2023年山東省泰安六中中考數(shù)學(xué)二模試卷一、選擇題（本大題共12小題，共48.0分。在每小題列出的選項中，選出符合題目的一項）1.  下列各數(shù)中為無理數(shù)的是(    )A.  B.  C.  D. 2.  我國年水資源總量約為億立方米，用科學(xué)記數(shù)法表示為(    )A.  B.  C.  D. 3.  如圖是一個由個相同的正方體組成的立體圖形，它的俯視圖是(    )A.
B.
C.
D. 4.  若的運算結(jié)果為整式，則“”中的式子可能為(    )A.  B.  C.  D. 5.  如圖，，若，則的大小為(    )A.
B.
C.
D. 6.  如圖，矩形中，分別以，為圓心，以大于的長為半徑作弧，兩弧相交于，兩點，作直線分別交，于點，，連接，若，，以下結(jié)論錯誤的是(    )A.
B.
C.
D. 7.  如圖，點，，在半徑為的上，，則的值為(    )A.
B.
C.
D. 8.  如圖，在某個滑雪場滑雪，需要從山腳下處乘纜車上山頂處，纜車索道與水平線所成的測得這座山的高度，則纜車索道的長為(    )
A.  B.  C.  D. 9.  如圖，用一個圓心角為的扇形紙片圍成一個底面半徑為，側(cè)面積為的圓錐體，則該扇形的圓心角得大小為(    )A.
B.
C.
D. 10.  如圖，一次函數(shù)的圖象與反比例函數(shù)的圖象交于點，與軸交于點，軸于點，點坐標(biāo)為，則的面積為(    )A.
B.
C.
D. 11.  如圖，在矩形中，，，為中點，是線段上一點，設(shè)，連接并將它繞點順時針旋轉(zhuǎn)得到線段，連接，，則在點從點向點運動的過程中，下列說法錯誤的是(    )A.  B. 點始終在直線上
C. 的面積為 D. 的最小值為12.  如圖，動點在平面直角坐標(biāo)系中按圖中箭頭所示方向運動，第次從原點運動到點，第次接著運動到點，第次接著運動到點，，按這樣的運動規(guī)律，經(jīng)過第次運動后，動點的坐標(biāo)是(    )

 A.  B.  C.  D. 二、填空題（本大題共6小題，共24.0分）13.  已知，，則 ______ ．14.  如圖，和是以點為位似中心的位似圖形．若：：，則與的周長比是______．
 15.  若關(guān)于的方程有增根，則的值為______ ．16.  如圖，等邊三角形的邊長為，以為圓心、長為半徑畫弧，點為等邊三角形內(nèi)一點，連接，，若為等腰直角三角形，圖中陰影部分的面積是______ ．
 17.  如圖，拋物線，與軸正半軸交于，兩點，與軸負(fù)半軸交于點．
；；若點的坐標(biāo)為，且，則；若拋物線的對稱軸是直線，為任意實數(shù)，則．
上述結(jié)論中，正確的是______ ．
 18.  如圖，在中，，，點是邊的中點，點是邊上一個動點，連接，以為邊在的下方作等邊三角形，連接則的最小值是______ ．
 三、解答題（本大題共7小題，共56.0分。解答應(yīng)寫出文字說明，證明過程或演算步驟）19.  本小題分
解不等式組，并求其整數(shù)解：；
先化簡，再求值：，其中．20.  本小題分
某校為落實“雙減”政策，增強課后服務(wù)的豐富性，充分用好課后服務(wù)時間，月份學(xué)校開展數(shù)學(xué)學(xué)科活動，其中七年級開展了五個項目每位學(xué)生只能參加一個項目：閱讀數(shù)學(xué)名著；講述數(shù)學(xué)故事；制作數(shù)學(xué)模型；參與數(shù)學(xué)游戲；挑戰(zhàn)數(shù)學(xué)競賽為了解學(xué)生對以上活動的參與情況，隨機抽取部分學(xué)生進行了調(diào)查統(tǒng)計，并根據(jù)統(tǒng)計結(jié)果，繪制了如圖所示的兩幅不完整的統(tǒng)計圖．

根據(jù)圖中信息，解答下列問題：
此次調(diào)查一共隨機抽取了______ 名學(xué)生；補全條形統(tǒng)計圖要求在條形圖上方注明名數(shù)；扇形統(tǒng)計圖中圓心角 ______ 度；
若該年級有名學(xué)生，請你估計該年級參加項目的學(xué)生大約有多少名；
在項目展示活動中，某班獲得一等獎的學(xué)生有名男生，名女生，則從這名學(xué)生中隨機抽取名學(xué)生代表本班參加學(xué)校制作數(shù)學(xué)模型活動，請直接寫出恰好抽到名男生的概率．21.  本小題分
如圖，一次函數(shù)的圖象與軸和軸分別交于、兩點，與反比例函數(shù)的圖象分別交于、兩點．
動點在線段上不與點、重合，過點作軸和軸的垂線，垂足為、當(dāng)矩形的面積為時，求出點的位置；
在軸上是否存在點，使得以、、為頂點的三角形與相似？若存在，求出點的坐標(biāo)；若不存在，請說明理由．
22.  本小題分
抗擊疫情期間，某商店購進了一種消毒用品，進價為每件元，銷售過程中發(fā)現(xiàn)，該商品每天的銷售量件與每件售價元之間存在一次函數(shù)關(guān)系其中，且為整數(shù)，部分對應(yīng)值如下表： 每件售價元每天的銷售量件求與的函數(shù)關(guān)系式．
若該商店銷售這種消毒用品每天獲得元的利潤，則每件消毒用品的售價為多少元．
設(shè)該商店銷售這種消毒用品每天獲利元，問：當(dāng)每件消毒用品的售價為多少元時，每天的銷售利潤最大？最大利潤是多少元？23.  本小題分
如圖，為的內(nèi)接三角形，為的內(nèi)心，交于，交于．
若，，求的長度；
若，求的長度．
24.  本小題分
在平面直角坐標(biāo)系中，拋物線與軸交于點，點，與軸交于點，點在拋物線上，點是拋物線上的動點．

求拋物線的解析式；
如圖，連接，若平分，求點的坐標(biāo)；
如圖，連接，拋物線的對稱軸交于點，連接，點在軸右側(cè)的拋物線上，若，求點的坐標(biāo)．25.  本小題分
【基礎(chǔ)鞏固】
如圖，在中，，，求證：．
【嘗試應(yīng)用】
如圖，在中，，為邊上一點，，求的長．
【嘗試應(yīng)用】
如圖，四邊形為矩形，連接，將矩形繞點旋轉(zhuǎn)至矩形，使得邊經(jīng)過點，交于點，若，，求的值．


答案和解析 1.【答案】 【解析】解：、是有理數(shù)，不符合題意；
B、是有理數(shù)，不符合題意；
C、是無理數(shù)，符合題意；
D、是有理數(shù)，不符合題意；
故選：．
根據(jù)無理數(shù)定義：無限不循環(huán)小數(shù)是無理數(shù)進行判斷即可．
本題考查無理數(shù)的識別．熟練掌握無理數(shù)的定義是解題的關(guān)鍵．
 2.【答案】 【解析】解：．
故選：．
根據(jù)科學(xué)記數(shù)法的表示方法，進行表示即可．
本題考查科學(xué)記數(shù)法．熟練掌握科學(xué)記數(shù)法的表示方法：，，為整數(shù)是解題的關(guān)鍵．
 3.【答案】 【解析】解：根據(jù)俯視圖的定義，從上往下看，符合題意．
故選：．
根據(jù)三視圖的定義解決此題．
本題主要考查三視圖，熟練掌握三視圖的定義是解決本題的關(guān)鍵．
 4.【答案】 【解析】解：，是分式，不是整式，故本選項不符合題意；
B.，是分式，不是整式，故本選項不符合題意；
C.，是整式，故本選項符合題意；
D.，是分式，不是整式，故本選項不符合題意；
故選：．
先代入，再根據(jù)分式的運算法則進行計算，最后根據(jù)求出的結(jié)果得出選項即可．
本題考查了分式的混合運算和整式，能正確根據(jù)分式的運算法則進行計算是解此題的關(guān)鍵．
 5.【答案】 【解析】解：，，
，
，
，
，
故選：．
根據(jù)兩直線平行，內(nèi)錯角相等分別求出、，再根據(jù)平角的概念計算即可．
本題考查的是平行線的判定和性質(zhì)，掌握平行線的性質(zhì)是解題的關(guān)鍵．
 6.【答案】 【解析】解：四邊形是矩形，
，，
，
根據(jù)作圖過程可知：
是的垂直平分線，
，故A選項正確，不符合題意；
，
，故B選項正確，不符合題意；

是的垂直平分線，
，，
在和中，
，
≌，
，
，
，
在中，根據(jù)勾股定理，得
，故C選項正確，不符合題意；
，
，故D選項錯誤，符合題意，
故選：．
根據(jù)作圖過程可得，是的垂直平分線，再由矩形的性質(zhì)可以證明≌，可得，再根據(jù)勾股定理可得的長，進而可以解決問題．
本題考查了作圖基本作圖、線段垂直平分線的性質(zhì)、矩形的性質(zhì)，解決本題的關(guān)鍵是掌握基本作圖方法．
 7.【答案】 【解析】解：如圖所示，

作直徑，連接，
，
，，
，
，
，
，
故選：．
作直徑，連接，勾股定理求得，根據(jù)同弧所對的圓周角相等得出，進而根據(jù)余弦的定義即可求解．
本題考查了求余弦，直徑所對的圓周角是直角，勾股定理，同弧所對的圓周角相等，熟練掌握以上知識是解題的關(guān)鍵．
 8.【答案】 【解析】解：在中，
，
．
故選：．
在中利用“”可得結(jié)論．
本題考查了解直角三角形的應(yīng)用，掌握直角三角形的邊角間關(guān)系是解決本題的關(guān)鍵．
 9.【答案】 【解析】解：設(shè)圓錐的母線長為，
，
，
，
，
，
故選：．
根據(jù)圓錐側(cè)面積計算公式進行求解即可．
本題主要考查了求圓錐側(cè)面展開圖的扇形圓心角度數(shù)，熟知圓錐側(cè)面積公式和弧長公式是解題的關(guān)鍵．
 10.【答案】 【解析】解：軸，，
，代入中，
，即，
的面積為，
故選：．
根據(jù)軸，求出點的橫坐標(biāo)，代入一次函數(shù)表達式中求出點縱坐標(biāo)，再利用三角形面積公式計算．
本題考查了一次函數(shù)和反比例函數(shù)的交點問題，三角形面積，根據(jù)函數(shù)表達式求出相應(yīng)點的坐標(biāo)是解題的關(guān)鍵．
 11.【答案】 【解析】解：如圖，過點作于，
，
點在線段上，
為中點，
，
將繞順時針旋轉(zhuǎn)得到線段，
，，
，，
，
在和中，
，
≌，
，，
，
，
，故選項A不合題意，
，
，
點在直線上，故選項B不合題意；
，
，故選項C不合題意；
點在上移動，
當(dāng)時，有最小值，
，，
，
，
，
的最小值為，故選項D符合題意，
故選：．
由“”可證≌，可得，，可求，可求，可判斷選項，由等腰直角三角形的性質(zhì)可得，可得點在直線上，可判斷選項，由三角形的面積關(guān)系可求，可判斷選項，當(dāng)時，有最小值，由等腰直角三角形的性質(zhì)可求的最小值為，可判斷選項，即可求解．
本題是四邊形綜合題，考查了旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)，矩形的性質(zhì)，全等三角形的判定和性質(zhì)，等腰直角三角形的性質(zhì)等知識，添加恰當(dāng)輔助線構(gòu)造全等三角形是解題的關(guān)鍵．
 12.【答案】 【解析】解：根據(jù)動點在平面直角坐標(biāo)系中按圖中箭頭所示方向運動，第次從原點運動到點，第次接著運動到點，第次接著運動到點，
第次運動到點，第次接著運動到點，，
橫坐標(biāo)為運動次數(shù)，經(jīng)過第次運動后，動點的橫坐標(biāo)是，
縱坐標(biāo)依次為，，，，每次一輪，
經(jīng)過第次運動后，動點的縱坐標(biāo)為：余，
縱坐標(biāo)為四個數(shù)中的第個，是，
經(jīng)過第次運動后，動點的坐標(biāo)為：；
故選：．
根據(jù)圖象可得出：橫坐標(biāo)為運動次數(shù)，縱坐標(biāo)依次為，，，，每次一輪，進而即可求出答案．
此題主要考查了點的坐標(biāo)規(guī)律，培養(yǎng)學(xué)生觀察和歸納能力，從所給的數(shù)據(jù)和圖形中尋求規(guī)律進行解題是解答本題的關(guān)鍵．
 13.【答案】 【解析】解：

，
，，
原式．
故答案為：．
先因式分解得出，再把，代入即可得出答案．
本題考查了利用平方差公式分解因式和求代數(shù)式的值，掌握整體代入的方法是解題的關(guān)鍵．
 14.【答案】： 【解析】解：和是以點為位似中心的位似圖形．
和的位似比為：，
：：，
：：，
與的周長比是：．
故答案為：：．
先根據(jù)位似的性質(zhì)得到和的位似比為：，再利用比例性質(zhì)得到：：，然后利用相似比等于位似比和相似三角形的性質(zhì)求解．
本題考查了位似變換．位似變換的兩個圖形相似．相似比等于位似比．
 15.【答案】 【解析】解：，
，
方程有增根，
，
，
把代入中得：
，
解得：，
故答案為：．
根據(jù)題意可得，然后把代入整式方程中，進行計算即可解答．
本題考查了分式方程的增根，根據(jù)題意求出的值后代入整式方程中進行計算是解題的關(guān)鍵．
 16.【答案】 【解析】解：為等腰直角三角形，，
，
是等邊三角形，
，
，
≌，
的面積的面積，
的面積，的面積，
的面積的面積的面積，
扇形的面積，
陰影的面積扇形的面積的面積的面積．
故答案為：．
由條件可以證明≌，由扇形面積計算公式，求出扇形的面積，求出的面積，的面積，得到的面積，即可求出陰影的面積．
本題考查扇形面積的計算，等邊三角形的性質(zhì)，等腰直角三角形，關(guān)鍵是求出的面積，并掌握扇形面積的計算公式．
 17.【答案】 【解析】解：函數(shù)圖象開口向下，
，
函數(shù)對稱軸在軸左側(cè)，
，
則，
函數(shù)圖象與軸相交于負(fù)半軸，
，
，
故正確；
該函數(shù)圖象與軸有個交點，
，
故不正確；
，
，
，
，
當(dāng)時，，
把代入得：，
即，
把點代入得：，
，
整理得：，
，
，
故正確；
把代入得：，
拋物線的對稱軸是直線，函數(shù)圖象開口向下，
該函數(shù)的頂點坐標(biāo)為，
即該函數(shù)最大值為，
當(dāng)時，，
，
整理得：，即，
故正確；
綜上：正確的有．
故答案為：．
根據(jù)函數(shù)的開口，判斷的符號，根據(jù)對稱軸，判斷的符號，根據(jù)圖象與軸交點，判斷的符號，即可判斷；根據(jù)該函數(shù)圖象與軸的交點個數(shù)，即可判斷；根據(jù)可得，則當(dāng)時，，把和分別代入，消去，即可判斷；根據(jù)函數(shù)開口向下，對稱軸為直線，可知函數(shù)的最大值為對應(yīng)的函數(shù)值，則當(dāng)時，函數(shù)值不大于對應(yīng)的函數(shù)值，即可判斷．
本題主要考查了二次函數(shù)的圖象和性質(zhì)，熟練掌握二次函數(shù)的圖象和系數(shù)的關(guān)系是解題的關(guān)鍵．
 18.【答案】 【解析】解：如圖在的下方作等邊，
，，，
，
在和中，
，
≌，
，
，
，
點在射線上運動點是定點，是定值，
當(dāng)時，的值最小，最小值．
故答案為：．
如圖在的下方作等邊，作射線證明≌，推出，推出，推出點在射線上運動，當(dāng)時，的值最?。?/span>
本題主要看考查垂線段最短，等邊三角形的性質(zhì)，全等三角形的判定和性質(zhì)等知識，解題的關(guān)鍵是學(xué)會添加常用輔助線，構(gòu)造全等三角形解決問題，屬于中考常考題型．
 19.【答案】解：，
解不等式，得：，
解不等式，得：，
原不等式組的解集為，
該不等式組的整數(shù)解為，，；





，
當(dāng)時，原式． 【解析】先解出每個不等式的解集，即可得到不等式組的解集，然后即可寫出其整數(shù)解；
先算括號內(nèi)的式子，然后計算括號外的除法，再將的值代入化簡后的式子計算即可，
本題考查分式的化簡求值、解一元一次不等式組，熟練掌握運算法則和解一元一次不等式的方法是解答本題的關(guān)鍵．
 20.【答案】   【解析】解：名，
故答案為；
閱讀數(shù)學(xué)名著名，
制作數(shù)學(xué)模型名，
補全統(tǒng)計圖如下：

，
故答案為：；
項目的學(xué)生：名；
 男男男女女男 男，男男，男男，女男，女男男，男 男，男男，女男，女男男，男男，男 男，女男，女女女，男女，男女，男 女，女女女，男女，男女，男女，女 共有種等可能的情況，其中抽到名男生的情況數(shù)為種，
．
根據(jù)講述數(shù)學(xué)故事的名數(shù)是名，所占的比例是，據(jù)此即可求得此次調(diào)查的學(xué)生人數(shù)；用總?cè)藬?shù)乘以項所占百分比即可得閱讀數(shù)學(xué)名著的人數(shù)，再用總?cè)藬?shù)減去、、、的人數(shù)即可得的人數(shù)，從而畫出條形統(tǒng)計圖；將乘以所占百分比即可得解；
利用總?cè)藬?shù)乘以對應(yīng)的百分比即可求得；
根據(jù)題意畫出樹狀圖即可得解．
本題考查的是條形統(tǒng)計圖和扇形統(tǒng)計圖的綜合運用以及利用樹狀圖求概率率，讀懂統(tǒng)計圖，從不同的統(tǒng)計圖中得到必要的信息是解決問題的關(guān)鍵．條形統(tǒng)計圖能清楚地表示出每個項目的數(shù)據(jù)；扇形統(tǒng)計圖直接反映部分占總體的百分比大?。?/span>
 21.【答案】解：設(shè)點，
則，，
則，即，
解得：或，
即點或；

存在，理由：
一次函數(shù)與軸和軸分別交于、兩點，
點，點，
，
，，

或，
點，點，
，
設(shè)點，
以、、為頂點的三角形與相似，且，
，
，
，或，
點或． 【解析】由，即，即可求解；
以、、為頂點的三角形與相似，且，則，即可求解．
本題是反比例函數(shù)綜合題題，考查了反比例函數(shù)的性質(zhì)，一次函數(shù)的性質(zhì)，矩形的性質(zhì)，相似三角形的性質(zhì)，利用分類討論思想解決問題是本題的關(guān)鍵．
 22.【答案】解：設(shè)與的函數(shù)關(guān)系式為，，
將，代入得，
解得，
，
與的函數(shù)關(guān)系式為；
由題意知，利潤，
令，
則，
解得或不合題意，舍去，
每件消毒用品的售價為元；
由知，
，
當(dāng)時，隨著的增大而增大，
當(dāng)時，，此時利潤最大，
當(dāng)每件消毒用品的售價為元時，每天的銷售利潤最大，最大利潤是元． 【解析】待定系數(shù)法求解即可；
由題意知，利潤，令，則，計算求解滿足要求的值即可；
根據(jù)二次函數(shù)的性質(zhì)以及的取值范圍進行求解即可．
本題考查了一次函數(shù)的應(yīng)用，二次函數(shù)的應(yīng)用，二次函數(shù)圖象與性質(zhì)．解題的關(guān)鍵在于對知識的熟練掌握與靈活運用．
 23.【答案】解：連接，，

為的內(nèi)心，
，，
，
，
，，
，
，
，，
∽．
，
即，
解得：．
；
過點作于，

，
，
，
，
，
，，，
，
，
，，
． 【解析】先根據(jù)三角形的內(nèi)心以及圓周角定理證明，可得的長，然后證明∽，由相似三角形的性質(zhì)可求得的長，于是可得到的長；
過點作于，根據(jù)含角的直角三角形的性質(zhì)以及等腰直角三角形的性質(zhì)即可求解．
本題是圓的綜合題，主要考查的是圓的性質(zhì)、相似三角形的性質(zhì)和判定、等腰三角形的性質(zhì)、含角的直角三角形的性質(zhì)以及等腰直角三角形的性質(zhì)，掌握相似三角形的性質(zhì)和判定以及直角三角形的性質(zhì)是解題的關(guān)鍵．
 24.【答案】解：拋物線過點，點，
，
解得：，
；

如圖，過作軸交于，交軸于，過作軸于，如圖所示：

設(shè)的解析式為，代入，
，
解得：，
直線的解析式為，
，，，
在中，根據(jù)勾股定理，
，
平分，
，
，
，
，
，
設(shè)，則，
，
，
∽，
，
，
，
，
，
整理得：，舍，，
當(dāng)時，，
；

過作于，過作于，延長交于，如圖所示：

，
對稱軸為直線，
設(shè)直線的解析式為，代入，，
，
，
，
，
，
，
，，
，
于，
，，
，
，
，
，
又，
∽，
，
，
．
，
設(shè)的直線為，把代入得：
直線的解析式為，
令，
解得，舍去，
． 【解析】用待定系數(shù)法求出拋物線的解析式即可；
過作軸交于，交軸于，過作軸于，求出直線的解析式為，求出，證明，設(shè)，則，證明∽，得出，求出，根據(jù)，得出，求出的值，即可得出點的坐標(biāo)；
過作于，過作于，延長交于，求出直線的解析式為，證明∽，得出，求出，得出，求出直線的解析式為，令，求出的值，即可得出點的坐標(biāo)．
本題主要考查了二次函數(shù)的綜合應(yīng)用，求二次函數(shù)解析式，求一次函數(shù)解析式，相似三角形的判定和性質(zhì)，勾股定理，等腰直角三角形的性質(zhì)，平行線的性質(zhì)，解題的關(guān)鍵是作出輔助線，數(shù)形結(jié)合，熟練掌握三角形相似的判定方法．
 25.【答案】證明：如圖，過作于，交于，

，
又，
．
又，
，
．
；
解：如圖，延長到，使，

，
，
，，
，
，
，
∽，
，
，
，
∽，
，
，
，
；
解：如圖延長到使，連接，

，
，
將矩形繞點旋轉(zhuǎn)至矩形，
，，
，，
，
，
，
，
，
∽，
，
，
的值為． 【解析】過作于，交于，利用三線合一的性質(zhì)，通過證明來證明；
如圖，延長到，使，根據(jù)垂直的定義得到，求得，，根據(jù)相似三角形的判定和性質(zhì)定理即可得到結(jié)論；
如圖延長到使，連接，根據(jù)旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)得到，，根據(jù)線段垂直平分線的性質(zhì)得到，根據(jù)等腰三角形的性質(zhì)得到，根據(jù)相似三角形的判定和性質(zhì)定理即可得到結(jié)論．
本題是相似形的綜合題，考查了相似三角形判定和性質(zhì)，旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)，矩形的性質(zhì)，等腰三角形 的判定和性質(zhì)，正確地作出輔助線是解題的關(guān)鍵．
 

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