例題：已知橢圓C的焦點(diǎn)坐標(biāo)為F1(－4，0)，F(xiàn)2(4，0)，且橢圓C過點(diǎn)A(3，1)，求橢圓C的標(biāo)準(zhǔn)方程．
變式1已知雙曲線C的焦點(diǎn)坐標(biāo)為F1(－4，0)，F(xiàn)2(4，0)，且雙曲線C過點(diǎn)A(3，1)，求雙曲線C的標(biāo)準(zhǔn)方程．
變式2如圖，在平面直角坐標(biāo)系xOy中，橢圓C：eq \f(x2,a2)＋eq \f(y2,b2)＝1(a＞b＞0)的左，右焦點(diǎn)分別為F1，F(xiàn)2，P為橢圓上一點(diǎn)(在x軸上方)，連接PF1并延長(zhǎng)交橢圓于另一點(diǎn)Q，若點(diǎn)P的坐標(biāo)為eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(1，\f(3,2)))，且△PQF2的周長(zhǎng)為8，求橢圓C的方程．
串講1(2018·南京鹽城零模)若拋物線y2＝2px的焦點(diǎn)與雙曲線eq \f(x2,4)－eq \f(y2,5)＝1的右焦點(diǎn)重合，則實(shí)數(shù)p的值為________________．
串講2在平面直角坐標(biāo)系xOy中，橢圓E：eq \f(x2,a2)＋eq \f(y2,b2)＝1(a＞b＞0)的左、右焦點(diǎn)分別為F1(－c，0)，F(xiàn)2(c，0)．已知(1，e)和eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(e，\f(\r(3),2)))都在橢圓上，其中e為橢圓的離心率，求橢圓E的方程．
(2018·天津卷)已知雙曲線eq \f(x2,a2)－eq \f(y2,b2)＝1(a＞0，b＞0)的離心率為2，過右焦點(diǎn)且垂直于x軸的直線與雙曲線交于A，B兩點(diǎn)．設(shè)A，B到雙曲線的同一條漸近線的距離分別為d1和d2，且d1＋d2＝6，求雙曲線的方程．
(2018·蘇州零模)在平面直角坐標(biāo)系xOy中，橢圓C：eq \f(x2,a2)＋eq \f(y2,b2)＝1(a＞b＞0)的離心率為eq \f(\r(2),2)，橢圓上動(dòng)點(diǎn)P到一個(gè)焦點(diǎn)的距離的最小值為3(eq \r(2)－1)．求橢圓C的標(biāo)準(zhǔn)方程．
答案：eq \f(x2,18)＋eq \f(y2,9)＝1.
解析：由題意得eq \f(c,a)＝eq \f(\r(2),2)，故a＝eq \r(2)c，1分
又橢圓上動(dòng)點(diǎn)P到一個(gè)焦點(diǎn)的距離的最小值為3(eq \r(2)－1)，所以a－c＝3eq \r(2)－3，2分
解得c＝3，a＝3eq \r(2)，所以b2＝a2－c2＝9，4分
所以橢圓C的標(biāo)準(zhǔn)方程為eq \f(x2,18)＋eq \f(y2,9)＝1.6分
微專題19
例題
答案：eq \f(x2,18)＋eq \f(y2,2)＝1.
解法1(定義)因?yàn)锳F1＋AF2＝6eq \r(2)＝2a，得a＝3eq \r(2)，c＝4，所以焦點(diǎn)在x軸上的橢圓C的標(biāo)準(zhǔn)方程為eq \f(x2,18)＋eq \f(y2,2)＝1.
解法2(方程組)設(shè)eq \f(x2,a2)＋eq \f(y2,b2)＝1(a＞b＞0)，得eq \b\lc\{(\a\vs4\al\c1(c2＝16＝a2－b2，,\f(9,a2)＋\f(1,b2)＝1，))解得a2＝18，b2＝2.
變式聯(lián)想
變式1
答案：eq \f(x2,8)－eq \f(y2,8)＝1.
解法1(定義)因?yàn)锳F1－AF2＝4eq \r(2)＝2a，得a＝2eq \r(2)，c＝4，所以焦點(diǎn)在x軸上的雙曲線C的標(biāo)準(zhǔn)方程為eq \f(x2,8)－eq \f(y2,8)＝1.
解法2(方程組)設(shè)eq \f(x2,a2)－eq \f(y2,b2)＝1(a，b＞0)，得eq \b\lc\{(\a\vs4\al\c1(c2＝16＝a2＋b2，,\f(9,a2)－\f(1,b2)＝1，))解得a2＝8，b2＝8.
變式2
答案：eq \f(x2,4)＋eq \f(y2,3)＝1.
解析：因?yàn)椤鱌QF2的周長(zhǎng)為4a，所以a＝2，把P的坐標(biāo)為eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(1，\f(3,2)))代入橢圓C，得eq \f(1,4)＋eq \f(9,4b2)＝1，所以b2＝3，橢圓C的方程為eq \f(x2,4)＋eq \f(y2,3)＝1.
串講激活
串講1
答案：6.
解析：雙曲線eq \f(x2,4)－eq \f(y2,5)＝1的右焦點(diǎn)為(3，0)，所以拋物線標(biāo)準(zhǔn)方程為y2＝12x，所以p的值為6.
串講2
答案：eq \f(x2,2)＋y2＝1.
解析：由點(diǎn)(1，e)在橢圓上，得eq \f(12,a2)＋eq \f(e2,b2)＝1，通分可得eq \f(12,a2)＋eq \f(c2,a2b2)＝1，b2＝1，由點(diǎn)eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(e，\f(\r(3),2)))在橢圓上，得eq \f(e2,a2)＋eq \f(\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(\r(3),2)))\s\up12(2),b2)＝1，因?yàn)閏2＝a2－1，可得a4－4a2＋4＝0，a2＝2.所以，橢圓的方程為eq \f(x2,2)＋y2＝1.
新題在線
答案：eq \f(x2,3)－eq \f(y2,9)＝1.
解析：由eq \f(c,a)＝2，得出c＝2a，b＝eq \r(3)a，因?yàn)锳eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(c，\f(b2,a)))，Beq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(c，－\f(b2,a)))，不妨設(shè)漸近線為bx－ay＝0，d1＋d2＝eq \f(|bc－b2|＋|bc＋b2|,\r(b2＋a2))＝6，因?yàn)閏＞b，得eq \f(2bc,c)＝6，所以b＝3，a＝eq \r(3)，所以雙曲線方程為eq \f(x2,3)－eq \f(y2,9)＝1.
高考中，解析幾何作為主干內(nèi)容之一，是考查重點(diǎn)．其中圓錐曲線的基本概念，標(biāo)準(zhǔn)方程及幾何性質(zhì)是解析幾何的基本內(nèi)容，同時(shí)也是必考內(nèi)容．求圓錐曲線的標(biāo)準(zhǔn)方程，離心率等問題不僅填空題經(jīng)常考查，也經(jīng)常在大題中出現(xiàn)，本專題著重研究圓錐曲線的標(biāo)準(zhǔn)方程的求法.

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