例題1設(shè)F為雙曲線E：eq \f(x2,a2)－eq \f(y2,b2)＝1(a＞0，b＞0)的左焦點．過點F的直線L與雙曲線右支交點P，與圓O：x2＋y2＝a2恰好切于線段PF的中點M，則雙曲線E的離心率為________________．
例題2設(shè)雙曲線eq \f(x2,a2)－eq \f(y2,b2)＝1(a＞0，b＞0)的左、右焦點分別為F1，F(xiàn)2，點P在雙曲線的右支上，且PF1＝4PF2，則此雙曲線離心率的取值范圍為________________．
變式1如圖，已知F1，F(xiàn)2是橢圓C：eq \f(x2,a2)＋eq \f(y2,b2)＝1(a＞b＞0)的左、右焦點，點P在橢圓C上，線段PF2與圓x2＋y2＝b2相切于點Q，且點Q為線段PF2的中點，則橢圓C的離心率為________________．
變式2如圖，橢圓C：eq \f(x2,a2)＋eq \f(y2,b2)＝1(a＞0，b＞0)的左、右焦點分別為F1，F(xiàn)2，過F2的直線交橢圓于P，Q兩點，且PQ⊥PF1.若PF1＝PQ，求橢圓C的離心率e.
串講1設(shè)F1，F(xiàn)2是橢圓E：eq \f(x2,a2)＋eq \f(y2,b2)＝1(a＞b＞0)的左、右焦點，若在右準線上存在點P，使線段PF1的中線過點F2，則橢圓E的離心率e的取值范圍是________________．
串講2如圖，在平面直角坐標系xOy中，F(xiàn)是橢圓eq \f(x2,a2)＋eq \f(y2,b2)＝1(a＞b＞0)的右焦點，直線y＝eq \f(b,2)與橢圓交于B，C兩點，且∠BFC＝90°，則該橢圓的離心率是________________．
(2018·全國Ⅲ卷)設(shè)F1，F(xiàn)2是雙曲線C：eq \f(x2,a2)－eq \f(y2,b2)＝1(a＞0，b＞0)的左、右焦點，O是坐標原點．過F2作C的一條漸近線的垂線，垂足為P.若|PF1|＝eq \r(6)|OP|，則C的離心率為________________．
已知橢圓eq \f(x2,a2)＋eq \f(b2,b2)＝1(a>b>0)左焦點F1和右焦點F2，上頂點A，線段AF2的中垂線交橢圓于點B，若左焦點F1在線段AB上，求橢圓的離心率．
答案：eq \f(\r(3),3).
解法1由題意可知AB＝BF2，1分
設(shè)BF1＝x，則BF1＋BF2＝x＋x＋a＝2a，得x＝eq \f(a,2)，3分
故eq \(AF1,\s\up6(→))＝2eq \(F1B,\s\up6(→))易得B(－eq \f(3,2)c，－eq \f(b,2))，6分
代入橢圓方程可得e＝eq \f(\r(3),3).8分
解法2(關(guān)鍵步提示)直線AF1：eq \f(x,－c)＋eq \f(y,b)＝1與AF2中垂線y－eq \f(b,2)＝eq \f(c,b)(x－eq \f(c,2))2分
的交點B(eq \f(a2c,2（c2－b2）)，b(1＋eq \f(a2,2（c2－b2）)))代入橢圓方程，5分
微專題20
例題1
答案：eq \r(5).
解析：設(shè)雙曲線的右焦點為F2，連接PF2，因為OM為△FPF2的中位線，所以PF2＝2a，PF＝PF2＋2a＝4a，又因為OM⊥PF，所以PF2⊥PF，在△FPF2中，由勾股定理得(2c)2＝(2a)2＋(4a)2，所以離心率為eq \r(5).
例題2
答案：eq \b\lc\(\rc\](\a\vs4\al\c1(1，\f(5,3))).
解析：PF1－PF2＝2a，得PF2＝eq \f(2,3)a≥c－a，又因為e＞1，所以雙曲線的離心率的取值范圍為eq \b\lc\(\rc\](\a\vs4\al\c1(1，\f(5,3))).
變式聯(lián)想
變式1
答案：eq \f(\r(5),3).
解析：連接PF1，OQ，因為OQ為△F1PF2的中位線，所以PF1＝2b.
PF2＝2a－2b，又因為OQ⊥PF2，所以PF1⊥PF2，在△F1PF2中，由勾股定理得(2b)2＋(2a－2b)2＝(2c)2，消去c2得2b2＋a2－2ab＝a2－b2，得3b＝2a，所以e＝eq \f(c,a)＝eq \f(\r(5),3).
變式2
答案：eq \r(6)－eq \r(3).
解析：連接F1Q.從而有PF1＋PQ＋PF2＝4a，因為PF1＝PQ且PF1⊥PQ，所以PF1＝eq \f(4a,2＋\r(2))＝4a－2eq \r(2)a，PF2＝2eq \r(2)a－2a，因為△PF1F2為直角三角形，PF12＋PF22＝F1F22，(4a－2eq \r(2)a)2＋(2eq \r(2)a－2a)2＝4c2，所以(2a－eq \r(2)a)2＋(eq \r(2)a－a)2＝c2，e2＝(2－eq \r(2))2＋(eq \r(2)－1)2，e2＝3(eq \r(2)－1)2，橢圓C的離心率e＝eq \r(6)－eq \r(3).
串講激活
串講1
答案：eq \b\lc\[\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(\r(3),3)，1)).
解析：如圖，由題意知，PF2＝F1F2＝
2c，又PF2≥AF2＝eq \f(a2,c)－c，
2c≥eq \f(a2,c)－c，又0＜e＜1，所以，eq \f(\r(3),3)≤e＜1，橢圓E的離心率e的取值范圍是eq \b\lc\[\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(\r(3),3)，1)).
串講2
答案：eq \f(\r(6),3).
解析：F(c，0)，直線y＝eq \f(b,2)與橢圓方程聯(lián)立可得Beq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(－\f(\r(3)a,2)，\f(b,2)))，Ceq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(\r(3)a,2)，\f(b,2)))，由∠BFC＝90°可得eq \(CF,\s\up6(→))·eq \(BF,\s\up6(→))＝0，eq \(BF,\s\up6(→))＝eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(c＋\f(\r(3)a,2)，－\f(b,2)))，eq \(CF,\s\up6(→))＝
eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(c－\f(\r(3)a,2)，－\f(b,2)))，則c2－eq \f(3,4)a2＋eq \f(1,4)b2＝0，由b2＝a2－c2可得，eq \f(3,4)c2＝eq \f(1,2)a2，則e＝eq \f(c,a)＝eq \r(\f(2,3))＝eq \f(\r(6),3).
新題在線
答案：eq \r(3).
解析：不妨設(shè)一條漸近線為y＝eq \f(b,a)x，直線PF2：y＝－eq \f(a,b)(x－c)，聯(lián)立解得P(eq \f(a2,c)，eq \f(ab,c))，由PF12＝6OP2得(eq \f(a2,c)＋c)2＋eq \f(a2b2,c2)＝6a2，消去b2得c2＝3a2，所以離心率為eq \r(3).
離心率問題是考查重點．每年高考中幾乎是必考內(nèi)容．不僅填空題經(jīng)?？疾?，也經(jīng)常在大題中出現(xiàn)，本專題著重研究圓錐曲線的離心率問題.

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