2023年福建省寧德市壽寧縣中考數(shù)學質檢試卷學校:___________姓名：___________班級：___________考號：___________第I卷（選擇題）一、選擇題（本大題共10小題，共40.0分。在每小題列出的選項中，選出符合題目的一項）1.  的相反數(shù)是，則的值為(    )A.  B.  C.  D. 2.  數(shù)用科學記數(shù)法表示為(    )A.  B.  C.  D. 3.  把不等式組的解集表示在數(shù)軸上，下列選項正確的是(    )A.  B.
C.  D. 4.  計算：(    )A.  B.  C.  D. 5.  拋物線的頂點坐標(    )A.  B.  C.  D. 6.  如圖，，是上的三點，，則的度數(shù)是(    )A.
B.
C.
D. 7.  設，則(    )A.  B.  C.  D. 8.  九宮格起源于中國古代的神秘圖案河圖和洛書如圖，將，，，，，，，，，填入九宮格內，使每行、每列、每條對角線上三個數(shù)的和都相等，則的值為(    )
 A.  B.  C.  D. 9.  如圖，直線分別與軸、軸交于點和點，直線分別與軸、軸交于點和點，點是內部包括邊上的一點，則的最大值與最小值之差為(    )
A.  B.  C.  D. 10.  若二次函數(shù)圖象，過不同的六點、、、、、，則、、的大小關系是(    )A.  B.  C.  D. 第II卷（非選擇題）二、填空題（本大題共6小題，共24.0分）11.  因式分解： ______ ．12.  的立方根是          ．13.  在平面直角坐標系中，點向右平移個單位長度得到的點的坐標是______ ．14.  已知，是一元二次方程的兩根，若，則 ______ ．15.  如圖，函數(shù)的圖像經過點，則關于的不等式的解集為          ．
 16.  如圖，在平面直角坐標中，平行四邊形頂點的坐標為，點在反比例函數(shù)的圖象上，點，在反比例函數(shù)的圖象上，與軸交于點，若，，則的值為______ ．
 三、計算題（本大題共1小題，共6.0分）17.  解方程：．四、解答題（本大題共8小題，共64.0分。解答應寫出文字說明，證明過程或演算步驟）18.  本小題分
計算：．19.  本小題分
先化簡，再求值：，其中．20.  本小題分
如圖，平面直角坐標系中，正方形的頂點，在軸上，反比例函數(shù)的圖象經過點，交于點．
求該反比例函數(shù)的解析式；
求的面積．
21.  本小題分
如圖，中，，平分交于．
尺規(guī)作圖：求作，使得圓心在上，且經過、兩點；
求證：直線是的切線．
22.  本小題分
已知銷售部型手機和部型手機共獲利元，銷售部型手機和部型手機共獲利元．
請問部型手機和部型手機的利潤分別為多少元？
若某營業(yè)廳計劃購進，兩種型號手機共部，總利潤不超過元，問型手機至少銷售多少部？23.  本小題分
如圖，在中，，，，在的內部作一個矩形，其中、在兩直角邊上，設矩形的一邊
______ ______ ．
設矩形的面積為，
求與的關系式；
當取何值時，的值最大？最大值是多少？
24.  本小題分
如圖，是的外接圓，是的直徑，點在上，，連接，是切線，交的延長線于點．
求證：；
求證：；
若，，
求的長；
求．
25.  本小題分
經過點，，、的拋物線與軸只有一個公共點，其中．
求拋物線的對稱軸；
求拋物線所對應的函數(shù)表達式；
連接，，若與垂直，交軸于點，
求點坐標；
求面積的最小值．
答案和解析 1.【答案】 【解析】解：因為的相反數(shù)是，的相反數(shù)是，
所以的值為．
故選：．
根據(jù)相反數(shù)的定義即可得出答案．
本題考查了相反數(shù)，掌握只有符號不同的兩個數(shù)互為相反數(shù)是解題的關鍵．
 2.【答案】 【解析】解：．
故選：．
科學記數(shù)法的表示形式為的形式，其中，為整數(shù)．確定的值時，要看把原數(shù)變成時，小數(shù)點移動了多少位，的絕對值與小數(shù)點移動的位數(shù)相同．當原數(shù)絕對值時，是正整數(shù)；當原數(shù)的絕對值時，是負整數(shù)．
此題考查科學記數(shù)法表示較大的數(shù)，科學記數(shù)法的表示形式為的形式，其中，為整數(shù)，表示時關鍵要正確確定的值以及的值．
 3.【答案】 【解析】解：，
由得：，
由得：，
不等式組的解集為，
故選：．
先解出每個不等式，再求出不等式組的解集即可．
本題考查解一元一次不等式組，解題的關鍵是掌握解不等式的步驟，能求出不等式組中各不等式的公共解集．
 4.【答案】 【解析】本題考查了冪的乘方與積的乘方，熟練掌握冪的乘方與積的乘方的運算法則是解題的關鍵．
根據(jù)冪的乘方與積的乘方運算法則進行計算即可．
解：．
故選：．
 5.【答案】 【解析】解：是拋物線的頂點式，
根據(jù)頂點式的坐標特點可知，頂點坐標，
故選：．
已知拋物線的頂點式，可知頂點坐標．
考查了二次函數(shù)的性質，頂點式，頂點坐標是，對稱軸是直線．
 6.【答案】 【解析】解：，
，
故選：．
根據(jù)圓周角定理得出，再代入求出答案即可．
本題考查了圓周角定理，能根據(jù)圓周角定理得出是解此題的關鍵．
 7.【答案】 【解析】【分析】
直接得出，進而得出的取值范圍．
此題主要考查了估算無理數(shù)的大小，正確得出的范圍是解題關鍵．
【解答】
解：，
，
．
故選：．  8.【答案】 【解析】解：根據(jù)題意得：，
解得：，
的值為．
故選：．
根據(jù)第三橫行及第三豎行的和相等，可得出關于的一元一次方程，解之即可求出的值．
本題考查了一元一次方程的應用以及數(shù)學常識，找準等量關系，正確列出一元一次方程是解題的關鍵．
 9.【答案】 【解析】解：點是內部包括邊上的一點，
點在直線上，如圖所示，

當為直線與直線的交點時，取最大值，
當為直線與直線的交點時，取最小值，
中令，則，
中令，則，
的最大值為，的最小值為．
則的最大值與最小值之差為：．
故選：．
由于的縱坐標為，故點在直線上，要求符合題意的值，則點為直線與題目中兩直線的交點，此時存在最大值與最小值，故可求得．
本題考查一次函數(shù)的性質，要求符合題意的值，關鍵要理解當在何處時存在最大值與最小值，由于的縱坐標為，故作出直線有助于判斷的位置．
 10.【答案】 【解析】解：由二次函數(shù)可知，拋物線開口向上，
、、、
點關于對稱軸的對稱點在與之間，
對稱軸的取值范圍為，
，
點到對稱軸的距離小于，點到對稱軸的距離大于，
，
故選：．
由解析式可知拋物線開口向上，點、、求得拋物線對稱軸所處的范圍，然后根據(jù)二次函數(shù)的性質判斷可得．
本題主要考查二次函數(shù)的圖象上點的坐標特征，二次函數(shù)的性質，根據(jù)題意得到拋物線的對稱軸和開口方向是解題的關鍵．
 11.【答案】 【解析】解：，
故答案為：．
利用平方差公式，進行分解即可解答．
本題考查了因式分解運用公式法，熟練掌握平方差公式是解題的關鍵．
 12.【答案】 【解析】【分析】
此題考查了立方根，熟練掌握立方根的定義是解本題的關鍵．
利用立方根的定義計算即可得到結果．
【解答】
解：因為，
所以的立方根為，
故答案為：．  13.【答案】 【解析】解：點向右平移個單位長度得到的點的坐標是，即．
故答案為．
將點的橫坐標加，縱坐標不變即可求解．
此題主要考查了坐標與圖形的變化，關鍵是掌握橫坐標，右移加，左移減；縱坐標，上移加，下移減．
 14.【答案】 【解析】解：，是一元二次方程的兩根，
，
把代入，得：，
故答案為：．
由一元二次方程的根與系數(shù)的關系得，再把代入求出即可．
本題考查了根與系數(shù)的關系：若，是一元二次方程的兩根時，，．
 15.【答案】 【解析】【分析】
本題考查一次函數(shù)與一元一次不等式，解答本題的關鍵是明確一次函數(shù)與一元一次不等式的關系，利用數(shù)形結合的思想解答．
根據(jù)函數(shù)圖象中的數(shù)據(jù)和一次函數(shù)的性質，可以寫出等式的解集．
【解答】
解：由圖象可得，
當時，，該函數(shù)隨的增大而減小，
不等式的解集為，
故答案為：．  16.【答案】 【解析】解：作軸于，于，交軸于，
的坐標為，
，
，
是等腰直角三角形，
，，
，
是等腰直角三角形，
，
設，
點在反比例函數(shù)的圖象上，
，即，
解得或舍去，
，
，
點的橫坐標為，
，
平行四邊形頂點的坐標為，，
點向右平移個單位，向下平移個單位得到點，
點向右平移個單位，向下平移個單位得到點，
點在反比例函數(shù)的圖象上，
，
解得，
故答案為：．
作軸于，于，交軸于，根據(jù)題意求得點的坐標為，進而得到，根據(jù)平行四邊形的性質，得到點，根據(jù)反比例函數(shù)圖象上點的坐標特征得到，解得．
本題考查了反比例函數(shù)圖象上點的坐標特征，平行四邊形的性質，求得四邊形頂點的坐標是解題的關鍵．
 17.【答案】解：方程兩邊同乘以，
得：，
解得，
檢驗：時，，
是原分式方程的解． 【解析】此題考查了解分式方程，解分式方程的基本思想是“轉化思想”，把分式方程轉化為整式方程求解．解分式方程一定注意要驗根．去分母時有常數(shù)項的不要漏乘常數(shù)項．
觀察可得，所以可確定方程最簡公分母為：，然后去分母將分式方程化成整式方程求解．注意檢驗．
 18.【答案】解：原式
． 【解析】直接利用絕對值的性質以及零指數(shù)冪的性質、負整數(shù)指數(shù)冪的性質分別化簡，進而得出答案．
此題主要考查了實數(shù)的運算，正確化簡各數(shù)是解題關鍵．
 19.【答案】解：原式

，
當時，原式． 【解析】先把括號內通分和除法運算化為乘法運算，再約分得到原式，然后把的值代入計算即可．
本題考查了分式的化簡求值：先把分式化簡后，再把分式中未知數(shù)對應的值代入求出分式的值．
 20.【答案】解：反比例函數(shù)的圖象經過點，
，
該反比例函數(shù)的解析式為；
四邊形是正方形，，
，，
，
把代入得，，
，
． 【解析】利用待定系數(shù)法即可求得；
根據(jù)正方形的性質求得，即可得出的橫坐標為，代入反比例函數(shù)的解析式求得的縱坐標，然后根據(jù)三角形面積公式即可求得．
本題考查了待定系數(shù)法求反比例函數(shù)的解析式，正方形的性質，反比例函數(shù)圖象上點的坐標特征，三角形的面積，求得反比例函數(shù)的解析式是解題的關鍵．
 21.【答案】解：如圖，即為所求；


證明：連接．
，
，
平分，
，
，
，
，
，
是半徑，
是的切線． 【解析】作線段的垂直平分線交于點，以為圓心，為半徑作即可；
證明即可．
本題考查作圖復雜作圖，切線的判定等知識，解題的關鍵是靈活運用所學知識解決問題．
 22.【答案】解：設部型手機的利潤是元，部型手機的利潤是元，
根據(jù)題意得：，
解得：．
答：部型手機的利潤是元，部型手機的利潤是元；
設銷售部型手機，則銷售部型手機，
根據(jù)題意得：，
解得：，
的最小值為．
答：型至少銷售部． 【解析】設部型手機的利潤是元，部型手機的利潤是元，根據(jù)“銷售部型手機和部型手機共獲利元，銷售部型手機和部型手機共獲利元”，可得出關于，的二元一次方程組，解之即可得出結論；
設銷售部型手機，則銷售部型手機，利用總利潤每部手機的銷售利潤銷售數(shù)量，結合總利潤不超過元，可得出關于的一元一次不等式，解之取其中的最小值，即可得出結論．
本題考查了二元一次方程組的應用以及一元一次不等式的應用，解題的關鍵是：找準等量關系，正確列出二元一次方程組；根據(jù)各數(shù)量之間的關系，正確列出一元一次不等式．
 23.【答案】   【解析】解：矩形在的內部，矩形的一邊，
，，
∽，
中，，，，
，即，
，，
故答案為：，；
根據(jù)題意得：；
；
當時，值最大，．
通過三角形相似，相似比列等式，求出，；
根據(jù)題意列出關于，的關系式；
根據(jù)二次函數(shù)的性質求出自變量取何值時函數(shù)的最大值．
本題考查了三角形相似的判定與性質，矩形的性質，二次函數(shù)的最值，解題的關鍵是熟練掌握三角形相似的判定與性質，矩形的性質，二次函數(shù)的最值求法．
 24.【答案】證明：，
，
，
，
；
證明：如圖，連接，

是切線，
，
、、、四點共圓，
，
由可知，，
，
，
，即，
，
，
，
；
解：為的直徑，
，
在中，，
，
由知，，
∽，
，即，
；
，
，
，
，即，
，
∽，
，即，
，
，
為的直徑，
，
在中，． 【解析】利用等邊對等角可得，利用同弧所對圓周角相等得，以此即可證明；
連接，則，利用四點共圓的性質可得，于是，利用等邊對等角得，進而得到，以此可得，由同旁內角互補得，即可證明；
根據(jù)勾股定理求出，易證∽，利用相似三角形的性質即可求解；
易證∽，根據(jù)相似三角形的性質求出，則，再根據(jù)正弦的定義即可求解．
本題主要考查切線的性質、圓周角定理、等腰三角形的性質、平行線的判定與性質、勾股定理、相似三角形的性質、圓內接四邊形的性質，熟知圓周角定理和相似三角形的判定與性質是解題關鍵．圓周角定理：在同圓或等圓中，同弧或等弧所對的圓周角相等，都等于這條弧所對的圓心角的一半．推論：半圓或直徑所對的圓周角是直角，的圓周角所對的弦是直徑．在解圓的有關問題時，常常需要添加輔助線，構成直徑所對的圓周角，這種基本技能技巧一定要掌握．
 25.【答案】解：拋物線經過點、，
拋物線的對稱軸為直線；
對稱軸為，
，
拋物線與軸只有一個公共點，
，
，
，
，
拋物線的解析式為：；
如圖，過點，分別作軸，軸，
由題意，點在第二象限，點在第一象限，

，
，
，
，
∽，
：：，
，，，，，
，，，，
，
設直線的解析式為：，
把，代入解析式得：，
解得，
，
，
直線的解析式為：，
令，則，
；
由得，，
當且僅當時取等號，
面積的最小值． 【解析】根據(jù)題拋物線經過點、，由求出對稱軸；
由方程的判別式為，以及，即可求得，的值，進而求得拋物線的解析式；
根據(jù)，坐標用待定系數(shù)法求出直線的解析式，令求出的坐標；
由三角形的面積公式求出三角形的面積，再根據(jù)不等式的性質求得最小值即可．
本題考查了拋物線與軸的交點，二次函數(shù)的性質，相似三角形的性質與判定，綜合運用以上知識是解題關鍵．
 

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