2023年湖南省長沙市瀏陽市中考數(shù)學(xué)一模試卷學(xué)校:___________姓名：___________班級(jí)：___________考號(hào)：___________第I卷（選擇題）一、選擇題（本大題共10小題，共30.0分。在每小題列出的選項(xiàng)中，選出符合題目的一項(xiàng)）1.  實(shí)數(shù)的倒數(shù)是(    )A.  B.  C.  D. 2.  年世界杯在卡塔爾舉辦，為了辦好這屆世界杯，人口僅有萬的卡塔爾投資億美元修建各項(xiàng)設(shè)施數(shù)據(jù)億用科學(xué)記數(shù)法表示為(    )A.  B.  C.  D. 3.  下列運(yùn)算正確的是(    )A.  B.
C.  D. 4.  如圖，一個(gè)由個(gè)大小相同、棱長為的正方體搭成的幾何體，下列關(guān)于這個(gè)幾何體的說法正確的是(    )A. 主視圖的面積為
B. 左視圖的面積為
C. 俯視圖的面積為
D. 俯視圖的面積為5.  某中學(xué)開展“讀書伴我成長”活動(dòng)，為了解八年級(jí)學(xué)生四月份的讀書冊數(shù)，對從中隨機(jī)抽取的名學(xué)生的讀書冊數(shù)進(jìn)行調(diào)查，結(jié)果如下表：冊數(shù)冊人數(shù)人根據(jù)統(tǒng)計(jì)表中的數(shù)據(jù)，這名同學(xué)讀書冊數(shù)的眾數(shù)，中位數(shù)分別是(    )A. ， B. ， C. ， D. ，6.  已知點(diǎn)與點(diǎn)關(guān)于原點(diǎn)對稱，則、的值分別是(    )A. ， B. ，
C. ， D. ，7.  據(jù)省統(tǒng)計(jì)局發(fā)布，年我省有效發(fā)明專利數(shù)比年增長假定年的年增長率保持不變，年和年我省有效發(fā)明專利分別為萬件和萬件，則(    )A.  B.
C.  D. 8.  如圖，直線，線段交，于，兩點(diǎn)，過點(diǎn)作，交直線于點(diǎn)，若，則(    )A.
B.
C.
D. 9.  如圖，是的弦，是的切線，為切點(diǎn)，經(jīng)過圓心．若，則的大小等于(    )A.
B.
C.
D. 10.  如圖，點(diǎn)從的頂點(diǎn)出發(fā)，沿勻速運(yùn)動(dòng)到點(diǎn)，圖是點(diǎn)運(yùn)動(dòng)時(shí)，線段的長度隨時(shí)間變化的關(guān)系圖象，其中是曲線部分的最低點(diǎn)，則的面積是(    )
 A.  B.  C.  D. 第II卷（非選擇題）二、填空題（本大題共6小題，共18.0分）11.  函數(shù)中自變量的取值范圍是______．12.  設(shè)，是一元二次方程的兩個(gè)根，則的值是______ ．13.  為了解某區(qū)九年級(jí)名學(xué)生中觀看北京冬奧會(huì)開幕式的情況，隨機(jī)調(diào)查了其中名學(xué)生，結(jié)果有名學(xué)生全程觀看了開幕式，請估計(jì)該區(qū)全程觀看冬奧會(huì)開幕式的九年級(jí)學(xué)生人數(shù)約為______ 人14.  分式與的和為，則的值為______．15.  如圖，是半圓的直徑，，為弦，于，交半圓于點(diǎn)，于，若，則的長為______ ．16.  先閱讀，再解答：對于三個(gè)數(shù)、、中，我們用符號(hào)來表示其中最大的數(shù)和最小的數(shù)，規(guī)定表示這三個(gè)數(shù)中最小的數(shù)，表示這三個(gè)數(shù)中最大的數(shù)例如：，；
______ ；
若，則的值為______ ．三、解答題（本大題共9小題，共72.0分。解答應(yīng)寫出文字說明，證明過程或演算步驟）17.  本小題分
計(jì)算：．18.  本小題分
解不等式組，并把解集在數(shù)軸上表示出來．
 
 
 19.  本小題分
如圖，某校為檢測師生體溫，在校門口安裝一臺(tái)測量體溫的紅外線測溫儀．已知測溫儀距地面，為了了解測溫儀的有效測溫區(qū)間，陳師傅做了如下實(shí)驗(yàn)：當(dāng)他走到處時(shí)，測溫儀開始顯示額頭溫度，此時(shí)在額頭處測得的仰角為；當(dāng)他走到處時(shí)，測溫儀停止顯示額頭溫度，此時(shí)在額頭處測得的仰角為若，求有效測溫區(qū)間的長度．參考數(shù)據(jù)：，，20.  本小題分
如圖，，，點(diǎn)是，的交點(diǎn)，過點(diǎn)作于點(diǎn)．
求證：；
若，，求的長
21.  本小題分
民法典頒布實(shí)施已經(jīng)一年多，勝利社區(qū)為了解社區(qū)居民對民法典內(nèi)容的知曉情況，對社區(qū)居民進(jìn)行了抽樣調(diào)查，按知曉情況可分如下四類：類完全知曉；類知曉；類部分知曉；類不知曉并根據(jù)調(diào)查結(jié)果制作了如下不完整的統(tǒng)計(jì)圖． 知曉等級(jí)頻數(shù)人頻率請根據(jù)圖表中的數(shù)據(jù)回答下列問題：
表中 ______ ， ______ ， ______ ；
補(bǔ)全條形統(tǒng)計(jì)圖；
為了加大民法典的宣傳力度，社區(qū)管理部門準(zhǔn)備在完全知曉的居民中征集名志愿宣傳者，已知完全知曉的居民中有名女性，其他為男性，求恰好抽到一男和一女的概率是多少．
22.  本小題分某初級(jí)中學(xué)為了提高教職工的身體素質(zhì)，舉辦了“堅(jiān)持鍛煉，活力無限”的健身活動(dòng)，并準(zhǔn)備購買一些體育器材為活動(dòng)做準(zhǔn)備．已知購買副乒乓球拍和副羽毛球拍共需要元，購買副乒乓球拍和副羽毛球拍共需要元．購買一副乒乓球拍和一副羽毛球拍各需多少元？已知該中學(xué)需要購買兩種球拍共副，羽毛球拍的數(shù)量不超過副．現(xiàn)商店推出兩種購買方案，方案：購買一副羽毛球拍贈(zèng)送一副乒乓球拍；方案：按總價(jià)的八折付款．試說明選擇哪種購買方案更實(shí)惠． 23.  本小題分
如圖，在平行四邊形中，，平分交于，交延長線于，連接．
求證：四邊形是菱形；
若，，求的面積．
24.  本小題分
如圖，是的直徑，是上的一個(gè)動(dòng)點(diǎn)，延長至，使，垂直于弦，垂足為點(diǎn)，點(diǎn)在上．
當(dāng)與相切時(shí)，求的度數(shù)；
芳芳觀察后發(fā)現(xiàn)，的值為，點(diǎn)點(diǎn)說的值隨動(dòng)點(diǎn)的變化而變化，你認(rèn)為誰的結(jié)論是正確的，請給予證明；
設(shè)，求與之間的函數(shù)關(guān)系式．
25.  本小題分
平面直角坐標(biāo)系中，拋物線與軸交于，兩點(diǎn)，與軸交于點(diǎn)．
求拋物線的解析式，并直接寫出點(diǎn)，的坐標(biāo)；
在拋物線的對稱軸上是否存在點(diǎn)，使是直角三角形？若存在，請直接寫出點(diǎn)的坐標(biāo)，若不存在，請說明理由；
如圖，點(diǎn)是直線上的一個(gè)動(dòng)點(diǎn)，連接，，是否存在點(diǎn)使最小，若存在，請求出點(diǎn)的坐標(biāo)，若不存在，請說明理由．

答案和解析 1.【答案】 【解析】解：實(shí)數(shù)的倒數(shù)是：．
故選：．
直接利用倒數(shù)：乘積是的兩數(shù)互為倒數(shù)，即可得出答案．
此題主要考查了倒數(shù)，正確掌握倒數(shù)的定義是解題關(guān)鍵．
 2.【答案】 【解析】解：億．
故選：．
用科學(xué)記數(shù)法表示較大的數(shù)時(shí)，一般形式為，其中，為整數(shù)，據(jù)此判斷即可．
此題主要考查了用科學(xué)記數(shù)法表示較大的數(shù)，一般形式為，其中，確定與的值是解題的關(guān)鍵．
 3.【答案】 【解析】解：、，原計(jì)算錯(cuò)誤，故此選項(xiàng)不符合題意；
B、，原計(jì)算錯(cuò)誤，故此選項(xiàng)不符合題意；
C、，原計(jì)算正確，故此選項(xiàng)符合題意；
D、，原計(jì)算錯(cuò)誤，故此選項(xiàng)不符合題意；
故選：．
根據(jù)同底數(shù)冪的除法法則、積的乘方的運(yùn)算法則、合并同類項(xiàng)法則和完全平方公式解答即可．
此題考查同底數(shù)冪的除法、合并同類項(xiàng)、積的乘方和完全平方公式，解題的關(guān)鍵是能夠根據(jù)法則和公式進(jìn)行正確計(jì)算．
 4.【答案】 【解析】解：、從正面看，可以看到個(gè)正方形，面積為，故A選項(xiàng)錯(cuò)誤；
B、從左面看，可以看到個(gè)正方形，面積為，故B選項(xiàng)錯(cuò)誤；
C、從上面看，可以看到個(gè)正方形，面積為，故C選項(xiàng)正確；
D、從上面看，可以看到個(gè)正方形，面積為，故D選項(xiàng)錯(cuò)誤．
故選：．
主視圖、左視圖、俯視圖是分別從物體正面、左面和上面看，所得到的圖形，看分別得到幾個(gè)面，比較即可．
本題主要考查了幾何體的三種視圖面積的求法及比較，關(guān)鍵是掌握三視圖的畫法．
 5.【答案】 【解析】【分析】
本題主要考查眾數(shù)和中位數(shù)，求一組數(shù)據(jù)的眾數(shù)的方法：找出頻數(shù)最多的那個(gè)數(shù)據(jù)，若幾個(gè)數(shù)據(jù)頻數(shù)都是最多且相同，此時(shí)眾數(shù)就是這多個(gè)數(shù)據(jù)．將一組數(shù)據(jù)按照從小到大或從大到小的順序排列，如果數(shù)據(jù)的個(gè)數(shù)是奇數(shù)，則處于中間位置的數(shù)就是這組數(shù)據(jù)的中位數(shù)．如果這組數(shù)據(jù)的個(gè)數(shù)是偶數(shù)，則中間兩個(gè)數(shù)據(jù)的平均數(shù)就是這組數(shù)據(jù)的中位數(shù)．
找到出現(xiàn)次數(shù)最多的數(shù)據(jù)，即為眾數(shù)；求出第、個(gè)數(shù)據(jù)的平均數(shù)即可得這組數(shù)據(jù)的中位數(shù)，從而得出答案．
【解答】
解：這名同學(xué)讀書冊數(shù)的眾數(shù)為冊，中位數(shù)為冊，
故選A．  6.【答案】 【解析】解：由題意，得
，，
故選：．
關(guān)于原點(diǎn)對稱的點(diǎn)，橫坐標(biāo)與縱坐標(biāo)都互為相反數(shù)．
本題考查了關(guān)于原點(diǎn)對稱的點(diǎn)的坐標(biāo)，解決本題的關(guān)鍵是掌握好對稱點(diǎn)的坐標(biāo)規(guī)律：關(guān)于軸對稱的點(diǎn)，橫坐標(biāo)相同，縱坐標(biāo)互為相反數(shù)；關(guān)于軸對稱的點(diǎn)，縱坐標(biāo)相同，橫坐標(biāo)互為相反數(shù)；關(guān)于原點(diǎn)對稱的點(diǎn)，橫坐標(biāo)與縱坐標(biāo)都互為相反數(shù)．
 7.【答案】 【解析】解：由題意得：年我省有效發(fā)明專利數(shù)為萬件，
年我省有效發(fā)明專利數(shù)為萬件，即萬件．
故選：．
根據(jù)題意可知年我省有效發(fā)明專利數(shù)為萬件，年我省有效發(fā)明專利數(shù)為，再結(jié)合題意即可解答．
本題主要考查了增長率問題，弄清題意、找到各量之間的數(shù)量關(guān)系是解題的關(guān)鍵．
 8.【答案】 【解析】解：，
，
，
，
，
，
，
故選：．
利用垂直定義和三角形內(nèi)角和定理計(jì)算出的度數(shù)，再利用平行線的性質(zhì)可得的度數(shù)，再根據(jù)鄰補(bǔ)角的性質(zhì)可得答案．
此題主要考查了平行線的性質(zhì)，關(guān)鍵是掌握兩直線平行，同位角相等．
 9.【答案】 【解析】解：如圖，連接，

是的切線，
，
，
，
，
．
故選：．
連接，根據(jù)切線的性質(zhì)，即可求得的度數(shù)．
本題考查了圓的切線性質(zhì)，以及等腰三角形的性質(zhì)，已知切線時(shí)常用的輔助線是連接圓心與切點(diǎn)．
 10.【答案】 【解析】解：由圖知，，
當(dāng)時(shí)，的值最小，即中，邊上的高為即此時(shí)，
當(dāng)時(shí)，，
的面積，
故選：．
由圖知，，當(dāng)時(shí)，的值最小，即中，邊上的高為即此時(shí)，即可求解．
本題是運(yùn)動(dòng)型綜合題，考查了動(dòng)點(diǎn)問題的函數(shù)圖象、勾股定理、圖形面積等知識(shí)點(diǎn)．解題關(guān)鍵是深刻理解動(dòng)點(diǎn)的函數(shù)圖象，了解圖象中關(guān)鍵點(diǎn)所代表的實(shí)際意義，理解動(dòng)點(diǎn)的完整運(yùn)動(dòng)過程．
 11.【答案】 【解析】解：由題意得，，
解得．
故答案為：．
根據(jù)被開方數(shù)大于等于列式計(jì)算即可得解．
本題考查了函數(shù)自變量的范圍，一般從三個(gè)方面考慮：
當(dāng)函數(shù)表達(dá)式是整式時(shí)，自變量可取全體實(shí)數(shù)；
當(dāng)函數(shù)表達(dá)式是分式時(shí)，考慮分式的分母不能為；
當(dāng)函數(shù)表達(dá)式是二次根式時(shí)，被開方數(shù)非負(fù)．
 12.【答案】 【解析】解：一元二次方程的兩個(gè)實(shí)數(shù)根為，，
，
故答案為：．
根據(jù)一元二次方程根與系數(shù)的關(guān)系即可得出答案．
本題考查了一元二次方程根與系數(shù)的關(guān)系：若，是一元二次方程的兩根時(shí)，，．
 13.【答案】 【解析】解：估計(jì)該區(qū)全程觀看冬奧會(huì)開幕式的九年級(jí)學(xué)生人數(shù)約為人．
故答案為：．
用總?cè)藬?shù)乘樣本中觀看冬奧會(huì)開幕式的九年級(jí)學(xué)生人數(shù)所占比例即可．
本題主要考查用樣本估計(jì)總體，求出全程觀看冬奧會(huì)開幕式的九年級(jí)學(xué)生人數(shù)所占的百分比是解答本題的關(guān)鍵．
 14.【答案】 【解析】【分析】
此題主要考查了解分式方程問題，要熟練掌握，解分式方程的步驟：去分母；求出整式方程的解；檢驗(yàn)；得出結(jié)論．
首先根據(jù)分式與的和為，可得：，然后根據(jù)解分式方程的方法，求出的值為多少即可．
【解答】
解：分式與的和為，
，
去分母，可得：，
解得：，
經(jīng)檢驗(yàn)是原方程的解，
的值為．
故答案為．  15.【答案】 【解析】解：，，
，
，
，
，，
，
在和中，
，
≌，
，
，，
，，
，
，
，
故答案為：．
由定理得出≌，推出，根據(jù)垂徑定理求出的長，再根據(jù)勾股定理求解即可．
本題的是垂徑定理，全等三角形的性質(zhì)和判定等知識(shí)，解此題的關(guān)鍵是求出≌和求出的長，注意：垂直于弦的直徑平分這條弦．
 16.【答案】 或 【解析】解：，
，
故答案為：；
當(dāng)最小時(shí)，，，此種情況不成立，
當(dāng)最小時(shí)，，，，，解得：；
當(dāng)最小時(shí)，，，
，
Ⅰ、當(dāng)最大時(shí)，，，，，解得：舍去；
Ⅱ、當(dāng)最大時(shí)，，，，，解得：；
Ⅲ、當(dāng)最大時(shí)，，，此種情況不成立，
綜上，的值為或．
根據(jù)，即可得出答案；
分情況分別列出關(guān)于的方程，解方程可得．
本題主要考查新定義下解不等式組和一元一次方程的能力，根據(jù)新定義列出不等式組和一元一次方程是根本，由已知等式找到的兩個(gè)分界點(diǎn)以準(zhǔn)確分類討論是解題的關(guān)鍵．
 17.【答案】解：原式
． 【解析】由零指數(shù)冪、絕對值的意義、特殊角的三角函數(shù)進(jìn)行化簡，即可得到答案．
本題考查了實(shí)數(shù)的混合運(yùn)算，解題的關(guān)鍵是熟練掌握運(yùn)算法則進(jìn)行解題．
 18.【答案】解：由，得：，
由，得：，
則不等式組的解集為，
將不等式組的解集表示在數(shù)軸上如下：
 【解析】本題考查的是解一元一次不等式組，正確求出每一個(gè)不等式的解集是基礎(chǔ)，熟知“同大取大；同小取??；大小小大中間找；大大小小找不到”的原則是解答此題的關(guān)鍵．
分別求出每一個(gè)不等式的解集，根據(jù)口訣：同大取大、同小取小、大小小大中間找、大大小小找不到確定不等式組的解集．
 19.【答案】解：如圖，延長交于點(diǎn)，則．

．
在中，，
在中，，
，
．
答：有效測溫區(qū)間的長度約為． 【解析】延長交于點(diǎn)，則，根據(jù)銳角三角函數(shù)即可求解．
本題考查的是解直角三角形的應(yīng)用仰角俯角問題，解題的關(guān)鍵是掌握仰角俯角的概念、熟記銳角三角函數(shù)的定義．
 20.【答案】證明：在與中，
，
≌，
，
；

解：由知，，
，
，
，
又，
． 【解析】利用“”證明≌，進(jìn)而得出答案；
首先證明，進(jìn)而得出，根據(jù)勾股定理即可得出答案．
本題考查全等三角形的判定與性質(zhì)、勾股定理，證明三角形全等是解答本題的關(guān)鍵．
 21.【答案】     【解析】解：總調(diào)查人數(shù)為人，
，
，
，
故答案為：，，；
補(bǔ)全條形統(tǒng)計(jì)圖如圖：

由題意知，五名完全知曉的居民中有名女性，名男性，畫樹狀圖如圖：

共有種等可能的結(jié)果，恰好抽到一男和一女的結(jié)果有種，
恰好抽到一男和一女的概率為．
先求出總?cè)藬?shù)，根據(jù)總?cè)藬?shù)乘以得到；總?cè)藬?shù)減去、、的人數(shù)可得；除以總?cè)藬?shù)可得；
根據(jù)人數(shù)補(bǔ)圖即可；
列樹狀圖解答．
此題考查了統(tǒng)計(jì)表與條形統(tǒng)計(jì)圖，利用部分的數(shù)量及頻率求總體人數(shù)，畫條形統(tǒng)計(jì)圖，列樹狀圖求概率，正確理解統(tǒng)計(jì)圖表是解題的關(guān)鍵．
 22.【答案】解：設(shè)購買一副乒乓球拍需元，一副羽毛球需元，
依題意得：，
解得：．
答：購買一副乒乓球拍需元，一副羽毛球需元．
設(shè)購買且為整數(shù)副羽毛球拍，則選擇方案所需總費(fèi)用為元，選項(xiàng)方案所需總費(fèi)用為元．
當(dāng)時(shí)，
，
，
；
當(dāng)時(shí)，
；
當(dāng)時(shí)，
，
，
．
答：當(dāng)購買羽毛球拍的數(shù)量少于副時(shí)，選項(xiàng)方案更實(shí)惠；當(dāng)當(dāng)購買羽毛球拍的數(shù)量等于副時(shí)，選項(xiàng)兩種購買方案所需總費(fèi)用相同；當(dāng)購買羽毛球拍的數(shù)量大于副且不超過副時(shí)，選項(xiàng)方案更實(shí)惠． 【解析】設(shè)購買一副乒乓球拍需元，一副羽毛球需元，根據(jù)“購買副乒乓球拍和副羽毛球拍共需要元，購買副乒乓球拍和副羽毛球拍共需要元”，即可得出關(guān)于，的二元一次方程組，解之即可得出結(jié)論；
設(shè)購買且為整數(shù)副羽毛球拍，則選擇方案所需總費(fèi)用為元，選項(xiàng)方案所需總費(fèi)用為元，分，及三種情況，即可求出的取值范圍或的值，此題得解．
本題考查了二元一次方程組的應(yīng)用、一元一次方程的應(yīng)用、列代數(shù)式以及一元一次不等式的應(yīng)用，解題的關(guān)鍵是：找準(zhǔn)等量關(guān)系，正確列出二元一次方程組；根據(jù)各數(shù)量之間的關(guān)系，用含的代數(shù)式表示出選項(xiàng)各方案所需總費(fèi)用．
 23.【答案】證明：四邊形是平行四邊形，
，
，
平分，
，
，
，
又，
且，
四邊形是平行四邊形，
又，
四邊形是菱形；

解：四邊形是菱形，
，，
又，
是的中位線，
，，，
，
，
． 【解析】根據(jù)平行四邊形的性質(zhì)得出，根據(jù)平行線的性質(zhì)得出，求出，推出，再根據(jù)菱形的判定推出即可；
根據(jù)菱形的性質(zhì)得出，，求出是的中位線，求出和，再根據(jù)三角形的面積公式求出即可．
本題考查了菱形的判定和性質(zhì)，平行四邊形的性質(zhì)，三角形的面積，等腰三角形的性質(zhì)和判定，平行線的性質(zhì)，三角形的中位線等知識(shí)點(diǎn)，能綜合運(yùn)用知識(shí)點(diǎn)進(jìn)行推理和計(jì)算是解此題的關(guān)鍵．
 24.【答案】解：當(dāng)是的切線時(shí)，則，
，
，
，，
．
，
；
芳芳正確，如圖所示，連接，

是的直徑，
，
，
，
∽，
，
，
則，
即，
，
芳芳正確；
如圖，連接，

是的直徑，
，
，
，
，
，
，
，
，
，
，
∽，
，
，
，
，
． 【解析】當(dāng)是的切線時(shí)，則，則，再利用直角三角形斜邊 的中線等于斜邊的一半，得出，即可由等腰三角形的判定定理得出結(jié)論；
連接，是的直徑，，又得出，證明∽，進(jìn)而即可求解．
連接，根據(jù)題意得出，又，所以，再根據(jù)，則，然后證∽，得，因?yàn)?/span>，代入即可求解．
本題考查直角三角形的性質(zhì)，圓周角定理的推論，相似三角形的性質(zhì)，正切的定義，熟練掌握相關(guān)性質(zhì)是解題的關(guān)鍵．
 25.【答案】解：將代入，
即，
解得：，
，
令，則，
令，則，
解得：，，，；
存在點(diǎn)，使是直角三角形，
，對稱軸為直線，
設(shè)，
，，
，，，
當(dāng)時(shí)，，
，
解得：；
當(dāng)時(shí)，，

解得：；
當(dāng)時(shí)，，
解得：或，
綜上所述：，，，；
存在點(diǎn)使最小，理由如下：
作點(diǎn)關(guān)于的對稱點(diǎn)，連接交于點(diǎn)，連接，

由對稱性可知，，
，
當(dāng)、、三點(diǎn)共線時(shí)，有最小值，
，，
，
，
由對稱性可知，
，
，
設(shè)直線的解析式為，
，
解得：，
直線的解析式，
設(shè)直線的解析式為，
，
，
直線的解析式為，
聯(lián)立方程組，
解得：，
 【解析】將代入，待定系數(shù)法求解析式，進(jìn)而分別令，，解方程即可求解；
根據(jù)題意，對稱軸為直線，設(shè)，根據(jù)勾股定理，，，分當(dāng)時(shí)，當(dāng)時(shí)，當(dāng)時(shí)，根據(jù)勾股定理建立方程，解方程即可求解；
存在點(diǎn)使最小，作點(diǎn)關(guān)于的對稱點(diǎn)，連接交于點(diǎn)，連接，求得直線的解析式，直線的解析式為，聯(lián)立方程即可求解．
本題考查了二次函數(shù)綜合運(yùn)用，待定系數(shù)求解析式，勾股定理，軸對稱的性質(zhì)求線段長的最值問題，熟練掌握二次函數(shù)的性質(zhì)是解題的關(guān)鍵．
 

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