2023年福建省龍巖市漳平市中考數(shù)學(xué)一模試卷

這是一份2023年福建省龍巖市漳平市中考數(shù)學(xué)一模試卷，共20頁(yè)。試卷主要包含了單選題，填空題，解答題等內(nèi)容，歡迎下載使用。
?2023年福建省龍巖市漳平市中考數(shù)學(xué)一模試卷
一、單選題（共40分）
1．（4分）﹣3的相反數(shù)是（　　）
A．3 B．﹣3 C．±3 D．
2．（4分）“愛我中華”，如圖所示，用KT板制作的“中”字的俯視圖是（　?。?br />
A． B．
C． D．
3．（4分）下列是必然事件的是（　?。?br /> A．打開電視機(jī)，它正在播放籃球比賽
B．機(jī)選一注彩票，中百萬大獎(jiǎng)
C．從一個(gè)全部裝有黑球的不透明袋子中摸出一個(gè)球恰好是黑球
D．拋擲一枚普通硬幣10次，有9次正面朝上，第10次是正面
4．（4分）我國(guó)古代數(shù)學(xué)著作《孫子算經(jīng)》中有一道題：“今有木，不知長(zhǎng)短，引繩度之，余繩四尺五，屈繩量之，不足一尺，問木長(zhǎng)幾何？“大致意思是：“用根繩子去量一根木條，繩子剩余4.5尺，將繩子對(duì)折再量木條，木條剩余1尺，問木條長(zhǎng)多少尺？“設(shè)繩子長(zhǎng)為x尺，木條長(zhǎng)為y尺，則根據(jù)題意所列方程組正確的是（　?。?br /> A． B．
C． D．
5．（4分）在平移、旋轉(zhuǎn)和軸對(duì)稱這些圖形變換下，它們共同具有的特征是（　?。?br /> A．圖形的形狀、大小沒有改變，對(duì)應(yīng)線段平行且相等
B．圖形的形狀、大小沒有改變，對(duì)應(yīng)線段垂直，對(duì)應(yīng)角相等
C．圖形的形狀、大小都發(fā)生了改變，對(duì)應(yīng)線段相等，對(duì)應(yīng)角相等
D．圖形的形狀、大小沒有改變，對(duì)應(yīng)線段相等，對(duì)應(yīng)角相等
6．（4分）在直角坐標(biāo)平面內(nèi)的機(jī)器人接受指令“[a，A]”（a≥0，0°＜A＜180°）后的行動(dòng)結(jié)果為：在原地順時(shí)針旋轉(zhuǎn)A后，再向正前方沿直線行走a個(gè)單位長(zhǎng)度．若機(jī)器人的位置在原點(diǎn)，正前方為y軸的負(fù)半軸，則它完成一次指令[2，60°]后位置的坐標(biāo)為（　?。?br /> A．（﹣1，） B．（﹣1，） C．（，﹣1） D．（，1）
7．（4分）如圖，五線譜是由等距離、等長(zhǎng)度的五條平行橫線組成的，同一條直線上的三個(gè)點(diǎn)A，B，C都在橫線上．若線段AB＝3，則線段BC的長(zhǎng)是（　?。?br />
A． B．1 C． D．2
8．（4分）小強(qiáng)每天堅(jiān)持做引體向上的鍛煉，下表是他記錄的某一周每天做引體向上的個(gè)數(shù)．
星期
日
一
二
三
四
五
六
個(gè)數(shù)
11
12
10
13
13
13
12
對(duì)于小強(qiáng)做引體向上的個(gè)數(shù)，下列說法錯(cuò)誤的是（　?。?br /> A．平均數(shù)是12 B．眾數(shù)是13
C．中位數(shù)是12.5 D．方差是
9．（4分）如圖，在一個(gè)由4×4個(gè)小正方形組成的正方形網(wǎng)格中，陰影部分面積與正方形ABCD的面積比是（　?。?br />
A．5：8 B．3：4 C．9：16 D．1：2
10．（4分）矩形ABCD的對(duì)角線相交于O，AE平分∠BAD交BC于E，若AB＝4，∠CAE＝15°，則OE的長(zhǎng)為（　?。?br /> A．2﹣2 B．4﹣4 C．2﹣2 D．4﹣4
二、填空題（共24分）
11．（4分）計(jì)算：（）2＝　 ?。?br /> 12．（4分）若x＝1是方程2（a﹣x）＝x的解，則a＝　 ?。?br /> 13．（4分）北京冬奧會(huì)上中國(guó)隊(duì)獲得獎(jiǎng)牌情況如圖所示，其中金牌為9塊，那么中國(guó)隊(duì)獲得獎(jiǎng)牌總數(shù)是 　 　塊．

14．（4分）五巧板是七巧板的變形，也是由一個(gè)正方形分割而成的，圖中與∠α互余的角有　 　個(gè)．

15．（4分）若一個(gè)圓錐的底面圓的半徑是2，側(cè)面展開圖的圓心角的度數(shù)是180°，則該圓錐的母線長(zhǎng)為 　 ?。?br /> 16．（4分）如圖，菱形ABCD的邊AD⊥y軸，垂足為點(diǎn)E，頂點(diǎn)A在第二象限，頂點(diǎn)B在y軸的正半軸上，反比例函數(shù)y＝（k≠0，x＞0）的圖象同時(shí)經(jīng)過頂點(diǎn)C、D，若點(diǎn)D的橫坐標(biāo)為1，BE＝3DE．則k的值為　 ?。?br />
三、解答題（共86分）
17．（8分）解不等式：．
18．（8分）已知2+是方程x2﹣4x+c＝0的一個(gè)根，求方程的另一個(gè)根及c的值．
19．（8分）如圖，在△ABC中，∠C＝90°，點(diǎn)D在線段AC上，且CD＝2AD．求作DE⊥AC于點(diǎn)D，且DE交AB于點(diǎn)E；并求出的值．（要求：尺規(guī)作圖保留作圖痕跡，不寫作法）

20．（8分）我市通過“互聯(lián)網(wǎng)+”“大數(shù)據(jù)”等新科技，打造“智慧停車平臺(tái)”，著力化解城市“停車難”問題．市內(nèi)某智慧公共停車場(chǎng)的收費(fèi)標(biāo)準(zhǔn)是停車不超過30分鐘，不收費(fèi)；超過30分鐘，不超過60分鐘，計(jì)1小時(shí)，收費(fèi)3元；超過1小時(shí)后，超過1小時(shí)的部分按每小時(shí)2元收費(fèi)（不足1小時(shí)，按1小時(shí)計(jì)）．
（1）若張先生某次在該停車場(chǎng)停車2小時(shí)10分鐘，應(yīng)交停車費(fèi) 　 　元；若李先生也在該停車場(chǎng)停車，并支付了11元停車費(fèi)，則該停車場(chǎng)是按 　 　小時(shí)（填整數(shù)）計(jì)時(shí)收費(fèi)．
（2）當(dāng)x取整數(shù)且x≥1時(shí)，求該停車場(chǎng)停車費(fèi)y（元）關(guān)于停車計(jì)時(shí)x（小時(shí)）的函數(shù)解析式．
21．（8分）如圖，在矩形ABCD中，E，F(xiàn)分別是BC，AD邊上的點(diǎn)，且AE＝CF．
（1）求證：△ABE≌△CDF；
（2）當(dāng)AC⊥EF時(shí)，四邊形AECF是菱形嗎？請(qǐng)說明理由．

22．（10分）為了了解中學(xué)生對(duì)父母的關(guān)心程度，某校九年級(jí)興趣小組利用課外活動(dòng)時(shí)間隨機(jī)調(diào)查了某市若干名學(xué)生對(duì)父母關(guān)心程度的情況（A．給父母送自制的生日禮物；B．陪父母聊天；C．主動(dòng)幫父母做家務(wù)；D．知道母親或父親某個(gè)人的生日；E．知道母親和父親的生日），并將調(diào)查結(jié)果繪制成條形統(tǒng)計(jì)圖（如圖1）和扇形統(tǒng)計(jì)圖（如圖2）（不完整）請(qǐng)你根據(jù)圖中提供的信息，解答下列問題：

（1）此次調(diào)查的學(xué)生有 　 　人；
（2）將圖1補(bǔ)充完整；
（3）根據(jù)抽樣調(diào)查結(jié)果，請(qǐng)你估計(jì)該市90000名中學(xué)生中，主動(dòng)幫父母做家務(wù)的有多少人？
23．（10分）如圖，AB為⊙O的直徑，弦CD⊥AB于點(diǎn)E，CF⊥AF于點(diǎn)F，且CF＝CE．
（1）求證：CF是⊙O的切線；
（2）若∠D＝30°，AB＝10，求CD的長(zhǎng)．

24．（12分）如圖①，線段AB，CD交于點(diǎn)O，若∠A與∠B，∠C與∠D中有一組內(nèi)錯(cuò)角成兩倍關(guān)系，則稱△AOC與△BOD為倍優(yōu)三角形，其中成兩倍關(guān)系的內(nèi)錯(cuò)角中，較大的角稱為倍優(yōu)角．

（1）如圖②，在四邊形ABCD中，對(duì)角線AC，BD交于點(diǎn)O，AB⊥BD，△COD為等邊三角形，求證：△AOB與△COD為倍優(yōu)三角形．
（2）如圖③，正方形ABCD邊長(zhǎng)為2，點(diǎn)P為邊CD上一動(dòng)點(diǎn)（不與點(diǎn)C，D重合）連接AP和BP，對(duì)角線AC和BP交于點(diǎn)O，當(dāng)△AOP與△BOC為倍優(yōu)三角形時(shí)，求∠DAP的正切值．
25．（14分）如圖，對(duì)稱軸為直線x＝2的拋物線y＝x2+bx+c與x軸交于點(diǎn)A和點(diǎn)B，與y軸交于點(diǎn)C，且點(diǎn)A的坐標(biāo)為（﹣1，0）
（1）求拋物線的解析式；
（2）直接寫出B、C兩點(diǎn)的坐標(biāo)；
（3）求過O，B，C三點(diǎn)的圓的面積．（結(jié)果用含π的代數(shù)式表示）


2023年福建省龍巖市漳平市中考數(shù)學(xué)一模試卷
（參考答案與詳解）
一、單選題（共40分）
1．（4分）﹣3的相反數(shù)是（　?。?br /> A．3 B．﹣3 C．±3 D．
【解答】解：﹣3的相反數(shù)就是3．
故選：A．
2．（4分）“愛我中華”，如圖所示，用KT板制作的“中”字的俯視圖是（　?。?br />
A． B．
C． D．
【解答】解：這個(gè)幾何體的俯視圖為：

故選：C．
3．（4分）下列是必然事件的是（　?。?br /> A．打開電視機(jī)，它正在播放籃球比賽
B．機(jī)選一注彩票，中百萬大獎(jiǎng)
C．從一個(gè)全部裝有黑球的不透明袋子中摸出一個(gè)球恰好是黑球
D．拋擲一枚普通硬幣10次，有9次正面朝上，第10次是正面
【解答】解：A、打開電視機(jī)，它正在播放籃球比賽，是隨機(jī)事件，故A不符合題意；
B、機(jī)選一注彩票，中百萬大獎(jiǎng)，是隨機(jī)事件，故B不符合題意；
C、從一個(gè)全部裝有黑球的不透明袋子中摸出一個(gè)球恰好是黑球，是必然事件，故C符合題意；
D、拋擲一枚普通硬幣10次，有9次正面朝上，第10次是正面，是隨機(jī)事件，故D不符合題意；
故選：C．
4．（4分）我國(guó)古代數(shù)學(xué)著作《孫子算經(jīng)》中有一道題：“今有木，不知長(zhǎng)短，引繩度之，余繩四尺五，屈繩量之，不足一尺，問木長(zhǎng)幾何？“大致意思是：“用根繩子去量一根木條，繩子剩余4.5尺，將繩子對(duì)折再量木條，木條剩余1尺，問木條長(zhǎng)多少尺？“設(shè)繩子長(zhǎng)為x尺，木條長(zhǎng)為y尺，則根據(jù)題意所列方程組正確的是（　?。?br /> A． B．
C． D．
【解答】解：設(shè)繩子長(zhǎng)x尺，木條長(zhǎng)y尺，依題意有：．
故選：B．
5．（4分）在平移、旋轉(zhuǎn)和軸對(duì)稱這些圖形變換下，它們共同具有的特征是（　?。?br /> A．圖形的形狀、大小沒有改變，對(duì)應(yīng)線段平行且相等
B．圖形的形狀、大小沒有改變，對(duì)應(yīng)線段垂直，對(duì)應(yīng)角相等
C．圖形的形狀、大小都發(fā)生了改變，對(duì)應(yīng)線段相等，對(duì)應(yīng)角相等
D．圖形的形狀、大小沒有改變，對(duì)應(yīng)線段相等，對(duì)應(yīng)角相等
【解答】解：由分析可得在平移、旋轉(zhuǎn)和軸對(duì)稱這些圖形變換下，
它們共同具有的特征是圖形的形狀、大小沒有改變，對(duì)應(yīng)線段相等，對(duì)應(yīng)角相等．
故選：D．
6．（4分）在直角坐標(biāo)平面內(nèi)的機(jī)器人接受指令“[a，A]”（a≥0，0°＜A＜180°）后的行動(dòng)結(jié)果為：在原地順時(shí)針旋轉(zhuǎn)A后，再向正前方沿直線行走a個(gè)單位長(zhǎng)度．若機(jī)器人的位置在原點(diǎn)，正前方為y軸的負(fù)半軸，則它完成一次指令[2，60°]后位置的坐標(biāo)為（　?。?br /> A．（﹣1，） B．（﹣1，） C．（，﹣1） D．（，1）
【解答】解：由已知得到：OA＝2，∠COA＝60°，
過A作AB⊥x軸于B，
∴∠BOA＝90°﹣60°＝30°，
∴AB＝1，
由勾股定理得：OB＝，
∴A的坐標(biāo)是（﹣，﹣1）．
故選：C．

7．（4分）如圖，五線譜是由等距離、等長(zhǎng)度的五條平行橫線組成的，同一條直線上的三個(gè)點(diǎn)A，B，C都在橫線上．若線段AB＝3，則線段BC的長(zhǎng)是（　?。?br />
A． B．1 C． D．2
【解答】解：過點(diǎn)A作平行橫線的垂線，交點(diǎn)B所在的平行橫線于D，交點(diǎn)C所在的平行橫線于E，
則＝，即＝2，
解得：BC＝，
故選：C．

8．（4分）小強(qiáng)每天堅(jiān)持做引體向上的鍛煉，下表是他記錄的某一周每天做引體向上的個(gè)數(shù)．
星期
日
一
二
三
四
五
六
個(gè)數(shù)
11
12
10
13
13
13
12
對(duì)于小強(qiáng)做引體向上的個(gè)數(shù)，下列說法錯(cuò)誤的是（　?。?br /> A．平均數(shù)是12 B．眾數(shù)是13
C．中位數(shù)是12.5 D．方差是
【解答】解：將這組數(shù)據(jù)重新排列為10、11、12、12、13、13、13，
∴這組數(shù)據(jù)的平均數(shù)為×（10+11+12+12+13+13+13）＝12，眾數(shù)為13，中位數(shù)為12，
方差為×[（10﹣12）2+（11﹣12）2+2×（12﹣12）2+3×（13﹣12）2]＝，
故選：C．
9．（4分）如圖，在一個(gè)由4×4個(gè)小正方形組成的正方形網(wǎng)格中，陰影部分面積與正方形ABCD的面積比是（　?。?br />
A．5：8 B．3：4 C．9：16 D．1：2
【解答】解：方法1：利用割補(bǔ)法可看出陰影部分的面積是10個(gè)小正方形組成的，
所以陰影部分面積與正方形ABCD的面積比是10：16＝5：8；
方法2：＝，（）2：42＝10：16＝5：8．
故選：A．
10．（4分）矩形ABCD的對(duì)角線相交于O，AE平分∠BAD交BC于E，若AB＝4，∠CAE＝15°，則OE的長(zhǎng)為（　?。?br /> A．2﹣2 B．4﹣4 C．2﹣2 D．4﹣4
【解答】解：如圖，∵AE平分∠BAD，
∴∠BAE＝×90°＝45°，
∴△ABE是等腰直角三角形，
∴BE＝AB＝4，
∵∠CAE＝15°，
∴∠BAC＝∠BAE+∠CAE＝45°+15°＝60°，
∴BC＝AB＝4，
過點(diǎn)O作OF⊥BC于F，
∵O是矩形ABCD的對(duì)角線的交點(diǎn)，
∴OF＝AB＝×4＝2，
BF＝BC＝×4＝2，
在Rt△OEF中，OE＝＝＝＝＝2﹣2．
故選：A．

二、填空題（共24分）
11．（4分）計(jì)算：（）2＝　10　．
【解答】解：（）2＝10．
故答案為：10．
12．（4分）若x＝1是方程2（a﹣x）＝x的解，則a＝　?。?br /> 【解答】解：根據(jù)題意，得
2（a﹣1）＝1，
解得，a＝．
故答案是：．
13．（4分）北京冬奧會(huì)上中國(guó)隊(duì)獲得獎(jiǎng)牌情況如圖所示，其中金牌為9塊，那么中國(guó)隊(duì)獲得獎(jiǎng)牌總數(shù)是 　15　塊．

【解答】解：由圖知，金牌對(duì)應(yīng)百分比為1﹣（26.7%+13.3%）＝60%，
所以中國(guó)隊(duì)獲得獎(jiǎng)牌總數(shù)是9÷60%＝15（塊），
故答案為：15．
14．（4分）五巧板是七巧板的變形，也是由一個(gè)正方形分割而成的，圖中與∠α互余的角有　4　個(gè)．

【解答】解；如圖所示，∠α與∠1、∠2、∠3、∠4均為余角．

故答案為：4．
15．（4分）若一個(gè)圓錐的底面圓的半徑是2，側(cè)面展開圖的圓心角的度數(shù)是180°，則該圓錐的母線長(zhǎng)為 　4?。?br /> 【解答】解：設(shè)該圓錐的母線長(zhǎng)為l，
根據(jù)題意得2π×2＝，
解得l＝4，
即該圓錐的母線長(zhǎng)為4．
故答案為：4．
16．（4分）如圖，菱形ABCD的邊AD⊥y軸，垂足為點(diǎn)E，頂點(diǎn)A在第二象限，頂點(diǎn)B在y軸的正半軸上，反比例函數(shù)y＝（k≠0，x＞0）的圖象同時(shí)經(jīng)過頂點(diǎn)C、D，若點(diǎn)D的橫坐標(biāo)為1，BE＝3DE．則k的值為　?。?br />
【解答】解：過點(diǎn)D作DF⊥BC于F，
∵AD⊥y軸，四邊形ABCD是菱形，
∴AD∥BC，DC＝BC，
∴四邊形BEDF是矩形，
∴DF＝BE，BF＝DE＝1，
∵BE＝3DE，
∴DF＝BE＝3，
設(shè)CD＝CB＝a，
∴CF＝a﹣1，
∵CD2＝DF2+CF2，
∴a2＝32+（a﹣1）2，
∴a＝5，
設(shè)點(diǎn)C（5，m），點(diǎn)D（1，m+3），
∵反比例函數(shù)y＝圖象過點(diǎn)C，D，
∴5m＝1×（m+3），
∴m＝，
∴點(diǎn)C（5，），
∴k＝5×＝，
故答案．

三、解答題（共86分）
17．（8分）解不等式：．
【解答】解：，
去分母得：3（3+x）﹣6＜4x+3，
去括號(hào)得：9+3x﹣6＜4x+3，
移項(xiàng)合并得：﹣x＜0，
系數(shù)化為1得：x＞0．
18．（8分）已知2+是方程x2﹣4x+c＝0的一個(gè)根，求方程的另一個(gè)根及c的值．
【解答】解：方法一、把2+代入方程x2﹣4x+c＝0，得（2+）2﹣4（2+）+c＝0，
解得c＝1；
所以原方程是x2﹣4x+1＝0，
解得方程的解是x＝2±；
∴另一解是2﹣．
方法二、設(shè)另一個(gè)根為x，
∴2++x＝4，（2+）x＝c，
∴x＝2﹣，c＝1．
19．（8分）如圖，在△ABC中，∠C＝90°，點(diǎn)D在線段AC上，且CD＝2AD．求作DE⊥AC于點(diǎn)D，且DE交AB于點(diǎn)E；并求出的值．（要求：尺規(guī)作圖保留作圖痕跡，不寫作法）

【解答】解：AC的垂線如圖所示．
∵∠ADE＝∠C＝90°，∠A＝∠A，
∴△ADE∽△ACB，
∴＝，
∵CD＝2AD，
∴AC＝3AD，即＝，
∴＝．

20．（8分）我市通過“互聯(lián)網(wǎng)+”“大數(shù)據(jù)”等新科技，打造“智慧停車平臺(tái)”，著力化解城市“停車難”問題．市內(nèi)某智慧公共停車場(chǎng)的收費(fèi)標(biāo)準(zhǔn)是停車不超過30分鐘，不收費(fèi)；超過30分鐘，不超過60分鐘，計(jì)1小時(shí)，收費(fèi)3元；超過1小時(shí)后，超過1小時(shí)的部分按每小時(shí)2元收費(fèi)（不足1小時(shí)，按1小時(shí)計(jì)）．
（1）若張先生某次在該停車場(chǎng)停車2小時(shí)10分鐘，應(yīng)交停車費(fèi) 　7　元；若李先生也在該停車場(chǎng)停車，并支付了11元停車費(fèi)，則該停車場(chǎng)是按 　5　小時(shí)（填整數(shù)）計(jì)時(shí)收費(fèi)．
（2）當(dāng)x取整數(shù)且x≥1時(shí)，求該停車場(chǎng)停車費(fèi)y（元）關(guān)于停車計(jì)時(shí)x（小時(shí)）的函數(shù)解析式．
【解答】解：（1）若張先生某次在該停車場(chǎng)停車2小時(shí)10分鐘，應(yīng)交停車費(fèi)為：3+2×2＝7（元）；
若李先生也在該停車場(chǎng)停車，支付停車費(fèi)11元，則超出時(shí)間為（11﹣3）÷2＝4（小時(shí)），
∴停車場(chǎng)按5小時(shí)計(jì)時(shí)收費(fèi)的．
故答案為：7；5；
（2）當(dāng)停車計(jì)時(shí)x（單位：小時(shí)）取整數(shù)且x≥1時(shí)，此時(shí)需繳停車費(fèi)為y＝3+2（x﹣1）＝2x+1．
答：停車場(chǎng)停車費(fèi)y（元）關(guān)于停車計(jì)時(shí)x（小時(shí)）的函數(shù)解析式為y＝2x+1．
21．（8分）如圖，在矩形ABCD中，E，F(xiàn)分別是BC，AD邊上的點(diǎn)，且AE＝CF．
（1）求證：△ABE≌△CDF；
（2）當(dāng)AC⊥EF時(shí)，四邊形AECF是菱形嗎？請(qǐng)說明理由．

【解答】（1）證明：∵四邊形ABCD是矩形，
∴∠B＝∠D＝90°，AB＝CD，AD＝BC，AD∥BC，
在Rt△ABE和Rt△CDF中，，
∴Rt△ABE≌Rt△CDF（HL）；
（2）解：當(dāng)AC⊥EF時(shí)，四邊形AECF是菱形，理由如下：
∵△ABE≌△CDF，
∴BE＝DF，
∵BC＝AD，
∴CE＝AF，
∵CE∥AF，
∴四邊形AECF是平行四邊形，
又∵AC⊥EF，
∴四邊形AECF是菱形．
22．（10分）為了了解中學(xué)生對(duì)父母的關(guān)心程度，某校九年級(jí)興趣小組利用課外活動(dòng)時(shí)間隨機(jī)調(diào)查了某市若干名學(xué)生對(duì)父母關(guān)心程度的情況（A．給父母送自制的生日禮物；B．陪父母聊天；C．主動(dòng)幫父母做家務(wù)；D．知道母親或父親某個(gè)人的生日；E．知道母親和父親的生日），并將調(diào)查結(jié)果繪制成條形統(tǒng)計(jì)圖（如圖1）和扇形統(tǒng)計(jì)圖（如圖2）（不完整）請(qǐng)你根據(jù)圖中提供的信息，解答下列問題：

（1）此次調(diào)查的學(xué)生有 　2000　人；
（2）將圖1補(bǔ)充完整；
（3）根據(jù)抽樣調(diào)查結(jié)果，請(qǐng)你估計(jì)該市90000名中學(xué)生中，主動(dòng)幫父母做家務(wù)的有多少人？
【解答】解：（1）此次調(diào)查的學(xué)生有：500÷25%＝2000（人）；
故答案為：2000；

（2）C類人數(shù)有：2000﹣100﹣300﹣500﹣300＝800（人），補(bǔ)全統(tǒng)計(jì)圖如下：

（3）90000×＝36000（人），
答：估計(jì)該市90000名中學(xué)生中，主動(dòng)幫父母做家務(wù)的有36000人．
23．（10分）如圖，AB為⊙O的直徑，弦CD⊥AB于點(diǎn)E，CF⊥AF于點(diǎn)F，且CF＝CE．
（1）求證：CF是⊙O的切線；
（2）若∠D＝30°，AB＝10，求CD的長(zhǎng)．

【解答】（1）證明：如圖，連接OC，則OC＝OA，
∴∠OCA＝∠BAC，
∵CD⊥AB于點(diǎn)E，CF⊥AF于點(diǎn)F，且CF＝CE，
∴點(diǎn)C在∠BAF的平分線上，
∴AC平分∠BAF，
∴∠BAC＝∠CAF，
∴∠OCA＝∠CAF，
∴OC∥AF，
∴∠OCG＝∠F＝90°，
∵CF經(jīng)過⊙O的半徑OC的外端，且CF⊥OC，
∴CF是⊙O的切線．
（2）解：∵AB為⊙O的直徑，弦CD⊥AB于點(diǎn)E，
∴CE＝DE，＝，∠ACB＝∠BEC＝90°，
∴∠BAC＝∠BCE＝∠D＝30°，
∵AB＝10，
∴BC＝AB＝×10＝5，
∴BE＝BC＝×5＝，
∴CE＝＝＝，
∴CD＝2CE＝2×＝5，
∴CD的長(zhǎng)是5．

24．（12分）如圖①，線段AB，CD交于點(diǎn)O，若∠A與∠B，∠C與∠D中有一組內(nèi)錯(cuò)角成兩倍關(guān)系，則稱△AOC與△BOD為倍優(yōu)三角形，其中成兩倍關(guān)系的內(nèi)錯(cuò)角中，較大的角稱為倍優(yōu)角．

（1）如圖②，在四邊形ABCD中，對(duì)角線AC，BD交于點(diǎn)O，AB⊥BD，△COD為等邊三角形，求證：△AOB與△COD為倍優(yōu)三角形．
（2）如圖③，正方形ABCD邊長(zhǎng)為2，點(diǎn)P為邊CD上一動(dòng)點(diǎn)（不與點(diǎn)C，D重合）連接AP和BP，對(duì)角線AC和BP交于點(diǎn)O，當(dāng)△AOP與△BOC為倍優(yōu)三角形時(shí)，求∠DAP的正切值．
【解答】（1）證明：∵△COD是等邊三角形，
∴∠COD＝∠OCD＝60°，
∴∠AOB＝∠COD＝60°，
∵AB⊥BD，
∴∠BAO＝30°，
∴∠OCD＝2∠BAO，
∴△AOB與△COD為倍優(yōu)三角形；
（2）由題意，∠BCO＞∠PAO，∠APO＞∠CBO．
①若∠BCO＝2∠PAO，如圖③﹣1，過點(diǎn)P作PH⊥AC于H，

則∠DAO＝2∠PAO，
∴AP平分∠DAC，
又PH⊥AC，∠D＝90°，
∴PD＝PH，
設(shè)PD＝PH＝m，
則PC＝2﹣m．
則PC＝PH，
∴2﹣m＝m，
∴m＝2﹣2，
∴tan∠DAP＝＝﹣1；
②若∠APO＝2∠CBO，如圖③﹣2，過點(diǎn)P作PI∥BC交AB于I，

則∠BPI＝∠CBO，
∵∠APO＝2∠CBO，
∴∠APO＝2∠BPI，
則∠DAP＝∠API＝∠BPI＝∠CBP，
故DP＝CP＝1，
∴tan∠DAP＝＝．
綜上，∠DAP的正切值為﹣1或；
25．（14分）如圖，對(duì)稱軸為直線x＝2的拋物線y＝x2+bx+c與x軸交于點(diǎn)A和點(diǎn)B，與y軸交于點(diǎn)C，且點(diǎn)A的坐標(biāo)為（﹣1，0）
（1）求拋物線的解析式；
（2）直接寫出B、C兩點(diǎn)的坐標(biāo)；
（3）求過O，B，C三點(diǎn)的圓的面積．（結(jié)果用含π的代數(shù)式表示）

【解答】解：（1）由題意得：，
解得：，
∴拋物線的解析式為：y＝x2﹣4x﹣5；
（2）∵對(duì)稱軸為直線x＝2，A（﹣1，0），
∴B（5，0），
當(dāng)x＝0時(shí)，y＝﹣5，
∴C（0，﹣5），
（3）∵∠BOC＝90°，
∴BC是過O，B，C三點(diǎn)的圓的直徑，
由題意得：OB＝5，OC＝5，
由勾股定理得；BC＝＝5，
S＝π?＝π，
答：過O，B，C三點(diǎn)的圓的面積為π．