例題：已知圓O：x2＋y2＝1，點P在直線l：2x＋y－3＝0上，過點P作圓O的兩條切線，A，B為兩切點．
(1)求切線長PA的最小值，并求此時點P的坐標(biāo)；
(2)求eq \(PA,\s\up6(→))·eq \(PB,\s\up6(→))的最小值．
變式1設(shè)P為直線3x＋4y＋3＝0上的動點，過點P作圓C：x2＋y2－2x－2y＋1＝0的兩條切線，切點分別為A，B，則四邊形PACB的面積的最小值為________________．
變式2圓C的方程為(x－2)2＋y2＝4，圓M的方程為(x－2－5csθ)2＋(y－5sinθ)2＝1(θ∈R)．過圓M上任意一點P作圓C的兩條切線PE，PF，切點分別為E，F(xiàn)，則eq \(PE,\s\up6(→))·eq \(PF,\s\up6(→))的最小值是____________．
串講1動直線y＝k(x－eq \r(2))與曲線y＝eq \r(1－x2)相交于A，B兩點，O為坐標(biāo)原點，當(dāng)△AOB的面積取得最大值時，k的值為________________．
串講2在平面直角坐標(biāo)系xOy中，已知點P(3，0)在圓C：x2＋y2－2mx－4y＋m2－28＝0內(nèi)，動直線AB過點P且交圓C于A，B兩點，若△ABC的面積最大值為16，則實數(shù)m的取值范圍為____________．
(2018·北京卷)在平面直角坐標(biāo)系中，記d為點P(csθ，sinθ)到直線x－my－2＝0的距離，當(dāng)θ，m變化時，d的最大值為________________．
已知圓M的方程為x2＋y2－4x－4y＋6＝0，以坐標(biāo)原點O為圓心的圓O與圓M相外切．
(1)求圓O的方程；
(2)圓O與x軸交于E，F(xiàn)兩點，圓O內(nèi)的動點D使得DE，DO，DF成等比數(shù)列，求eq \(DE,\s\up6(→))·eq \(DF,\s\up6(→))的取值范圍．
答案：(1)圓O的方程為x2＋y2＝2；(2)eq \(DE,\s\up6(→))·eq \(DF,\s\up6(→))∈[－1，0)．
解析：(1)圓M的方程可整理為(x－2)2＋(y－2)2＝2，故圓心M(2，2)，半徑R＝eq \r(2).1分
圓O的圓心為(0，0)，因為MO＝2eq \r(2)，設(shè)圓O的半徑為r，
因為圓O外切于圓M，所以MO＝R＋r，即2eq \r(2)＝eq \r(2)＋r，解得r＝eq \r(2).3分
所以圓O的方程為x2＋y2＝2.5分
(2)不妨設(shè)E(m，0)，F(xiàn)(n，0)，且m＜n.
由eq \b\lc\{(\a\vs4\al\c1(x2＋y2＝2，,y＝0，))解得eq \b\lc\{(\a\vs4\al\c1(x＝\r(2)，,y＝0，))或eq \b\lc\{(\a\vs4\al\c1(x＝－\r(2)，,y＝0，))
故E(－eq \r(2)，0)，F(xiàn)(eq \r(2)，0).7分
設(shè)D(x，y)，由DE，DO，DF成等比數(shù)列，得DE·DF＝DO2，
即eq \r(（x＋\r(2)）2＋y2)·eq \r(（x－\r(2)）2＋y2)＝x2＋y2，整理得x2－y2＝1.9分
而eq \(DE,\s\up6(→))＝(－eq \r(2)－x，－y)，eq \(DF,\s\up6(→))＝(eq \r(2)－x，－y)，
所以eq \(DE,\s\up6(→))·eq \(DF,\s\up6(→))＝(－eq \r(2)－x)(eq \r(2)－x)＋(－y)(－y)＝x2＋y2－2＝2y2－1.11分
由于點D在圓O內(nèi)，故有eq \b\lc\{(\a\vs4\al\c1(x2＋y2＜2，,x2－y2＝1，))得y2＜eq \f(1,2)，所以－1≤2y2－1＜0，13分
微專題18
例題
答案：(1)Peq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(6,5)，\f(3,5)))時，PAmin＝eq \f(2,\r(5))＝eq \f(2\r(5),5)；(2)(eq \(PA,\s\up6(→))·eq \(PB,\s\up6(→)))min＝－eq \f(4,45)，當(dāng)Peq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(6,5)，\f(3,5)))時取得．
解析：(1)設(shè)點P(x0，y0)，PA2＝PO2－1＝x02＋y02－1＝x02＋(－2x0＋3)2－1＝5x02－12x0＋8＝5eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(x0－\f(6,5)))eq \s\up12(2)＋eq \f(4,5)，故當(dāng)x0＝eq \f(6,5)，
即Peq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(6,5)，\f(3,5)))時，PAmin＝eq \f(2,\r(5))＝eq \f(2\r(5),5).
(2)eq \(PA,\s\up6(→))·eq \(PB,\s\up6(→))－eq \(PA,\s\up6(→))2·
cs∠APB＝PA2(2cs2∠APO－1)＝(PO2－1)eq \b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\c1(\f(2（PO2－1）,PO2)－1))＝PO2＋eq \f(2,PO2)－3，PO≥eq \f(3,\r(5)).令t＝PO2∈eq \b\lc\[\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(9,5)，＋∞))，而eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(t＋\f(2,t)))′＝1－eq \f(2,t2)在t∈eq \b\lc\[\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(9,5)，＋∞))上恒大于0，故t＋eq \f(2,t)－3≥eq \f(9,5)＋eq \f(10,9)－3＝eq \f(4,5)＋eq \f(1,9)－1＝－eq \f(4,45)，所以(eq \(PA,\s\up6(→))·eq \(PB,\s\up6(→)))min＝－eq \f(4,45)，當(dāng)Peq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(6,5)，\f(3,5)))時取得．
變式聯(lián)想
變式1
答案：eq \r(3).
解析：依題意，圓C：(x－1)2＋(y－1)2＝1的圓心是點C(1，1)，半徑是1，易知PC的最小值等于圓心C(1，1)到直線3x＋4y＋3＝0的距離，即eq \f(10,5)＝2，而四邊形PACB的面積2S△PAC＝2×eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(1,2)PA·AC))＝PA·AC＝PA＝eq \r(PC2－1)，因此四邊形PACB的面積的最小值是eq \r(22－1)＝eq \r(3).
變式2
答案：6.
解析：如圖，連接CE，CF.由題意，可知圓心
M(2＋5csθ，5sinθ)，設(shè)eq \b\lc\{(\a\vs4\al\c1(x＝2＋5csθ，,y＝5sinθ，))則可得圓心M的軌跡方程為(x－2)2＋y2＝25，由圖，可知只有當(dāng)M，P，C三點共線時，才能夠滿足eq \(PE,\s\up6(→))·eq \(PF,\s\up6(→))最小，此時PC＝4，EC＝2，故PE＝PF＝2eq \r(3)，∠EPF＝60°，則eq \(PE,\s\up6(→))·eq \(PF,\s\up6(→))＝(2eq \r(3))2×cs60°＝6.
串講激活
串講1
答案：－eq \f(\r(3),3).
解析：如圖，易得直線y＝k(x－eq \r(2))過定點C(eq \r(2)，0)，
曲線y＝eq \r(1－x2)表示圓x2＋y2＝1的上半圓，S△AOB＝eq \f(1,2)OA·OB·sin∠AOB，當(dāng)∠AOB＝eq \f(π,2)時，
△AOB的面積取得最大值，如圖作OH⊥AB，在Rt△AOB中，AB＝eq \r(AO2＋BO2)＝eq \r(2)，則OH＝eq \f(\r(2),2)，又在Rt△OHC中，OC＝eq \r(2)，所以∠OCH＝eq \f(π,6)，則k＝taneq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(π－\f(π,6)))＝taneq \f(5π,6)＝－eq \f(\r(3),3)，故答案為－eq \f(\r(3),3).
串講2
答案：[3＋2eq \r(3)，3＋2eq \r(7))∪(3－2eq \r(7)，3－2eq \r(3)]．
解析：圓的標(biāo)準(zhǔn)方程為(x－m)2＋(y－2)2＝32，則圓心C(m，2)，半徑r＝4eq \r(2)，S＝eq \f(1,2)r2sin∠ACB＝16sin∠ACB，當(dāng)∠ACB＝90°時S取最大值16，此時△ABC為等腰直角三角形，AB＝eq \r(2)r＝8，則C到AB距離為4，所以4≤PC＜4eq \r(2)，即4≤eq \r(（m－3）2＋22)＜4eq \r(2)，所以16≤(m－3)2＋22＜32，即12≤(m－3)2＜28，解得3＋2eq \r(3)≤m＜3＋2eq \r(7)或3－2eq \r(7)＜m≤3－2eq \r(3).
新題在線
答案：3.
解法1d＝eq \f(|csθ－msinθ－2|,\r(m2＋1))＝eq \f(|\r(m2＋1)cs（θ＋φ）－2|,\r(m2＋1))≤eq \f(\r(m2＋1)＋2,m2＋1)＝1＋eq \f(2,\r(m2＋1))≤3，當(dāng)且僅當(dāng)m＝0時取得最大值．
解法2因為cs2θ＋sin2θ＝1，所以點P為單位圓上一點，而直線x－my－2＝0過定點A(2，0)，所以d的最大值為OA＋1＝3.
在處理與圓有關(guān)的范圍和最值問題中，應(yīng)把握兩個“思想”：幾何思想和代數(shù)思想．所謂幾何思想，即利用圓心，將最值范圍問題轉(zhuǎn)化為與圓心有關(guān)的問題．所謂代數(shù)思想，即利用圓的參數(shù)方程．同時，由于最值范圍問題從代數(shù)意義上講和函數(shù)的聯(lián)系緊密，因此在解題過程中靈活的應(yīng)用函數(shù)、不等式等代數(shù)思想使問題代數(shù)化.

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