2023屆普通高等學校招生全國統(tǒng)一考試臨門猜題卷（一）理科數(shù)學試題學校:___________姓名：___________班級：___________考號：___________ 一、單選題1．已知集合，集合，則（    ）A． B．C． D．2．如圖，已知復數(shù)z在復平面內所對應的向量是，圖中每個小正方形網(wǎng)格的邊長均為1，則（    ）A．1＋2i B．1＋3i C．3＋i D．2＋i3．2023年春運期間，某地交通部門為了解出行情況，統(tǒng)計了該地2023年正月初一至正月初七的高速公路車流量（單位：萬車次）及同比增長率（同比增長率=），并繪制了如圖所示的統(tǒng)計圖，則下列結論中錯誤的是（    ）  A．2023年正月初一至正月初七的車流量的極差為24B．2023年正月初一至正月初七的車流量的中位數(shù)為18C．2023年正月初一至正月初七的車流量比2022年同期車流量多的有4天D．2022年正月初四的車流量小于20萬車次4．的展開式中系數(shù)最大的項為（    ）A．70 B．56 C．或 D．5．已知命題p：若定義在R上的偶函數(shù)在上單調遞減，則是的充分不必要條件；命題q：在中，若，則．下列命題中為真命題的是（    ）A． B．C． D．6．已知，，，則a、b、c的大小關系為（    ）A． B．C． D．7．執(zhí)行如圖所示的程序框圖，若輸出的，則空白框中應填（    ）    A． B．C． D．8．四棱錐的三視圖如圖所示，則該四棱錐的體積為（    ）  A． B． C． D．9．已知角為銳角，角、2、的始邊均與x軸的非負半軸重合，角的終邊經(jīng)過點，且角的終邊與角的終邊關于角的終邊對稱，則的值為（    ）A． B．C．或 D．或10．在中，內角A，B，C的對邊分別為a，b，c，，，則（    ）A． B．C． D．11．已知雙曲線的離心率為，過雙曲線右焦點F且與漸近線平行的直線交雙曲線于點P，若，則雙曲線的虛軸長為（    ）A． B．3 C． D．12．已知正方體的棱長為2，動點P滿足，則的取值范圍為（    ）A． B．C． D． 二、填空題13．已知實數(shù)x，y滿足不等式組，則的最小值為______．14．已知圓的方程為，則過點的圓的切線方程為______.15．已知在平面直角坐標系中，曲線的一條切線在兩坐標軸上的截距互為相反數(shù)，則該切線在x軸上的截距為______．16．已知函數(shù)的圖象與x軸的兩個相鄰交點分別為A，B，點．若的面積為，且直線OC的斜率為（O為坐標原點），，則的最小值為______． 三、解答題17．第二十二屆世界杯在卡塔爾舉辦，世界杯是全世界足球迷的盛宴，為全世界奉獻精彩的比賽，世界上優(yōu)秀的球員大部分在歐洲足球五大聯(lián)賽踢球，其中以英格蘭足球超級聯(lián)賽（簡稱英超）和西班牙足球甲級聯(lián)賽（簡稱西甲）最吸引球迷，2000~2021年22個賽季英超和西甲冠軍球隊積分的莖葉圖和2000～2011年12個賽季英超和西甲冠軍球隊積分的統(tǒng)計表如下．  年份2000年2001年2002年2003年2004年2005年2006年2007年2008年2009年2010年2011年英超808783909591898790868089西甲8075787784827685879996100(1)求2012~2021年10個賽季中英超和西甲冠軍球隊積分的平均數(shù)；(2)若某賽季冠軍球隊的積分超過86分，就認為該賽季奪冠是“困難的”．從2008~2011年英超的7個賽季中隨機抽取2個，求只有1個賽季奪冠是“困難的”的概率．18．已知在數(shù)列中，，，其中，且，實數(shù).(1)當時，求數(shù)列的通項公式；(2)是否存在常數(shù)，使得數(shù)列為等比數(shù)列？若存在，求出的值；若不存在，請說明理由.19．如圖1，在四邊形中，.將沿翻折到的位置，使得平面平面，如圖2所示.(1)設平面與平面的交線為，證明：.(2)若點在線段上（點不與端點重合），平面與平面夾角的正弦值為，求的值.20．已知函數(shù)，．(1)討論函數(shù)的最值；(2)若函數(shù)有兩個極值點，求實數(shù)a的取值范圍．21．已知橢圓：的左、右頂點分別為A、B，左、右焦點分別為、，，P為上一點，且，．(1)求的標準方程；(2)已知拋物線：，直線l與交于M，N兩點，與交于T、Q兩點（均不與坐標原點O重合），且，求面積的取值范圍．22．在直角坐標系xOy中，曲線的方程為．曲線的參數(shù)方程為（為參數(shù)）．以坐標原點為極點，x軸正半軸為極軸建立極坐標系．(1)求曲線和曲線的極坐標方程；(2)若射線（，）交曲線于點P，直線與曲線和曲線分別交于點M、N，且點P、M、N均異于點O，求面積的最大值．23．已知實數(shù)，，的最小值為M．(1)求M的值；(2)求不等式的解集．
參考答案：1．C【分析】首先求集合，再求集合的交集.【詳解】由，得，∴，∴.故選：C．2．D【分析】利用復數(shù)的幾何意義表示出，再利用復數(shù)的運算法則求解即可.【詳解】由圖可知，即，所以，故，故選：D.3．D【分析】對于A，2023年車流量的最大值與最小值的差即為極差；對于B，數(shù)據(jù)從小到大排列，中間的一個數(shù)或者中間兩個數(shù)的平均數(shù)；對于C，通過觀察統(tǒng)計圖的右側增長率可得結果；對于D，根據(jù)2023年正月初四的車流量以及同比增長率計算即可.，【詳解】對于A，由題圖知，2023年正月初一至正月初七的車流量的極差為，故A正確；對于B，易知2023 年正月初一至正月初七的車流量的中位數(shù)為18，故 B正確；對于C，2023年正月初二、初五、初六、初七這4天車流量的同比增長率均大于0，所以2023年正月初一至正月初七的車流量比2022年同期車流量多的有4天，故C正確；對于D，2023年正月初四的車流量為18萬車次，同比增長率為，設2022年正月初四的車流量為x萬車次，則，解得x=20，故D錯誤．故選：D．4．D【分析】首先根據(jù)通項公式求系數(shù)，再結合二項式系數(shù)的最大值，即可求解.【詳解】的展開式的通項公式為，，由二項式系數(shù)中，最大，此時該二項展開式中第5項的系數(shù)最大，∴的展開式中系數(shù)最大的項為，故選：D．5．A【分析】由函數(shù)奇偶性、單調性可得，即可確定命題p的真假，由正弦定理判斷命題q的真假，再判斷復合命題真假.【詳解】由題意，偶函數(shù)在上單調遞減，在上單調遞增，根據(jù)得：，∴是的既不充分也不必要條件，命題p為假，為真.設的內角A、B的對邊分別為a、b，由，則，由正弦定理，得，故命題q為真，為假；所以為真，為假，為假，為假.故選：A6．C【分析】化簡，，所以，再化簡，，故可得出答案.【詳解】∵，，∴，，∵，且在R上為增函數(shù)，∴，即，故選：C．7．B【分析】設，根據(jù)程序框圖循環(huán)結構執(zhí)行，直到不滿足，輸出結果.【詳解】若填，執(zhí)行程序框圖： ，，；，；，；，；，；不滿足，輸出．令，解得，故選：B．8．C【分析】首先在正方體中還原幾何體，再求體積.【詳解】由題，可將該四棱錐的直觀圖還原在棱長為2的正方體中，記該四棱錐為，如圖所示，則四邊形BCDE的面積，四棱錐的高AC=2，故該四棱錐的體積，  故選：C9．A【分析】由三角函數(shù)定義求得，根據(jù)正切二倍角公式求得，由角的終邊對稱，得出，利用兩角和的正切公式求得結果即可.【詳解】∵角的終邊經(jīng)過點，∴．由，解得或．∵，∴，∴，即（舍），故．∵角的終邊與角的終邊關于角的終邊對稱，∴，解得．∴.故選：A．10．A【分析】利用正弦定理和同角的三角函數(shù)基本關系是可求，再根據(jù)兩角和的正弦公式可求，故可得正確的選項.【詳解】由及正弦定理，可得．由，可得．又，∴．又，解得，則，∴B為鈍角，C為銳角．∴，．故，∴．故選: A.11．B【分析】根據(jù)離心率表示雙曲線的方程，不妨設直線PF的斜率．過點P作軸于點H，則結合，表示點P的坐標，代入雙曲線方程求得結果.【詳解】如圖，由題意得，，解得，∴雙曲線的方程可化為．根據(jù)雙曲線的對稱性，不妨設直線PF的斜率．過點P作軸于點H，則結合，可得，，∴．將點P的坐標代入雙曲線方程，得，則．又，，代入化簡得，，解得，則，∴雙曲線的虛軸長為．  故選：B．12．C【分析】根據(jù)向量的分解把已知?；啠俦硎緮?shù)量積，最后根據(jù)夾角范圍求數(shù)量積范圍即可.【詳解】如圖所示，連接、交于點E，則，∴，則點P在以E為球心，1為半徑的球面上，易知點P的運動軌跡在平面ABCD內的射影為正方形ABCD的內切圓及圓內部，設AC與該圓交于點、(靠近點A)．設與的夾角為，則，，，∴．因此，即的取值范圍為．  故選:C．13．-1【分析】作出可行域，由圖求目標函數(shù)的最小值即可.【詳解】作出可行域如圖中陰影部分所示易得，的幾何意義為可行域內的點和定點連線的斜率．由圖可知，當點P與點A重合時，z最小，．故答案為：-1.14．或【分析】由圓的方程找出圓心坐標與半徑，分兩種情況考慮：若切線方程斜率不存在，直線滿足題意；若斜率存在，設出切線方程，根據(jù)直線與圓相切時圓心到切線的距離，求出的值，綜上即可確定出滿足題意的切線方程；【詳解】當過點的直線的斜率不存在時，直線方程為，圓心到直線的距離為2，此時直線與圓相切.當過點的圓的切線的斜率存在時，設切線方程為，即，則圓心到切線的距離為，解得，所以切線方程為，即.綜上所述，切線方程為或.故答案為：或.15．0或【分析】先設切點求切線，再根據(jù)切線在兩坐標軸上的截距互為相反數(shù)得出切點橫坐標，最后求出截距即可.【詳解】由題，．設切點坐標為，易知，∴曲線在點處的切線方程為，即，整理得．令，得；令，得．∵切線在兩坐標軸上的截距互為相反數(shù)，∴，即，∴或，∴或．當時，切線在x軸上的截距為0；當時，切線在x軸上的截距為．綜上，滿足題意的切線在x軸上的截距為0或．故答案為: 0或．16．【分析】利用輔助角公式得到，根據(jù)面積，和OC的斜率，即可得出，再由，根據(jù)，即可得出答案.【詳解】，由題意可得．的面積為，，故．又直線OC的斜率為，，且，故，則由，可得，故或，得或．又，故的最小值為．故答案為：17．(1)英超91.2；西甲90.7(2) 【分析】（1）根據(jù)平均數(shù)公式求得結果即可；（2）根據(jù)古典概型公式計算即可得到結果.【詳解】（1）由題，2012~2021年10個賽季中，英超冠軍球隊的積分為81，86，86，87，89，93，93，98，99，100，西甲冠軍球隊的積分為86，86，87，87，90，91，93，93，94，100，∴2012~2021年10個賽季中，英超冠軍球隊積分的平均數(shù)為，西甲冠軍球隊積分的平均數(shù)為．（2）在2008~2011年4個賽季中，英超冠軍球隊的積分為90，86，80，89，故有2個賽季奪冠是“困難的”．從2008～2011年英超的4個賽季中隨機抽取2個，其中只有1個賽季奪冠是“困難的”的概率．18．(1)(2)存在， 【分析】（1）由累加法求解即可；（2）假設數(shù)列為等比數(shù)列，假設前三項得出的值，再驗證即可.【詳解】（1）當時，，所以，，…，， 以上式子相加，得，（累加法）所以，又，滿足上式，（注意驗證的情況）故數(shù)列的通項公式為.（2）假設存在常數(shù)，使得數(shù)列為等比數(shù)列.由及，得，，因為是等比數(shù)列，所以，得，解得. 當時，，即， 所以，又，從而，即， 故是首項為3，公比為3的等比數(shù)列.所以存在常數(shù)，使得數(shù)列為等比數(shù)列，且.19．(1)證明見解析(2) 【分析】（1）根據(jù)面面垂直的性質，得線面垂直，再結合線面垂直的性質得線性垂直即可；（2）根據(jù)題意建立空間直角坐標系，設，結合空間坐標運算確定平面與平面夾角余弦公式求解，即可求的值.【詳解】（1）證明：，且.平面平面，且交線為，又平面，平面，又是平面與平面的交線，平面.（2）解：由（1）知，平面，平面平面，且交線為，又平面，所以平面，以為坐標原點，以所在直線分別為軸?軸，過作，建立如圖所示的空間直角坐標系，則，所以，設，則，所以.設是平面的法向量，則，取.由（1）知，平面是平面的一個法向量.平面與平面夾角的正弦值為，，整理得：，解得，即.20．(1)答案見解析(2) 【分析】（1）求出函數(shù)的導數(shù)，分類討論得到導數(shù)的符號后可得函數(shù)的單調性和最值；（2）將題意轉化為函數(shù)有兩個變號零點，對求導，分類討論和，的單調性與最值，只要即可.【詳解】（1）函數(shù)的定義域為，，當時，，在上單調遞增，無最值；當時，令，得，所以在上單調遞減；令，得，所以在單調遞增，所以的最小值為，無最大值．綜上，當時，無最值；當時，的最小值為，無最大值．（2）由題，，定義域為，所以．因為有兩個極值點，所以有兩個變號零點．令，則，易知函數(shù)在上單調遞增，則函數(shù)有兩個變號零點可轉化為函數(shù)有兩個變號零點．，當時，，得，所以在上單調遞減．當時，令，所以在上單調遞增．所以．要使有兩個變號零點，需，解得．當時，，，所以在和上各有一個變號零點，符合題意．綜上，實數(shù)a的取值范圍為．【點睛】方法點睛：函數(shù)由極值、極值點求參數(shù)的取值范圍的常用方法與策略：（1）分類參數(shù)法：一般命題情境為給出區(qū)間，求滿足函數(shù)極值或極值點個數(shù)的參數(shù)范圍，通常解法為從中分離參數(shù)，然后利用求導的方法求出由參數(shù)構造的新函數(shù)的最值，根據(jù)題設條件構建關于參數(shù)的不等式，再通過解不等式確定參數(shù)的取值范圍；（2）分類討論法：一般命題情境為沒有固定的區(qū)間，求滿足函數(shù)極值或極值點個數(shù)的參數(shù)范圍，通常解法為結合函數(shù)的單調性，先確定參數(shù)分類標準，在每個小范圍內研究零點的個數(shù)是否符合題意，將滿足題意的參數(shù)的各個小范圍并在一起，即可為所求參數(shù)的范圍.21．(1)(2)． 【分析】（1）首先結合正弦定理求，再結合三角恒等變換和斜率公式，即可求解橢圓方程；（2）直線與拋物線和橢圓方程聯(lián)立，根據(jù)，代入韋達定理求得，再利用韋達定理表示的面積，變形換元后，求面積的最值.【詳解】（1）在中，由正弦定理得，∴，∴，即．又，∴，∴，故．由題知，，設，則，∴，∴，即．又，，∴，，∴的標準方程為．（2）由題意，設直線l的方程為，  由，得，由，得．設，，則，，,解得或（舍去），∴直線l的方程為，易知直線l過定點．由，得，由，得．設，，則，．．設，則，，當且僅當，即，時等號成立．又，所以面積的取值范圍為．【點睛】方法點睛：利用韋達定理法解決直線與圓錐曲線相交問題的基本步驟如下：（1）設直線方程，設交點坐標為；（2）聯(lián)立直線與圓錐曲線的方程，得到關于（或）的一元二次方程，必要時計算；（3）列出韋達定理；（4）將所求問題或題中的關系轉化為、（或、）的形式；（5）代入韋達定理求解.22．(1)，(2)． 【分析】（1）根據(jù)，代入曲線的方程得到其極坐標方程；將曲線的參數(shù)方程先消參得到曲線的普通方程，再求其極坐標方程；（2）將代入曲線的極坐標方程求得，將代入曲線極坐標方程求得，進而得到，再結合三角函數(shù)的二倍角公及輔助角公式求得結果.【詳解】（1）把，代入，得曲線的極坐標方程為，即．將中的參數(shù)消去，得曲線的普通方程為，把，代入，得曲線的極坐標方程為，即．（2）由題得，，，，因為，所以 ，其中，，當，即時，的面積取得最大值．23．(1)(2) 【分析】（1）根據(jù)基本不等式求出答案；（2）結合（1）中，分類討論解絕對值不等式，得到答案.【詳解】（1）∵，，∴，當且僅當，即，時取等號，∴．（2）由（1）得，即，當時，不等式轉化為，解得，與求交集得，；當時，不等式轉化為，解得，與求交集得，；當時，不等式轉化為，解得，與求交集得．綜上，不等式的解集為． 

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