2022年普通高校招生全國統(tǒng)一考試猜題壓軸卷（A）理科數(shù)學(xué)一、選擇題：本題共12小題，每小題5分，共60分．在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的．1．已知集合，，則（    ）A． B． C． D．2．已知復(fù)數(shù)z在復(fù)平面內(nèi)對應(yīng)的點的坐標(biāo)為，則（    ）A． B． C． D．3．已知，則（    ）A．2 B．－2 C． D．4．筆、墨、紙、硯是中國獨有的文書工具，即文房四寶．“筆、墨、紙、硯”之名，起源于南北朝時期．歷史上，“筆、墨、紙、硯”所指之物屢有變化．在宋朝時，“筆、墨、紙、硯”特指宣筆（安徽宣城）、徽墨（安徽徽州歙縣）、宣紙（安徽宣城涇縣）、歙硯（安徽徽州歙縣）、洮硯（甘肅卓尼縣）、端硯（廣東肇慶，古稱端州）。若從宋朝特指的六種文書工具中任取兩種，則這兩種恰好都是產(chǎn)自安徽的概率為（    ）A． B． C． D．5．執(zhí)行如圖所示的程序框圖，則輸出b的值為（    ）A．32 B．16 C．8 D．46．若直線與圓交于不同的兩點A、B，且，則（    ）A． B． C． D．7．在矩形ABCD中，，點E，F分別是AB，CD的中點，沿EF將四邊形AEFD折起，使，若折起后點A，B，C，D，E，F都在球O的表面上，則球0的表面積為（    ）A．64π B．72π C．84π D．96π8．已知拋物線的焦點為F，點為拋物線C上的一點，且，點B是拋物線C上異于點A的一點，且A，F，B三點共線，則（    ）A． B． C． D．9．七巧板是中國古代勞動人民發(fā)明的一種傳統(tǒng)智力玩具，它由五塊等腰直角三角形、一塊正方形和一塊平行四邊形共七塊板組成．（清）陸以湉《冷廬雜識》卷中寫道：近又有七巧圖，其式五，其數(shù)七，其變化之式多至千余，體物肖形，隨手變幻，蓋游戲之具，足以排悶破寂，故世俗皆喜為之．如圖是一個用七巧板拼成的正方形ABCD，若四邊形ABEF的面積為7，則（    ）A． B． C． D．10．如圖，在長方體中，，M，N分別為棱，的中點，有以下判斷：①AM，NB是異面直線；②平面ADM；③直線BN與所成角的大小為60°；④二面角的大小為．其中所有正確的判斷是（    ）A．①② B．①③ C．①③④ D．②④11．已知函數(shù)，若存在滿足，且，則m的最小值為（    ）A．10 B．8 C．6 D．512．已知正方形的四個頂點都在函數(shù)圖象上，且函數(shù)圖象上的點都滿足，則這樣的正方形最多有（    ）A．1個 B．2個 C．3個 D．4個二、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分．13．的展開式中的x的系數(shù)是______．14．設(shè)函數(shù)在點處的切線經(jīng)過點，則實數(shù)______．15．已知雙曲線的左、右焦點分別為，，過作斜率為的直線l與雙曲線C的左、右兩支分別交于A，B兩點，且，則雙曲線C的離心率為______．16．在中，內(nèi)角A，B，C所對的邊分別為a，b，c，且，若的面積，則ab的最小值為______．三解答題：共70分．解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟．第17～21題為必考題，每個試題考生都必須作答．第22、23題為選考題，考生根據(jù)要求作答．（一）必考題：共60分．17．（12分）在數(shù)列中，，數(shù)列的前n項和滿足．（1）求數(shù)列的通項公式；（2）若，求數(shù)列的前n項和．18．（12分）如圖，在直角中，PO⊥OA，PO=2OA，將繞邊PO旋轉(zhuǎn)到的位置，使，得到圓錐的一部分，點C為的中點．（1）求證：PC⊥AB；（2）設(shè)直線PC與平面PAB所成的角為，求．19．（12分）已知橢圓經(jīng)過兩點和．（1）求橢圓C的方程；（2）設(shè)直線l經(jīng)過橢圓C的右焦點F，且與橢圓C交于不同的兩點A，B，在x軸上是否存在點Q，使得直線QA與直線QB的斜率的和為定值？若存在，請求出點Q的坐標(biāo)；若不存在，請說明理由．20．（12分）已知函數(shù)．（1）當(dāng)時，證明：；（2）若函數(shù)的圖象恒在直線的下方，求實數(shù)a的取值范圍．21．（12分）為了貫徹落實健康第一的指導(dǎo)思想，切實加強學(xué)校體育工作，促進學(xué)生積極參加體育鍛煉，養(yǎng)成良好的鍛煉習(xí)慣，提高體質(zhì)健康水平，某學(xué)校決定學(xué)習(xí)外校經(jīng)驗在本校推廣跳繩運動．為掌握學(xué)生1分鐘的跳繩情況，按照男女比例利用分層抽樣抽取了100名學(xué)生進行計分測試，得到如圖所示的頻率分布直方圖，計分規(guī)則如表1：表1每分鐘跳繩個數(shù)得分78910（1）規(guī)定：學(xué)生1分鐘跳繩得分10分為滿分，在抽取的100名學(xué)生中，其中女生有54人，男生跳繩個數(shù)大于等于180的有26人，根據(jù)已知條件完成表2，并根據(jù)這100名學(xué)生的測試成績，判斷能否有95%的把握認(rèn)為學(xué)生1分鐘跳繩成績滿分與性別有關(guān)．表2跳繩個數(shù)總計男生26  女生  54總計  100附：參考公式，．臨界值表：0.0500.0100.0013.8416.63510.828（2）根據(jù)外校往年經(jīng)驗，學(xué)生經(jīng)過一年的訓(xùn)練，每人每分鐘跳繩個數(shù)都有明顯進步．假設(shè)經(jīng)過一年訓(xùn)練后，每人每分鐘跳繩個數(shù)比開始時個數(shù)增加10，全年級恰有2000名學(xué)生，所有學(xué)生的跳繩個數(shù)X近似服從正態(tài)分布（用樣本數(shù)據(jù)的平均值和方差估計總體的期望和方差，各組數(shù)據(jù)用中點值代替）．①估計經(jīng)過一年訓(xùn)練后，1分鐘跳繩個數(shù)在內(nèi)的人數(shù)；（結(jié)果四舍五入到整數(shù)）②若在經(jīng)過一年訓(xùn)練后，發(fā)現(xiàn)①中的數(shù)據(jù)是正確的，且其中有136人是男同學(xué)，現(xiàn)按照男女比例利用分層抽樣抽取6名1分鐘跳繩個數(shù)在內(nèi)的同學(xué)，并在這6名同學(xué)中抽取3人，記男同學(xué)的人數(shù)為，求的分布列．附：若隨機變量X服從正態(tài)分布，則，，．參考數(shù)據(jù)：標(biāo)準(zhǔn)差．（二）選考題：共10分．請考生在第22、23題中任選一題作答．如果多做，則按所做的第一題計分．22．[選修4—4：坐標(biāo)系與參數(shù)方程]（10分）已知曲線C的極坐標(biāo)方程為，直線，直線．以極點O為原點，極軸為x軸的正半軸建立平面直角坐標(biāo)系，（1）求直線，的直角坐標(biāo)方程以及曲線C的參數(shù)方程；（2）已知直線與曲線C交于O，A兩點，直線與曲線C交于O，B兩點，求的周長．23．[選修4—5：不等式選講]（10分）已知函數(shù)．（1）求不等式的解集；（2）若直線與函數(shù)的圖象有公共點，求實數(shù)k的取值范圍． 2022年普通高校招生全國統(tǒng)一考試猜題壓軸卷理科數(shù)學(xué)參考答案、提示及評分細(xì)則（A）1．B 易知，故．2．D 由題意知復(fù)數(shù)，則．3．A 由，可得，所以．4．C 由題意可知宋朝“筆、墨、紙、硯”有6種，其中4種產(chǎn)自安徽，從6種當(dāng)中選2種，共有15種情況，且每種情況發(fā)生的概率相同，其中兩種全部來自安徽的情況共有6種，所以所求概率為．5．B 當(dāng)時，進入循環(huán)，，；當(dāng)時，再次進入循環(huán)，，；當(dāng)時，再次進入循環(huán)，，．所以當(dāng)時應(yīng)跳出循環(huán)，故輸出b的值為16．6．A 設(shè)圓心O到直線l的距離為d，由知．又由垂徑定理可知，故，即，故．7．C 易得，都是邊長為6的正三角形，設(shè)的中心為，的中心為，則球心O為線段的中點，易求得，，所以球O的半徑，所以球O的表面積為．8．A 由，解得．則拋物線，，，設(shè)，因為A，F，B三點共線，所以，解得（舍去），故，．9．C 設(shè)正方形ABCD的邊長為a，則陰影部分面積，所以，．10．B 由圖易得AM，BN是異面直線，故①正確；平面，顯然BN與平面ADM不平行，故②錯誤；取CD的中點O，連接BO，ON，可知三角形BON為等邊三角形，故③正確；由題意知AD⊥平面，故二面角的平面角為，而，故④錯誤．11．C ∵對任意，都有，要使m取得最小值，盡可能讓取得最值點，考慮，，按下圖取值可滿足條件，∴m的最小值為6．12．B 設(shè)函數(shù)，則函數(shù)是R上的奇函數(shù)，且在R上單調(diào)遞增．由已知可得，所以，所以，即，其對稱中心為原點O，所以正方形的中心為原點O．設(shè)正方形ABCD的對角線AC所在的直線為，由得，所以，同理可得，由，得，即．令，則，所以或，所以這樣的正方形最多有2個．13．280 二項式的展開式的通項是，令，解得．故的展開式中的x的系數(shù)是．14． ，，又，所以函數(shù)在點處的切線方程為，把點代入可得．15． 如圖，因為，則取AB中點M，連接，可得，設(shè)，因為，則，又因為，則，，則．則．在中，，在中，，所以，解得．因為直線l的斜率為，所以，所以，，所以離心率．16．48 因為，由余弦定理得，整理得，所以．又因為，所以，因為，所以．由余弦定理可得，所以．因為，所以，解得．當(dāng)且僅當(dāng)時，等號成立，所以ab的最小值為48．17．解：（1）因為，所以．所以當(dāng)時，．兩式相減，得，即．所以．相減得，即．所以數(shù)列是等差數(shù)列．當(dāng)時，，解得．所以公差．所以．（2），當(dāng)n為奇數(shù)時，；當(dāng)n為偶數(shù)時，．綜上所述，18．（1）證明：由題意知PO⊥平面AOB，所以PO⊥AB．又點C為的中點，所以OC⊥AB，，所以AB⊥平面POC，又平面POC，所以PC⊥AB．（2）解：以O為原點，，，的方向分別作為x，y，z軸的正方向建立如圖所示的空間直角坐標(biāo)系，設(shè)，則，，，，所以，，．設(shè)平面PAB的法向量為，則取，可得平面PAB的一個法向量為，所以．19．解：（1）由題意，知解得所以橢圓C的方程為．（2）若存在滿足條件的點．當(dāng)直線l的斜率k存在時，設(shè)直線l的方程是，聯(lián)立，消去y得．設(shè)，，則，∵，∴要使對任意實數(shù)為定值，則只有，此時，．當(dāng)直線l與x軸垂直時，若，也有．故在x軸上存在點，使得直線QA與直線QB的斜率的和為定值0．20．解：（1）當(dāng)時，．欲證，即證，即證．令，則．當(dāng)時，，當(dāng)時，，所以函數(shù)的最大值為，故，所以．（2）函數(shù)的定義域為，，令，，當(dāng)時，，當(dāng)時，，所以函數(shù)在上單調(diào)遞增，在上單調(diào)遞減，函數(shù)的最大值為．由題意知，，，即實數(shù)a的取值范圍是．21．解：（1）在抽取的100人中，滿分的總?cè)藬?shù)為，男生滿分的有26人，所以女生滿分的有22人，男生共有46人，女生共有54人，所以男生跳繩個數(shù)不足180的有人，女生跳繩個數(shù)不足180的有人，完成的表2如下表所示：跳繩個數(shù)總計男生262046女生223254總計4852100由公式可得，因為，所以沒有95%的把握認(rèn)為學(xué)生1分鐘跳繩成績滿分與性別有關(guān)．（2）①根據(jù)頻率分布直方圖可得訓(xùn)練前的跳繩個數(shù)的平均數(shù)為，而，所以經(jīng)過一年訓(xùn)練后，，故X服從正態(tài)分布，且，，，，則，所以，故經(jīng)過一年訓(xùn)練后，1分鐘跳繩個數(shù)在內(nèi)的人數(shù)約為272．②由①知，總?cè)藬?shù)為272，男同學(xué)有136人，故抽取的6人中應(yīng)該為3男3女．那么，，，，則的分布列為0123P22．解：（1）依題意，直線的直角坐標(biāo)方程為，直線的直角坐標(biāo)方程為．由，得．∵，，，∴，即，曲線C的參數(shù)方程為（為參數(shù)）．（2）由得，由得，又，由余弦定理可得，∴的周長．23．解：（1）不等式即為，∴或或解得或或，綜上可得，∴不等式的解集為．（2）由（1）得作出函數(shù)的圖象，如圖所示：由于直線過定點，當(dāng)此直線經(jīng)過點時，可得；當(dāng)此直線與直線AD平行時，可得．結(jié)合圖象可知，當(dāng)直線與函數(shù)的圖象有公共點時，或．故實數(shù)k的范圍為． 

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