因?yàn)閒(x)＝，則f′(x)＝＝．
由題意可得f′(－1)＝＝0，解得a＝4，經(jīng)檢驗(yàn)，符合題意．
故f(x)＝，f′(x)＝．
列表如下：
x
(－∞，－1)
－1
(－1,4)
4
(4，＋∞)
f′(x)
＋
0
－
0
＋
f(x)
單調(diào)遞增
極大值
單調(diào)遞減
極小值
單調(diào)遞增
所以，函數(shù)f(x)的單調(diào)遞增區(qū)間為(－∞，－1)，(4，＋∞)，單調(diào)遞減區(qū)間為(－1,4)．
當(dāng)x0；當(dāng)x>時(shí)，f(x)0，所以y＝f′(x)的零點(diǎn)就是g(x)＝－ax2＋(2a－b)x＋b－c的零點(diǎn)，且f′(x)與g(x)符號(hào)相同．又因?yàn)閍>0，所以當(dāng)－30；
當(dāng)x0時(shí)，g(x)0)．
由于f(x)在x＝1處有極值，
則即
解得a＝，b＝－1．
(2)由(1)可知f(x)＝x2－ln x，其定義域是(0，＋∞)，f′(x)＝x－＝．
令f′(x)＝0，而x>0，解得x＝1．
由f′(x)0，則f(2)>f ，所以f(x)max＝f(2)＝2－ln 2．
所以函數(shù)f(x)在區(qū)間上的最大值為2－ln 2，最小值為．

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