高二數(shù)學(xué)試卷注意事項(xiàng)：1.答題前，考生務(wù)必將自己的姓名、考生號(hào)、考場(chǎng)號(hào)、座位號(hào)填寫在答題卡上.2.回答選擇題時(shí)，選出每小題答案后，用鉛筆把答題卡上對(duì)應(yīng)題目的答案標(biāo)號(hào)涂黑.如需改動(dòng)，用橡皮擦干凈后，再選涂其他答案標(biāo)號(hào).回答非選擇題時(shí)，將答案寫在答題卡上.寫在本試卷上無(wú)效.3.考試結(jié)束后，將本試卷和答題卡一并交回.4.本試卷主要考試內(nèi)容：北師大版選擇性必修第二冊(cè)第一章占30%，第二章第1節(jié)至第5節(jié)占70%.一、選擇題：本題共8小題，每小題5分，共40分.在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題目要求的.1. 在等比數(shù)列中，若，，則（    ）A.  B. 9 C. 15 D. 7【答案】A【解析】【分析】由等比數(shù)列的性質(zhì)可得.【詳解】.故選：A.2. 已知，則（    ）A. 1 B. 3 C. 6 D. 9【答案】D【解析】【分析】利用導(dǎo)數(shù)的定義式以及極限的性質(zhì)可求答案.【詳解】.故選：D.3. 已知函數(shù)的導(dǎo)函數(shù)為，的圖象如圖所示，則（    ）A.  B. C.  D. 【答案】B【解析】【分析】根據(jù)已知條件作出切線，利用導(dǎo)數(shù)的幾何意義及斜率的定義即可求解.【詳解】依次作出函數(shù)在處的切線，如圖所示根據(jù)導(dǎo)數(shù)的幾何意義及圖形中切線的斜率可知，．故選：B.4. 已知為函數(shù)圖象上一點(diǎn)，則曲線在點(diǎn)處的切線的斜率的最小值為（    ）A. 0 B. 1 C. 2 D. 【答案】C【解析】【分析】根據(jù)導(dǎo)數(shù)的幾何意義可得曲線在點(diǎn)處的切線的斜率，結(jié)合基本不等式計(jì)算即可求解.【詳解】的定義域?yàn)?/span>.，故曲線在點(diǎn)處的切線的斜率的最小值為2.故選：C.5. 現(xiàn)代建筑講究線條感，曲線之美讓人稱奇.衡量曲線彎曲程度的重要指標(biāo)是曲率，曲線的曲率定義如下：若是的導(dǎo)函數(shù)，是的導(dǎo)函數(shù)，則曲線在點(diǎn)處的曲率.函數(shù)的圖象在處的曲率為（    ）A.  B.  C.  D. 【答案】D【解析】【分析】求出、，代值計(jì)算可得出函數(shù)的圖象在處的曲率.【詳解】因?yàn)?/span>，所以，，所以，，所以故選：D.6. 已知，則（    ）A. 1 B. 9 C. 18 D. 【答案】D【解析】【分析】兩邊求導(dǎo)，再利用賦值法，即可求解.【詳解】對(duì)等式兩邊求導(dǎo)，可得.令，可得.故選：D.7. 若函數(shù)滿足，則（    ）A.  B.  C.  D. 【答案】B【解析】【分析】易得，再將兩邊同時(shí)求導(dǎo)即可得解.【詳解】因?yàn)?/span>，所以為偶函數(shù)，將兩邊同時(shí)求導(dǎo)得，所以.故選：B.8. 設(shè)數(shù)列的前項(xiàng)和為，若，則稱數(shù)列是數(shù)列的“均值數(shù)列”.已知數(shù)列是數(shù)列的“均值數(shù)列”，且，則（    ）A.  B.  C.  D. 【答案】C【解析】【分析】根據(jù)題意求出和，從而求出，即可求解.【詳解】因?yàn)?/span>，①所以，，②①-②得，，所以，故故，.故選：C.二、選擇題：本題共4小題，每小題5分，共20分.在每小題給出的選項(xiàng)中，有多項(xiàng)符合題目要求.全部選對(duì)的得5分，部分選對(duì)的得2分，有選錯(cuò)的得0分.9. 下列求導(dǎo)正確的是（    ）A. 若，則 B. 若，則C. 若，則 D. 若，則【答案】BCD【解析】【分析】利用導(dǎo)數(shù)的求導(dǎo)法則及復(fù)合函數(shù)求導(dǎo)可得答案.【詳解】若，則，故A錯(cuò)誤；若，則，故B正確；若，則，故C正確；若，則，故D正確；故選：BCD.10. 過(guò)點(diǎn)且與曲線相切的直線的方程為（    ）A.  B.  C.  D. 【答案】BC【解析】【分析】設(shè)過(guò)點(diǎn)的切線與曲線相切于點(diǎn)，根據(jù)導(dǎo)數(shù)的幾何意義求出切線方程，再根據(jù)切線過(guò)點(diǎn)求出，即可得解.【詳解】設(shè)過(guò)點(diǎn)的切線與曲線相切于點(diǎn)，因?yàn)?/span>，則曲線在點(diǎn)處的切線斜率為，所以切線方程為，因?yàn)榍芯€過(guò)點(diǎn)，所以，解得或，故切線方程為或.故選：BC.11. 已知曲線在處的切線與曲線在處的切線重合，則（    ）A.  B. C.  D. 曲線在處的切線方程為【答案】ACD【解析】【分析】根據(jù)求導(dǎo)法則以及導(dǎo)數(shù)的幾何意義可得答案.【詳解】由題意可得，曲線在處的切線方程為.令，則，即，A正確.，曲線在處的切線方程為，即，所以解得，，B錯(cuò)誤，C正確.曲線在處的切線方程為，D正確.故選：ACD.12. 在如圖所示的數(shù)表中，第1行是從1開始的正整數(shù)，從第2行開始每個(gè)數(shù)是它肩上兩個(gè)數(shù)之和，則（    ）1   2   3   4   5    6   …3   5   7   9   11  …8  12  16   20  ……A. 第2023行第1個(gè)數(shù)為B. 第2023行的數(shù)從左到右構(gòu)成公差為的等差數(shù)列C. 第2023行第2023個(gè)數(shù)為D. 數(shù)表中小于50的數(shù)有89個(gè)【答案】ACD【解析】【分析】由表中數(shù)據(jù)可知，每行是等差數(shù)列，第行的公差為，每一行的第一個(gè)數(shù)構(gòu)成數(shù)列，結(jié)合遞推關(guān)系得，進(jìn)而依次討論各選項(xiàng)即可得答案.【詳解】數(shù)表中，每行是等差數(shù)列，且第一行的公差為1，第二行的公差為2，第三行的公差為4，第行的公差為.設(shè)每一行的第一個(gè)數(shù)構(gòu)成數(shù)列，由數(shù)表可得，即所以，，，即數(shù)列是以為首項(xiàng)，為公差的等差數(shù)列，所以，即，所以，第2023行第1個(gè)數(shù)為，A正確.第2023行的數(shù)從左到右構(gòu)成公差為的等差數(shù)列，B錯(cuò)誤.第2023行第2023個(gè)數(shù)為，C正確.第1行小于50的數(shù)有49個(gè)；第2行的數(shù)構(gòu)成的數(shù)列的通項(xiàng)公式為，令，解得，則第2行小于50的數(shù)字有24個(gè)；第3行的數(shù)構(gòu)成的數(shù)列的通項(xiàng)公式為，令，解得，則第3行小于50的數(shù)有11個(gè)；第4行的數(shù)構(gòu)成的數(shù)列的通項(xiàng)公式為，令，解得，則第4行小于50的數(shù)有4個(gè)；第5行的數(shù)構(gòu)成的數(shù)列的通項(xiàng)公式為，令，解得，則第5行小于50的數(shù)有1個(gè).故數(shù)表中小于50的數(shù)有89個(gè)，D正確.故選：ACD【點(diǎn)睛】關(guān)鍵點(diǎn)點(diǎn)睛：本題解題的關(guān)鍵在于建立等差數(shù)列模型，進(jìn)而根據(jù)每一行的第一個(gè)數(shù)構(gòu)成數(shù)列的遞推關(guān)系求解的通項(xiàng)公式，進(jìn)而實(shí)現(xiàn)問(wèn)題解決.三、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分.把答案填在答題卡的相應(yīng)位置.13. 函數(shù)在區(qū)間上的平均變化率為______.【答案】  【解析】【分析】根據(jù)平均變化率的公式進(jìn)行求解即可.【詳解】解：函數(shù)在區(qū)間上的平均變化率為.故答案為：14. 已知函數(shù)，則________.【答案】##-0.5【解析】【分析】將作為常量對(duì)求導(dǎo)，得到導(dǎo)函數(shù)，再將作為未知量求解即可.【詳解】由解析式知：，即，解得.故答案為：.15. 一個(gè)裝有水的圓柱形水杯水平放在桌面上，在杯內(nèi)放入一個(gè)圓柱形鐵塊后，水面剛好和鐵塊的上底面齊平，如圖所示．已知該水杯的底面圓半徑為6 cm，鐵塊底面圓半徑為3 cm，放入鐵塊后的水面高度為6 cm，若從時(shí)刻開始，將鐵塊以1 cm/s的速度豎直向上勻速提起，在鐵塊沒(méi)有完全離開水面的過(guò)程中，水面將______（填“勻速”或“非勻速”）下降；在時(shí)刻，水面下降的速度為______ cm/s．【答案】    ①. 勻速    ②. 【解析】【分析】由圓柱形鐵塊豎直向上勻速提起，可得水面勻速下降；根據(jù)已知得出水面高度H與時(shí)刻的函數(shù)關(guān)系，通過(guò)導(dǎo)數(shù)求瞬時(shí)速度.【詳解】設(shè)在鐵塊沒(méi)有完全離開水面的過(guò)程中，水面高度為H，鐵塊離開水面的高度為h，則水和鐵塊的體積為，即①．鐵塊距離杯底的高度為②．由①②可得．令函數(shù)，則．故水面將勻速下降，下降的速度為．故答案為：勻速；.16. 已知數(shù)列滿足，，若對(duì)任意，，不等式恒成立，則的取值范圍為______.【答案】【解析】【分析】將兩邊同除，即可得到，從而得到為常數(shù)數(shù)列，即可求出的通項(xiàng)公式，則，原題等價(jià)于對(duì)任意恒成立，令，則，即可求出參數(shù)的取值范圍.【詳解】因?yàn)?/span>，所以，即，所以，所以為常數(shù)數(shù)列，即，可得，所以，所以原題等價(jià)于對(duì)任意恒成立，令，，則，即，解得，所以實(shí)數(shù)的取值范圍為.故答案為：四、解答題：本題共6小題，共70分.解答應(yīng)寫出必要的文字說(shuō)明、證明過(guò)程或演算步驟.17. 求下列函數(shù)的導(dǎo)數(shù)：（1）；（2）.【答案】（1）    （2）【解析】【分析】（1）利用商的求導(dǎo)法則可得答案；（2）利用積的求導(dǎo)法則以及復(fù)合函數(shù)求導(dǎo)法則可得答案.【小問(wèn)1詳解】；【小問(wèn)2詳解】.18. 設(shè)某高山滑雪運(yùn)動(dòng)員在一次滑雪訓(xùn)練中滑行路程（單位：m）與時(shí)間（單位：s）滿足關(guān)系式.（1）當(dāng)時(shí)，求該運(yùn)動(dòng)員的滑雪速度；（2）當(dāng)該運(yùn)動(dòng)員的滑雪路程為37m時(shí)，求此時(shí)的滑雪速度.【答案】（1）    （2）【解析】【分析】（1）根據(jù)路程與時(shí)間關(guān)系，求解即可得答案；（2）解方程得，再求即可.【小問(wèn)1詳解】解：因?yàn)?/span>，所以，所以當(dāng)時(shí)，該運(yùn)動(dòng)員的滑雪速度為.【小問(wèn)2詳解】解：由題意得，解得或（舍去）.因?yàn)?/span>，所以，當(dāng)運(yùn)動(dòng)員的滑雪路程為37m時(shí)，此時(shí)的滑雪速度為.19. 已知正項(xiàng)數(shù)列前項(xiàng)積為，.（1）證明：數(shù)列為等差數(shù)列.（2）設(shè)數(shù)列的前項(xiàng)和為，證明：.【答案】（1）證明見解析    （2）證明見解析【解析】【分析】（1）當(dāng)時(shí)，由結(jié)合變形可得出，結(jié)合等差數(shù)列的定義可證得結(jié)論成立；（2）求出，可求得數(shù)列的表達(dá)式，可得出，求出，即可證得結(jié)論成立.【小問(wèn)1詳解】證明：當(dāng)時(shí)，，即.當(dāng)時(shí)，，得（舍去），所以數(shù)列是以為首項(xiàng)，為公差的等差數(shù)列.【小問(wèn)2詳解】證明：由（1）得.因?yàn)?/span>，所以，..20. 已知函數(shù)的圖象經(jīng)過(guò)點(diǎn)，曲線在處的切線與軸平行.（1）求，的值.（2）試問(wèn)曲線上任一點(diǎn)處的切線與軸和直線所圍成的三角形的面積是否為定值？若是，求出該定值；若不是，請(qǐng)說(shuō)明理由.【答案】（1）    （2）定值，2【解析】【分析】（1）由可得，由導(dǎo)數(shù)的幾何意義可得，即可求出a、b；（2）由（1），根據(jù)導(dǎo)數(shù)的幾何意義求出曲線在點(diǎn)處的切線方程，令求出切線與軸的交點(diǎn)B坐標(biāo)，切線方程聯(lián)立直線方程，求出交點(diǎn)C坐標(biāo)，再求出直線與y軸的交點(diǎn)D，結(jié)合三角形面積公式計(jì)算即可求解.【小問(wèn)1詳解】因?yàn)?/span>，所以.，因?yàn)榍€在處的切線與軸平行，所以，解得，經(jīng)檢驗(yàn)，符合題意，故；【小問(wèn)2詳解】由（1）可得，.在曲線上任取一點(diǎn)，則曲線在處的切線方程為.令，可得，所以切線與軸交于點(diǎn).聯(lián)立解得所以切線與直線交于點(diǎn)直線與軸交于點(diǎn)，則，所以.故曲線上任一點(diǎn)處的切線與軸和直線所圍成的三角形的面積為定值2.21. 已知函數(shù)，.（1）當(dāng)時(shí)，求曲線在處的切線方程.（2）若，是否存在直線與曲線和都相切？若存在，求出直線的方程（若直線的方程含參數(shù)，則用表示）；若不存在，請(qǐng)說(shuō)明理由.【答案】（1）    （2）存在，或【解析】【分析】（1）根據(jù)導(dǎo)數(shù)的幾何意義，先求導(dǎo)數(shù)得到切線的斜率，利用點(diǎn)斜式可得方程；（2）先求兩個(gè)函數(shù)的導(dǎo)數(shù)，利用公切線建立等量關(guān)系，求解方程可得答案.【小問(wèn)1詳解】當(dāng)時(shí)，，，.曲線在處的切線方程為，即.【小問(wèn)2詳解】設(shè)直線與曲線相切于點(diǎn)，與曲線相切于點(diǎn)，，.曲線在點(diǎn)A處的切線為，與曲線相切于點(diǎn)，則且（*），由，則，代入（*）得，解得或.當(dāng)時(shí)，直線.當(dāng)時(shí)，，直線.故存在直線與曲線和都相切，直線的方程為或.22. 已知等比數(shù)列的前項(xiàng)和為，公比，.（1）求通項(xiàng)公式；（2）設(shè)，記的前項(xiàng)和為，若對(duì)于任意恒成立，求的取值范圍.【答案】（1）    （2）【解析】【分析】（1）利用等比數(shù)列的求和公式可求得的值，再利用等比數(shù)列的通項(xiàng)公式可求得數(shù)列的通項(xiàng)公式；（2）求出數(shù)列的通項(xiàng)公式，利用錯(cuò)位相減法可求得的表達(dá)式，由參變量分離法可得出，令，分析數(shù)列的單調(diào)性，求出數(shù)列最小項(xiàng)的值，即可出實(shí)數(shù)的取值范圍.【小問(wèn)1詳解】解：因?yàn)?/span>，所以，整理得，解得，所以.【小問(wèn)2詳解】解：因?yàn)?/span>，所以，所以，，兩式相減得，所以，因?yàn)?/span>對(duì)于恒成立，所以，即，令函數(shù)，則，所以單調(diào)遞增，，所以，.故的取值范圍為.
 

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