2023年山東省淄博市高青縣中考數(shù)學(xué)二模試卷一、選擇題（本大題共10小題，共40.0分。在每小題列出的選項(xiàng)中，選出符合題目的一項(xiàng)）1.  如圖幾何體的三視圖是(    )
 A.  B.
C.  D. 2.  如圖，一個(gè)含有角的直角三角尺的兩個(gè)頂點(diǎn)放在直尺的對(duì)邊上如果，那么的度數(shù)是(    )
 
 
 A.  B.  C.  D. 3.  如圖，放在水平桌面上，已調(diào)節(jié)平衡的天平左、右兩個(gè)盤里，分別放入甲、乙兩個(gè)實(shí)心正方體，天平仍然保持平衡，下列比較甲、乙的質(zhì)量和，密度和大小關(guān)系正確的是(    )
A.  B.  C.  D. 4.  某男子足球隊(duì)隊(duì)員的年齡分布如圖所示，這些隊(duì)員年齡的眾數(shù)和中位數(shù)是(    )
A. 歲和歲 B. 歲和歲 C. 歲和歲 D. 歲和歲5.  若的整數(shù)部分為，則的算術(shù)平方根的值最接近整數(shù)(    )A.  B.  C.  D. 6.  主持人在舞臺(tái)上主持節(jié)目時(shí)，站在黃金分割點(diǎn)上，觀眾看上去感覺最好若舞臺(tái)長(zhǎng)米，主持人從舞臺(tái)一側(cè)進(jìn)入，設(shè)他至少走米時(shí)恰好站在舞臺(tái)的黃金分割點(diǎn)上長(zhǎng)為，則滿足的方程是(    )A.  B.  C.  D. 以上都不對(duì)7.  已知，關(guān)于的一元二次方程的解為，，則下列結(jié)論正確的是(    )A.  B.
C.  D. 8.  如圖，在由邊長(zhǎng)為的小正方形組成的網(wǎng)格圖中，一段圓弧經(jīng)過(guò)格點(diǎn)，，，的延長(zhǎng)線經(jīng)過(guò)格點(diǎn)，則的長(zhǎng)為(    )A.
B.
C.
D. 9.  如圖，在中，，是的中點(diǎn)，，，則等于(    )
 A.  B.  C.  D. 10.  如圖，正方形的頂點(diǎn)在軸上，點(diǎn)，點(diǎn)在反比例函數(shù)圖象上．若直線的函數(shù)表達(dá)式為，則反比例函數(shù)表達(dá)式為(    )A.
B.
C.
D. 二、填空題（本大題共5小題，共20.0分）11.  如圖，在長(zhǎng)為米，寬為米的長(zhǎng)方形地塊上，有縱橫交錯(cuò)的幾條小路，寬均為米，其它部分均種植花草，則種植花草的面積        平方米．
12.  定義一種新運(yùn)算：對(duì)于任意非零實(shí)數(shù)，，，若，則的值為        ．13.  公元世紀(jì)初，中國(guó)古代數(shù)學(xué)家趙爽注周髀算經(jīng)時(shí)，創(chuàng)造了“趙爽弦圖”如圖，設(shè)勾，弦，則小正方形的面積是______．

 14.  邊長(zhǎng)為的正方形的頂點(diǎn)在軸的正半軸上，如圖將正方形繞頂點(diǎn)順時(shí)針旋轉(zhuǎn)得正方形，使點(diǎn)恰好落在函數(shù)的圖象上，則的值為______．
 15.  如圖，點(diǎn)為等邊三角形外一點(diǎn)，連接、且，過(guò)點(diǎn)作分別交、于點(diǎn)、，若，，則線段的長(zhǎng)______．
 三、解答題（本大題共8小題，共90.0分。解答應(yīng)寫出文字說(shuō)明，證明過(guò)程或演算步驟）16.  本小題分
解不等式組，并求它的整數(shù)解．17.  本小題分
如圖，在中，，，點(diǎn)是線段上任意一點(diǎn)，連接，作，交線段于點(diǎn)．
若，求的度數(shù)；
若，求證：≌．
18.  本小題分
如圖，一次函數(shù)的圖象與反比例函數(shù)的圖象交于點(diǎn)和，點(diǎn)的縱坐標(biāo)是，點(diǎn)在軸上，且點(diǎn)的橫坐標(biāo)是．
求一次函數(shù)和反比例函數(shù)的解析式；
根據(jù)圖象直接寫出當(dāng)時(shí)，的取值范圍；
求的面積．
19.  本小題分
春季開學(xué)后，某校為了讓學(xué)生有效應(yīng)用壓歲錢，開展有意義的“尊老、敬老”慈善捐款活動(dòng)，將捐款捐贈(zèng)給本市敬老院學(xué)生會(huì)為了了解學(xué)生捐款的情況，隨機(jī)調(diào)查了該校部分學(xué)生，根據(jù)調(diào)查結(jié)果，繪制了兩幅不完整的統(tǒng)計(jì)圖請(qǐng)根據(jù)相關(guān)信息，解答下列問題：

本次調(diào)查的學(xué)生人數(shù)為        人，在扇形統(tǒng)計(jì)圖中，捐款金額為元所在扇形的圓心角的度數(shù)是        度，在調(diào)查的這組學(xué)生中，捐款金額的中位數(shù)是        元；
補(bǔ)全條形統(tǒng)計(jì)圖；
學(xué)生會(huì)為了更好地引導(dǎo)學(xué)生合理支配壓歲錢，選出甲，乙，丙和丁四人從不同的方面在全校進(jìn)行講解，但由于時(shí)間的限定，臨時(shí)調(diào)整只能兩人講解因此，學(xué)生會(huì)采用隨機(jī)抽簽的方式從甲，乙，丙和丁四人中確定兩名講解人選請(qǐng)用列表或畫樹狀圖的方式說(shuō)明抽中甲和乙的概率是多少？20.  本小題分
某汽車網(wǎng)站對(duì)兩款價(jià)格相同，續(xù)航里程相同的汽車做了一次評(píng)測(cè)，一款為燃油車，另一款為純電新能源車得到相關(guān)數(shù)據(jù)如下： 燃油車純電新能源車油箱容積：升電池容量：千瓦時(shí)油價(jià)：元升電價(jià)：元千瓦時(shí)設(shè)兩款車的續(xù)航里程均為千米，請(qǐng)用含的代數(shù)式表示燃油車和純電新能源車的每千米行駛費(fèi)用；
若燃油車每千米行駛費(fèi)用比純電新能源車多元．
請(qǐng)分別求出這兩款車的每千米行駛費(fèi)用；
若燃油車和純電新能源車每年的其它費(fèi)用分別為元和元問：每年行駛里程超過(guò)多少千米時(shí)，新能源車的年費(fèi)用更低？年費(fèi)用年行駛費(fèi)用年其它費(fèi)用
 21.  本小題分
綜合與探究
問題提出：某興趣小組在綜合與實(shí)踐活動(dòng)中提出這樣一個(gè)問題：在等腰直角三角板中，，，為的中點(diǎn)，用兩根小木棒構(gòu)建角，將頂點(diǎn)放置于點(diǎn)上，得到，將繞點(diǎn)旋轉(zhuǎn)，射線，分別與邊，交于，兩點(diǎn)，如圖所示．

操作發(fā)現(xiàn)：如圖，當(dāng)，分別是，的中點(diǎn)時(shí)，試猜想線段與的數(shù)量關(guān)系是        ；
類比探究：如圖，當(dāng)，不是，的中點(diǎn)，但滿足時(shí)，求證≌；
拓展應(yīng)用：如圖，將兩根小木棒構(gòu)建的角，放置于邊長(zhǎng)為的正方形紙板上，頂點(diǎn)和正方形對(duì)角線的中點(diǎn)重合，射線，分別與，交于，兩點(diǎn)，且滿足，請(qǐng)求出四邊形的面積．22.  本小題分
如圖，內(nèi)接于，為的直徑，點(diǎn)是弧的中點(diǎn)，交于，交于，．
求證：是的切線；
求證：；
若，，求的長(zhǎng)．
23.  本小題分
如圖，已知拋物線與軸交于、兩點(diǎn)，與軸交于點(diǎn)，拋物線的對(duì)稱軸為直線，且連接，點(diǎn)是線段上一點(diǎn)不與點(diǎn)、重合，過(guò)點(diǎn)作軸的垂線，交于點(diǎn)，交拋物線于點(diǎn)．
求拋物線的表達(dá)式；
當(dāng)線段最大時(shí)，求點(diǎn)的坐標(biāo)；
連接，以、、為頂點(diǎn)的三角形是否能夠與相似？若能，請(qǐng)求出點(diǎn)的坐標(biāo)；若不能，請(qǐng)說(shuō)明理由．

答案和解析 1.【答案】 【解析】解：該幾何體的三視圖是：

故選：．
根據(jù)三視圖的定義畫出圖形即可．
本題考查了簡(jiǎn)單組合體的三視圖，解題的關(guān)鍵是理解三視圖的定義，屬于中考?？碱}型．
 2.【答案】 【解析】【分析】
本題考查的是平行線的性質(zhì)以及直角三角形的性質(zhì)．本題關(guān)鍵是根據(jù)平行線的性質(zhì)找出圖中角度之間的關(guān)系．
根據(jù)平行線的性質(zhì)即可求解．
【解答】
解：如圖所示，

，
兩直線平行，內(nèi)錯(cuò)角相等，
，
，
，
，
故選：．  3.【答案】 【解析】解：由圖可知，在已調(diào)節(jié)平衡的天平左右兩個(gè)盤里，分別放入甲乙兩個(gè)實(shí)心物體，天平仍然保持平衡，說(shuō)明甲乙兩個(gè)實(shí)心物體質(zhì)量相等，由于甲的體積大于乙的體積，根據(jù)密度公式可知，甲的密度小于乙的密度，即．
故選：．
天平仍然保持平衡，且游碼未移動(dòng)，說(shuō)明甲乙兩個(gè)實(shí)心物體質(zhì)量相等，根據(jù)密度公式，可求甲的密度與乙的密度關(guān)系．
本題考查了不等式的性質(zhì)及認(rèn)識(shí)立體圖形，密度計(jì)算公式的應(yīng)用，掌握公式是解題的關(guān)鍵．
 4.【答案】 【解析】解：根據(jù)圖示可得，歲的隊(duì)員人數(shù)最多，
故眾數(shù)為歲，
根據(jù)圖示可得，共有人數(shù)：人，
故第和名隊(duì)員年齡的平均值為中位數(shù)，
即中位數(shù)為：歲．
故選：．
根據(jù)眾數(shù)和中位數(shù)的概念求解．
本題考查了眾數(shù)和中位數(shù)的知識(shí)，一組數(shù)據(jù)中出現(xiàn)次數(shù)最多的數(shù)據(jù)叫做眾數(shù)；將一組數(shù)據(jù)按照從小到大或從大到小的順序排列，如果數(shù)據(jù)的個(gè)數(shù)是奇數(shù)，則處于中間位置的數(shù)就是這組數(shù)據(jù)的中位數(shù)；如果這組數(shù)據(jù)的個(gè)數(shù)是偶數(shù)，則中間兩個(gè)數(shù)據(jù)的平均數(shù)就是這組數(shù)據(jù)的中位數(shù)．
 5.【答案】 【解析】解：，
，
的整數(shù)部分為，
，
的算術(shù)平方根為，
，
，
，
的值最接近整數(shù)，
故選：．
先估算出的值的范圍，從而求出的值，然后再估算出的值的范圍，即可解答．
本題考查了估算無(wú)理數(shù)的大小，熟練掌握完全平方數(shù)是解題的關(guān)鍵．
 6.【答案】 【解析】解：由題意知，點(diǎn)是的黃金分割點(diǎn)，且，米，則米，
，
，
故選：．
點(diǎn)是的黃金分割點(diǎn)，且，米，則米，即可求解．
本題考查了黃金分割，理解黃金分割的概念，找出黃金分割中成比例的對(duì)應(yīng)線段是解決問題的關(guān)鍵．
 7.【答案】 【解析】解：二次函數(shù)的圖象如圖所示：
它與軸的交點(diǎn)坐標(biāo)為，，
關(guān)于的一元二次方程的解為，，可以看作是直線與二次函數(shù)交點(diǎn)的橫坐標(biāo)，
由圖象可知，；
，
故選：．
可以將關(guān)于的方程的解為，看作直線與二次函數(shù)交點(diǎn)的橫坐標(biāo)，而與軸交點(diǎn)坐標(biāo)可以通過(guò)二次函數(shù)的關(guān)系式求得，結(jié)合圖象可以求出與的取值范圍，進(jìn)而做出判斷．
本題主要考查了拋物線與軸的交點(diǎn)，根的判別式以及根與系數(shù)的關(guān)系，理清一元二次方程與二次函數(shù)的關(guān)系，將的方程的解為，的問題轉(zhuǎn)化為二次函數(shù)與軸交點(diǎn)的橫坐標(biāo)，借助圖象得出答案．
 8.【答案】 【解析】解：如圖，連接、，取的中點(diǎn)，連接，

，
為直徑，
，，
，
為等腰直角三角形，
，
，
，
的長(zhǎng)為
故選：．
找出圓心，根據(jù)勾股定理即可求出半徑，根據(jù)圖形得出的度數(shù)，根據(jù)弧長(zhǎng)公式求出即可．
本題考查了勾股定理，垂徑定理，弧長(zhǎng)公式的應(yīng)用，主要考查學(xué)生的計(jì)算能力．
 9.【答案】 【解析】解：過(guò)作于，
是的中點(diǎn)，
，
，，，
，
，
，
，
，
令，，
，
，
，
．
故選：．
過(guò)作于，由銳角的正切求出的長(zhǎng)，由勾股定理求出長(zhǎng)，由的正切，勾股定理求出長(zhǎng)，即可求解．
本題考查解直角三角形，關(guān)鍵是通過(guò)作輔助線構(gòu)造直角三角形．
 10.【答案】 【解析】解：在中，令，則，
令，則，
，，
，，
過(guò)作軸于，過(guò)作軸于，
四邊形是正方形，
，，
，
，
在與中，
，
≌，
，，
，，
∽，
，
設(shè)，，
，，
，，
點(diǎn)，點(diǎn)在反比例函數(shù)圖象上，
，
，不合題意舍去，
，
，
反比例函數(shù)表達(dá)式為，
故選：．
解方程求得，，得到，，過(guò)作軸于，過(guò)作軸于，根據(jù)正方形的性質(zhì)得到，，根據(jù)全等三角形的性質(zhì)得到，，根據(jù)相似三角形的性質(zhì)得到，設(shè)，，根據(jù)反比例函數(shù)圖象上點(diǎn)的坐標(biāo)特征即可得到結(jié)論．
本題考查了反比例函數(shù)的綜合題，待定系數(shù)法求反比例函數(shù)的解析式，一次函數(shù)的性質(zhì)，全等三角形的判定和性質(zhì)，正方形的性質(zhì)，相似三角形的判定和性質(zhì)，正確地作出輔助線是解題的關(guān)鍵．
 11.【答案】 【解析】解：根據(jù)題意，小路的面積相當(dāng)于橫向與縱向的兩條小路，
種植花草的面積．
答：種植花草的面積是．
可以根據(jù)平移的性質(zhì)，此小路相當(dāng)于一條橫向長(zhǎng)為米與一條縱向長(zhǎng)為米的小路，種植花草的面積總面積小路的面積小路交叉處的面積，計(jì)算即可．
本題考查了圖形的平移的性質(zhì)，把小路進(jìn)行平移，求出相當(dāng)面積的小路的面積是解題的關(guān)鍵，要注意小路的交叉處算了兩次，這是容易出錯(cuò)的地方．
 12.【答案】 【解析】解：，
，
，
，
，
解得：，
經(jīng)檢驗(yàn)是方程的解，
故答案為：．
根據(jù)新定義可得，由此建立方程，解方程即可得到的值．
本題考查了新定義下的實(shí)數(shù)運(yùn)算，解分式方程，正確理解題意得到關(guān)于的方程是解題關(guān)鍵．
 13.【答案】 【解析】解：勾，弦，
股，
小正方形的邊長(zhǎng)，
小正方形的面積
故答案為．
應(yīng)用勾股定理和正方形的面積公式可求解．
本題運(yùn)用了勾股定理和正方形的面積公式，關(guān)鍵是運(yùn)用了數(shù)形結(jié)合的數(shù)學(xué)思想．
 14.【答案】 【解析】解：連接，
旋轉(zhuǎn)，
軸正半軸與的夾角為，
，
與軸正半軸夾角為，
過(guò)作軸于，
，，
，
，
，
把點(diǎn)坐標(biāo)代入中得：，
解之得：．
根據(jù)題意，求出點(diǎn)坐標(biāo)代入函數(shù)即可解題．
此題主要考查坐標(biāo)轉(zhuǎn)換問題，先給一個(gè)確定的坐標(biāo)再通過(guò)旋轉(zhuǎn)求出旋轉(zhuǎn)以后的坐標(biāo)，問題就解決了．
 15.【答案】 【解析】解：方法一：如圖，過(guò)點(diǎn)作平行線交于點(diǎn)，

，
四邊形是平行四邊形，
，
，
是等邊三角形，
，
，
，
，
，
，
，
在和中，
，
≌，
，
四邊形是菱形，
，
，
，
是等邊三角形，
，
，
，
設(shè)，則，
是等邊三角形，
，
，
，
解得，
，
方法二：如圖，連接交于點(diǎn)，

，
，
設(shè)，則，
是等邊三角形，
，，
，，
是的垂直平分線，
，平分，
，
，
，
，
，
，
，
是等邊三角形，
，
，，
，，
∽，
，
，
解得，舍去，
．
故答案為：．
方法一：如圖，過(guò)點(diǎn)作平行線交于點(diǎn)，可得四邊形是平行四邊形，證明是等邊三角形，，然后證明≌，可得，得四邊形是菱形，所以，由，設(shè)，則，列式可得，進(jìn)而可以解決問題；
方法二：連接交于點(diǎn)，可得是的垂直平分線，設(shè)，則，證明∽，對(duì)應(yīng)邊成比例，列出方程求出的值，進(jìn)而可得的長(zhǎng)．
本題考查了相似三角形的判定與性質(zhì)，勾股定理，等邊三角形的判定與性質(zhì)，線段垂直平分線的性質(zhì)，解決本題的關(guān)鍵是得到∽．
 16.【答案】解：
解不等式，得：，
解不等式，得：，
不等式組的解集是．
原不等式組的整數(shù)解是，，，，． 【解析】先解出每個(gè)不等式的解集，即可得到不等式組的解集，然后寫出相應(yīng)的整數(shù)解即可．
本題考查解一元一次不等式組、一元一次不等式組的整數(shù)解，熟練掌握解一元一次不等式的方法是解答本題的關(guān)鍵．
 17.【答案】解：，，
，
，
，
，，
；
證明：，，
，
，
，
≌． 【解析】直接利用三角形內(nèi)角和定理可求出；然后根據(jù)平角的定義和等腰三角形的性質(zhì)求出和，再根據(jù)三角形內(nèi)角和定理求出即可；
求出，利用即可證明≌．
此題考查了等腰三角形的性質(zhì)，全等三角形的判定，三角形外角的性質(zhì)，三角形內(nèi)角和定理等知識(shí)，涉及到的知識(shí)點(diǎn)較多，綜合性較強(qiáng)，但難度不大，屬于基礎(chǔ)題．
 18.【答案】解：反比例函數(shù)的圖象經(jīng)過(guò)點(diǎn)，
，
反比例函數(shù)的解析式是，
點(diǎn)的縱坐標(biāo)是，且在反比例函數(shù)的圖象上，
，
一次函數(shù)的圖象經(jīng)過(guò)點(diǎn)，，
，
解得，
一次函數(shù)的解析式是；
觀察圖象可得當(dāng)時(shí)，的取值范圍或；
當(dāng)時(shí)，，則，
直線與軸的交點(diǎn)為，

點(diǎn)的橫坐標(biāo)是，
，
的面積． 【解析】利用待定系數(shù)法即可求得；
根據(jù)圖象即可求得；
求得直線與軸的交點(diǎn)，然后根據(jù)三角形面積公式求得即可．
本題考查了反比例函數(shù)與一次函數(shù)的交點(diǎn)問題，考查了待定系數(shù)法求函數(shù)的解析式，函數(shù)與不等式的關(guān)系，三角形面積，熟知待定系數(shù)法是解題的關(guān)鍵．
 19.【答案】     【解析】解：捐款金額為元的有人，所占的百分比為，
這次被調(diào)查的學(xué)生共有：人；
捐款金額為元所在扇形的圓心角的度數(shù)是：；
捐款金額的中位數(shù)是第、兩個(gè)數(shù)，即元；
故答案為：，，；
捐款金額為元對(duì)應(yīng)人數(shù)為：人
捐款金額為元對(duì)應(yīng)人數(shù)為：人；
補(bǔ)全條形統(tǒng)計(jì)圖如圖．

解：畫樹狀圖得：

共有種等可能的情況，恰好選中甲、乙兩位同學(xué)的有種，
選中甲、乙．
由捐款金額為元的有人，所占的百分比為，即可求得這次被調(diào)查的學(xué)生數(shù)；用度乘以捐款金額為元所占的百分比，即可求得所占扇形的圓心角；根據(jù)中位數(shù)的求法可求得捐款金額的中位數(shù)；
首先求得捐款金額為元對(duì)應(yīng)人數(shù)、捐款金額為元對(duì)應(yīng)人數(shù)，即可補(bǔ)全統(tǒng)計(jì)圖；
首先根據(jù)題意畫出樹狀圖，然后由樹狀圖求得所有等可能的結(jié)果與恰好選中甲、乙兩位同學(xué)的情況，再利用概率公式即可求得答案．
本題考查了列表法或樹狀圖法：通過(guò)列表法或樹狀圖法展示所有等可能的結(jié)果求出，再?gòu)闹羞x出符合事件或的結(jié)果數(shù)目，然后根據(jù)概率公式求出事件或的概率．也考查了條形統(tǒng)計(jì)圖與扇形統(tǒng)計(jì)圖的綜合運(yùn)用．
 20.【答案】解：燃油車每千米行駛費(fèi)用為元，純電新能源車每千米行駛費(fèi)用為元，
答：燃油車每千米行駛費(fèi)用為元，純電新能源車每千米行駛費(fèi)用為元；
由題意得：，
解得：，
經(jīng)檢驗(yàn)，是分式方程的解，且符合題意，
元，元，
答：燃油車每千米行駛費(fèi)用為元，純電新能源車每千米行駛費(fèi)用為元；
設(shè)每年行駛里程為千米時(shí)，買新能源車的年費(fèi)用更低，
由題意得：，
解得：，
答：當(dāng)每年行駛里程大于千米時(shí)，買新能源車的年費(fèi)用更低． 【解析】本題考查分式方程的應(yīng)用、列代數(shù)式以及一元一次不等式的應(yīng)用，解題的關(guān)鍵是：正確列出代數(shù)式；找準(zhǔn)等量關(guān)系，正確列出分式方程；找出數(shù)量關(guān)系，正確列出一元一次不等式．
根據(jù)表中的信息，可以表示出燃油車和純電新能源車的每千米行駛費(fèi)用；
根據(jù)燃油車的每千米行駛費(fèi)用比新能源車多元和表中的信息，列出分式方程，解方程，即可解決問題；
設(shè)每年行駛里程為千米時(shí)，由年費(fèi)用年行駛費(fèi)用年其它費(fèi)用，列出一元一次不等式，解不等式即可．
 21.【答案】相等 【解析】解：與的數(shù)量關(guān)系是：相等，理由：
當(dāng)點(diǎn)、、分別是、、的中點(diǎn)時(shí)，
則，且，
同理可得：，
即，
故答案為：相等；

證明：點(diǎn)是的中點(diǎn)，
，，
，
≌；

解：如下圖，連接，

由題意知，點(diǎn)是正方形對(duì)角線的交點(diǎn)，
，，
，
≌，
和面積相等，
則的面積



．
當(dāng)點(diǎn)、、分別是、、的中點(diǎn)時(shí)，則，且，同理可得：，即可求解；
點(diǎn)是的中點(diǎn)，則，，即可求解；
證明≌，則的面積，即可求解．
本題是四邊形綜合題，考查了矩形的性質(zhì)，正方形的性質(zhì)，折疊的性質(zhì)，全等三角形的判定和性質(zhì)，靈活運(yùn)用這些性質(zhì)解決問題是解題的關(guān)鍵．
 22.【答案】證明：是的直徑，
，
點(diǎn)是弧的中點(diǎn)，
，
，
，，
，
，
是的半徑，且，
是的切線．
證明：，
，
，
，
．
解：作于點(diǎn)，
，平分，
，
，，，
，
，
，
，
，
，
，
，
的長(zhǎng)是． 【解析】由是的直徑，得，由，得，由，，得，所以，即可證明是的切線；
由，，得，則；
作于點(diǎn)，則，由勾股定理得，則，可求得，所以，即可由，求得．
此題重點(diǎn)考查等腰三角形的性質(zhì)、圓周角定理、切線的判定、同角的余角相等、勾股定理、角平分線的性質(zhì)、根據(jù)面積等式求線段的長(zhǎng)度等知識(shí)與方法，正確地作出所需要的輔助線是解題的關(guān)鍵．
 23.【答案】解：，
，
，
，
，
拋物線的對(duì)稱軸為直線，點(diǎn)與點(diǎn)關(guān)于直線對(duì)稱，
，
把，，分別代入，
得：，
解得：，
該拋物線的表達(dá)式為；
設(shè)直線的解析式為，把，分別代入得：，
解得：，
直線的解析式為，
設(shè)，且，
則，，
，
，
當(dāng)時(shí)，最大，最大值為，
此時(shí)點(diǎn)的坐標(biāo)為；
以、、為頂點(diǎn)的三角形能夠與相似．理由如下：
設(shè)，且，則，
又，，
，，，，

當(dāng)∽時(shí)，
，
，即，
解得：或或，
，
或均不符合題意，即當(dāng)時(shí)，∽成立，此時(shí)；
當(dāng)∽時(shí)，
，
，即，
解得：或或，
，
或或均不符合題意，即∽不成立；
綜上所述，以、、為頂點(diǎn)的三角形當(dāng)時(shí)與相似，此時(shí)點(diǎn)的坐標(biāo)為． 【解析】根據(jù)題意可得：，，，分別代入，即可求得答案；
利用待定系數(shù)法可得直線的解析式為，設(shè)，且，則，，可得，再運(yùn)用二次函數(shù)性質(zhì)即可得出答案；
以、、為頂點(diǎn)的三角形當(dāng)時(shí)與相似，此時(shí)點(diǎn)的坐標(biāo)為設(shè)，且，則，分兩種情況：當(dāng)∽時(shí)，當(dāng)∽時(shí)，分別利用相似三角形性質(zhì)建立方程求解即可得出答案．
本題是二次函數(shù)綜合題，考查了待定系數(shù)法求函數(shù)解析式，二次函數(shù)的性質(zhì)，相似三角形的判定和性質(zhì)等，解題關(guān)鍵是運(yùn)用分類討論思想和方程思想思考解決問題．
 

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