2023年湖南省長沙市雅禮教育集團(tuán)中考數(shù)學(xué)一模試卷一、選擇題（本大題共10小題，共30.0分。在每小題列出的選項(xiàng)中，選出符合題目的一項(xiàng)）1.  下列各數(shù)是有理數(shù)的是(    )A.  B.  C.  D. 2.  第十四屆全國人民代表大會在政府工作報(bào)告中指出：年國內(nèi)生產(chǎn)總值預(yù)期目標(biāo)增長為左右，城鎮(zhèn)新增就業(yè)人左右，將數(shù)據(jù)用科學(xué)記數(shù)法表示為(    )A.  B.  C.  D. 3.  下列國產(chǎn)新能源汽車標(biāo)志，既是軸對稱圖形又是中心對稱圖形的是(    )A.  B.
C.  D. 4.  下列運(yùn)算正確的是(    )A.  B.
C.  D. 5.  在平面直角坐標(biāo)系中，點(diǎn)關(guān)于軸對稱的點(diǎn)的坐標(biāo)是(    )A.  B.  C.  D. 6.  如圖，，若，則的大小為(    )A.
B.
C.
D. 7.  某學(xué)校位同學(xué)在年體育中考一分鐘跳繩測試中，取得的成績單位：次分鐘分別為：，，，，，，，則這位同學(xué)成績的眾數(shù)和中位數(shù)分別是(    )A. ， B. ， C. ， D. ，8.  如圖，點(diǎn)，，在上，，是的切線，為切點(diǎn)，的延長線交于點(diǎn)，則的度數(shù)為(    )A.
B.
C.
D. 9.  某種型號油電混合動力汽車計(jì)劃從甲地開往乙地，如果純用電行駛，則電費(fèi)為元，如果純?nèi)加托旭?，則燃油費(fèi)為元已知每行駛千米，純?nèi)加唾M(fèi)用比純用電費(fèi)用多元如果設(shè)每行駛千米純用電的費(fèi)用為元，那么下列方程正確的是(    )A.  B.  C.  D. ．10.  如圖，，以點(diǎn)為圓心，任意長為半徑畫弧，分別交，于點(diǎn)，；再分別以點(diǎn)，為圓心，大于的長為半徑畫弧，兩弧交于點(diǎn)；作射線，過點(diǎn)分別作交于點(diǎn)，于點(diǎn)若，則的長為(    )A.  B.  C.  D. 二、填空題（本大題共6小題，共18.0分）11.  要使代數(shù)式有意義，則應(yīng)滿足的條件是______ ．12.  不等式組的解集是______．13.  若圓錐的底面圓半徑為，母線長為，則該圓錐的側(cè)面積是______結(jié)果保留14.  如圖，在矩形中，對角線、交于點(diǎn)，已知，，則的長為______ ．
 15.  為了解某校學(xué)生對于“社會主義核心價(jià)值觀”的知曉情況，從該校全體名學(xué)生中，隨機(jī)抽取了名學(xué)生進(jìn)行調(diào)查，結(jié)果顯示有名學(xué)生能熟練背誦，由此，估計(jì)該校全體學(xué)生中能熟練背誦“社會主義核心價(jià)值觀”的學(xué)生有______ 名16.  五一返校上課后，為了表揚(yáng)在假期依舊認(rèn)真完成數(shù)學(xué)作業(yè)的小函和小韜同學(xué)，數(shù)學(xué)老師決定在某外賣平臺上點(diǎn)杯單價(jià)都是元的奶茶獎勵他們從奶茶店到學(xué)校的每份訂單配送費(fèi)都為元，由于數(shù)學(xué)老師是該平臺的會員，因此每單都可以使用一個(gè)平臺贈送的元平臺紅包對每份訂單的總價(jià)減免元訂單總價(jià)不含配送費(fèi)，同一訂單只允許使用一個(gè)紅包但根據(jù)該奶茶店的優(yōu)惠活動，當(dāng)訂單總價(jià)不含配送費(fèi)滿元時(shí)，元的平臺紅包可兌換為一個(gè)元的店家紅包，即可以給訂單總價(jià)不含配送費(fèi)減免元當(dāng)數(shù)學(xué)老師同時(shí)點(diǎn)了杯奶茶準(zhǔn)備下單付款時(shí)，小函同學(xué)說：“老師，我們可以換一種下單方式，優(yōu)惠更多”請同學(xué)們分析小函同學(xué)的下單方式，并計(jì)算出本次外賣總費(fèi)用包含配送費(fèi)最低可為______ 元三、解答題（本大題共9小題，共72.0分。解答應(yīng)寫出文字說明，證明過程或演算步驟）17.  本小題分
計(jì)算：．18.  本小題分
先化簡再求值：，其中．19.  本小題分
如圖，某校教學(xué)樓與實(shí)驗(yàn)樓的水平間距米，在實(shí)驗(yàn)樓頂部點(diǎn)測得教學(xué)樓頂部點(diǎn)的仰角是，底部點(diǎn)的俯角是，求教學(xué)樓的高度是多少？結(jié)果保留根號．
20.  本小題分
幸福成都，美在文明為助力成都爭創(chuàng)全國文明典范城市，某校采用四種宣傳形式：宣傳單宣傳、電子屏宣傳、黑板報(bào)宣傳、志愿者宣傳每名學(xué)生從中選擇一種最喜歡的宣傳形式，學(xué)校就最喜歡的宣傳形式對學(xué)生進(jìn)行了抽樣調(diào)查，并將調(diào)查結(jié)果繪制了如下兩幅不完整的統(tǒng)計(jì)圖．

請結(jié)合圖中所給信息，解答下列問題：
本次調(diào)查的學(xué)生共有______ 人，請補(bǔ)全條形統(tǒng)計(jì)圖；
扇形統(tǒng)計(jì)圖中，“志愿者宣傳”對應(yīng)的扇形圓心角度數(shù)為______ ；
本次調(diào)查中，在最喜歡“志愿者宣傳”的學(xué)生中，有甲、乙、丙、丁四位同學(xué)表現(xiàn)優(yōu)秀，若從這四位同學(xué)中隨機(jī)選出兩名同學(xué)參加學(xué)校的志愿者活動，請用列表或畫樹狀圖的方法，求選出兩人恰好是甲和乙的概率．21.  本小題分
如圖，中，，直線是邊的垂直平分線，連接．
若，求的度數(shù)；
若，，求的面積．
22.  本小題分
受益于國家對高新技術(shù)企業(yè)的大力扶持，某新材料公司的利潤逐年增高，據(jù)統(tǒng)計(jì)，該公司年的利潤為億元，年的利潤為億元．
求該企業(yè)從年至年利潤的年均增長率；
若年保持前兩年利潤的年均增長率不變，該企業(yè)年的利潤能否超過億元？23.  本小題分
如圖，在菱形中，對角線、交于點(diǎn)，點(diǎn)，分別為邊，上的中點(diǎn)，連接．
求證：；
若，，求菱形的周長．
24.  本小題分
如圖，四邊形內(nèi)接于，對角線、交于點(diǎn)且為直徑，延長、交于點(diǎn)，連接，若，請回答下列問題：
求證：∽；
若，求的值；
設(shè)，與四邊形的面積之比為，請求出關(guān)于的函數(shù)關(guān)系式．
25.  本小題分
對于以為自變量的兩個(gè)函數(shù)與，令，我們不妨把函數(shù)稱之為函數(shù)與的“輔助函數(shù)”例如：以為白變量的函數(shù)與，它們的“輔助函數(shù)”為，同時(shí)，由于恒成立，所以借助該輔助函數(shù)可以證明：不論自變量取何值恒成立．
已知以為白變量的函數(shù)，請求出函數(shù)與的“輔助函數(shù)”，并證明：不論自變量取何值，恒成立；
已知以為自變量的函數(shù)與當(dāng)時(shí)，對于的每一個(gè)值，函數(shù)與的“輔助函數(shù)”恒成立，求的取值范圍；
已知以為自變量的函數(shù)與、、為常數(shù)且，，點(diǎn)、、是它們的“輔助函數(shù)”的圖象上的三點(diǎn)，且滿足，求函數(shù)的圖象截軸得到的線段長度的取值范圍．
答案和解析 1.【答案】 【解析】解：是有理數(shù)．
故選：．
根據(jù)有理數(shù)的定義，可得答案．
本題考查了實(shí)數(shù)，掌握有理數(shù)與無理數(shù)的定義是解題關(guān)鍵．
 2.【答案】 【解析】解：，
故選：．
將一個(gè)數(shù)表示成的形式，其中，為整數(shù)，這種表示數(shù)的方法叫做科學(xué)記數(shù)法，根據(jù)其定義即可得出答案．
本題考查科學(xué)記數(shù)法表示較大的數(shù)，科學(xué)記數(shù)法是重要知識點(diǎn)，必須熟練掌握．
 3.【答案】 【解析】解：該圖形不是中心對稱圖形，是軸對稱圖形，故此選項(xiàng)不合題意；
B.該圖形既不是中心對稱圖形，也不是軸對稱圖形，故此選項(xiàng)不合題意；
C.該圖形既是中心對稱圖形，也是軸對稱圖形，故此選項(xiàng)符合題意；
D.該圖形不是中心對稱圖形，是軸對稱圖形，故此選項(xiàng)不合題意．
故選：．
根據(jù)中心對稱圖形與軸對稱圖形的概念進(jìn)行判斷即可．
本題考查的是中心對稱圖形與軸對稱圖形的概念．軸對稱圖形的關(guān)鍵是尋找對稱軸，圖形兩部分折疊后可重合，中心對稱圖形是要尋找對稱中心，旋轉(zhuǎn)度后與自身重合．
 4.【答案】 【解析】解：因?yàn)?/span>，故A選項(xiàng)不符合題意；
B.因?yàn)?/span>，故B選項(xiàng)符合題意；
C.因?yàn)?/span>，故C選項(xiàng)不符合題意；
D.因?yàn)?/span>，故D選項(xiàng)不符合題意．
故選：．
A.應(yīng)用合并同類項(xiàng)法則進(jìn)行求解即可得出答案；
B.應(yīng)用積的乘方運(yùn)算法則進(jìn)行計(jì)算即可得出答案；
C.應(yīng)用同底數(shù)冪的乘法運(yùn)算法則進(jìn)行計(jì)算即可得出答案；
D.應(yīng)用完全平方公式進(jìn)行計(jì)算即可得出答案．
本題主要考查了同底數(shù)冪乘法，冪的乘方與積的乘方，合并同類項(xiàng)法則和完全平方公式，熟練掌握運(yùn)算法則進(jìn)行求解是解決本題的關(guān)鍵．
 5.【答案】 【解析】解：點(diǎn)關(guān)于軸的對稱點(diǎn)坐標(biāo)為．
故選：．
根據(jù)“關(guān)于軸對稱的點(diǎn)，縱坐標(biāo)相同，橫坐標(biāo)互為相反數(shù)”解答．
本題考查了關(guān)于軸、軸對稱點(diǎn)的坐標(biāo)，解決本題的關(guān)鍵是掌握好對稱點(diǎn)的坐標(biāo)規(guī)律：
關(guān)于軸對稱的點(diǎn)，橫坐標(biāo)相同，縱坐標(biāo)互為相反數(shù)；
關(guān)于軸對稱的點(diǎn)，縱坐標(biāo)相同，橫坐標(biāo)互為相反數(shù)；
關(guān)于原點(diǎn)對稱的點(diǎn)，橫坐標(biāo)與縱坐標(biāo)都互為相反數(shù)．
 6.【答案】 【解析】解：，，
，
，
，
，
故選：．
根據(jù)兩直線平行，內(nèi)錯(cuò)角相等分別求出、，再根據(jù)平角的概念計(jì)算即可．
本題考查的是平行線的判定和性質(zhì)，掌握平行線的性質(zhì)是解題的關(guān)鍵．
 7.【答案】 【解析】解：將這組數(shù)據(jù)重新排列為：，，，，，，，，
所以這組數(shù)據(jù)的眾數(shù)為，中位數(shù)為，
故選：．
根據(jù)眾數(shù)和中位數(shù)的定義求解即可．
本題主要考查眾數(shù)和中位數(shù)，一組數(shù)據(jù)中出現(xiàn)次數(shù)最多的數(shù)據(jù)叫做眾數(shù)．將一組數(shù)據(jù)按照從小到大或從大到小的順序排列，如果數(shù)據(jù)的個(gè)數(shù)是奇數(shù)，則處于中間位置的數(shù)就是這組數(shù)據(jù)的中位數(shù)．如果這組數(shù)據(jù)的個(gè)數(shù)是偶數(shù)，則中間兩個(gè)數(shù)據(jù)的平均數(shù)就是這組數(shù)據(jù)的中位數(shù)．
 8.【答案】 【解析】解：
，
，
是的切線，為切點(diǎn)，
，
，
故選：．
由圓周角定理易求的度數(shù)，再根據(jù)切線的性質(zhì)定理可得，進(jìn)而可求出的度數(shù)．
本題考查了圓周角定理、切線的性質(zhì)定理的運(yùn)用，熟記和圓有關(guān)的各種性質(zhì)和定理是解題的關(guān)鍵．
 9.【答案】 【解析】解：每行駛千米，純?nèi)加唾M(fèi)用比純用電費(fèi)用多元，且每行駛千米純用電的費(fèi)用為元，
每行駛千米純?nèi)加偷馁M(fèi)用為元．
根據(jù)題意得：．
故選：．
根據(jù)每行駛千米純?nèi)加唾M(fèi)用與純用電費(fèi)用間的關(guān)系，可得出每行駛千米純?nèi)加偷馁M(fèi)用為元，利用行駛路程總費(fèi)用每行駛千米所需費(fèi)用，即可得出關(guān)于的分式方程，此題得解．
本題考查了由實(shí)際問題抽象出分式方程，找準(zhǔn)等量關(guān)系，正確列出分式方程是解題的關(guān)鍵．
 10.【答案】 【解析】解：過點(diǎn)作于點(diǎn)，
由題意可知，為的平分線，
，
，
，
在中，，
．
故選：．
過點(diǎn)作于點(diǎn)，由題意可知，為的平分線，即可得，由平行線的性質(zhì)可得，則，從而可得答案．
本題考查作圖基本作圖、角平分線的性質(zhì)，熟練掌握角平分線的性質(zhì)及作圖方法是解答本題的關(guān)鍵．
 11.【答案】 【解析】解：代數(shù)式有意義，
，
．
故答案為：．
根據(jù)二次根式及分式有意義的條件解答即可．
本題考查的是二次根式及分式有意義的條件，熟知二次根式中的被開方數(shù)是非負(fù)數(shù)是解題的關(guān)鍵．
 12.【答案】 【解析】解：，
解不等式得：，
解不等式得：；
所以不等式組的解集為：．
先求出不等式組中每一個(gè)不等式的解集，再求出它們的公共部分即可．
本題考查的是解一元一次不等式組，熟知“同大取大；同小取小；大小小大中間找；大大小小找不到”的原則是解答此題的關(guān)鍵．
 13.【答案】 【解析】解：根據(jù)圓錐的側(cè)面積公式：，
故答案為：．
根據(jù)圓錐的底面半徑為，母線長為，直接利用圓錐的側(cè)面積公式求出它的側(cè)面積．
此題主要考查了圓錐側(cè)面積公式．掌握圓錐側(cè)面積公式：是解決問題的關(guān)鍵．
 14.【答案】 【解析】解：四邊形是矩形，
，，
，，
，
，
故答案為：．
根據(jù)矩形的性質(zhì)和勾股定理得出，進(jìn)而利用矩形的性質(zhì)解答即可．
本題考查矩形的性質(zhì)，勾股定理，關(guān)鍵是根據(jù)矩形的對角線相等且平分解答．
 15.【答案】 【解析】解：估計(jì)該校全體學(xué)生中能熟練背誦“社會主義核心價(jià)值觀”的學(xué)生有名，
故答案為：．
用總?cè)藬?shù)乘以樣本中能熟練背誦“社會主義核心價(jià)值觀”的學(xué)生數(shù)所占比例即可．
本題主要考查用樣本估計(jì)總體，一般來說，用樣本去估計(jì)總體時(shí)，樣本越具有代表性、容量越大，這時(shí)對總體的估計(jì)也就越精確．
 16.【答案】 【解析】解：第一種下單方式為直接購買兩種奶茶合計(jì)費(fèi)用為：
元；
第二種下單方式為下兩個(gè)訂單，每個(gè)訂單買一杯奶茶合計(jì)費(fèi)用為：
元．
故選擇第二種更劃算，最低費(fèi)用為元．
故答案為：．
分別計(jì)算兩種下單的方式，比較哪一種總費(fèi)用更低即可．
本題考查了實(shí)數(shù)運(yùn)算的實(shí)際應(yīng)用，分類討論是解題的關(guān)鍵．
 17.【答案】解：


． 【解析】先計(jì)算負(fù)整數(shù)指數(shù)冪、零次冪，再化簡二次根式和絕對值，最后加減．
本題考查了實(shí)數(shù)的運(yùn)算，掌握零次冪、負(fù)整數(shù)指數(shù)冪的意義、二次根式的化簡及絕對值的意義是解決本題的關(guān)鍵．
 18.【答案】解：原式

，
當(dāng)時(shí)，原式． 【解析】根據(jù)分式的混合運(yùn)算法則把原式化簡，把的值代入計(jì)算即可．
本題考查的是分式的化簡求值，掌握分式的混合運(yùn)算法則是解題的關(guān)鍵．
 19.【答案】解：過點(diǎn)作，垂足為，

由題意得：，米，
在中，，
米，
在中，，
米，
米．
答：教學(xué)樓的高度是米． 【解析】過點(diǎn)作于點(diǎn)，由銳角三角函數(shù)定義求出、的長，即可解決問題．
本題考查了解直角三角形的應(yīng)用仰角俯角問題，正確作出輔助線構(gòu)造解直角三角形是解題的關(guān)鍵．
 20.【答案】   【解析】解：本次調(diào)查的學(xué)生共有：人，
組的人數(shù)為：人，
補(bǔ)全統(tǒng)計(jì)圖如圖：

故答案為：；
“志愿者宣傳”對應(yīng)的扇形圓心角度數(shù)為：，
故答案為：；
根據(jù)題意畫樹形圖：

共有種情況，被選取的兩人恰好是甲和乙有種情況，
則被選取的兩人恰好是甲和乙的概率是．
根據(jù)的人數(shù)和所占的百分比求出總?cè)藬?shù)即可，用總?cè)藬?shù)減去其它組的人數(shù)即可求出的人數(shù)，進(jìn)而補(bǔ)全統(tǒng)計(jì)圖；
求出所占是百分比，然后乘以即可；
根據(jù)題意先畫出樹狀圖，得出所有等情況數(shù)和選取的兩人恰好是甲和乙的情況數(shù)，然后根據(jù)概率公式即可得出答案．
本題考查了列表法與樹狀圖法以及統(tǒng)計(jì)圖，利用列表法或樹狀圖法展示所有等可能的結(jié)果，再從中選出符合事件或的結(jié)果數(shù)目，然后利用概率公式計(jì)算事件或事件的概率．
 21.【答案】解：，，
，
是的垂直平分線，
，
，
；

在中，，，，
由勾股定理得：，
，，
，
的面積是． 【解析】根據(jù)直角三角形的性質(zhì)求出，根據(jù)線段垂直平分線的性質(zhì)得出，求出，再求出答案即可；
根據(jù)勾股定理求出，求出，再根據(jù)三角形的面積公式求出的面積即可．
本題考查了直角三角形的性質(zhì)，等腰三角形的性質(zhì)和判定，線段垂直平分線的性質(zhì)，三角形的面積等知識點(diǎn)，能熟記線段垂直平分線的性質(zhì)是解此題的關(guān)鍵．
 22.【答案】解：設(shè)該企業(yè)從年至年利潤的年均增長率為，
由題意得：，
解得：，不符合題意，舍去，
答：該企業(yè)從年至年利潤的年均增長率為；
由題意可知，億元，
，
該企業(yè)年的利潤能超過億元． 【解析】設(shè)該企業(yè)從年至年利潤的年均增長率為，根據(jù)該企業(yè)年的利潤該企業(yè)年利潤該企業(yè)從年至年利潤的年均增長率，列出一元二次方程，解之取其符合題意的值即可；
利用該企業(yè)年的利潤該企業(yè)年的利潤該企業(yè)從年至年利潤的年均增長率，再將其與億元比較后，即可得出結(jié)論．
本題考查了一元二次方程的應(yīng)用，找準(zhǔn)等量關(guān)系，正確列出一元二次方程是解題的關(guān)鍵．
 23.【答案】證明：四邊形是菱形，
，
點(diǎn)，分別為邊，上的中點(diǎn)，
是的中位線，
，
；
解：由知是的中位線，，
，，
四邊形是菱形，
，，
在中，
，
，
，
，
菱形的周長． 【解析】由菱形的性質(zhì)得到，根據(jù)三角形的中位線定理和平行線的性質(zhì)即可證得結(jié)論；
由三角形的中位線定理結(jié)合平行線的性質(zhì)求出，，根據(jù)菱形的性質(zhì)和三角函數(shù)的定義求出，根據(jù)勾股定理求出，即可求出菱形的周長．
本題主要考查了菱形的性質(zhì)，三角形中位線定理，解直角三角形，靈活運(yùn)用菱形的性質(zhì)是解決問題的關(guān)鍵．
 24.【答案】證明：，
，
又，
∽；
解：設(shè)，，則，，
由∽可得，，
，
，
同時(shí)可得：和都是等腰三角形，
，
，
又，
，

；
解：由，設(shè)，則，，則，
由可知：，
∽，
由可知：∽，
∽，
，
，
，
，
，
，
∽，
，
，
，，
∽，
，
的面積：四邊形的面積． 【解析】由，得到根據(jù)相似三角形的判定定理即可得到結(jié)論；
設(shè)，，則，，根據(jù)相似三角形的性質(zhì)得到，根據(jù)等腰三角形的性質(zhì)得到，得到，于是得到；
由，設(shè)，則，，則，證得∽，于是得到∽，根據(jù)等腰三角形的性質(zhì)得到，于是得到，根據(jù)相似三角形的性質(zhì)得到，根據(jù)相似三角形的性質(zhì)即可得到結(jié)論．
本題是圓的綜合題，考查了相似三角形的判定和性質(zhì)，等腰三角形的性質(zhì)，圓內(nèi)接四邊形的性質(zhì)，熟練掌握相似三角形的判定和性質(zhì)是解題的關(guān)鍵．
 25.【答案】解：，
輔助函數(shù)，
，
恒成立，
恒成立；
當(dāng)時(shí)，與的“輔助函數(shù)”恒成立，
“輔助函數(shù)”恒成立，
恒成立，
當(dāng)時(shí)，，
；
函數(shù)與“輔助函數(shù)“為，
將點(diǎn)、、代入得：
，，，
，
，
，
解不等式得：，且，
設(shè)函數(shù)與軸交于、，
、是方程的兩根，即、是方程的兩根，
，，
，
，且，
，且，
函數(shù)的圖象截軸得到的線段長度的取值范圍大于小于且不等于． 【解析】輔助函數(shù)，由，知恒成立，故恒成立；
由當(dāng)時(shí)，與的“輔助函數(shù)”恒成立，可得恒成立，而當(dāng)時(shí)，，可得；
函數(shù)與“輔助函數(shù)“為，將點(diǎn)、、代入可得：，，，有，根據(jù)，得，故，且，設(shè)函數(shù)與軸交于、，可得，，得，從而可求出函數(shù)的圖象截軸得到的線段長度的取值范圍大于小于且不等于．
本題考查一次函數(shù)，反比例函數(shù)，二次函數(shù)的應(yīng)用，涉及新定義，解題的關(guān)鍵是讀懂題意，理解“輔助函數(shù)“的定義．
 

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