1．某市3月1日至3月10日的最低氣溫(單位：℃)的情況繪制的折線統(tǒng)計圖如圖所示．由圖可知，這10天最低氣溫的第80百分位數(shù)是( )
A．－2 B．0
C．1 D．2
D 解析：由折線圖可知，這10天的最低氣溫按照從小到大排列為－3，－2，－1，－1,0,0,1,2,2,2．因為共有10個數(shù)據(jù)，所以10×80%＝8，是整數(shù)，則這10天最低氣溫的第80百分位數(shù)是eq \f(2＋2,2)＝2．
2．PM2.5是衡量空氣質(zhì)量的重要指標，我國采用世衛(wèi)組織的最寬值限定值，即PM2.5日均值在35 μg/m3以下空氣質(zhì)量為一級，在35～75 μg/m3空氣質(zhì)量為二級，超過75 μg/m3為超標．如圖是某地12月1日至10日的PM2.5(單位：μg/m3)的日均值，則下列說法正確的是( )
A．這10天中有2天空氣質(zhì)量為一級
B．從6日到9日PM2.5日均值逐漸降低
C．這10天中PM2.5日均值的中位數(shù)是55
D．這10天中PM2.5日均值的平均數(shù)是45
B 解析：對于A選項，由圖可知，這10天中有3天空氣質(zhì)量為一級，A選項錯誤．
對于B選項，由圖可知，從6日到9日PM2.5日均值逐漸降低，B選項正確．
對于C選項，這10天中PM2.5日均值的中位數(shù)是eq \f(41＋45,2)＝43，C選項錯誤．
對于D選項，這10天中PM2.5日均值的平均數(shù)是eq \f(30＋41＋32＋34＋40＋80＋78＋60＋45＋48,10)＝48.8，D選項錯誤．
3．已知一組數(shù)據(jù)x1，x2，…，xn的平均數(shù)為a，標準差為s．若2x1－1,2x2－1，…，2xn－1的平均數(shù)與方差相等，則s2－a2的最大值為( )
A．－1 B．－eq \f(1,2)
C．－eq \f(1,4) D．－eq \f(3,16)
C 解析：由已知條件可得，2a－1＝4s2，整理可得s2＝eq \f(1,2)a－eq \f(1,4)，又s2≥0，所以eq \f(1,2)a－eq \f(1,4)≥0，a≥eq \f(1,2)，
所以s2－a2＝－a2＋eq \f(1,2)a－eq \f(1,4)＝－eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(a－\f(1,4)))eq \s\UP12(2)－eq \f(3,16)，圖象開口向下，對稱軸為a＝eq \f(1,4)，
所以函數(shù)在eq \b\lc\[\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(1,2)，＋∞))上單調(diào)遞減，故當a＝eq \f(1,2)時，s2－a2取得最大值為－eq \f(1,4)．
4．為了解學生的身體狀況，某校隨機抽取了一批學生測量體重．經(jīng)統(tǒng)計，這批學生的體重數(shù)據(jù)(單位：千克)全部介于45至70之間．將數(shù)據(jù)分成5組，并得到如圖所示的頻率分布直方圖．圖中a的值為( )
A．0.04 B．0.2
C．0.03 D．0.05
A 解：根據(jù)頻率分布直方圖可得，(0.01＋0.02＋a＋0.06＋0.07)×5＝1，所以a＝0.04．故選A．
5．甲組數(shù)據(jù)為5,12,16,21,25,37，乙組數(shù)據(jù)為1,6,14,18,38,39，則甲、乙的平均數(shù)、極差及中位數(shù)相同的是( )
A．極差 B．平均數(shù)
C．中位數(shù) D．都不相同
B 解析：甲的極差為37－5＝32，乙的極差為39－1＝38，甲的中位數(shù)為eq \f(16＋21,2)＝18.5，乙的中位數(shù)為eq \f(14＋18,2)＝16，eq \x\t(x)甲＝eq \f(5＋12＋16＋21＋25＋37,6)＝eq \f(58,3)，eq \x\t(x)乙＝eq \f(1＋6＋14＋18＋38＋39,6)＝eq \f(58,3)，所以甲、乙的平均數(shù)相同．故選B．
6．若樣本數(shù)據(jù)x1，x2，…，x10標準差為8，則數(shù)據(jù)2x1－1,2x2－1，…，2x10－1的標準差為( )
A．8 B．64
C．32 D．16
D 解析：設(shè)樣本數(shù)據(jù)x1，x2，…，x10標準差為eq \r(s2)，則eq \r(s2)＝8，即方差s2＝64，
數(shù)據(jù)2x1－1,2x2－1，…，2x10－1的方差為s2＝22s2＝22×64＝256，
所以數(shù)據(jù)2x1－1,2x2－1，…，2x10－1的標準差為eq \r(256)＝16．
7．某校女子籃球隊7名運動員身高(單位：cm)的數(shù)據(jù)分別為171,172,17x,174,175,180,181．已知記錄的平均身高為175 cm，但記錄中有一名運動員身高的末位數(shù)字不清晰．如果把其末位數(shù)字記為x，那么x的值為________．
2 解析：170＋eq \f(1,7)×(1＋2＋x＋4＋5＋10＋11)＝175，eq \f(1,7)×(33＋x)＝5，即33＋x＝35，解得x＝2．
8．一組樣本數(shù)據(jù)的頻率分布直方圖如圖所示，估計此樣本數(shù)據(jù)的第50百分位數(shù)為________．
eq \f(100,9) 解析：樣本數(shù)據(jù)低于10的比例為(0.08＋0.02)×4＝0.40，樣本數(shù)據(jù)低于14的比例為0.4＋0.09×4＝0.40＋0.36＝0.76，所以此樣本數(shù)據(jù)的第50百分位數(shù)在[10,14]內(nèi)，估計此樣本數(shù)據(jù)的第50百分位數(shù)為10＋eq \f(0.1,0.36)×4＝eq \f(100,9)．
9．某游樂園為了吸引游客，推出了A，B兩款不同的年票，游樂園每次進園門票原價為100元．A年票前12次進園門票每次費用為原價，從第13次起，每次費用為原價的一半，A年票不需交開卡工本費．B年票每次進園門票為原價的9.5折，B年票需交開卡工本費a元(a∈N)．已知某市民每年至少去該游樂園11次，最多不超過14次．該市民多年來年進園記錄如表：
(1)估計該市民年進園次數(shù)的眾數(shù)；
(2)若該市民使用A年票，求該市民在進園門票上年花費的平均數(shù)；
(3)從該市民在進園門票上年花費的平均數(shù)來看，若選擇A年票比選擇B年票更優(yōu)惠，求a的最小值．
解：(1)由頻率分布表知，該市民年進園次數(shù)的頻率最大是0.40，對應的次數(shù)是12，所以估計該市民進園次數(shù)的眾數(shù)為12．
(2)該市民使用A年票時，在進園門票上年花費的平均數(shù)為eq \x\t(x)A＝11×100×0.15＋12×100×0.40＋(12×100＋50)×0.10＋(12×100＋100)×0.35＝1 225．
(3)該市民使用B年票時，在進園門票上年花費的平均數(shù)為eq \x\t(x)B＝(11×0.15＋12×0.40＋13×0.10＋14×0.35)×95＋a＝1 201.75＋a，
因為eq \x\t(x)A3，矛盾，故每天新增感染人數(shù)不超過5，符合條件，C正確；
對于D選項，若眾數(shù)等于1且極差小于或等于4，則最大值不超過5，符合指標．
12．袁隆平是中國雜交水稻事業(yè)的開創(chuàng)者，是“當代神農(nóng)”，致力于雜交水稻技術(shù)的研究、應用與推廣，為人類運用科技手段戰(zhàn)勝饑餓帶來了綠色的希望和金色的收獲．袁老的科研團隊發(fā)現(xiàn)“野敗”后，將其帶回實驗，在試驗田中隨機抽取了100株水稻統(tǒng)計每株水稻的稻穗數(shù)(單位：顆)得到如圖所示的頻率分布直方圖(同一組中的數(shù)據(jù)用該組區(qū)間的中點值代表)，則下列說法錯誤的是( )
A．a(chǎn)＝0.01
B．這100株水稻的稻穗數(shù)平均值在區(qū)間[280,300)中
C．這100株水稻的稻穗數(shù)的眾數(shù)是250
D．這100株水稻的稻穗數(shù)的中位數(shù)在區(qū)間[240,260)中
B 解析：根據(jù)頻率分布直方圖知：組距為20，所以a＝eq \f(1,20)－0.0175－0.0075×2－0.005－0.0025＝0.01，故A選項正確．
這100株水稻的稻穗數(shù)平均值eq \x\t(x)＝20×(0.005×210＋0.0075×230＋0.0175×250＋0.01×270＋0.0075×290＋0.0025×310)＝256，可知這100株水稻的稻穗數(shù)平均值在區(qū)間[240,260)中，故B選項錯誤．
由頻率分布直方圖知第三個矩形最高，所以這100株水稻的稻穗數(shù)的眾數(shù)是250，故C選項正確．
前兩個矩形的面積是0.250.5，所以中位數(shù)在第三組數(shù)據(jù)中，即這100株水稻的稻穗數(shù)的中位數(shù)在區(qū)間[240,260)中，故D選項正確．故選B．
13．(2022·邵陽模擬)已知某旅游城市2020年前10個月的游客人數(shù)(萬人)按從小到大的順序排列如下：3,5,6,9，x，y,15,17,18,21．若該組數(shù)據(jù)的中位數(shù)為13，則該組數(shù)據(jù)的平均數(shù)為( )
A．12 B．10.7
C．13 D．15
A 解析：因為該組數(shù)據(jù)的中位數(shù)為13，
所以eq \f(x＋y,2)＝13，所以x＋y＝26，
則該組數(shù)據(jù)的平均數(shù)為
eq \f(1,10)(3＋5＋6＋9＋x＋y＋15＋17＋18＋21)＝12．
14．如圖是某工廠對一批新產(chǎn)品長度(單位：mm)檢測結(jié)果的頻率分布直方圖，估計這批產(chǎn)品的平均長度為________ mm．
22.75 解析：由圖可知，平均長度為12.5×0.02×5＋17.5×0.04×5＋22.5×0.08×5＋27.5×0.03×5＋32.5×0.03×5＝22.75(mm)．
15．某校從參加高一物理期末考試的學生中隨機抽出60名，將其物理成績(均為整數(shù))分成六組：[40,50)，[50,60)，…，[90,100]，并繪制成如下的頻率分布直方圖．由此估計此次高一物理期末考試成績的第75百分位數(shù)為________．
82 解析：高一物理期末考試成績的第75百分位數(shù)，即成績從低到高的第60×75%＝45名同學．
因為前4組的小長方形的面積和為0.01＋0.015×2＋0.03＝0.07，
樣本量為60，
所以前4組的小長方形對應的學生人數(shù)為60×0.07×10＝42．
因為前5組的小矩形的面積和為0.01＋0.015×2＋0.03＋0.025＝0.095，
又因為樣本量為60，
所以前5組的小矩形對應的學生人數(shù)為60×0.095×10＝57．
因為分數(shù)在[80,90)的人數(shù)為0.025×10×60＝15，
所以此次高一物理期末考試成績的第75百分位數(shù)為80＋10×eq \f(45－42,15)＝82．
16．用分層隨機抽樣的方法從某校高一年級學生的數(shù)學期末成績(滿分為100分，成績都是整數(shù))中抽取一個樣本量為100的樣本，其中男生成績數(shù)據(jù)40個，女生成績數(shù)據(jù)60個，再將40個男生成績樣本數(shù)據(jù)分為6組：[40,50)，[50,60)，[60,70)，[70,80)，[80,90)，[90,100]，繪制得到如圖所示的頻率分布直方圖．
(1)估計男生成績樣本數(shù)據(jù)的第80百分位數(shù)；
(2)在區(qū)間[40,50)和[90,100]內(nèi)的兩組男生成績樣本數(shù)據(jù)中，隨機抽取兩個進行調(diào)查，求調(diào)查對象來自不同分組的概率；
(3)已知男生成績樣本數(shù)據(jù)的平均數(shù)和方差分別為71和187.75，女生成績樣本數(shù)據(jù)的平均數(shù)和方差分別為73.5和119，求總樣本的平均數(shù)和方差．
解：(1)由頻率分布直方圖可知，在[40,80)內(nèi)的成績占比為70%，在[40,90)內(nèi)的成績占比為95%，因此第80百分位數(shù)一定位于[80,90)內(nèi)．
因為80＋10×eq \f(0.8－0.7,0.95－0.7)＝84，
所以估計男生成績樣本數(shù)據(jù)的第80百分位數(shù)為84．
(2)在區(qū)間[40,50)和[90,100]內(nèi)的男生成績樣本數(shù)據(jù)分別有4個和2個，則在這6個數(shù)據(jù)中隨機抽取兩個的樣本空間Ω包含的樣本點個數(shù)為n(Ω)＝15．
記事件A＝“調(diào)查對象來自不同分組”，
則事件A包含的樣本點個數(shù)為n(A)＝4×2＝8，
所以P(A)＝eq \f(n(A),n(Ω))＝eq \f(8,15)．
(3)設(shè)男生成績樣本數(shù)據(jù)為x1，x2，…，x40，其平均數(shù)為eq \x\t(x)＝71，方差為seq \\al(2,x)＝187.75，
女生成績樣本數(shù)據(jù)為y1，y2，…，y60，其平均數(shù)為eq \x\t(y)＝73.5，方差為seq \\al(2,y)＝119，
總樣本的平均數(shù)為eq \x\t(z)，方差為s2．
由按比例分配分層隨機抽樣總樣本平均數(shù)與各層樣本平均數(shù)的關(guān)系，
得eq \x\t(z)＝eq \f(40,100)eq \x\t(x)＋eq \f(60,100)eq \x\t(y)＝72.5，
s2＝eq \f(1,100){40[seq \\al(2,x)＋(eq \x\t(x)－eq \x\t(z))2]＋60[seq \\al(2,y)＋(eq \x\t(y)－eq \x\t(z))2]}
＝eq \f(1,100){40[187.75＋(71－72.5)2]＋60[119＋(73.5－72.5)2]}
＝148．
所以總樣本的平均數(shù)和方差分別為72.5和148．
年進園次數(shù)
11
12
13
14
頻率
0.15
0.40
0.10
0.35
質(zhì)量指標值m
m＜85
85≤m＜105
m≥105
等級
三等品
二等品
一等品

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