高二數(shù)學(xué)試卷注意事項(xiàng)：1．答題前，考生務(wù)必將自己的姓名、考生號(hào)、考場(chǎng)號(hào)、座位號(hào)填寫在答題卡上．2．回答選擇題時(shí)，選出每小題答案后，用鉛筆把答題卡上對(duì)應(yīng)題目的答案標(biāo)號(hào)涂黑．如需改動(dòng)，用橡皮擦干凈后，再選涂其他答案標(biāo)號(hào)．回答非選擇題時(shí)，將答案寫在答題卡上．寫在本試卷上無(wú)效．3．考試結(jié)束后，將本試卷和答題卡一并交回．4．本試卷主要考試內(nèi)容：人教A版選擇性必修第一冊(cè)、選擇性必修第二冊(cè)、選擇性必修第三冊(cè)至第七章．一、選擇題：本題共8小題，每小題5分，共40分．在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題目要求的．1．從5名老師和10名學(xué)生中各選1人組成一個(gè)小組，則不同的選法共有（    ）．A．15種 B．50種 C．105種 D．210種2．曲線在處的切線方程為（    ）．A． B． C． D．3．已知向量，，則向量在向量上的投影向量（    ）．A． B． C． D．4．已知隨機(jī)變量的分布列為（    ）．012Pa若，則（    ）．A． B． C． D．5．在一個(gè)5×5宮格中，有如圖所示的初始數(shù)陣，若從中任意選擇個(gè)宮格，將其相應(yīng)的數(shù)變?yōu)橄喾磾?shù)，得出新的數(shù)陣，則新的數(shù)陣中的所有數(shù)字的和所能取到的最小非負(fù)整數(shù)為（    ）．12345678910111213141516171819202122232425A．1 B．2 C．24 D．25．6．某班書(shū)法興趣小組有6名男生和4名女生，美術(shù)興趣小組有5名男生和5名女生．從書(shū)法興趣小組中任選2人，與原來(lái)的美術(shù)興趣小組成員組成新的美術(shù)興趣小組，然后再?gòu)男碌拿佬g(shù)興趣小組中任選1人，則選中的人是男生的概率為（    ）．A． B． C． D．7．如圖，已知雙曲線的右焦點(diǎn)為F，過(guò)點(diǎn)F的直線與雙曲線的兩條漸近線相交于M，N兩點(diǎn)．若，，，則雙曲線的離心率為（    ）．A． B． C．2 D．8．2022年12月3日，南昌市出土了東漢六棱錐體水晶珠靈擺吊墜，如圖（1）所示．現(xiàn)在我們通過(guò)DIY手工制作一個(gè)六棱錐吊墜模型．準(zhǔn)備一張圓形紙片，已知圓心為O，半徑為，該紙片上的正六邊形的中心為O，，，，，，為圓O上的點(diǎn)，如圖（2）所示．，，，，，分別是以，，，，，為底邊的等腰三角形．沿虛線剪開(kāi)后，分別以，，，，，為折痕折起，，，，，，使，，，，，重合，得到六棱錐，則六棱錐的體積最大時(shí)，正六邊形的邊長(zhǎng)為（    ）．A． B． C． D．二、選擇題：本題共4小題，每小題5分，共20分．在每小題給出的選項(xiàng)中，有多項(xiàng)符合題目要求．全部選對(duì)的得5分，部分選對(duì)的得2分，有選錯(cuò)的得0分．9．若，則，．已知，且，則（    ）．A．  B．C． D．10．已知圓，直線，則下列說(shuō)法正確的是（    ）．A．直線l過(guò)定點(diǎn)B．當(dāng)時(shí)，直線l與圓C相切C．當(dāng)時(shí)，過(guò)直線l上一點(diǎn)P向圓C作切線，切點(diǎn)為Q，則的最小值為D．若圓C上只有一個(gè)點(diǎn)到直線l的距離為1，則11．如圖，這是整齊的正方形道路網(wǎng)，其中小明、小華、小齊分別在道路網(wǎng)的A，B，C的三個(gè)交匯處，小明和小華分別隨機(jī)地選擇一條沿道路網(wǎng)的最短路徑，以相同的速度同時(shí)出發(fā)，去往B地和A地，小齊保持原地不動(dòng)，則下列說(shuō)法正確的有（    ）．A．小明可以選擇的不同路徑共有20種B．小明與小齊能相遇的不同路徑共有12種C．小明與小華能相遇的不同路徑共有164種D．小明、小華、小齊三人能相遇的概率為12．若不等式恒成立（其中e為自然對(duì)數(shù)的底數(shù)），則的值可能為（    ）．A． B． C． D．三、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分．13．已知M是拋物線上一點(diǎn)，則點(diǎn)M到直線的最短距離為__________．14．甲、乙等五人在某景區(qū)站成一排拍照留念，則甲不站在兩端，且甲、乙相鄰的不同站法有__________種．15．已知數(shù)列滿足，，，記，，O為坐標(biāo)原點(diǎn)，則面積的最大值為__________．16．已知函數(shù)，存在兩個(gè)極值點(diǎn)，，且，則a的取值范圍為__________，的取值范圍為__________．（本題第一空2分，第二空3分）四、解答題：本題共6小題，共70分．解答應(yīng)寫出文字說(shuō)明、證明過(guò)程或演算步驟．17．（10分）已知的展開(kāi)式中各項(xiàng)的系數(shù)和與各項(xiàng)的二項(xiàng)式系數(shù)和的和為275．（1）求n的值；（2）求展開(kāi)式中含項(xiàng)的系數(shù)．18．（12分）已知數(shù)列，滿足，．（1）若是等比數(shù)列，且9，，成等差數(shù)列，求的通項(xiàng)公式；（2）若是公差為2的等差數(shù)列，證明：．19．（12分）如圖，在四棱錐中，，，，E為棱的中點(diǎn)．（1）在直線上找一點(diǎn)F，使得直線平面，并說(shuō)明理由；（2）求二面角的余弦值．20．（12分）2023年2月2日，第27個(gè)世界濕地日中國(guó)主場(chǎng)宣傳活動(dòng)在杭州西溪國(guó)家濕地公園舉行，2023年世界濕地日將主題定為“濕地修復(fù)”．某校為增強(qiáng)學(xué)生保護(hù)生態(tài)環(huán)境的意識(shí)，舉行了以“要像保護(hù)眼睛一樣保護(hù)自然和生態(tài)環(huán)境”為主題的知識(shí)競(jìng)賽，比賽分為三輪，每輪先朗誦一段愛(ài)護(hù)環(huán)境知識(shí)，再答3道試題，每答錯(cuò)一道題，用時(shí)額外加20秒，最終規(guī)定用時(shí)最少者獲勝．已知甲、乙兩人參加比賽，甲每道試題答對(duì)的概率均為，乙每道試題答對(duì)的概率均為，甲每輪朗誦的時(shí)間均比乙少10秒，假設(shè)甲、乙兩人答題用時(shí)相同，且每道試題是否答對(duì)互不影響．（1）若甲、乙兩人在第一輪和第二輪答對(duì)的試題的總數(shù)量相等，求最終乙獲勝的概率；（2）請(qǐng)用統(tǒng)計(jì)學(xué)的知識(shí)解釋甲和乙誰(shuí)獲勝的可能性更大．21．（12分）已知離心率為的橢圓經(jīng)過(guò)點(diǎn)．（1）求橢圓C的方程．（2）不經(jīng)過(guò)點(diǎn)A且斜率為k的直線l與橢圓C相交于P，Q兩點(diǎn)，若直線與直線的斜率之積為，試問(wèn)k是否為定值？若是，求出該定值；若不是，說(shuō)明理由．22．（12分）已知函數(shù)．（1）若，求的單調(diào)區(qū)間；（2）當(dāng)時(shí)，證明：在，上各有一個(gè)零點(diǎn)，且這兩個(gè)零點(diǎn)互為倒數(shù)．   高二數(shù)學(xué)試卷參考答案1．B   根據(jù)分步乘法計(jì)數(shù)原理知，不同的選法共有種．2．D因?yàn)?/span>，所以，則當(dāng)時(shí)，，，故曲線在處的切線方程為．3．B因?yàn)橄蛄?/span>，，所以向量在向量上的投影向量．4．B由，得，則，．因?yàn)?/span>，所以．5．A因?yàn)檫@25個(gè)數(shù)成等差數(shù)列，所以根據(jù)等差數(shù)列的性質(zhì)：當(dāng)時(shí)，，可知新的代數(shù)和所能取到的最小非負(fù)整數(shù)為1．6．C記A＝“從新的美術(shù)興趣小組中任選的1人為男生”，“從書(shū)法興趣小組中任選的2人均是男生”，“從書(shū)法興趣小組中任選的2人為1男1女”，“從書(shū)法興趣小組中任選的2人均是女生”，則，，，．7．A設(shè)，，因?yàn)?/span>，所以，．又，所以，則，．因?yàn)?/span>，所以．又，所以，所以，則，則．8．D連接，交于點(diǎn)H，則．設(shè)，則，．因?yàn)?/span>，所以．六棱錐的高．正六邊形的面積，則六棱錐的體積．令函數(shù)，，則，當(dāng)時(shí)，，當(dāng)時(shí)，，所以在上單調(diào)遞增，在上單調(diào)遞減，所以當(dāng)時(shí)，正六棱錐的體積最大，此時(shí)正六邊形的底面邊長(zhǎng)為．9．AC因?yàn)?/span>，且，所以，解得．．故選AC．10．BC由，得，即l恒過(guò)點(diǎn)，故A錯(cuò)誤．由，得或，故B正確．若，則圓心C到直線l的距離．因?yàn)?/span>，所以，故C正確．若圓C上只有一個(gè)點(diǎn)到直線l的距離為1，則圓心C到直線l的距離．由，得，故D錯(cuò)誤．11．ACD小明從A到B需要走6步，其中有3步向上走，3步向右走，小明可以選擇的不同路徑共有種，A正確．小明與小齊相遇，則小明經(jīng)過(guò)C，小明從A經(jīng)過(guò)C需要走3步，其中1步向右走，2步向上走，方法數(shù)為，再?gòu)?/span>C到B也有3種方法，所以小明與小齊能相遇的不同路徑共有9種，B不正確．小明與小華的速度相同，故雙方相遇時(shí)都走了3步，不同路徑共有種，C正確．小明從A到B的不同路徑共有種，小華從B到A的不同路徑共有種，所以一共有400種，則小明、小華、小齊三人相遇的概率，D正確．12．ABD因?yàn)?/span>，所以，則．令，則．當(dāng)時(shí)，，單調(diào)遞減；當(dāng)時(shí)，，單調(diào)遞增．故，即，從而，當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)，等號(hào)成立．又，所以，則，所以．令，則．當(dāng)時(shí)，，單調(diào)遞減；當(dāng)時(shí)，，單調(diào)遞增．故，且當(dāng)時(shí)，，故選ABD．13．設(shè)，則點(diǎn)M到直線的距離．14．36   由題意可得滿足條件的不同站法有種．15．4因?yàn)?/span>，所以，即．因?yàn)?/span>，所以是以4為首項(xiàng)，為公比的等比數(shù)列，，所以．因?yàn)?/span>2，所以．．令函數(shù)，則．當(dāng)時(shí)，，所以，且在上單調(diào)遞減．，故面積的最大值為4．16．；由，，得．因?yàn)?/span>存在兩個(gè)極值點(diǎn)，，且，所以，，則，則．令，，則，則，故．17．解：（1）令，則展開(kāi)式中各項(xiàng)的系數(shù)和為，且二項(xiàng)式系數(shù)和為，（2分）則，（3分）令，，易知單調(diào)遞增，且，故．（5分）（2）展開(kāi)式的通項(xiàng)公式為，（7分）由，得，（8分）則展開(kāi)式中含項(xiàng)的系數(shù)為．（10分）18．（1）解：設(shè)的公比為q，因?yàn)?/span>9，，成等差數(shù)列，所以．（1分）又，所以，解得．（3分）由，得．（4分）因?yàn)?/span>，所以．（6分）（2）證明：因?yàn)?/span>是首項(xiàng)為1，公差為2的等差數(shù)列，所以，．（7分）由，得，（8分）則（10分）．（11分）．（12分）19．解：（1）F為的中點(diǎn)．理由如下：連接，．（1分）因?yàn)?/span>E，F分別為棱，的中點(diǎn)，所以．（2分）因?yàn)?/span>，，所以，，所以四邊形為平行四邊形，所以．（4分）因?yàn)?/span>，，所以平面平面．（5分）因?yàn)?/span>平面，所以平面．（6分）（2）因?yàn)?/span>，所以以D為原點(diǎn)，，的方向分別為x軸，y軸的正方向建立如圖所示的空間直角坐標(biāo)系．（7分）設(shè)，則，，，．設(shè)平面的法向量為，因?yàn)?/span>，，（8分）所以，令，得．（9分）設(shè)平面的法向量為，因?yàn)?/span>，，（10分）所以，令，得．（11分）設(shè)二面角為，則為銳角，所以，故二面角的余弦值為．（12分）20．解：（1）因?yàn)榧住⒁覂扇嗽诘谝惠喓偷诙喆饘?duì)的試題的總數(shù)量相同，且甲每輪朗誦的時(shí)間均比乙少10秒，所以第三輪答題中乙要比甲多答對(duì)2道題以上才能獲勝．（1分）若乙答對(duì)2道試題，甲答對(duì)0道試題，則，（2分）若乙答對(duì)3道試題，甲答對(duì)0道試題，則，（3分）若乙答對(duì)3道試題，甲答對(duì)1道試題，則，（4分）所以乙獲勝的概率．（6分）（2）由題意設(shè)甲在比賽中答錯(cuò)的題的數(shù)量為X，乙在比賽中答錯(cuò)的題的數(shù)量為Y，則，，（8分）則，，（9分）則甲因答錯(cuò)試題額外增加的時(shí)間的期望值為秒，（10分）乙因答錯(cuò)試題額外增加的時(shí)間的期望值為秒．（11分）因?yàn)槿喼?，甲朗誦的時(shí)間比乙少30秒，所以最后甲所用的時(shí)間的期望比乙少18秒，所以甲獲勝的可能性更大．（12分）21．解：（1）由題可知，，（2分）解得，故橢圓C的方程為．（4分）（2）設(shè)直線l的方程為，，，聯(lián)立方程組，整理得，（5分）則，，．（6分），（8分）整理得．（10分）因?yàn)?/span>l不經(jīng)過(guò)點(diǎn)A，所以，所以，即，（11分）故k為定值，且該定值為．（12分）22．（1）解：因?yàn)?/span>，所以，，則．（1分）令，則．（2分）令，得．當(dāng)時(shí)，，單調(diào)遞減，當(dāng)時(shí)，，單調(diào)遞增，（3分）所以，即，（4分）故的單調(diào)遞增區(qū)間為，無(wú)單調(diào)遞減區(qū)間．（5分）（2）證明：．（6分）令，，則．（7分）因?yàn)?/span>，所以有兩個(gè)不相等的實(shí)數(shù)根，，且，，不妨設(shè)．（8分）當(dāng)時(shí)，，單調(diào)遞增；當(dāng)時(shí)，，單調(diào)遞減；當(dāng)時(shí)，，單調(diào)遞增．（9分）因?yàn)?/span>，所以，．因?yàn)?/span>，當(dāng)時(shí)，，當(dāng)時(shí)，，所以在上存在一個(gè)零點(diǎn)，在上存在一個(gè)零點(diǎn)1，在上存在一個(gè)零點(diǎn)．故在，上各有一個(gè)零點(diǎn)，分別為，．（10分）由，得，（11分）則，所以兩個(gè)零點(diǎn)，互為倒數(shù)．（12分） 
 

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