2023屆普通高等學(xué)校招生全國統(tǒng)一考試數(shù)學(xué)押題卷（一）學(xué)校:___________姓名：___________班級：___________考號：___________ 一、單選題1．集合，集合，則（    ）A． B． C． D．2．已知，若復(fù)數(shù)為純虛數(shù)，則實數(shù)（    ）A．2 B． C． D．3．蹴鞠（如圖所示），2006年5月20日，已作為非物質(zhì)文化遺產(chǎn)經(jīng)國務(wù)院批準列入第一批國家非物質(zhì)文化遺產(chǎn)名錄．蹴有用腳蹴、踢、蹋的含義，鞠最早系外包皮革、內(nèi)實米糠的球，因而蹴鞠就是指古人以腳蹴、蹋、踢皮球的活動，類似今日的足球．已知某鞠（球）的表面上有四個點、、、，且球心在上，，，，則該鞠（球）的表面積為（    ）．A． B． C． D．4．若向量滿足，，，則與的夾角為(    )A． B． C． D．5．為躲過了新冠，躲過了甲流，沒躲過呼吸道合胞病毒.”甲流高峰才過去不久，呼吸道感染的老人又多起來.“最近，呼吸道合胞病毒感染處于高峰.目前因咳嗽、喘息住院的患者中，在浙大兒院占據(jù)首位的就是呼吸道合胞病毒感染.呼吸道合胞病毒是一種什么病毒？RSV為副黏病毒科肺炎病毒屬的單股負鏈RNA病毒，是引起老年人下呼吸道感染的常見病原，RSV通常于上呼吸道中開始感染，引發(fā)的癥狀易與普通感冒相混淆，出現(xiàn)呼吸系統(tǒng)后遺癥.5月3日，葛蘭素史克（GSK）宣布其呼吸道合胞病毒（RSV）疫苗Arexvy，用于老年人群體預(yù)防RSV感染導(dǎo)致的下呼吸道疾?。?/span>RSV-LRTD）.該產(chǎn)品也是全球首款獲批上市的RSV疫苗.為研究的臨床試驗，旨在評估單劑量和接種Arexvy對比安慰劑對RSV-LRTD的預(yù)防效果.該實驗有3接種組，現(xiàn)有8名志愿者將被派往這3接種組安排接種工作，每個接種組至少2名至多4名志愿者，則不同的安排方法共有（　　）A．2940種 B．3000種 C．3600種 D．5880種6．已知，則的最大值為（    ）A． B． C． D．7．已知雙曲線：（，）的左、右焦點分別為，，過的直線與的左支交于、兩點，且，，則的漸近線方程為（    ）A． B． C． D．8．定義：設(shè)不等式F(x)<0的解集為M，若M中只有唯一整數(shù)，則稱M是最優(yōu)解.若關(guān)于x的不等式有最優(yōu)解，則實數(shù)m的取值范圍是（    ）A． B． C．∪ D．∪ 二、多選題9．數(shù)列的前項為，已知，下列說法中正確的是（    ）A．為等差數(shù)列 B．可能為等比數(shù)列C．為等差數(shù)列或等比數(shù)列 D．可能既不是等差數(shù)列也不是等比數(shù)列10．已知某種袋裝食品每袋質(zhì)量（單位：g）X～N（500，16）．，，，則下面結(jié)論正確的是（       ）A．B．C．隨機抽取10000袋這種食品，袋裝質(zhì)量在區(qū)間（492，504]的約8186袋D．隨機抽取10000袋這種食品，袋裝質(zhì)量小于488 g的不多于14袋11．下列大小關(guān)系正確的是（    ）A． B．C． D．12．已知拋物線，C的準線與x軸交于K，過焦點F的直線l與C交于A、B兩點，連接AK、BK，設(shè)的中點為P，過P作的垂線交x軸于Q，下列結(jié)論正確的是(    )A． B．C．的面積最小值為 D． 三、填空題13．已知曲線在處切線的斜率為，則______．14．斐波那契數(shù)列由意大利數(shù)學(xué)家斐波那契以兔子繁殖為例引入，故又稱為“兔子數(shù)列”，即1，1，2，3，5，8，13，21，34，55，89，144，233，…．在實際生活中，很多花朵（如梅花、飛燕草、萬壽菊等）的瓣數(shù)恰是斐波那契數(shù)列中的數(shù)，斐波那契數(shù)列在現(xiàn)代物理及化學(xué)等領(lǐng)域也有著廣泛的應(yīng)用．斐波那契數(shù)列滿足：，，則是斐波那契數(shù)列中的第______項．15．在直三棱柱中，是等腰直角三角形，且．若該三棱柱的外接球半徑是，則三棱錐體積的最大值為__________．16．已知函數(shù)，若恰有4個零點，則實數(shù)的取值范圍為___________. 四、解答題17．已知等差數(shù)列和等比數(shù)列滿足，若數(shù)列的前項和為，且.(1)求數(shù)列，的通項公式；(2)若數(shù)列滿足：，求數(shù)列的前n項和.18．已知的外心為，為線段上的兩點，且恰為中點.(1)證明：(2)若，，求的最大值.19．“紅五月”將至，學(xué)校文學(xué)社擬舉辦“品詩詞雅韻，看俊采星馳”的古詩詞挑戰(zhàn)賽，挑戰(zhàn)賽分為個人晉級賽和決賽兩個階段.個人晉級賽的試題有道“是非判斷”題和道“信息連線”題，其中道“信息連線”題是由電腦隨機給出錯亂排列的四句古詩詞和四條相關(guān)的詩詞背景（如詩詞題名、詩詞作者等），要求參賽者將它們一一配對，每位參賽選手只有一次挑戰(zhàn)機會.比賽規(guī)則為：電腦隨機同時給出道“是非判斷”和道“信息連線”題，要求參賽者全都作答，若有四道或四道以上答對，則該選手晉級成功.(1)設(shè)甲同學(xué)參加個人晉級賽，他對電腦給出的道“是非判斷”題和道“信息連線”題都有且只有一道題能夠答對，其余的題只能隨機作答，求甲同學(xué)晉級成功的概率；(2)已知該校高三（1）班共有位同學(xué)，每位同學(xué)都參加個人晉級賽，且彼此相互獨立.若將（1）中甲同學(xué)晉級的概率當作該班級每位同學(xué)晉級的概率，設(shè)該班晉級的學(xué)生人數(shù)為.①問該班級成功晉級的學(xué)生人數(shù)最有可能是多少？說明理由；②求隨機變量的方差.20．如圖，在三棱錐中，，，，點O是AC的中點，點P在線段MC上，(1)證明：平面ABC；(2)若，直線AP與平面ABC所成的角為，求二面角的余弦值的大小21．已知橢圓的左、右焦點分別為、，動直線過與相交于，兩點．(1)當軸時，求的內(nèi)切圓的方程；(2)求內(nèi)切圓半徑的最大值．22．已知函數(shù)，其中e為自然對數(shù)的底數(shù).(1)若，求函數(shù)的單調(diào)區(qū)間；(2)證明：對于任意的正實數(shù)M，總存在大于M的實數(shù)a，b，使得當時，.
參考答案：1．D【分析】求解絕對值的不等式，再由交集運算得答案．【詳解】因為，，所以.故選：D2．C【分析】由復(fù)數(shù)為純虛數(shù)，可設(shè)，代入原式，然后計算即可得結(jié)果【詳解】設(shè)，，故，解得，故選：C3．C【分析】過點P作，在中，根據(jù)，，求得，在中，根據(jù)，求得，再根據(jù)球心在上，得到PC為球O的直徑，再由求得半徑即可.【詳解】如圖所示：在中，因為，，所以，即，在中，，所以，即是等腰三角形，過點P作，則BD=AD=,因為，所以，，又球心在上，故PC為球O的直徑，所以，，即，解得，所以該球的表面積是.故選：C．4．C【分析】，求得，由即可求夾角.【詳解】由題可知，，∴，∴向量與的夾角為.故選：C.5．A【分析】根據(jù)題意派往3個醫(yī)院的人數(shù)分配有2種情況：2、2、4，3、3、2．以此可解決此題．【詳解】根據(jù)題意派往3個醫(yī)院的人數(shù)分配有2種情況：2、2、4；3、3、2.不同的安排方法共有（種）．故選：A．6．A【分析】依據(jù)重要不等式去求解的最大值【詳解】∵，（當且僅當時等號成立），故選：A.7．C【分析】設(shè)，，根據(jù)雙曲線的定義，可得，，在直角三角形中利用勾股定理可得，再在直角三角形中使用勾股定理可得，再結(jié)合，即可求出結(jié)果.【詳解】由題意，得，；根據(jù)雙曲線的定義，,所以，．在直角三角形中，，即，解得；在直角三角形中，，即，即，解得，所以的漸近線方程為.故選:C．【點睛】關(guān)鍵點點睛：本題在解答過程中使用雙曲線的定義得到，，在直角三角形中利用勾股定理可得，是解決本題的關(guān)鍵和突破點.8．D【分析】將不等式轉(zhuǎn)化為，結(jié)合圖象求得的取值范圍.【詳解】可轉(zhuǎn)化為，在同一平面直角坐標系中分別作出函數(shù)f(x)＝|x2－2x－3|，g(x)＝mx－2的圖象，如圖所示.易知m＝0時不滿足題意.當m>0時，要存在唯一的整數(shù)x0，滿足f(x0)<g(x0)，則，即，解得.當m<0時，要存在唯一的整數(shù)x0，滿足f(x0)<g(x0)，則，即，解得.綜上，實數(shù)m的取值范圍是∪.故選：D9．BD【分析】利用來對進行判斷，從而確定正確答案.【詳解】依題意，，當時，，當時，，，兩式相減得，，，當時，，則數(shù)列是首項為，公比為的等比數(shù)列.當時，，則數(shù)列是首項為，公差為的等差數(shù)列，當，交替成立時，既不是等差數(shù)列也不是等比數(shù)列.故選：BD10．AC【分析】按照概率的意義，正態(tài)分布的對稱性以及參考數(shù)據(jù)依次判斷4個選項即可.【詳解】根據(jù)題意，，∴，故A正確．又，故B錯誤．由于，所以隨機抽取袋這種食品，袋裝質(zhì)量在區(qū)間的約袋，故C正確．根據(jù)概率的意義，故D錯誤．故選：AC.11．ABD【分析】A、B選項畫出和的圖象，數(shù)形結(jié)合進行比較，C選項構(gòu)造函數(shù)，借助單調(diào)性進行判斷，D選項作減法，借助對數(shù)運算及基本不等式進行比較.【詳解】  作出和的圖象，如圖所示，由圖象可得，當時，，當時，，，，故A，B正確.令，則，在上單調(diào)遞減，所以，故C錯誤.，所以，故D正確.故選：ABD.12．ABD【分析】設(shè)直線AB的傾斜角為α，即∠AFx＝α，設(shè)，，.可根據(jù)角平分線的性質(zhì)判斷A；過A作AD⊥x軸，垂足為D，表示出，即可判斷B；，數(shù)形結(jié)合即可判斷C；求出PQ方程，令y＝0求出Q的橫坐標，求出即可判斷它們的關(guān)系，由此判斷D.【詳解】設(shè)直線AB的傾斜角為α，即∠AFx＝α，設(shè)，，，①若，則，則根據(jù)角平分線的性質(zhì)可知，x軸為∠AKB的角平分線，設(shè)直線，代入拋物線方程得，所以，所以，所以x軸一定是∠AKB的平分線，故A正確；②過A作AD⊥x軸，垂足為D，則tan ，，，故B正確；③，當，即AB⊥x軸時，取等號，故的面積最小值為，故C錯誤；對于D：，則，∴PQ方程為：，令y＝0得，，∴，∴，∴，故D正確.故選：ABD.13．【分析】利用函數(shù)在處的導(dǎo)數(shù)值為可求得實數(shù)的值.【詳解】對函數(shù)求導(dǎo)得，由已知條件可得，解得.故答案為：.14．【分析】利用遞推關(guān)系，將所求關(guān)系式中的“”換為，再利用即可求得答案．【詳解】由可得.故答案為：.15．【分析】根據(jù)直三棱柱的性質(zhì)，結(jié)合三棱錐的體積公式、導(dǎo)數(shù)的性質(zhì)進行求解即可.【詳解】如圖，由題意可知三棱柱的外接球的直徑為，則，即，從而．三棱錐的體積為．設(shè)，則．由，得；由，得．故．故答案為：【點睛】關(guān)鍵點睛：運用直三棱柱的性質(zhì)，結(jié)合三棱錐的體積公式，利用導(dǎo)數(shù)求最值是解題的關(guān)鍵.16．【分析】令，轉(zhuǎn)化為與有個交點，結(jié)合圖象求得的取值范圍.【詳解】令，轉(zhuǎn)化為與有個交點，畫出與的草圖，如下圖所示，當時，與不可能有4個交點，故由圖可知，且與在區(qū)間上各有一個交點，故在區(qū)間上，與有兩個交點.當時，，，設(shè)是曲線上一點，過該點的切線的斜率為，切線方程為，代入得，化簡得，此時切線的斜率為，所以.故答案為：17．(1)，;(2). 【分析】（1）根據(jù)通項與的關(guān)系求出數(shù)列的通項公式，再由列出方程求出公差公比即可得出，的通項公式；（2）利用錯位相減法求出數(shù)列的前n項和即可.【詳解】（1）由①，可得（）②，由①②得（）        又也符合上式，所以，由得，設(shè)等差數(shù)列的公差為，等比數(shù)列的公比為，則有，令，有，令，有        解得，或者取，有，檢驗得（舍去）所以，；（2）由得，            所以則兩式相減得，            18．(1)證明見解析(2) 【分析】（1）設(shè)，利用余弦定理求得，，再根據(jù)，化簡，可求得，同理可求得，即可得證；（2）利用余弦定理求得，，再根據(jù)結(jié)合（1）求得，設(shè)，可求得，再根據(jù)三角形的面積公式結(jié)合基本不等式即可得出答案.【詳解】（1）證明：設(shè)，由余弦定理知：，，由是外心知， 而，所以，即，而，因此，同理可知，因此，所以；（2）解：由（1）知，由余弦定理知：，，代入得，設(shè)，則，因此，當且僅當時取到等號，因此的最大值為.19．(1)(2)①或，理由見解析；② 【分析】（1）分甲同學(xué)答對四道、五道、六道題，分析出是非判斷題和信息連線題答對的題的數(shù)量，結(jié)合獨立事件的概率乘法公式可求得所求事件的概率；（2）①分析可知，設(shè)最大，可得出，解出的取值范圍，即可得解；②利用二項分布的方差公式可求得的值.【詳解】（1）解：記事件甲同學(xué)晉級成功，則事件包含以下幾種情況：①事件“共答對四道”，即答對余下的是非判斷題，答錯兩道信息連線題，則.②事件“共答對五道”，即答錯余下的是非判斷題，答對余下的三道信息連線題，則.③事件“共答對六道”， 即答對余下的四道問題，，所以.（2）解：①由題意可知，設(shè)最大，則，即，可得，解得，即最有可能取的值為或；②由二項分布的方差公式可得.20．(1)證明見解析；(2). 【分析】（1）連接BO，由給定條件證明，再由線面垂直的判斷推理作答.（2）在平面ABC內(nèi)過O作，再以O為原點建立空間直角坐標系，借助空間向量計算作答.【詳解】（1）連接BO，如圖，由，，得，而，，在中，由余弦定理得：，則有，有，即，因此，，又，于是得，，即，又有，平面ABC，所以平面ABC.（2）由（1）可得，平面平面ABC，AP在平面ABC內(nèi)射影為AC，即為直線AP與平面ABC所成的角，，因，則點P為線段MC的中點，在中，過O作交BC于D，則OD，OC，OM兩兩垂直，以點O為原點，射線OD，OC，OM分別為x，y，z軸非負半軸建立空間直角坐標系，如圖，不妨令，則，，，，，，，設(shè)平面PAB的法向量，則，令，得，又平面ABC的法向量，則，而二面角的平面角為銳角，所以二面角的余弦值為.21．(1)(2)1 【分析】（1）易求，的坐標，進而求得內(nèi)切圓的圓心和半徑（2）設(shè)直線的方程為：，以為參數(shù)，運用等面積法將內(nèi)切圓半徑表示為的函數(shù)，求其最值即可【詳解】（1）由，可得，，，，由已知直線，則由不妨設(shè)，設(shè)內(nèi)切圓的半徑為，則．解得因為為等腰三角形，故圓心坐標為，所以的內(nèi)切圓的方程為：化簡得： （2）設(shè)內(nèi)切圓半徑為，面積為，，，則，又．所以設(shè)直線的方程為：，與橢圓聯(lián)立整理得，則，由，所以所以，令，則，當且僅當即時取等號故內(nèi)切圓半徑的最大值為122．(1)增區(qū)間為；減區(qū)間為；(2)證明過程見解析. 【分析】（1）對函數(shù)求導(dǎo)，利用輔助角公式合并為同名三角函數(shù)，導(dǎo)數(shù)的正負求解即可.（2）將絕對值不等式轉(zhuǎn)化為，移向構(gòu)造新函數(shù)，利用導(dǎo)數(shù)判定單調(diào)性，借助零點定理和隱零點證明新構(gòu)造函數(shù)恒正，再結(jié)合三角函數(shù)的特有的周期特點尋找M即可.【詳解】（1） 當，即，；當，即，所以單調(diào)遞增區(qū)間為 單調(diào)遞減區(qū)間為（2）要證，即證，即證即證 在時成立即可,時, . 令, 當時, 所以所以單調(diào)遞增， , 滿足由單調(diào)性可知, 滿足 又因為當 ，所以能夠同時滿足，對于任意的正實數(shù)，總存在正整數(shù)，且滿足時, 使得 成立，所以不妨取 則且時， ，故對于任意的正實數(shù)，總存在大于的實數(shù)，使得當 時,. 

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