2023年福建省龍巖市長汀縣中考數(shù)學(xué)一模試卷一、選擇題（本大題共10小題，共40.0分。在每小題列出的選項(xiàng)中，選出符合題目的一項(xiàng)）1.  的倒數(shù)為(    )A.  B.  C.  D. 2.  在下面的四個(gè)幾何體中，主視圖是三角形的是(    )A. 圓錐 B. 正方體
C. 三棱柱 D. 圓柱3.  某市有萬名學(xué)生參加中考，為了考察他們的數(shù)學(xué)考試成績，抽樣調(diào)查了名考生的數(shù)學(xué)成績，在這個(gè)問題中，下列說法正確的是(    )A. 萬名考生是總體 B. 每名考生的數(shù)學(xué)成績是個(gè)體
C. 名考生是總體的一個(gè)樣本 D. 名是樣本容量4.  下列運(yùn)算正確的是(    )A.  B.  C.  D. 5.  將一副三角板按如圖所示的位置擺放在直尺上，則的度數(shù)為(    )
A.  B.  C.  D. 6.  如圖，為鈍角三角形，將繞點(diǎn)按逆時(shí)針方向旋轉(zhuǎn)得到，連接，若，則的度數(shù)為(    )
 A.  B.  C.  D. 7.  習(xí)近平總書記指出，中華優(yōu)秀傳統(tǒng)文化是中華民族的“根”和“魂”為了大力弘揚(yáng)中華優(yōu)秀傳統(tǒng)文化，某校決定開展名著閱讀活動(dòng)．用元購買“四大名著”若干套后，發(fā)現(xiàn)這批圖書滿足不了學(xué)生的閱讀需求，圖書管理員在購買第二批時(shí)正趕上圖書城八折銷售該套書，于是用元購買的套數(shù)只比第有批少套．設(shè)第一批購買的“四大名著”每套的價(jià)格為元，則符合題意的方程是(    )A.  B.
C.  D. 8.  如圖，是半圓的直徑，，是半圓上兩點(diǎn)，且滿足，，則的長為(    )A.
B.
C.
D. 9.  如圖，四邊形是邊長為的菱形，且有一個(gè)內(nèi)角為，現(xiàn)將其繞點(diǎn)順時(shí)針旋轉(zhuǎn)得到菱形，線段與線段交于點(diǎn)，連接當(dāng)五邊形為正五邊形時(shí)，長為(    )A.
B.
C.
D. 10.  已知拋物線，拋物線與軸交于，兩點(diǎn)，則，，，的大小關(guān)系是(    )A.  B.
C.  D. 二、填空題（本大題共6小題，共24.0分）11.  不等式的解集是        ．12.  小麗計(jì)算數(shù)據(jù)方差時(shí)，使用公式，則公式中        ．13.  如圖，在中，，把沿射線方向平移個(gè)單位至處，與交于點(diǎn)若，則圖中陰影部分的面積為______ ．
 14.  如圖，在中，，，是的內(nèi)切圓，分別與、、相切于點(diǎn)、、，則圓心到頂點(diǎn)的距離        ．
 15.  如圖，，是反比例函數(shù)圖象上的點(diǎn)，過點(diǎn)，分別作軸，軸，垂足分別是點(diǎn)，，連接，，，線段交于點(diǎn)，且恰好是的中點(diǎn)．當(dāng)的面積為時(shí)，的值是______．
 16.  如圖，正方形中，是線段上一動(dòng)點(diǎn)，連接交于點(diǎn)，過點(diǎn)作交于點(diǎn)，連接，，現(xiàn)有以下結(jié)論：是等腰直角三角形；；點(diǎn)到的距離等于正方形的邊長；當(dāng)點(diǎn)運(yùn)動(dòng)到的三等分點(diǎn)時(shí)，或以上結(jié)論正確的有______ ．
 三、計(jì)算題（本大題共1小題，共6.0分）17.  計(jì)算：．四、解答題（本大題共8小題，共80.0分。解答應(yīng)寫出文字說明，證明過程或演算步驟）18.  本小題分
先化簡，再求值：，請(qǐng)?jiān)跀?shù)，，中選取一個(gè)合適的數(shù)作為的值代入求值．19.  本小題分
如圖，在中，點(diǎn)，分別在邊及的延長線上，且．
實(shí)踐與探索：利用尺規(guī)按下列要求作圖不寫作法，保留作圖痕跡．
作，且點(diǎn)在的上方；
在上截取；
連接．
猜想與驗(yàn)證：試猜想線段和的數(shù)量關(guān)系，并證明你的猜想．
20.  本小題分
如圖，在?中，是邊上一點(diǎn)，連接、、若，求證：．
21.  本小題分
某校在宣傳“民族團(tuán)結(jié)”活動(dòng)中，采用四種宣傳形式：器樂，舞蹈，朗誦，唱歌每名學(xué)生從中選擇并且只能選擇一種最喜歡的，學(xué)校就宣傳形式對(duì)學(xué)生進(jìn)行了抽樣調(diào)查，并將調(diào)查結(jié)果繪制了如下兩幅不完整的統(tǒng)計(jì)圖．

請(qǐng)結(jié)合圖中所給信息，解答下列問題：
本次調(diào)查的學(xué)生共有______ 人；扇形統(tǒng)計(jì)圖中表示選項(xiàng)的扇形圓心角的度數(shù)是______ ，并補(bǔ)全條形統(tǒng)計(jì)圖；
該校共有名學(xué)生，請(qǐng)估計(jì)選擇“唱歌”的學(xué)生有多少人？
七年一班在最喜歡“器樂”的學(xué)生中，有甲、乙、丙、丁四位同學(xué)表現(xiàn)優(yōu)秀，現(xiàn)從這四位同學(xué)中隨機(jī)選出兩名同學(xué)參加學(xué)校的器樂隊(duì)，請(qǐng)用列表或畫樹狀圖法求被選取的兩人恰好是甲和乙的概率．22.  本小題分
紅燈籠，象征著闔家團(tuán)圓，紅紅火火，掛燈籠成為我國的一種傳統(tǒng)文化．小明在春節(jié)前購進(jìn)甲、乙兩種紅燈籠，用元購進(jìn)甲燈籠與用元購進(jìn)乙燈籠的數(shù)量相同，已知乙燈籠每對(duì)進(jìn)價(jià)比甲燈籠每對(duì)進(jìn)價(jià)多元．
求甲、乙兩種燈籠每對(duì)的進(jìn)價(jià)；
經(jīng)市場(chǎng)調(diào)查發(fā)現(xiàn)，乙燈籠每對(duì)售價(jià)元時(shí)，每天可售出對(duì)，售價(jià)每提高元，則每天少售出對(duì)：物價(jià)部門規(guī)定其銷售單價(jià)不高于每對(duì)元，設(shè)乙燈籠每對(duì)漲價(jià)元，小明一天通過乙燈籠獲得利潤元．
求出與之間的函數(shù)解析式；
乙種燈籠的銷售單價(jià)為多少元時(shí)，一天獲得利潤最大？最大利潤是多少元？23.  本小題分
如圖，在中，，以為直徑作，交于點(diǎn)，過點(diǎn)作交延長線于點(diǎn)，為上一點(diǎn)，且．
求證：為的切線；
若，，求的長．
24.  本小題分
已知菱形中，，點(diǎn)、分別在、上，，與交于點(diǎn)．
求證：；
當(dāng)，時(shí)，求的長；
當(dāng)時(shí)，求的最大值．
25.  本小題分
如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，拋物線與軸交于點(diǎn)，與軸交于點(diǎn)，已知．
求拋物線的函數(shù)表達(dá)式；
如圖，點(diǎn)為拋物線上的點(diǎn)，且點(diǎn)的橫坐標(biāo)為，是拋物線上異于點(diǎn)的點(diǎn)，連接，，當(dāng)，求點(diǎn)的橫坐標(biāo)；
如圖，點(diǎn)為直線上方拋物線上一點(diǎn)，交于點(diǎn)，交于點(diǎn)記，，的面積分別為，，求的最大值．

答案和解析 1.【答案】 【解析】解：，
的倒數(shù)為．
故選C．
直接根據(jù)倒數(shù)的定義即可得出結(jié)論．
本題考查的是倒數(shù)的定義，熟知乘積是的兩數(shù)互為倒數(shù)是解答此題的關(guān)鍵．
 2.【答案】 【解析】解：該圓錐主視圖是等腰三角形，故A符合題意；
B.該正方體主視圖是正方形，故B不符合題意；
C.該三棱柱的主視圖是矩形，故C不符合題意；
D.該圓柱主視圖是矩形，故D不符合題意；
故選：．
根據(jù)從正面看得到的圖形是主視圖，可得答案．
本題考查了簡單幾何體的三視圖，從正面看得到的圖形是主視圖．
 3.【答案】 【解析】解：、萬名學(xué)生的數(shù)學(xué)成績是總體，故A不符合題意；
B、其中的每名考生的數(shù)學(xué)成績是個(gè)體，故B符合題意；
C、名考生的數(shù)學(xué)成績是總體的一個(gè)樣本，故C不符合題意；
D、是樣本容量，故D不符合題意；
故選：．
總體是指考查的對(duì)象的全體，個(gè)體是總體中的每一個(gè)考查的對(duì)象，樣本是總體中所抽取的一部分個(gè)體，而樣本容量則是指樣本中個(gè)體的數(shù)目．我們?cè)趨^(qū)分總體、個(gè)體、樣本、樣本容量，這四個(gè)概念時(shí)，首先找出考查的對(duì)象．從而找出總體、個(gè)體．再根據(jù)被收集數(shù)據(jù)的這一部分對(duì)象找出樣本，最后再根據(jù)樣本確定出樣本容量．
本題考查了總體、個(gè)體、樣本、樣本容量，解題要分清具體問題中的總體、個(gè)體與樣本，關(guān)鍵是明確考查的對(duì)象．總體、個(gè)體與樣本的考查對(duì)象是相同的，所不同的是范圍的大?。畼颖救萘渴菢颖局邪膫€(gè)體的數(shù)目，不能帶單位．
 4.【答案】 【解析】解：、，故A不符合題意；
B、，故B不符合題意；
C、，故C符合題意；
D、，故D不符合題意；
故選：．
利用同底數(shù)冪的除法的法則，合并同類項(xiàng)的法則，同底數(shù)冪的乘法的法則，冪的乘方的法則對(duì)各項(xiàng)進(jìn)行運(yùn)算即可．
本題主要考查同底數(shù)冪的除法，合并同類項(xiàng)，冪的乘方，同底數(shù)冪的乘法，解答的關(guān)鍵是對(duì)相應(yīng)的運(yùn)算法則的掌握．
 5.【答案】 【解析】解：如圖，

，
，
，
，
故選：．
利用三角形內(nèi)角和定理和平行線的性質(zhì)解題即可．
此題考查平行線的性質(zhì)，關(guān)鍵是根據(jù)兩直線平行，同位角相等解答．
 6.【答案】 【解析】解：將繞點(diǎn)按逆時(shí)針方向旋轉(zhuǎn)得到，
，，
，
，
，
，
故選：．
由旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)可得，，由等腰三角形的性質(zhì)可得，由平行線的性質(zhì)可得，即可求解．
本題考查了旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)：旋轉(zhuǎn)前后兩圖形全等；對(duì)應(yīng)點(diǎn)到旋轉(zhuǎn)中心的距離相等；對(duì)應(yīng)點(diǎn)與旋轉(zhuǎn)中心的連線段的夾角等于旋轉(zhuǎn)角，也考查了等腰三角形的性質(zhì)和平行線的性質(zhì)．
 7.【答案】 【解析】解：設(shè)第一批購買的“四大名著”每套的價(jià)格為元，則設(shè)第二批購買的“四大名著”每套的價(jià)格為元，
依題意得：．
故選：．
設(shè)第一批購買的“四大名著”每套的價(jià)格為元，則設(shè)第二批購買的“四大名著”每套的價(jià)格為元，利用數(shù)量總價(jià)單價(jià)，結(jié)合第二批購買的套數(shù)比第一批少套，即可得出關(guān)于的分式方程，此題得解．
本題考查了由實(shí)際問題抽象出分式方程，找準(zhǔn)等量關(guān)系，正確列出分式方程是解題的關(guān)鍵．
 8.【答案】 【解析】解：如圖，連接．
，
，
，
，
，
，
的長為，
故選：．
由圓周角定理求出，再根據(jù)弧長公式進(jìn)行計(jì)算即可．
本題考查弧長的計(jì)算和圓周角定理，掌握等邊三角形的性質(zhì)，三角形內(nèi)角和定理以及圓周角定理是正確解答的關(guān)鍵．
 9.【答案】 【解析】解：連接，，

五邊形為正五邊形，
，
菱形繞點(diǎn)順時(shí)針旋轉(zhuǎn)得到菱形，
，，，，，
，
，
，
平分，
點(diǎn)，，在同一條直線上，
，
，
，
，
，
，
，
，
，
設(shè)，
，，
∽，
，
，
或舍去，
，
，
，
，
，
，
，
，
故選：．
連接，，根據(jù)正五邊形的內(nèi)角和先求出，再根據(jù)菱形和旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)可得，，，，，從而可得，進(jìn)而可得點(diǎn)，，在同一條直線上，然后求出，從而可設(shè)，再證明∽，利用相似三角形的性質(zhì)求出的長，最后再證明是等腰三角形，從而可得，進(jìn)而求出的長，進(jìn)行計(jì)算即可解答．
本題考查了相似三角形的判定與性質(zhì)，菱形的性質(zhì)，旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)，正多邊形和圓，根據(jù)題目的已知條件并結(jié)合圖形添加適當(dāng)?shù)妮o助線是解題的關(guān)鍵．
 10.【答案】 【解析】解：設(shè)，則、是函數(shù)和軸的交點(diǎn)的橫坐標(biāo)，
而，
即函數(shù)向上平移個(gè)單位得到函數(shù)，
則兩個(gè)函數(shù)的圖象如下圖所示省略了軸，

從圖象看，，
故選A．
設(shè)，而，即函數(shù)向上平移個(gè)單位得到函數(shù)，通過畫出函數(shù)大致圖象即可求解．
本題考查函數(shù)圖象上點(diǎn)的坐標(biāo)特征，二次函數(shù)的性質(zhì)．
 11.【答案】 【解析】解：，
去分母，得：，
移項(xiàng)及合并同類項(xiàng)，得：，
故答案為：．
根據(jù)解一元一次不等式的方法，可以求得該不等式的解集．
本題考查解一元一次不等式，解答本題的關(guān)鍵是明確解一元一次不等式的方法．
 12.【答案】 【解析】解：，
．
故答案為：．
根據(jù)題目中的式子，可以得到的值，從而可以解答本題．
本題主要考查方差，解題的關(guān)鍵是掌握方差及平均數(shù)的定義．
 13.【答案】 【解析】解：由平移的性質(zhì)可知：，，≌，
，
，即，
，，
，
，
故答案為：．
根據(jù)平移的性質(zhì)得到，，≌，根據(jù)梯形面積公式計(jì)算，得到答案．
本題考查的是平移的性質(zhì)，平移不改變圖形的形狀和大小、經(jīng)過平移，對(duì)應(yīng)點(diǎn)所連的線段平行且相等．
 14.【答案】 【解析】解：如圖，連結(jié)，，，設(shè)半徑為，

，，，
，
是的內(nèi)切圓，分別與、、相切于點(diǎn)、、，
，，，且，
四邊形是正方形，
，
，，
，
，
．
，
．
．
故答案為：．
如圖，連結(jié)，，，設(shè)半徑為，根據(jù)勾股定理得到，根據(jù)切線的性質(zhì)得到，，，且，根據(jù)正方形的性質(zhì)得到，根據(jù)勾股定理得到．
本題考查了三角形的內(nèi)切圓與內(nèi)心，切線的性質(zhì)，勾股定理，解決本題的關(guān)鍵是掌握切線的性質(zhì)．
 15.【答案】 【解析】解：軸，軸，為的中點(diǎn)，
為的中點(diǎn)，
為的中位線．
設(shè)點(diǎn)的坐標(biāo)為，則，，，
，，
．
，
，
解得．
故答案為：．
設(shè)點(diǎn)的坐標(biāo)為，然后分別表示出，，，的坐標(biāo)，最后根據(jù)三角形面積公式可得方程，求解可得答案．
本題考查了反比例函數(shù)圖象上點(diǎn)的坐標(biāo)特征，解題的關(guān)鍵是設(shè)出點(diǎn)的坐標(biāo)，利用點(diǎn)的橫坐標(biāo)表示出、點(diǎn)的坐標(biāo)．本題屬于基礎(chǔ)題，難度不大，解決該題型題目時(shí)，利用反比例函數(shù)圖象上點(diǎn)的坐標(biāo)特征表示出點(diǎn)的坐標(biāo)是關(guān)鍵．
 16.【答案】 【解析】解：如圖所示，延長交于點(diǎn)，連接，
四邊形是正方形，
，，，
在和中，
，
≌，
，，
，
，
，
，
，
，
，
，
是等腰直角三角形，故正確；
；
將繞點(diǎn)順時(shí)針旋轉(zhuǎn)得到，過點(diǎn)作于點(diǎn)，
由旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)可知，，，，，
，即、、三點(diǎn)共線，
，
，
在和中，
，
≌，
，
，故正確；
≌，
，
，即為點(diǎn)到的距離，
點(diǎn)到的距離等于正方形的邊長，故正確；
設(shè)，，則，
點(diǎn)是點(diǎn)的三等分點(diǎn)，
當(dāng)，時(shí)，
由可知，，
在中，，
，
整理得：，
；
當(dāng)，時(shí)，
由可知，，
在中，，
，
整理得：，

綜上所述，當(dāng)點(diǎn)運(yùn)動(dòng)到的三等分點(diǎn)時(shí)，或，故錯(cuò)誤，
故答案為：．
如圖所示，延長交于，連接，根據(jù)正方形的性質(zhì)，易證≌，得到，，再利用平行線的性質(zhì)，證明，進(jìn)而推出，得到，即可證明是等腰直角三角形，故正確；則，將繞點(diǎn)順時(shí)針旋轉(zhuǎn)得到，過點(diǎn)作于點(diǎn)，根據(jù)旋轉(zhuǎn)和正方形的性質(zhì)，可證、、三點(diǎn)共線，≌，得到，則，故正確；根據(jù)全等三角形的性質(zhì)，得到，即點(diǎn)到的距離等于正方形的邊長，故正確；設(shè)，，則，分兩種情況討論：當(dāng)，時(shí)，，利用勾股定理求出，得到；當(dāng)，時(shí)，同理可得，則錯(cuò)誤，即可得到答案．
本題考查了正方形的性質(zhì)，全等三角形的判定和性質(zhì)，等腰直角三角形的判定和性質(zhì)，旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)，勾股定理等知識(shí)，利用分類討論的思想解決問題，作輔助線構(gòu)造全等三角形是解題關(guān)鍵．
 17.【答案】解：原式

． 【解析】先算開方、乘方化簡絕對(duì)值，再代入特殊角的三角函數(shù)值算乘法，最后算加減．
本題考查了實(shí)數(shù)的混合運(yùn)算，掌握二次根式的化簡、“”、絕對(duì)值的意義及特殊角的三角函數(shù)值是解決本題的關(guān)鍵．
 18.【答案】解：原式

，
，，
和，
當(dāng)時(shí)，原式． 【解析】根據(jù)分式的混合運(yùn)算法則按原式化簡，根據(jù)分式有意義的條件確定的值，代入計(jì)算即可．
本題考查的是分式的化簡求值、分式有意義的條件，掌握分式的混合運(yùn)算法則是解題的關(guān)鍵．
 19.【答案】解：如圖所示：即為所求；

，理由如下：
，
，
，
由作圖過程可知：，，
≌，
． 【解析】根據(jù)基本作圖方法即可完成作圖；
由作圖過程可得，，證明≌，即可解決問題．
本題考查了作圖復(fù)雜作圖，解決本題的關(guān)鍵是掌握基本作圖方法．
 20.【答案】證明：四邊形為平行四邊形，
，．
．
，
．
．
在和中，
，
≌，
． 【解析】在和中已經(jīng)有一條邊和一個(gè)角分別相等，根據(jù)平行的性質(zhì)和等邊對(duì)等角得出即可證明≌，進(jìn)而利用全等三角形的性質(zhì)解答即可．
主要考查了平行四邊形的基本性質(zhì)和全等三角形的判定及性質(zhì)．判定兩個(gè)三角形全等的一般方法有：、、、、．
 21.【答案】   【解析】解：本次調(diào)查的學(xué)生共有：人，
扇形統(tǒng)計(jì)圖中表示選項(xiàng)的扇形圓心角的度數(shù)是，
喜歡類項(xiàng)目的人數(shù)有：人，
故答案為：，，
補(bǔ)全條形統(tǒng)計(jì)圖如圖所示：

由題意得：人，
答：估計(jì)選擇“唱歌”的學(xué)生約有人；
畫樹形圖如下：

共有種等可能的情況，其中被選取的兩人恰好是甲和乙的有種情況，
被選取的兩人恰好是甲和乙的概率是．
根據(jù)項(xiàng)目的人數(shù)和所占的百分比求出總?cè)藬?shù)，即可解決問題；
用該校的總?cè)藬?shù)乘以選擇“唱歌”的學(xué)生所占的比例即可；
畫出樹狀圖，共有種等可能的情況，其中被選取的兩人恰好是甲和乙的有種情況，再由概率公式求解即可．
本題考查了列表法與樹狀圖法：利用列表法或樹狀圖法展示所有等可能的結(jié)果，再從中選出符合事件或的結(jié)果數(shù)目，然后利用概率公式計(jì)算事件或事件的概率．也考查了統(tǒng)計(jì)圖．
 22.【答案】解：設(shè)甲種燈籠單價(jià)為元對(duì)，則乙種燈籠的單價(jià)為元對(duì)，由題意得：
，
解得，
經(jīng)檢驗(yàn)，是原方程的解，且符合題意，
，
答：甲種燈籠單價(jià)為元對(duì)，乙種燈籠的單價(jià)為元對(duì)．
，
答：與之間的函數(shù)解析式為：．
，
函數(shù)有最大值，該二次函數(shù)的對(duì)稱軸為：，
物價(jià)部門規(guī)定其銷售單價(jià)不高于每對(duì)元，
，
，
時(shí)，隨的增大而增大，
當(dāng)時(shí)，．
答：乙種燈籠的銷售單價(jià)為元時(shí)，一天獲得利潤最大，最大利潤是元． 【解析】本題屬于分式方程和二次函數(shù)的應(yīng)用題綜合．由于前后步驟有聯(lián)系，第一問解對(duì)，后面才能做對(duì)．本題還需要根據(jù)問題的實(shí)際意義來確定銷售單價(jià)的取值，本題中等難度．
設(shè)甲種燈籠單價(jià)為元對(duì)，則乙種燈籠的單價(jià)為元對(duì)，根據(jù)用元購進(jìn)甲燈籠與用元購進(jìn)乙燈籠的數(shù)量相同，列分式方程可解；
利用總利潤等于每對(duì)燈籠的利潤乘以賣出的燈籠的實(shí)際數(shù)量，可以列出函數(shù)的解析式；
由函數(shù)為開口向下的二次函數(shù)，可知有最大值，結(jié)合問題的實(shí)際意義，可得答案．
 23.【答案】證明：，
，
，
．
，
，
，
．
，
是的半徑，
為的切線；
解：設(shè)與交與點(diǎn)，連接，，如圖，

為的直徑，
，
，
四邊形為矩形．
．
在中，
，，
．
設(shè)，則．
，
，
解得：，
，．
．
，，
∽．
，
，
．
． 【解析】利用等腰三角形的性質(zhì)，直角三角形的兩個(gè)銳角互余和圓的切線的判定定理解答即可；
設(shè)與交與點(diǎn)，連接，，利用圓周角定理，矩形的判定與性質(zhì)和直角三角形的邊角關(guān)系定理求得，設(shè)，則，利用勾股定理列出方程求得值，再利用相似三角形的判定與性質(zhì)解答即可得出結(jié)論．
本題主要考查了圓的切線的判定，等腰三角形的性質(zhì)，直角三角形的性質(zhì)，圓周角定理，矩形的判定與性質(zhì)，勾股定理，直角三角形的邊角關(guān)系定理，相似三角形的判定與性質(zhì)，連接直徑所對(duì)的圓周角是解決此類問題常添加的輔助線．
 24.【答案】證明：連接，如圖，
四邊形是菱形，
，，
，
，
是等邊三角形，
，，
，
≌，
，
，
；
解：延長至，使，如圖，
由可知，
，，
，，
，
，
，
又，，
≌，
，，
同理得出，
，
是等邊三角形，
；
解：，
，
，
，
、、、四點(diǎn)共圓，
當(dāng)為直徑時(shí)，最大，
設(shè)圓心為，連接，，過點(diǎn)作于點(diǎn)，如圖，
，
，
，
，，
，
，
，
的最大值為． 【解析】連接，由菱形的性質(zhì)得出，，證出是等邊三角形，得出，，證明≌，由全等三角形的性質(zhì)得出，則可得出結(jié)論；
延長至，使，由可知，證明≌，由全等三角形的性質(zhì)得出，，同理得出，由等邊三角形的性質(zhì)得出答案；
證出、、、四點(diǎn)共圓，收當(dāng)為直徑時(shí)，最大，設(shè)圓心為，連接，，過點(diǎn)作于點(diǎn)，求出，由直角三角形的性質(zhì)可得出答案．
本題是四邊形綜合題，考查了菱形的性質(zhì)，全等三角形的判定與性質(zhì)，等邊三角形的判定與性質(zhì)，四點(diǎn)共圓，直角三角形的性質(zhì)，熟練掌握菱形的性質(zhì)和等邊三角形的性質(zhì)是解題的關(guān)鍵．
 25.【答案】解：，
，
又，
，
．
設(shè)拋物線解析式為，
把代入得：，解得，
即拋物線解析式為．
點(diǎn)的橫坐標(biāo)為，
．
軸，
設(shè)直線的解析式為，則，解得，
．
把直線向右平移個(gè)單位過點(diǎn)，交拋物線于點(diǎn)，則，
則直線的解析式為：，
解方程組，
解得或舍．
點(diǎn)坐標(biāo)為．
當(dāng)把直線向左平移個(gè)單位，交拋物線于點(diǎn)，則，
則平移后直線為，
解方程組，
解得或舍，
點(diǎn)坐標(biāo)為或．
綜上所述，點(diǎn)坐標(biāo)為或，．
，
，，
∽，
，
，，
．
設(shè)點(diǎn)坐標(biāo)為，則點(diǎn)坐標(biāo)為，
，
當(dāng)時(shí)，最大為，即的最大值為． 【解析】根據(jù)得到，利用待定系數(shù)法解題即可；
求出直線的解析式為，然后可以求出軸，利用同底等高的兩個(gè)三角形面積相等，通過平移得到直線的解析式，聯(lián)立方程解題即可；
由得到，進(jìn)而表示，設(shè)點(diǎn)坐標(biāo)為，則點(diǎn)坐標(biāo)為，表示的長并配方找到最大值解題即可．
本題考查待定系數(shù)法求二次函數(shù)的解析式，一次函數(shù)的解析式，平移，相似和二次函數(shù)的頂點(diǎn)坐標(biāo)，綜合型較強(qiáng)，掌握二次函數(shù)的圖象和性質(zhì)是解題的關(guān)鍵．
 

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