2020年江西省九江市高考數(shù)學(xué)三模試卷（文科）一、單選題（本大題共12小題，共48.0分。在每小題列出的選項(xiàng)中，選出符合題目的一項(xiàng)）1.  復(fù)數(shù)的虛部為(    )A.  B.  C.  D. 2.  若集合，，則(    )A.  B.
C.  D. 3.  若直線與直線互相垂直，則實(shí)數(shù)(    )A.  B.  C.  D. 4.  拋物線上一點(diǎn)到其準(zhǔn)線的距離為(    )A.  B.  C.  D. 5.  若，則的值為(    )A.  B.  C.  D. 6.  如圖是九江市年月至年月每月最低氣溫與最高氣溫的折線統(tǒng)計(jì)圖：已知每月最低氣溫與最高氣溫的線性相關(guān)系數(shù)，則下列結(jié)論錯(cuò)誤的是(    )
 A. 每月最低氣溫與最高氣溫有較強(qiáng)的線性相關(guān)性，且二者為線性正相關(guān)
B. 月溫差月最高氣溫月最低氣溫的最大值出現(xiàn)在月
C. 月的月溫差相對(duì)于月，波動(dòng)性更大
D. 每月最高氣溫與最低氣溫的平均值在前個(gè)月逐月增加7.  年月日，聯(lián)合國教科文組織宣布月日為“國際數(shù)學(xué)日”昵稱：，年月日是第一個(gè)“國際數(shù)學(xué)日”圓周率是圓的周長與直徑的比值，是一個(gè)在數(shù)學(xué)及物理學(xué)中普遍存在的數(shù)學(xué)常數(shù)．有許多奇妙性質(zhì)，如萊布尼茲恒等式，即為正整數(shù)平方的倒數(shù)相加等．小紅設(shè)計(jì)了如圖所示的程序框圖，要求輸出的值與非常近似，則、中分別填入的可以是(    )A. ，
B. ，
C. ，
D. ，8.  函數(shù)的圖象大致為(    )A.  B.
C.  D. 9.  在一個(gè)不透明的盒子中裝有個(gè)大小、形狀、手感完全相同的小球，分別標(biāo)有數(shù)字，，，現(xiàn)每次有放回地從中任意取出一個(gè)小球，直到標(biāo)有偶數(shù)的球都取到過就停止．小明用隨機(jī)模擬的方法估計(jì)恰好在第次停止摸球的概率，利用計(jì)算機(jī)軟件產(chǎn)生隨機(jī)數(shù)，每組中有個(gè)數(shù)字，分別表示每次摸球的結(jié)果，經(jīng)隨機(jī)模擬產(chǎn)生了以下組隨機(jī)數(shù)：

由此可以估計(jì)恰好在第次停止摸球的概率為(    )A.  B.  C.  D. 10.  已知函數(shù)對(duì)任意，都有，將曲線向左平移個(gè)單位長度后得到曲線，則曲線的一條對(duì)稱軸方程為(    )A.  B.  C.  D. 11.  已知雙曲線：的左、右焦點(diǎn)為，，直線：與雙曲線相交于，兩點(diǎn)，，的重心分別為，，若以為直徑的圓過原點(diǎn)，則(    )A.  B.  C.  D. 12.  如圖所示，三棱錐中，與都是邊長為的正三角形，，若，，，四點(diǎn)都在球的表面上，則球的表面積為(    )A.
B.
C.
D. 二、填空題（本大題共4小題，共20.0分）13.  已知向量，，若，則實(shí)數(shù)的值為______．14.  若實(shí)數(shù)，滿足約束條件，則的取值范圍是______．15.  如圖所示，正方形的四個(gè)頂點(diǎn)在函數(shù)，，的圖象上，則______．
 16.  在等腰中，，點(diǎn)在線段上，且，若，則______．三、解答題（本大題共7小題，共82.0分。解答應(yīng)寫出文字說明，證明過程或演算步驟）17.  本小題分
已知數(shù)列是等差數(shù)列，是等比數(shù)列，且，，．
Ⅰ求和的通項(xiàng)公式；
Ⅱ記，求數(shù)列的前項(xiàng)和．18.  本小題分
第屆冬奧會(huì)將于年月日至月日在北京市和河北省張家口市聯(lián)合舉行，這是中國歷史上第一次舉辦冬季奧運(yùn)會(huì)．為了宣傳冬奧會(huì)，讓更多的人了解、喜愛冰雪項(xiàng)目，某校高三年級(jí)舉辦了冬奧會(huì)知識(shí)競賽總分分，并隨機(jī)抽取了名中學(xué)生的成績，繪制成如圖所示的頻率分布直方圖．已知前三組的頻率成等差數(shù)列，第一組和第五組的頻率相同．
求實(shí)數(shù)，的值，并估計(jì)這名中學(xué)生的成績平均值；同一組中的數(shù)據(jù)用該組區(qū)間的中點(diǎn)值作代表
Ⅱ已知抽取的名中學(xué)生中，男女生人數(shù)相等，男生喜歡花樣滑冰的人數(shù)占男生人數(shù)的，女生喜歡花樣滑冰的人數(shù)占女生人數(shù)的，且有的把握認(rèn)為中學(xué)生喜歡花樣滑冰與性別有關(guān)，求的最小值．
參考數(shù)據(jù)及公式如表：，其中．
19.  本小題分
已知正邊長為，點(diǎn)，分別是，邊上的點(diǎn)，，如圖所示．將沿折起到的位置，使線段長為，連接，如圖所示．

Ⅰ求證：平面平面；
Ⅱ求點(diǎn)到平面的距離．20.  本小題分
如圖所示，在平面直角坐標(biāo)系中，已知橢圓：的離心率為，為橢圓上位于第一象限上的點(diǎn)，為橢圓的上頂點(diǎn)，直線與軸相交于點(diǎn)，，的面積為．
Ⅰ求橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程；
Ⅱ若直線與橢圓有且只有一個(gè)公共點(diǎn)，設(shè)橢圓的兩焦點(diǎn)到直線的距離分別是，，試問是否為定值？若是，求出其值；若不是，說明理由．
21.  本小題分
已知函數(shù)．
Ⅰ若在定義域內(nèi)單調(diào)遞增，求的取值范圍；
Ⅱ若存在極大值點(diǎn)，證明：．22.  本小題分
在平面直角坐標(biāo)系中，曲線的參數(shù)方程為為參數(shù)，以原點(diǎn)為極點(diǎn)，軸的非負(fù)半軸為極軸建立極坐標(biāo)系．
Ⅰ寫出曲線的普通方程和極坐標(biāo)方程；
Ⅱ，為曲線上兩點(diǎn)，若，求的最小值．23.  本小題分
定義區(qū)間的長度為，已知不等式的解集區(qū)間長度為．
Ⅰ求的值；
Ⅱ若，，，，求的最小值及此時(shí)，的值．
答案和解析 1.【答案】 【解析】【分析】本題考查復(fù)數(shù)代數(shù)形式的乘除運(yùn)算，考查復(fù)數(shù)的基本概念，是基礎(chǔ)題．
直接利用復(fù)數(shù)代數(shù)形式的乘除運(yùn)算化簡得答案．【解答】解：，
復(fù)數(shù)的虛部為．
故選：．  2.【答案】 【解析】解：，，
，
故選：．
先求出集合，，再利用集合的并集運(yùn)算，即可算出結(jié)果．
本題主要考查了集合的基本運(yùn)算，是基礎(chǔ)題．
 3.【答案】 【解析】解：根據(jù)題意，直線與直線互相垂直，
則有，解得，
故選：．
根據(jù)題意，由兩直線互相垂直可知，解可得的值，即可得答案．
本題考查直線的一般式方程，涉及直線垂直的判斷方法，屬于基礎(chǔ)題．
 4.【答案】 【解析】【分析】
本題考查拋物線的概念及標(biāo)準(zhǔn)方程，是基本知識(shí)的考查，基礎(chǔ)題．
求出，然后利用拋物線的定義轉(zhuǎn)化求解即可．
【解答】
解：拋物線上一點(diǎn)，可得：，解得；
拋物線，即，準(zhǔn)線方程為：．
拋物線上一點(diǎn)到其準(zhǔn)線的距離為：．
故選：．  5.【答案】 【解析】解：，
．
故選：．
由已知利用誘導(dǎo)公式，二倍角的余弦函數(shù)公式化簡所求即可求解．
本題主要考查了誘導(dǎo)公式，二倍角的余弦函數(shù)公式在三角函數(shù)化簡求值中的應(yīng)用，考查了計(jì)算能力和轉(zhuǎn)化思想，屬于基礎(chǔ)題．
 6.【答案】 【解析】解：每月最低氣溫與最高氣溫的線性相關(guān)系數(shù)，可知每月最低氣溫與最高氣溫有較強(qiáng)的線性相關(guān)性，且二者為線性正相關(guān)，
由所給的折線圖可以看出月溫差月最高氣溫月最低氣溫的最大值出現(xiàn)在月，月的月溫差相對(duì)于月，波動(dòng)性更大，
每月的最高氣溫與最低氣溫的平均值在前個(gè)月逐月增加，第六個(gè)月開始減少，所以ABC正確，D錯(cuò)誤；
故選：．
由所給的折線圖，可以進(jìn)行分析得到ABC正確，D錯(cuò)誤．
本題主要考查變量間的相關(guān)關(guān)系，折線圖的分析，屬于基礎(chǔ)題．
 7.【答案】 【解析】解：依題意中輸出的，
由于的值為正整數(shù)平方的倒數(shù)相加，可得中填入的可以是，
由題意可知循環(huán)變量的初值為，終值為，步長值為，循環(huán)共執(zhí)行次，可得中填入的可以是，
故選：．
由已知中的程序語句可知：該程序的功能是利用循環(huán)結(jié)構(gòu)計(jì)算并輸出變量的值，模擬程序的運(yùn)行過程，分析循環(huán)中各變量值的變化情況，可得答案．
本題考查了程序框圖的應(yīng)用問題，解題時(shí)應(yīng)模擬程序框圖的運(yùn)行過程，以便得出正確的結(jié)論，是基礎(chǔ)題．
 8.【答案】 【解析】解：顯然函數(shù)是偶函數(shù)，函數(shù)圖象關(guān)于軸對(duì)稱，排除，
當(dāng)時(shí)，，而，當(dāng)時(shí)，，排除，
當(dāng)時(shí)，，函數(shù)在上單調(diào)遞增，排除，
故選D．
判斷函數(shù)的奇偶性，單調(diào)性和值域，利用排除法得出答案．
本題考查了函數(shù)圖象的判斷，屬于中檔題．
 9.【答案】 【解析】解：在組隨機(jī)數(shù)中，
代表“恰好在第次停止摸球”的隨機(jī)數(shù)是，，，，共組，
則恰好在第次停止摸球的概率為，
故選：．
在組隨機(jī)數(shù)中，利用列舉法求出代表“恰好在第次停止摸球”的隨機(jī)數(shù)有組，由此能求出恰好在第次停止摸球的概率．
本題考查概率的求法，考查古典概型、列舉法等基礎(chǔ)知識(shí)，考查運(yùn)算求解能力，是基礎(chǔ)題．
 10.【答案】 【解析】解：由，，得，
即．
將曲線向左平移個(gè)單位長度后得到的圖象．
令，，求得，，
則的圖象的對(duì)稱軸方程為，，
故選：．
由題意先利用函數(shù)的奇偶性解方程組求出的解析式，再利用函數(shù)的圖象變換規(guī)律，余弦函數(shù)的圖象的對(duì)稱性，求得曲線的一條對(duì)稱軸方程．
本題主要考查函數(shù)的奇偶性，函數(shù)的圖象變換規(guī)律，余弦函數(shù)的圖象的性，屬于基礎(chǔ)題．
 11.【答案】 【解析】解：設(shè)，，
由，消去得，
，，
由于，，可知，，
由題意可得，，，
，即，
，
故選：．
設(shè)，，由，消去得，利用韋達(dá)定理，結(jié)合向量的數(shù)量積，轉(zhuǎn)化求解即可．
本題考查雙曲線的簡單性質(zhì)的應(yīng)用，直線與雙曲線的位置關(guān)系的應(yīng)用，是中檔題．
 12.【答案】 【解析】解：取線段的中點(diǎn)，連接，，與都是邊長為的正三角形，，，，又，
，，
易知平面，分別取線段，的三等分點(diǎn)，，
在平面內(nèi)，過點(diǎn)，分別作直線垂直于，，兩條直線的交點(diǎn)即球心，連接，則球半徑．

易知，，連接，
在中，，，
，故球的表面積為，
故選：．
取線段的中點(diǎn)，連結(jié)，，由題意得，，是二面角的平面角，求得，由題意得平面，分別取，的三等分點(diǎn)，，在平面內(nèi)，過點(diǎn)，分別作直線垂直于，，兩條直線的交點(diǎn)即球心，連結(jié)，則球半徑，由此能求出球的表面積．
本題考查球的表面積的求法，考查空間中線線、線面、面面間的位置關(guān)系等基礎(chǔ)知識(shí)，考查運(yùn)算求解能力，是中檔題．
 13.【答案】 【解析】解：向量，，
所以，
；
又，
所以，
解得．
故答案為：．
根據(jù)平面向量的坐標(biāo)運(yùn)算與共線定理，列方程求出的值．
本題考查了平面向量的坐標(biāo)運(yùn)算與共線定理應(yīng)用問題，是基礎(chǔ)題．
 14.【答案】 【解析】解：作出可行域，的幾何意義為：點(diǎn)與原點(diǎn)所確定直線的斜率．
由解得，
由解得，
當(dāng)直線過時(shí)，；過時(shí)，，即的取值范圍是．
故答案為：．
畫出約束條件的可行域，利用目標(biāo)函數(shù)的幾何意義，轉(zhuǎn)化求解即可．
本題主要考查線性規(guī)劃的應(yīng)用，利用的幾何意義，通過數(shù)形結(jié)合是解決本題的關(guān)鍵．
 15.【答案】 【解析】解：設(shè)，，，，
則，，
又，，即，，
為正方形，；
可得，
解得．
故答案為：．
設(shè)出各點(diǎn)坐標(biāo)，根據(jù)平行于軸得到，再結(jié)合平行于軸得到，可得，，再結(jié)合邊長相等即可得到結(jié)論．
本題考查對(duì)數(shù)函數(shù)的性質(zhì)、對(duì)數(shù)的運(yùn)算，是平面幾何與函數(shù)知識(shí)的結(jié)合，體現(xiàn)出了數(shù)形結(jié)合的思想，屬于中檔題．
 16.【答案】 【解析】解：設(shè)，則，，如圖所示：，
在中，由正弦定理得，即，
在中，由正弦定理得，即，
即，，
，
，
，
，
，．
故答案為：．
設(shè)，則，，在中和中運(yùn)用正弦定理得，所以，化簡整理得，又因?yàn)?/span>，所以．
本題主要考查了正弦定理在解三角形中的應(yīng)用，以及三角函數(shù)化簡求值，是中檔題．
 17.【答案】解：Ⅰ設(shè)數(shù)列的公差為，數(shù)列的公比為，，，，，
解得：，．
，
；
Ⅱ，
．
記，
，
則數(shù)列的前項(xiàng)和．
又，
，
． 【解析】Ⅰ先設(shè)數(shù)列的公差為，數(shù)列的公比為，再由題設(shè)條件列出與的方程，求解出與，然后求出各自的通項(xiàng)公式即可；
Ⅱ由Ⅰ與題設(shè)條件求得，再利用分組求和法求得其前項(xiàng)和．
本題主要考查等差、等比數(shù)列基本量的運(yùn)算及通項(xiàng)公式的求法和分組求和法在數(shù)列求和中的應(yīng)用，屬于基礎(chǔ)題．
 18.【答案】解：Ⅰ由題意可知：，解得，
各組頻率依次為，，，，，
，
Ⅱ設(shè)男生人數(shù)為，依題意可得列聯(lián)表如下： 喜歡花樣滑冰不喜歡花樣滑冰合計(jì)男生女生合計(jì)，
，，
又，，且各組的頻數(shù)為正整數(shù)，故，． 【解析】Ⅰ根據(jù)題意等差數(shù)列的性質(zhì)以及各組頻率之和為得到關(guān)于，的方程組，即可求出，的值，再利用區(qū)間中點(diǎn)值乘以該組頻率并依次相加即可求出這名中學(xué)生的成績平均值；
Ⅱ設(shè)男生人數(shù)為，依題意得到列聯(lián)表，計(jì)算，對(duì)照題目中的表格，得出統(tǒng)計(jì)結(jié)論．
本題考查了獨(dú)立性檢驗(yàn)的應(yīng)用問題，也考查了計(jì)算能力的應(yīng)用問題，是基礎(chǔ)題目．
 19.【答案】Ⅰ證明：依題意得，在中，，，，
由余弦定理得，即．
，得，即．
在圖中，，，，，則．
又，，平面，平面，
又平面，平面；
Ⅱ解：連接，在平面內(nèi)，由Ⅰ可知，
在中，，，
在中，，，
在中，有，，
．
又，
設(shè)點(diǎn)到平面的距離為，
由，可知．
則．
點(diǎn)到平面的距離為． 【解析】Ⅰ由已知證明再由直線與平面垂直的判定可得平面，進(jìn)一步得到平面；
Ⅱ求解三角形得三角形的面積，再求出三角形的面積，然后利用等體積法求點(diǎn)到平面的距離．
本題考查平面與平面垂直的判定，考查空間想象能力與思維能力，考查計(jì)算能力，訓(xùn)練了利用等體積法求點(diǎn)到平面的距離，是中檔題．
 20.【答案】解：Ⅰ，，，
由，可知為的中點(diǎn)，，
，即，
，即，，，
所以橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程為．
Ⅱ當(dāng)直線的斜率不存在時(shí)，：或：，．
當(dāng)直線的斜率存在時(shí)，設(shè)：，
聯(lián)立方程組，消去整理得，
直線與橢圓有且只有一個(gè)公共點(diǎn)，，
即，
．
故為定值． 【解析】Ⅰ通過橢圓的離心率，結(jié)合三角形的面積，求出，，即可得到橢圓方程．
Ⅱ當(dāng)直線的斜率不存在時(shí)，：或：，推出．
當(dāng)直線的斜率存在時(shí)，設(shè)：，聯(lián)立方程組，消去整理得，
利用直線與橢圓有且只有一個(gè)公共點(diǎn)，求出，然后求解的表達(dá)式，推出結(jié)果即可．
本題考查橢圓方程的求法，直線與橢圓的位置關(guān)系的綜合應(yīng)用，考查轉(zhuǎn)化思想以及計(jì)算能力，是難題．
 21.【答案】解：Ⅰ在定義域內(nèi)單調(diào)遞增，
在恒成立，即在恒成立．
令，，則，
當(dāng)時(shí)，；當(dāng)時(shí)，；
在上單調(diào)遞減，上單調(diào)遞增，
．
，
的取值范圍是．
Ⅱ證明：存在極大值點(diǎn)，至少存在一個(gè)零點(diǎn)，
由Ⅰ知函數(shù)不單調(diào)得．
即函數(shù)的圖象與直線至少存在一個(gè)交點(diǎn)，
由Ⅰ知，在上單調(diào)遞減，上單調(diào)遞增，
，即函數(shù)的圖象與直線有兩個(gè)交點(diǎn)，，
設(shè)，則時(shí)，，即，則在，單調(diào)遞增，在單調(diào)遞減，
故極大值點(diǎn)，由于且，
且，即．
，即． 【解析】Ⅰ由在定義域內(nèi)單調(diào)遞增得其導(dǎo)函數(shù)恒大于等于零，分離變量即在恒成立，轉(zhuǎn)化為求函數(shù)最小值，求出的取值范圍．
Ⅱ結(jié)合Ⅰ考慮函數(shù)的單調(diào)性，確定函數(shù)的極大值點(diǎn)滿足的條件且，代入函數(shù)化簡變形并利用均值不等式可證明．
本題考查函數(shù)的單調(diào)性，極值，零點(diǎn)等問題，以及函數(shù)與不等式相結(jié)合，屬于綜合性很強(qiáng)的難題．
 22.【答案】解：Ⅰ曲線的參數(shù)方程為為參數(shù)，轉(zhuǎn)換為直角坐標(biāo)方程為，整理得．
根據(jù)，轉(zhuǎn)換為極坐標(biāo)方程為．
Ⅱ，為曲線上兩點(diǎn)，設(shè)對(duì)應(yīng)的極徑為，，
所以，．
所以，
由于，解得，
所以，
即，
故，當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)，等號(hào)成立．
故，
即． 【解析】Ⅰ直接利用轉(zhuǎn)換關(guān)系，把參數(shù)方程極坐標(biāo)方程和直角坐標(biāo)方程之間進(jìn)行轉(zhuǎn)換．
Ⅱ利用三角函數(shù)關(guān)系式的恒等變換和基本不等式的應(yīng)用求出結(jié)果．
本題考查的知識(shí)要點(diǎn)：參數(shù)方程極坐標(biāo)方程和直角坐標(biāo)方程之間的轉(zhuǎn)換，基本不等式的應(yīng)用，主要考查學(xué)生的運(yùn)算能力和轉(zhuǎn)換能力及思維能力，屬于基礎(chǔ)題型
 23.【答案】解：Ⅰ由，得，
，
，
，由原不等式的解集區(qū)間長度為得原不等式的解集為，
則，即．
Ⅱ由Ⅰ知，又，
，，
，
，
，即，
，即．
當(dāng)且僅當(dāng)，即時(shí)等號(hào)成立，
取得最小值． 【解析】Ⅰ由已知得，，再脫絕對(duì)值解不等式，利用區(qū)間長度為解．
Ⅱ把化簡變形利用和基本不等式可求解．
本題考查了基本不等式的應(yīng)用及多項(xiàng)式的化簡，屬于中檔題．
 

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2021屆江西省九江市高考數(shù)學(xué)一模試卷（文科） （解析版）

2021屆江西省九江市高考數(shù)學(xué)一模試卷（文科） （解析版）
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