2023年福建省寧德市中考數(shù)學(xué)二檢試卷學(xué)校:___________姓名：___________班級(jí)：___________考號(hào)：___________第I卷（選擇題）一、選擇題（本大題共10小題，共40.0分。在每小題列出的選項(xiàng)中，選出符合題目的一項(xiàng)）1.  的倒數(shù)是(    )A.  B.  C.  D. 2.  如圖，在中，、分別是、的中點(diǎn)．若，則的長(zhǎng)是(    )
 
 A.
B.
C.
D. 3.  國(guó)家統(tǒng)計(jì)局發(fā)布數(shù)據(jù)顯示，年出生人口人數(shù)據(jù)“”用科學(xué)記數(shù)法表示為(    )A.  B.  C.  D. 4.  下列運(yùn)算正確的是(    )A.  B.
C.  D. 5.  下列幾何體中，三種視圖完全相同的幾何體是(    )A.  B.  C.  D. 6.  以下調(diào)查中，最適合采用抽樣調(diào)查的是(    )A. 調(diào)查某班學(xué)生的視力情況 B. 了解一沓鈔票中有沒(méi)有假鈔
C. 了解某批次汽車(chē)的抗撞擊能力 D. 檢查神舟飛船的設(shè)備零件的質(zhì)量情況7.  如圖是某商場(chǎng)營(yíng)業(yè)大廳自動(dòng)扶梯示意圖自動(dòng)扶梯的長(zhǎng)為，傾斜角為，則自動(dòng)扶梯的垂直高度等于(    )
 A.  B.  C.  D. 8.  如圖，已知函數(shù)與圖象都經(jīng)過(guò)軸上的點(diǎn)，分別與軸交于，兩點(diǎn)，且，兩點(diǎn)關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱(chēng)，則函數(shù)的表達(dá)式是(    )A.
B.
C.
D.
 9.  “萊洛三角形”是工業(yè)生產(chǎn)中加工零件時(shí)廣泛使用的一種圖形如圖，以等邊三角形的三個(gè)頂點(diǎn)為圓心，以邊長(zhǎng)為半徑畫(huà)弧，三段圓弧圍成的圖形就是“萊洛三角形”若等邊三角形的邊長(zhǎng)為，則該“萊洛三角形”的周長(zhǎng)等于(    )
 A.  B.  C.  D. 10.  如圖，已知直線(xiàn)與，軸分別交于，兩點(diǎn)，與反比例函數(shù)的圖象交于，兩點(diǎn)，連接，若和的面積都為，則的值是(    )A.
B.
C.
D. 第II卷（非選擇題）二、填空題（本大題共6小題，共24.0分）11.  如圖，直線(xiàn)，被直線(xiàn)所截，若，，則的度數(shù)是______ ．
 12.  比大且比小的整數(shù)是______ ．13.  方程的解是______．14.  如圖，，，相交于點(diǎn)，若：：，，則的長(zhǎng)是______ ．15.  在一個(gè)不透明的口袋中裝有個(gè)球，分別標(biāo)記為，，，，，它們除數(shù)字外無(wú)其他差別小明從口袋中隨機(jī)摸出一個(gè)球后搖勻，再由小紅從剩余的球中隨機(jī)摸出一個(gè)球，則摸到的數(shù)字小紅比小明大的概率是______ ．16.  如圖，將矩形沿折疊，使頂點(diǎn)落在上點(diǎn)處；再將矩形展平，沿折疊，使頂點(diǎn)落在上點(diǎn)處，連接小明發(fā)現(xiàn)可以由繞某一點(diǎn)順時(shí)針旋轉(zhuǎn)得到，則 ______
三、計(jì)算題（本大題共1小題，共6.0分）17.  先化簡(jiǎn)，再求值：，其中．四、解答題（本大題共8小題，共64.0分。解答應(yīng)寫(xiě)出文字說(shuō)明，證明過(guò)程或演算步驟）18.  本小題分
計(jì)算：．19.  本小題分
如圖，已知點(diǎn)，，，在同一直線(xiàn)上，，，求證：≌．
20.  本小題分
某校為了落實(shí)中共中央國(guó)務(wù)院關(guān)于全面加強(qiáng)新時(shí)代大中小學(xué)勞動(dòng)教育的意見(jiàn)，培養(yǎng)學(xué)生的勞動(dòng)意識(shí)，開(kāi)展了系列宣講活動(dòng)為了解本次宣講活動(dòng)效果，現(xiàn)從九年級(jí)隨機(jī)抽取若干名學(xué)生，調(diào)查他們宣講前后平均每周勞動(dòng)時(shí)間情況，以下是根據(jù)調(diào)查結(jié)果繪制的統(tǒng)計(jì)圖表：
宣講前平均每周勞動(dòng)時(shí)間頻數(shù)統(tǒng)計(jì)表 組別 頻數(shù)頻率 合計(jì)請(qǐng)根據(jù)圖表中的信息，解答下列問(wèn)題：
頻數(shù)統(tǒng)計(jì)表中 ______ ，宣講前平均每周勞動(dòng)時(shí)間的中位數(shù)落在______ 組；
求宣講后平均每周勞動(dòng)時(shí)間的平均數(shù)每組中各個(gè)數(shù)據(jù)用該組的中間值代替，如的中間值為；
教育部規(guī)定中學(xué)生每周勞動(dòng)時(shí)間不低于小時(shí)，若該校九年級(jí)共有名學(xué)生，則宣講后有多少名學(xué)生達(dá)到要求？
21.  本小題分
問(wèn)題呈現(xiàn)：數(shù)學(xué)活動(dòng)課上，老師出示了一個(gè)問(wèn)題：將一個(gè)四邊形沿某一條直線(xiàn)分割成兩部分，重新再拼成一個(gè)新的特殊四邊形．

初步操作：如圖，已知矩形，小明按以下操作得到了新四邊形．
在上截取點(diǎn)，使得；
沿直線(xiàn)把矩形分割成兩部分，將沿平移得到．
理性思考：連接，，小明發(fā)現(xiàn)請(qǐng)根據(jù)上述操作中得到的條件，幫助小明證明這個(gè)結(jié)論．
深入探究：如圖，已知平行四邊形，請(qǐng)按要求拼接出下列指定的新特殊四邊形畫(huà)出裁切線(xiàn)和拼接后的四邊形，并標(biāo)注必要的條件和字母
在圖中拼接出一個(gè)矩形；
在圖中拼接出一個(gè)菱形．22.  本小題分
北京時(shí)間年月日晚，“中國(guó)傳統(tǒng)制茶技藝及其相關(guān)習(xí)俗”成功入選聯(lián)合國(guó)教科文組織人類(lèi)非物質(zhì)文化遺產(chǎn)代表作名錄福鼎白茶由于獨(dú)特的制茶工藝和口感深受人們喜愛(ài)，也造福了一方茶農(nóng)茶農(nóng)王二伯家有荒野茶園和修剪茶園共畝，今年清明節(jié)前共采茶青新鮮茶葉千克，已知荒野茶園平均每畝采茶青千克，修剪茶園平均每畝采茶青千克．
王二伯家有荒野茶園和修剪茶園各多少畝？
由于荒野茶園便于管理，且荒野茶口感與銷(xiāo)路優(yōu)于修剪茶，王二伯計(jì)劃將部分修剪茶園改造為荒野茶園，使得明年清明節(jié)前荒野茶園所采茶青的總產(chǎn)量不低于修剪茶園若根據(jù)今年清明節(jié)前茶青的畝產(chǎn)測(cè)算，王二伯至少需要將多少畝修剪茶園改造為荒野茶園？23.  本小題分
如圖，已知內(nèi)接于，是的直徑．
尺規(guī)作圖：確定點(diǎn)，的位置，使得點(diǎn)是的中點(diǎn)，交直線(xiàn)于點(diǎn)；保留作圖痕跡，不寫(xiě)作法
在的條件下，求證：是的切線(xiàn)；
連接，交于點(diǎn)，若，，求的長(zhǎng)．
24.  本小題分
如圖，已知和都是等腰直角三角形，，，將繞點(diǎn)旋轉(zhuǎn)，使得點(diǎn)落在內(nèi)部，連接，．
求證：∽；
當(dāng)時(shí)，求的值；
延長(zhǎng)，交直線(xiàn)于點(diǎn)，連接寫(xiě)出線(xiàn)段，，之間的數(shù)量關(guān)系，并說(shuō)明理由．
25.  本小題分
已知拋物線(xiàn)與軸交于點(diǎn)，對(duì)稱(chēng)軸是直線(xiàn)直線(xiàn)與拋物線(xiàn)交于，兩點(diǎn)點(diǎn)在點(diǎn)的左側(cè)，點(diǎn)是直線(xiàn)下方拋物線(xiàn)上的一個(gè)動(dòng)點(diǎn)，點(diǎn)在拋物線(xiàn)對(duì)稱(chēng)軸上．
求拋物線(xiàn)的表達(dá)式；
當(dāng)點(diǎn)在軸上，且和的面積相等時(shí)，求的值；
求證：當(dāng)四邊形是平行四邊形時(shí)，不論為何值，點(diǎn)的坐標(biāo)不變．
答案和解析 1.【答案】 【解析】解：，
的倒數(shù)是．
故選：．
根據(jù)乘積是的兩個(gè)數(shù)互為倒數(shù)計(jì)算即可得解．
本題考查了倒數(shù)的定義，是基礎(chǔ)題，熟記概念是解題的關(guān)鍵．
 2.【答案】 【解析】【分析】
本題考查的是三角形中位線(xiàn)定理，掌握三角形中位線(xiàn)等于第三邊的一半是解題的關(guān)鍵．
根據(jù)三角形中位線(xiàn)定理解答即可．
【解答】
解：、分別是、的中點(diǎn)，
是的中位線(xiàn)，
，
，
，
故選：．  3.【答案】 【解析】解：將數(shù)據(jù)科學(xué)記數(shù)法表示為．
故選：．
科學(xué)記數(shù)法的表示形式為的形式，其中，為整數(shù)．確定的值時(shí)，要看把原數(shù)變成時(shí)，小數(shù)點(diǎn)移動(dòng)了多少位，的絕對(duì)值與小數(shù)點(diǎn)移動(dòng)的位數(shù)相同．當(dāng)原數(shù)絕對(duì)值時(shí)，是正數(shù)；當(dāng)原數(shù)的絕對(duì)值時(shí)，是負(fù)數(shù)．
此題主要考查科學(xué)記數(shù)法的表示方法．科學(xué)記數(shù)法的表示形式為的形式，其中，為整數(shù)，表示時(shí)關(guān)鍵要正確確定的值以及的值．
 4.【答案】 【解析】解：，故選項(xiàng)A錯(cuò)誤，不符合題意；
，故選項(xiàng)B正確，符合題意；
，故選項(xiàng)C錯(cuò)誤，不符合題意；
，故選項(xiàng)D錯(cuò)誤，不符合題意；
故選：．
根據(jù)合并同類(lèi)項(xiàng)的方法可以判斷；根據(jù)積的乘方可以判斷；根據(jù)單項(xiàng)式除以單項(xiàng)式可以判斷；根據(jù)完全平方公式可以判斷．
本題考查整式的混合運(yùn)算，熟練掌握運(yùn)算法則是解答本題的關(guān)鍵．
 5.【答案】 【解析】解：球的主視圖、左視圖、俯視圖分別為三個(gè)全等的圓，故本選項(xiàng)符合題意；
B.圓柱的主視圖和左視圖是矩形，俯視圖是圓，故本選項(xiàng)不合題意；
C.圓錐的主視圖和左視圖是等腰三角形，俯視圖是帶圓心的圓，故本選項(xiàng)不合題意；
D.三棱柱的主視圖和左視圖是矩形，俯視圖是三角形，故本選項(xiàng)不合題意．
故選：．
主視圖、左視圖、俯視圖是分別從物體正面、側(cè)面和上面看，所得到的圖形．
本題考查了簡(jiǎn)單幾何體的三視圖，注意三視圖都相同的常見(jiàn)的幾何體有球和正方體．
 6.【答案】 【解析】解：調(diào)查某班學(xué)生的視力情況，適合全面調(diào)查，故選項(xiàng)不符合題意；
B.了解一沓鈔票中有沒(méi)有假鈔，適合全面調(diào)查，故選項(xiàng)不符合題意；
C.了解某批次汽車(chē)的抗撞擊能力，適合抽樣調(diào)查，故選項(xiàng)符合題意；
D.檢查神舟飛船的設(shè)備零件的質(zhì)量情況，適合全面調(diào)查，故選項(xiàng)不符合題意；
故選：．
由普查得到的調(diào)查結(jié)果比較準(zhǔn)確，但所費(fèi)人力、物力和時(shí)間較多，而抽樣調(diào)查得到的調(diào)查結(jié)果比較近似．
本題考查了抽樣調(diào)查和全面調(diào)查的區(qū)別，選擇普查還是抽樣調(diào)查要根據(jù)所要考查的對(duì)象的特征靈活選用，一般來(lái)說(shuō)，對(duì)于具有破壞性的調(diào)查、無(wú)法進(jìn)行普查、普查的意義或價(jià)值不大，應(yīng)選擇抽樣調(diào)查，對(duì)于精確度要求高的調(diào)查，事關(guān)重大的調(diào)查往往選用普查．
 7.【答案】 【解析】解：由題意可得：，
故BC．
故選：．
直接利用銳角三角函數(shù)關(guān)系得出，進(jìn)而得出答案．
此題主要考查了解直角三角形的應(yīng)用，正確掌握銳角三角函數(shù)關(guān)系是解題關(guān)鍵．
 8.【答案】 【解析】解：函數(shù)與圖象都經(jīng)過(guò)軸上的點(diǎn)，分別與軸交于，兩點(diǎn)，且，兩點(diǎn)關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱(chēng)，
函數(shù)與圖象關(guān)于軸對(duì)稱(chēng)，
，即．
故選：．
根據(jù)關(guān)于軸對(duì)稱(chēng)的點(diǎn)的坐標(biāo)特征即可求得．
本題考查了兩條直線(xiàn)相交問(wèn)題，考查了一次函數(shù)圖象與幾何變換，關(guān)于軸對(duì)稱(chēng)的點(diǎn)的坐標(biāo)，橫坐標(biāo)相同，縱坐標(biāo)互為相反數(shù)．
 9.【答案】 【解析】解：是等邊三角形，
，，
，
的長(zhǎng)，
“萊洛三角形”的周長(zhǎng)等于的長(zhǎng)．
故選：．
由弧長(zhǎng)公式：弧長(zhǎng)為，圓心角度數(shù)為，圓的半徑為，求出的長(zhǎng)，即可解決問(wèn)題．
本題考查弧長(zhǎng)的計(jì)算，等邊三角形的性質(zhì)，關(guān)鍵是掌握弧長(zhǎng)公式．
 10.【答案】 【解析】解：如圖，，以，作底，高相同，
，即為的中點(diǎn)，
設(shè)，，
由中點(diǎn)坐標(biāo)公式得，，
在反比例函數(shù)的圖象上，
，

過(guò)點(diǎn)作軸于，
則，，
，
，
，
．
故選：．
由得，，設(shè)，，由中點(diǎn)坐標(biāo)公式得，，代入解析式得到，過(guò)點(diǎn)作軸于，利用，可求出．
本題考查了一次函數(shù)與反比例函數(shù)的交點(diǎn)問(wèn)題，利用設(shè)坐標(biāo)法表示三角形的面積是解題關(guān)鍵．
 11.【答案】 【解析】解：，
，
，
．
故答案為：．
根據(jù)平行線(xiàn)的性質(zhì)兩直線(xiàn)平行，同位角相等解答即可．
本題考查了平行線(xiàn)的性質(zhì)，解題的關(guān)鍵是熟練掌握平行線(xiàn)的性質(zhì)定理兩直線(xiàn)平行，同位角相等．
 12.【答案】 【解析】解：，，
比大且比小的整數(shù)是．
故答案為：．
根據(jù)和取值范圍判斷即可．
本題考查了二次根式的估計(jì)．確定二次根式的取值范圍是解題關(guān)鍵．
 13.【答案】 【解析】解：，
方程兩邊都乘，得，
解得：，
檢驗(yàn)：當(dāng)時(shí)，，
所以是原方程的解，
即原方程的解是，
故答案為：．
方程兩邊都乘得出，求出方程的解，再進(jìn)行檢驗(yàn)即可．
本題考查了解分式方程，能把分式方程轉(zhuǎn)化成整式方程是解此題的關(guān)鍵．
 14.【答案】 【解析】解：，
∽，
，
：：，，
，
解得．
故答案為：．
根據(jù)證得∽，根據(jù)相似三角形的性質(zhì)求解即可．
本題考查了相似三角形的判定和性質(zhì)，解題的關(guān)鍵是根據(jù)判定三角形相似．
 15.【答案】 【解析】解：畫(huà)樹(shù)狀圖如下：

共有種等可能的結(jié)果，其中摸到的數(shù)字小紅比小明大的結(jié)果有種，
摸到的數(shù)字小紅比小明大的概率是，
故答案為：．
畫(huà)樹(shù)狀圖，共有種等可能的結(jié)果，其中摸到的數(shù)字小紅比小明大的結(jié)果有種，再由概率公式求解即可．
此題考查的是用樹(shù)狀圖法求概率．樹(shù)狀圖法可以不重復(fù)不遺漏的列出所有可能的結(jié)果，適合兩步或兩步以上完成的事件；解題時(shí)要注意此題是放回試驗(yàn)還是不放回試驗(yàn)．用到的知識(shí)點(diǎn)為：概率所求情況數(shù)與總情況數(shù)之比．
 16.【答案】 【解析】解：如圖，連接，由折疊的性質(zhì)得，四邊形是正方形，，
，
，
是由繞某一點(diǎn)旋轉(zhuǎn)得到的，
，
，
點(diǎn)在的垂直平分線(xiàn)上，點(diǎn)在的垂直平分線(xiàn)上，
作的垂直平分線(xiàn)，的垂直平分線(xiàn)，它們的交點(diǎn)為，連接，，
則點(diǎn)就是旋轉(zhuǎn)中心，
垂直平分，
，
，
，
，
垂直平分，
，
，
，
．
故答案為：．
由折疊及旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)得到：在的垂直平分線(xiàn)上，點(diǎn)在的垂直平分線(xiàn)上，作的垂直平分線(xiàn)，的垂直平分線(xiàn)，它們的交點(diǎn)為，連接，，則點(diǎn)就是旋轉(zhuǎn)中心，就是旋轉(zhuǎn)角，求出，再求出旋轉(zhuǎn)角的度數(shù)即可．
本題考查了旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)，矩形的性質(zhì)，折疊的性質(zhì)等知識(shí)，知道旋轉(zhuǎn)中心位于每一對(duì)對(duì)應(yīng)點(diǎn)的垂直平分線(xiàn)上，正確找出旋轉(zhuǎn)中心與旋轉(zhuǎn)角是解題的關(guān)鍵．
 17.【答案】解：原式．
當(dāng)時(shí)，原式． 【解析】先對(duì)括號(hào)里的分式通分，計(jì)算出來(lái)后，再把除法轉(zhuǎn)化為乘法，最后把的值代入計(jì)算即可．
本題考查了分式的化簡(jiǎn)求值．解題的關(guān)鍵是對(duì)分式的分子、分母要進(jìn)行因式分解．
 18.【答案】解：

． 【解析】本題涉及絕對(duì)值、負(fù)整數(shù)指數(shù)冪、二次根式化簡(jiǎn)個(gè)知識(shí)點(diǎn)．在計(jì)算時(shí)，需要針對(duì)每個(gè)知識(shí)點(diǎn)分別進(jìn)行計(jì)算，然后根據(jù)實(shí)數(shù)的運(yùn)算法則求得計(jì)算結(jié)果．
本題主要考查了實(shí)數(shù)的綜合運(yùn)算能力，是各地中考題中常見(jiàn)的計(jì)算題型．解決此類(lèi)題目的關(guān)鍵是熟練掌握負(fù)整數(shù)指數(shù)冪、二次根式、絕對(duì)值等知識(shí)點(diǎn)的運(yùn)算．
 19.【答案】證明：，
，
，
在和中，
，
≌． 【解析】根據(jù)證明≌即可．
本題考查了全等三角形的判定，熟練掌握全等三角形的判定是解題的關(guān)鍵．
 20.【答案】   【解析】解：；
根據(jù)中位數(shù)的定義可知，中位數(shù)是第和第個(gè)數(shù)據(jù)的平均數(shù)，
組和組的人數(shù)和為人，
宣講前平均每周勞動(dòng)時(shí)間的中位數(shù)落在組．
故答案為：，；
，
答：宣講后平均每周勞動(dòng)時(shí)間的平均數(shù)是；
名，
答：宣講后有名學(xué)生達(dá)到要求．
根據(jù)組的頻數(shù)和頻率計(jì)算抽取的總?cè)藬?shù)，然后利用組的頻率計(jì)算即可；根據(jù)抽取的總?cè)藬?shù)判斷中位數(shù)落在哪個(gè)組即可；
計(jì)算各個(gè)組的組中值，然后計(jì)算平均數(shù)即可；
用樣本估計(jì)總體即可．
本題考查頻數(shù)分布直方圖、頻數(shù)分布表，掌握頻率頻數(shù)數(shù)據(jù)總數(shù)是正確解答的前提．
 21.【答案】解：?jiǎn)栴}呈現(xiàn)：解法一：由沿平移得至，
，．
四邊形是平行四邊形．
，
?是菱形．
；
   解法二：由沿平移得到，
，．
即．
四邊形是矩形，
．
，
．
四邊形是菱形．
．
 初步操作：

四邊形就是所要拼接的矩形．
理性思考：

證明：四邊形是平行四邊形，
，，
由作法知，，，
，
四邊形是平行四邊形，
，
?是菱形；

證明：四邊形是平行四邊形，
，，
由作法知，，，
，
四邊形是平行四邊形，
，
?是菱形． 【解析】問(wèn)題呈現(xiàn)：解法一：先判斷出四邊形是平行四邊形，進(jìn)而得出?是菱形，即可得出結(jié)論；
 解法二：先判斷出，進(jìn)而判斷出，得出四邊形是菱形，即可得出結(jié)論；
初步操作：過(guò)點(diǎn)，作的垂線(xiàn)，即可得出結(jié)論；
過(guò)點(diǎn)，作的垂線(xiàn)，即可得出結(jié)論；
理性思考：在上取一點(diǎn)，使，在的延長(zhǎng)線(xiàn)上取一點(diǎn)，使，即可得出結(jié)論；
在上取一點(diǎn)，使，在的延長(zhǎng)線(xiàn)上取一點(diǎn)，使，即可得出結(jié)論；
此題是四邊形綜合題，主要考查了菱形的判定，矩形的性質(zhì)，掌握菱形的性質(zhì)和判定和解本題的關(guān)鍵．
 22.【答案】解：設(shè)王二伯家有荒野茶園畝，修剪茶園畝，
根據(jù)題意得：，
解得：．
答：王二伯家有荒野茶園畝，修剪茶園畝；
設(shè)王二伯需要將畝修剪茶園改造為荒野茶園，
根據(jù)題意得：，
解得：，
的最小值為．
答：王二伯至少需要將畝修剪茶園改造為荒野茶園． 【解析】設(shè)王二伯家有荒野茶園畝，修剪茶園畝，根據(jù)“茶農(nóng)王二伯家有荒野茶園和修剪茶園共畝，今年清明節(jié)前共采茶青新鮮茶葉千克”，可得出關(guān)于，的二元一次方程組，解之即可得出結(jié)論；
設(shè)王二伯需要將畝修剪茶園改造為荒野茶園，根據(jù)改造后明年清明節(jié)前荒野茶園所采茶青的總產(chǎn)量不低于修剪茶園，可得出關(guān)于的一元一次不等式，解之取其中的最小值，即可得出結(jié)論．
本題考查了二元一次方程組的應(yīng)用以及一元一次不等式的應(yīng)用，解題的關(guān)鍵是：找準(zhǔn)等量關(guān)系，正確列出二元一次方程組；根據(jù)各數(shù)量之間的關(guān)系，正確列出一元一次不等式．
 23.【答案】解：如圖：

證明：設(shè)交于，
點(diǎn)是弧的中點(diǎn)，
，
經(jīng)過(guò)圓心，
，，
，
，
，
是半徑，
是的切線(xiàn)；
解：，，，
由勾股定理得，
，點(diǎn)是弧的中點(diǎn)，
是的垂直平分線(xiàn)，
，
，，，
，
，
∽，
，
，
，
在中，． 【解析】作的垂直平分線(xiàn)交于點(diǎn)，再過(guò)點(diǎn)作的垂線(xiàn)即可；
根據(jù)垂徑定理證得，，然后根據(jù)平行線(xiàn)的性質(zhì)得出，即可證得是的切線(xiàn)；
利用勾股定理求得，由是的垂直平分線(xiàn)得出、，進(jìn)而求得，通過(guò)證得∽，得到，進(jìn)而即可求得．
本題考查了作圖復(fù)雜作圖，垂徑定理，切線(xiàn)的判定和性質(zhì)，平行線(xiàn)的性質(zhì)，相似三角形的判定和性質(zhì)，勾股定理的應(yīng)用，熟練掌握性質(zhì)定理是解題的關(guān)鍵．
 24.【答案】證明：和都是等腰直角三角形，，
，
，
，
，
∽；

解：當(dāng)時(shí)，，
，
，
∽，
，
，
，，共線(xiàn)，
在中，，
，
；

解：結(jié)論：．
理由：設(shè)，交于點(diǎn)，作交于點(diǎn)．

由可知∽，
，
，
，
，
，
，
，
，
，，
≌，
，
． 【解析】根據(jù)兩邊成比例夾角相等，證明三角形相似；
證明，，共線(xiàn)，利用勾股定理求出，可得結(jié)論；
結(jié)論：設(shè)，交于點(diǎn)，作交于點(diǎn)證明≌，推出，可得結(jié)論．
本題屬于相似形綜合題，考查了相似三角形的判定和性質(zhì)，等腰直角三角形的判定和性質(zhì)，全等三角形的判定和性質(zhì)等知識(shí)，解題的關(guān)鍵是正確尋找全等三角形或相似三角形解決問(wèn)題．
 25.【答案】解：與軸交于點(diǎn)，對(duì)稱(chēng)軸是直線(xiàn)，
，
解得：，
拋物線(xiàn)的表達(dá)式為；
解：分別過(guò)點(diǎn)，作的垂線(xiàn)，垂足為，，連接交于點(diǎn)，如圖，

則．
的面積，的面積，和的面積相等，
，
．
在和中，
，
≌，
，
即點(diǎn)為的中點(diǎn)，
對(duì)稱(chēng)軸是直線(xiàn)，
，
，

點(diǎn)在直線(xiàn)上，
，
．
證明：由題意得：直線(xiàn)與拋物線(xiàn)交于，兩點(diǎn)，
，
．
．
點(diǎn)，兩點(diǎn)的橫坐標(biāo)為方程的兩根，
．
連接交于點(diǎn)，如圖，

四邊形是平行四邊形，
，，
，
，
．
點(diǎn)在拋物線(xiàn)上，
，
點(diǎn)的坐標(biāo)為．
當(dāng)四邊形是平行四邊形時(shí)，不論為何值，點(diǎn)的坐標(biāo)不變． 【解析】利用待定系數(shù)法解答即可；
分別過(guò)點(diǎn)，作的垂線(xiàn)，垂足為，，連接交于點(diǎn)，利用三角形的面積公式和已知條件得到，利用全等三角形的判定與性質(zhì)得到，利用線(xiàn)段中點(diǎn)的坐標(biāo)的性質(zhì)求得點(diǎn)的坐標(biāo)，再利用待定系數(shù)法列出關(guān)于的方程，解方程即可得出結(jié)論；
將直線(xiàn)與拋物線(xiàn)的解析式聯(lián)立，利用一元二次方程根與系數(shù)的關(guān)系得到點(diǎn)，的橫坐標(biāo)的關(guān)系，利用平行四邊形的對(duì)角線(xiàn)互相平分得到，，再利用線(xiàn)段中點(diǎn)的橫坐標(biāo)的特征，利用不同的式子表示出點(diǎn)的橫坐標(biāo)，從而得到點(diǎn)的橫坐標(biāo)為，進(jìn)而求得點(diǎn)的坐標(biāo)，則點(diǎn)的坐標(biāo)保持不變．
本題主要考查了拋物線(xiàn)的性質(zhì)，拋物線(xiàn)上點(diǎn)的坐標(biāo)的特征，一次函數(shù)的圖象和性質(zhì)，一次函數(shù)圖象上點(diǎn)的坐標(biāo)的特征，線(xiàn)段中點(diǎn)的坐標(biāo)的特征，平行四邊形的性質(zhì)，全等三角形的判定與性質(zhì)，三角形的面積，利用點(diǎn)的坐標(biāo)表示出相應(yīng)線(xiàn)段的長(zhǎng)度是解題的關(guān)鍵．
 

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