www.ks5u.com第68煉 圓錐曲線的離心率問題    離心率是圓錐曲線的一個(gè)重要幾何性質(zhì)，一方面刻畫了橢圓，雙曲線的形狀，另一方面也體現(xiàn)了參數(shù)之間的聯(lián)系。一、基礎(chǔ)知識：1、離心率公式： （其中為圓錐曲線的半焦距）（1）橢圓： （2）雙曲線：2、圓錐曲線中的幾何性質(zhì)及聯(lián)系（1）橢圓：，① ：長軸長，也是同一點(diǎn)的焦半徑的和： ② ：短軸長③ 橢圓的焦距（2）雙曲線：① ：實(shí)軸長，也是同一點(diǎn)的焦半徑差的絕對值： ② ：虛軸長③ 橢圓的焦距3、求離心率的方法：求橢圓和雙曲線的離心率主要圍繞尋找參數(shù)的比例關(guān)系（只需找出其中兩個(gè)參數(shù)的關(guān)系即可），方法通常有兩個(gè)方向：（1）利用幾何性質(zhì)：如果題目中存在焦點(diǎn)三角形（曲線上的點(diǎn)與兩焦點(diǎn)連線組成的三角形），那么可考慮尋求焦點(diǎn)三角形三邊的比例關(guān)系，進(jìn)而兩條焦半徑與有關(guān)，另一條邊為焦距。從而可求解（2）利用坐標(biāo)運(yùn)算：如果題目中的條件難以發(fā)掘幾何關(guān)系，那么可考慮將點(diǎn)的坐標(biāo)用進(jìn)行表示，再利用條件列出等式求解2、離心率的范圍問題：在尋找不等關(guān)系時(shí)通?？蓮囊韵聨讉€(gè)方面考慮：（1）題目中某點(diǎn)的橫坐標(biāo)（或縱坐標(biāo)）是否有范圍要求：例如橢圓與雙曲線對橫坐標(biāo)的范圍有要求。如果問題圍繞在“曲線上存在一點(diǎn)”，則可考慮該點(diǎn)坐標(biāo)用表示，且點(diǎn)坐標(biāo)的范圍就是求離心率范圍的突破口（2）若題目中有一個(gè)核心變量，則可以考慮離心率表示為某個(gè)變量的函數(shù)，從而求該函數(shù)的值域即可（3）通過一些不等關(guān)系得到關(guān)于的不等式，進(jìn)而解出離心率注：在求解離心率范圍時(shí)要注意圓錐曲線中對離心率范圍的初始要求：橢圓：，雙曲線：二、典型例題：例1：設(shè)分別是橢圓的左、右焦點(diǎn)，點(diǎn)在橢圓上，線段的中點(diǎn)在軸上，若，則橢圓的離心率為（    ）A．        B．        C．         D． 思路：本題存在焦點(diǎn)三角形，由線段的中點(diǎn)在軸上，為中點(diǎn)可得軸，從而，又因?yàn)?/span>，則直角三角形中，，且，所以答案：A 小煉有話說：在圓錐曲線中，要注意為中點(diǎn)是一個(gè)隱含條件，如果圖中存在其它中點(diǎn)，則有可能與搭配形成三角形的中位線。例2：橢圓與漸近線為的雙曲線有相同的焦點(diǎn),為它們的一個(gè)公共點(diǎn),且,則橢圓的離心率為________思路：本題的突破口在于橢圓與雙曲線共用一對焦點(diǎn)，設(shè)，在雙曲線中，，不妨設(shè)在第一象限，則由橢圓定義可得：，由雙曲線定義可得：，因?yàn)?/span>，而代入可得：   答案： 小煉有話說：在處理同一坐標(biāo)系下的多個(gè)圓錐曲線時(shí)，它們共同的要素是聯(lián)接這些圓錐曲線的橋梁，通常以這些共同要素作為解題的關(guān)鍵點(diǎn)。例3：如圖所示，已知雙曲線的右焦點(diǎn)為，過的直線交雙曲線的漸近線于兩點(diǎn)，且直線的傾斜角是漸近線傾斜角的2倍，若，則該雙曲線的離心率為（      ）A.              B.               C.            D. 思路：本題沒有焦半徑的條件，考慮利用點(diǎn)的坐標(biāo)求解，則將所涉及的點(diǎn)坐標(biāo)盡力用 表示，再尋找一個(gè)等量關(guān)系解出 的關(guān)系。雙曲線的漸近線方程為，由直線的傾斜角是漸近線傾斜角的2倍可得：，確定直線l的方程為，與漸近線聯(lián)立方程得將轉(zhuǎn)化為坐標(biāo)語言，則 ，即，解得，從而答案：B例4：設(shè)分別為雙曲線的左、右焦點(diǎn)，雙曲線上存在一點(diǎn)使得則該雙曲線的離心率為                                B.                    C.            D.3思路：條件與焦半徑相關(guān)，所以聯(lián)想到，進(jìn)而與找到聯(lián)系，計(jì)算出的比例，從而求得解：即    解得：（舍）或     答案：B例5：如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，為橢圓的四個(gè)頂點(diǎn)，為其右焦點(diǎn)，直線與直線相交于點(diǎn)T，線段與橢圓的交點(diǎn)恰為線段的中點(diǎn)，則該橢圓的離心率為           . 思路：本題涉及的條件多與坐標(biāo)有關(guān)，很難聯(lián)系到參數(shù)的幾何意義，所以考慮將點(diǎn)的坐標(biāo)用進(jìn)行表示，在利用條件求出離心。首先直線的方程含，聯(lián)立方程后交點(diǎn)的坐標(biāo)可用進(jìn)行表示（），則中點(diǎn)，再利用點(diǎn)在橢圓上即可求出離心率解：直線的方程為：；直線的方程為：，聯(lián)立方程可得：解得：，     則在橢圓上， 解得：答案：例6：已知F是雙曲線的左焦點(diǎn)，是該雙曲線的右頂點(diǎn)，過點(diǎn)且垂直于軸的直線與雙曲線交于兩點(diǎn)，若是銳角三角形，則該雙曲線的離心率的取值范圍為    （    ）A．          B．         C．          D． 思路：從圖中可觀察到若為銳角三角形，只需要為銳角。由對稱性可得只需即可。且均可用表示，是通徑的一半，得：，，所以，即答案：B小煉有話說：（1）在處理有關(guān)角的范圍時(shí)，可考慮利用該角的一個(gè)三角函數(shù)值，從而將角的問題轉(zhuǎn)變?yōu)檫叺谋戎祮栴}（2）本題還可以從直線的斜率入手，，利用即可求出離心率例7：已知橢圓的左、右焦點(diǎn)分別為，若橢圓上存在點(diǎn)使，則該橢圓的離心率的取值范圍為（    ）  A.        B.         C.        D. 思路：為焦點(diǎn)三角形的內(nèi)角，且對邊為焦半徑，所以利用正弦定理對等式變形：，再由解得：，再利用焦半徑的范圍為可得（由于依題意，非左右頂點(diǎn)，所以焦半徑取不到邊界值）：，解得答案：D例8：已知是橢圓的左右焦點(diǎn)，若橢圓上存在點(diǎn)，使得，則橢圓離心率的取值范圍是（     ）A.           B.             C.          D.  思路一：考慮在橢圓上的點(diǎn)與焦點(diǎn)連線所成的角中，當(dāng)位于橢圓短軸頂點(diǎn)位置時(shí)，達(dá)到最大值。所以若橢圓上存在的點(diǎn)，則短軸頂點(diǎn)與焦點(diǎn)連線所成的角，考慮該角與的關(guān)系，由橢圓對稱性可知，，所以，即，進(jìn)而即，解得，再由可得思路二：由可得，進(jìn)而想到焦點(diǎn)三角形的面積：，另一方面：，從而，因?yàn)?/span>在橢圓上，所以，即，再同思路一可解得：思路三：可想到，進(jìn)而通過向量坐標(biāo)化，將數(shù)量積轉(zhuǎn)為方程。設(shè)，則有，則，即點(diǎn)一定在以為圓心，為半徑的圓上，所以只需要該圓與橢圓有交點(diǎn)即可，通過作圖可發(fā)現(xiàn)只有半徑時(shí)才可有交點(diǎn)，所以，同思路一可解得注：本題對在圓上也可由判定出在以為直徑的圓上，進(jìn)而寫出圓方程思路四：開始同思路三一樣，得到所在圓方程為，因?yàn)?/span>在橢圓上，所以聯(lián)立圓和橢圓方程：代入消去可得：，整理后可得：，由可得：，同思路一即可解得：答案：小煉有話說：本題的眾多思路重點(diǎn)區(qū)別在：一是從條件中想到橢圓的哪些性質(zhì)與結(jié)論，不同的結(jié)論得到不同的突破口；二是在解決離心率時(shí)是選擇用幾何特點(diǎn)數(shù)形結(jié)合去解還是通過坐標(biāo)方程用代數(shù)方式計(jì)算求解例9：設(shè)點(diǎn)分別為橢圓的左右焦點(diǎn)，若在橢圓上存在異于點(diǎn)的點(diǎn)，使得，其中為坐標(biāo)原點(diǎn)，則橢圓的離心率的取值范圍是（   ）A.               B.            C.           D. 思路：本題取值范圍的突破口在“橢圓上存在點(diǎn)”，則的橫縱坐標(biāo)分別位于中，所以致力于計(jì)算的坐標(biāo)，設(shè)，題目中，由可得也在以為直徑的圓上。即，所以聯(lián)立方程：，即，由已知可得也是圓與橢圓的一個(gè)交點(diǎn)，所以由韋達(dá)定理可得：，再根據(jù)的范圍可得：，解得 答案：D小煉有話說：本題運(yùn)用到了一個(gè)求交點(diǎn)的模型：即已知一個(gè)交點(diǎn)，可利用韋達(dá)定理求出另一交點(diǎn)，熟練使用這種方法可以快速解決某些點(diǎn)的坐標(biāo)  例10：如圖，已知雙曲線上有一點(diǎn)，它關(guān)于原點(diǎn)的對稱點(diǎn)為，點(diǎn)為雙曲線的右焦點(diǎn)，且滿足，設(shè)，且，則該雙曲線  離心率的取值范圍為（     ）A．                   B．     C．                   D．思路：本題與焦半徑相關(guān)，所以考慮的幾何含義，可得為直角三角形，且，結(jié)合可得，因?yàn)?/span>關(guān)于原點(diǎn)對稱，所以即為的左焦半徑。所以有，則 ，即關(guān)于的函數(shù)，在求值域即可：，所以答案：B三、歷年好題精選1、已知雙曲線，，是雙曲線上關(guān)于原點(diǎn)對稱的兩點(diǎn)，是雙曲線上的動點(diǎn)，直線，的斜率分別為，若的最小值為，則雙曲線的離心率為（    ）A．         B．         C．          D．2、（2016，新余一中模擬）已知點(diǎn)是拋物線的對稱軸與準(zhǔn)線的交點(diǎn)，點(diǎn)為拋物線的焦點(diǎn)，在拋物線上且滿足，當(dāng)取最大值時(shí)，點(diǎn)恰好在以為焦點(diǎn)的雙曲線上，則雙曲線的離心率為（     ）A.              B.            C.            D.  3、已知分別是雙曲線的左、右焦點(diǎn)，過點(diǎn)且垂直于軸的直線與雙曲線交于兩點(diǎn)，若是鈍角三角形，則該雙曲線離心率的取值范圍是（      ）A．        B．       C．         D．4、設(shè)分別是雙曲線的左右焦點(diǎn)，若雙曲線左支上存在一點(diǎn)，使得，為坐標(biāo)原點(diǎn)，且，則該雙曲線的離心率為（     ）A.                  B.             C.               D.  5、（2016四川高三第一次聯(lián)考）橢圓和圓，（為橢圓的半焦距）對任意恒有四個(gè)交點(diǎn)，則橢圓的離心率的取值范圍為（   ）A.               B.            C.           D.  6、如圖，內(nèi)外兩個(gè)橢圓的離心率相同，從外層橢圓頂點(diǎn)向內(nèi)層橢圓引切線，設(shè)內(nèi)層橢圓方程為，外層橢圓方程為若的斜率之積為，則橢圓的離心率為_______7、（2015，新課標(biāo)II）已知為雙曲線的左右頂點(diǎn)，點(diǎn)在上，為等腰三角形，且頂角為，則的離心率為（     ）A.               B.               C.              D.  8、（2016，宜昌第一中學(xué)12月考）已知雙曲線的左、右焦點(diǎn)分別為，點(diǎn)在雙曲線的左支上，且，則此雙曲線離心率的最大值為（    ）A．                B．             C．                D．9、（2015，山東）平面直角坐標(biāo)系中，雙曲線的漸近線與拋物線交于點(diǎn)，若的垂心為的焦點(diǎn)，則離心率為________10、（2014，湖北）已知是橢圓和雙曲線的公共焦點(diǎn)，是它們的一個(gè)公共點(diǎn)，且，則橢圓和雙曲線的離心率的倒數(shù)之和的最大值為（    ）A.               B.             C.            D.  11、（2014，浙江）設(shè)直線與雙曲線的兩條漸近線分別交于點(diǎn)，若點(diǎn)滿足，則該雙曲線的離心率是______解得：習(xí)題答案：1、答案：B.解析：設(shè)，則，兩式相減得:，而，則，.2、答案：A解析：由拋物線方程可得：，過作準(zhǔn)線的垂線，垂足為，所以，所以，可知取得最大值時(shí)，最小，數(shù)形結(jié)合可知當(dāng)與拋物線相切時(shí)，最小。設(shè)，聯(lián)立方程，即，則，此時(shí)，則，所以，則 3、解析：為鈍角三角形，且即，即 答案：B4、答案：A思路：已知條件與焦半徑相關(guān)，先考慮焦點(diǎn)三角形的特點(diǎn)，從入手，可得，數(shù)形結(jié)合可得四邊形為菱形，所以，可判定為直角三角形。 ，可得5、答案：B解析：由橢圓與圓有四個(gè)不同的交點(diǎn)，則對任意恒成立，即，平方變形后可得：6、答案：解析：設(shè)切線的方程為，切線的方程為，聯(lián)立切線與內(nèi)層橢圓方程，得：，所以，由可得：，同理，所以。即 7、答案：D解析：設(shè)雙曲線方程為，如圖所示：，過點(diǎn)作軸于，在中，，所以，代入雙曲線方程可得：可得：，從而 8、答案：A解析：由雙曲線可知，所以，因?yàn)辄c(diǎn)，即，所以，即最大值為9、答案： 解析：由方程可得其漸近線方程為，與拋物線聯(lián)立可解得交點(diǎn)，拋物線的焦點(diǎn)坐標(biāo)為，由及，可得：，即，從而，所以 10、答案：A解析：設(shè)橢圓半長軸長為，雙曲線半實(shí)軸長為 ，橢圓，雙曲線離心率分別為 不妨設(shè)在第一象限由雙曲線與橢圓性質(zhì)可得： 由余弦定理可得：                       代入  可得： 由柯西不等式可得：11、答案： 解析：雙曲線的漸近線方程為：，分別聯(lián)立方程： 可解得： 中點(diǎn)      

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