2022年江西省贛州市高考數(shù)學(xué)一模試卷（文科） 已知集合，，則A.  B.  C.  D. 復(fù)數(shù)的虛部為A.  B. 1 C.  D. i已知拋物線的焦點(diǎn)為F，準(zhǔn)線為l，以F為圓心，半徑為的圓與l交于A，B兩點(diǎn)，則A.  B.  C.  D. 4某學(xué)校為了更好落實(shí)“五育”管理，對高一年級1890名新生的體質(zhì)情況進(jìn)行調(diào)査，現(xiàn)將這些新生編號成1，2，3，4，…，1890，再采用系統(tǒng)抽樣的方法從這些新生中抽取210名學(xué)生進(jìn)行體質(zhì)測驗(yàn)．若43號學(xué)生被抽到，則下面4名學(xué)生中被抽到的是A. 15號學(xué)生 B. 72號學(xué)生 C. 1214號學(xué)生 D. 1267號學(xué)生設(shè)函數(shù)，則滿足的x的取值范圍是A.  B.  C.  D. 在《九章算術(shù)》中將底面為矩形且有一條側(cè)棱與底面垂直的四棱錐稱之為陽馬．已知四棱錐為陽馬，底面ABCD是邊長為2的正方形，有兩條側(cè)棱長為3，則該陽馬的表面積為A.  B.  C.  D. 已知正方形ABCD的中心為M，從A，B，C，D，M五個(gè)點(diǎn)中任取三點(diǎn)，則取到的三點(diǎn)構(gòu)成直角三角形的概率為
 A.  B.  C.  D. 等比數(shù)列滿足，，則A. 8 B. 4 C.  D. 在半徑為2的球O的表面上有A，B，C三點(diǎn)，若平面平面ABC，則三棱錐體積的最大值為A.  B.  C.  D. 已知，，，則A.  B.  C.  D. 斐波那契螺線又叫黃金螺線．廣泛應(yīng)用于繪畫、建筑等，這種螺線可以按下列方法畫出：如圖，在黃金矩形其中中作正方形ABFE，以F為圓心，長為半徑作圓弧；然后在矩形CDEF中作正方形DEHG，以H為圓心，DE長為半徑作圓弧；如此繼續(xù)下去，這些圓弧就連成了斐波那契螺線．記圓弧旋的長度分別為l，m，n，給出以下兩個(gè)命題：p：，q：則下列選項(xiàng)為真命題的是
A.  B.  C.  D. 已知函數(shù)在區(qū)間上有且僅有2個(gè)不同的零點(diǎn)，給出下列三個(gè)結(jié)論：
①在區(qū)間上有且僅有2條對稱軸；
②在區(qū)間上單調(diào)遞增；
③的取值范圍是
其中正確的個(gè)數(shù)為A. 0 B. 1 C. 2 D. 3已知單位向量滿足，則的夾角為______.若實(shí)數(shù)x，y滿足約束條件，則的最小值為______.已知，是雙曲線的兩個(gè)焦點(diǎn)，過作C的漸近線的垂線，垂足為若的面積為，則C的離心率為______.數(shù)列滿足，若數(shù)列前n項(xiàng)和為，則______.在中，角A、B、C的對邊分別為a，b，c，且，
若，求的值；
若BC邊上的中線長為，求a的值．






 為積極貫徹落實(shí)國家教育的“雙減”政策，我市各地紛紛推行課后服務(wù)“”模式，即學(xué)校每周周一至周五5天都要面向所有學(xué)生提供課后服務(wù)，每天至少2小時(shí)．某初中學(xué)校為了解該校學(xué)生上學(xué)期來參加學(xué)業(yè)輔導(dǎo)、體育鍛煉、綜合實(shí)踐三大類別的課后服務(wù)情況，德育處從全校七、八、九年級學(xué)生中按照1：2：3分層抽樣的方法，抽取容量為240的樣本進(jìn)行調(diào)查．被抽中的學(xué)生分別對參加課后服務(wù)進(jìn)行評分，滿分為100分．調(diào)查結(jié)果顯示：最低分為51分，量高分為100分．隨后，德育處將八、九年級學(xué)生的評分結(jié)果按照相同的分組方式分別整理成了頻數(shù)分布表和頻率分布直方圖，圖表如下：
八年級學(xué)生評分結(jié)果頻率分布表分?jǐn)渽^(qū)間頻數(shù)2M173820根據(jù)上述統(tǒng)計(jì)圖表信息試求m和n的值；
為了便于調(diào)查學(xué)校開展課后服務(wù)“滿意度”情況是否與年級高低有關(guān)，德育處把評分不低于70分的定義為“滿意”，評分低于70分的定義為“不滿意”，通過樣本將七年級和九年級學(xué)生對課后服務(wù)“滿意度”情況匯總得到如表：年級
滿意情況七年級九年級合計(jì)滿意30  不滿意   合計(jì)   請補(bǔ)充上表，并判斷是否有的可能性認(rèn)為學(xué)校開展課后服務(wù)“滿意度”情況與年級高低有關(guān)？
附：







 如圖，三棱柱中，側(cè)面為菱形，，且
證明：；
若，，，求點(diǎn)O到平面ABC的距離．







 設(shè)函數(shù)
若曲線在處的切線l與直線互相垂直，求l的方程；
若對任意的恒成立，求實(shí)數(shù)a的取值范圍．






 已知橢圓C：的左、右焦點(diǎn)分別為，，點(diǎn)P在橢圓C上，滿足，且面積的最大值為
求橢圓C的方程；
點(diǎn)，點(diǎn)A，B在橢圓C上，點(diǎn)N在直線l：，滿足，，試問是否為定值？若是，求出該定值，若不是，請說明理由．






 已知點(diǎn)在曲線上．
求動點(diǎn)的軌跡C的方程；
過原點(diǎn)的直線l與中的曲線C交于A、B兩點(diǎn)，求的最大值與最小值．






 已知
當(dāng)時(shí)，求不等式的解集；
若的解集包含，求a的取值范圍．







答案和解析 1.【答案】C
 【解析】解：集合，
，
則
故選：
求出集合A，B，利用并集定義能求出
本題考查并集的求法，考查并集定義、不等式性質(zhì)等基礎(chǔ)知識，考查運(yùn)算求解能力，是基礎(chǔ)題．
 2.【答案】A
 【解析】解：，
復(fù)數(shù)z的虛部為
故選：
根據(jù)已知條件，結(jié)合復(fù)數(shù)虛部的概念，以及復(fù)數(shù)代數(shù)形式的乘除法運(yùn)算，即可求解．
本題考查了復(fù)數(shù)虛部的概念，以及復(fù)數(shù)代數(shù)形式的乘除法運(yùn)算，需要學(xué)生熟練掌握公式，屬于基礎(chǔ)題．
 3.【答案】B
 【解析】解：因?yàn)?/span>，
所以焦點(diǎn)到準(zhǔn)線l：的距離為2，
又，
所以，
故選：
利用焦點(diǎn)到準(zhǔn)線距離為解直角三角形，再根據(jù)拋物線的及圓的對稱性即可得解．
本題考查了拋物線的性質(zhì)，直線與圓的位置關(guān)系，屬于基礎(chǔ)題．
 4.【答案】D
 【解析】解：因?yàn)楦咭荒昙?/span>1890名新生按系統(tǒng)抽樣共抽取210人，所以分210組，每組9人中抽取1人，
因?yàn)?/span>43號學(xué)生被抽到，
所以抽取的其他編號與43相差9的整數(shù)倍，
而，，，中只有1224能被9整除，
故下面4名學(xué)生中被抽到的是1267號．
故選：
根據(jù)已知條件，結(jié)合系統(tǒng)抽樣的定義，即可求解．
本題主要考查系統(tǒng)抽樣的定義，屬于基礎(chǔ)題．
 5.【答案】D
 【解析】【分析】
本題主要考查指數(shù)函數(shù)，對數(shù)函數(shù)及其性質(zhì)，屬于基礎(chǔ)題.
分類討論，結(jié)合指數(shù)函數(shù)，對數(shù)函數(shù)的性質(zhì)求解即可．
【解答】
解：當(dāng)時(shí)，，可變形為，，

當(dāng)時(shí)，，可變形為，，
，
則滿足的x的取值范圍是
故選  6.【答案】B
 【解析】解：如圖，

由題意知，，，平面ABCD，
因?yàn)?/span>，
所以，
故選：
根據(jù)四棱錐的性質(zhì)，分別求側(cè)面與底面面積，即可得解．
本題考查了四棱錐表面積的計(jì)算，屬于基礎(chǔ)題．
 7.【答案】D
 【解析】解：從A，B，C，D，M五個(gè)點(diǎn)中取到的三點(diǎn)構(gòu)成直角三角形的個(gè)數(shù)為，
從A，B，C，D，M五個(gè)點(diǎn)中任取三點(diǎn)的個(gè)數(shù)為，
所以取到的三點(diǎn)構(gòu)成直角三角形的概率為
故選：
首先計(jì)算取到的三點(diǎn)構(gòu)成直角三角形的個(gè)數(shù)，然后計(jì)算從A，B，C，D，M五個(gè)點(diǎn)中任取三點(diǎn)的個(gè)數(shù)，以此可解決此題．
本題考查組合數(shù)應(yīng)用及古典概型應(yīng)用，考查數(shù)學(xué)運(yùn)算能力，屬于基礎(chǔ)題．
 8.【答案】A
 【解析】解：設(shè)等比數(shù)列的公比為q，
由，得，則，
所以
故選：
設(shè)等比數(shù)列的公比為q，利用可求出，進(jìn)一步根據(jù)即可求解．
本題考查等比數(shù)列的通項(xiàng)公式，考查學(xué)生邏輯推理和運(yùn)算求解的能力，屬于基礎(chǔ)題．
 9.【答案】B
 【解析】解：作出如圖三棱錐，，取AB中點(diǎn)D，連接DC，DO，則，

又平面平面ABC，平面平面，平面OAB，所以平面ABC，平面ABC，則，
又，，所以，，
所以，
所以，
，
要使三棱錐體積最大，則C到平面OAB的距離h最大，顯然，
當(dāng)時(shí)，平面平面，平面ABC，
所以平面OAB，此時(shí)，為最大值，

故選：
取AB中點(diǎn)D，可證明平面ABC得，由已知求得CD長，要使三棱錐體積最大，則C到平面OAB的距離h最大，顯然，當(dāng)時(shí)，，由此求得體積的最大值．
本題主要考查球與多面體的切接問題，空間想象能力的培養(yǎng)等知識，屬于中等題．
 10.【答案】C
 【解析】解：，
，
即，
又，，
，
故選：
利用正弦函數(shù)的單調(diào)性可判斷，再結(jié)合對數(shù)函數(shù)的單調(diào)性比較三個(gè)值的大小即可．
本題考查了三角函數(shù)及對數(shù)函數(shù)單調(diào)性的應(yīng)用，屬于基礎(chǔ)題．
 11.【答案】A
 【解析】解：根據(jù)題意，，
又由，則，
則，
又由，
則，
同理：，變形可得，
則有，
對于p，，，則，p是真命題，
對于q，，，則有為真命題，
故為真命題，、和都是假命題；
故選：
根據(jù)題意，先求出圓弧的半徑，進(jìn)而根據(jù)圓的周長公式分析求出l、m、n的值，分析p、q的真假，結(jié)合復(fù)合命題真假分析選項(xiàng)，即可得答案．
本題考查命題真假的判斷，關(guān)鍵是求出l、m、n的值，屬于中檔題．
 12.【答案】C
 【解析】解：函數(shù)在區(qū)間上有且僅有2個(gè)不同的零點(diǎn)，，
，故③正確；
在區(qū)間上，，可能有一條或兩條對稱軸，故①錯誤；
在區(qū)間上，，而，故在區(qū)間上單調(diào)遞增，故②正確，
故選：
由題意，利用正弦函數(shù)的圖象和性質(zhì)，命題真假的判斷，得出結(jié)論．
本題主要考查正弦函數(shù)的圖象和性質(zhì)，命題真假的判斷與應(yīng)用，屬于中檔題．
 13.【答案】
 【解析】解：單位向量滿足，
可得，
解得，
所以，，

故答案為：
利用向量的模，求解向量的數(shù)量積，然后求解向量的夾角．
本題考查向量的數(shù)量積的應(yīng)用，向量的夾角以及向量的模的運(yùn)算法則的應(yīng)用，是基礎(chǔ)題．
 14.【答案】
 【解析】解：由約束條件作出可行域如圖，

聯(lián)立，解得，
的幾何意義為可行域內(nèi)動點(diǎn)與定點(diǎn)連線的斜率，
，
的最小值為
故答案為：
由約束條件作出可行域，再由的幾何意義，即可行域內(nèi)動點(diǎn)與定點(diǎn)連線的斜率求解．
本題考查簡單的線性規(guī)劃，考查數(shù)形結(jié)合思想，是基礎(chǔ)題．
 15.【答案】2
 【解析】解：設(shè)雙曲線的一條漸近線方程為，
點(diǎn)到漸近線的距離，即，
，的面積為，的面積：，，
，，則
故答案為：
計(jì)算的面積，得到的面積，結(jié)合點(diǎn)到直線的距離，轉(zhuǎn)化求解b，推出c，即可得出雙曲線的離心率．
本題考查了雙曲線的性質(zhì)，三角形的面積的應(yīng)用，屬于中檔題．
 16.【答案】800
 【解析】解：數(shù)列滿足，
時(shí)，，
時(shí)，，
，，
……
……
…
…
…

，
故答案為：
數(shù)列滿足，可得時(shí)，，時(shí)，，可得，，通過轉(zhuǎn)化利用求和公式即可得出．
本題考查了數(shù)列遞推關(guān)系、等差數(shù)列的求和公式、轉(zhuǎn)化方法，考查了推理能力與計(jì)算能力，屬于中檔題．
 17.【答案】解：因?yàn)?/span>，，，
所以由正弦定理，可得，
因?yàn)?/span>，可得C為銳角，
所以；
若BC邊上的中線長為，取BC邊上的中點(diǎn)D，則，設(shè)，
在中，利用余弦定理可得，
在中，利用余弦定理可得，
又，則，
可得，即，解得，
又，
故a的值為
 【解析】由已知利用正弦定理可求的值，利用大邊對大角可求C為銳角，進(jìn)而根據(jù)同角三角函數(shù)基本關(guān)系式即可求解的值；
取BC邊上的中點(diǎn)D，則，設(shè)，利用余弦定理，又，可得，即，解得x的值，結(jié)合即可求解a的值．
本題主要考查了正弦定理，大邊對大角，同角三角函數(shù)基本關(guān)系式，余弦定理在解三角形中的綜合應(yīng)用，考查了計(jì)算能力和轉(zhuǎn)化思想，屬于中檔題．
 18.【答案】解：由已知八年級抽取人數(shù)為，
由頻率和為1得，故；
七年級人數(shù)為，九年級不滿意人數(shù)為，列聯(lián)表如下：年級
滿意情況七年級九年級合計(jì)滿意3096126不滿意102434合計(jì)40120160，
所以沒有的可能性認(rèn)為學(xué)校開展課后服務(wù)“滿意度”情況與年級高低有關(guān)．
 【解析】由題干數(shù)據(jù)結(jié)合頻率和為1，八年級學(xué)生總數(shù)即可得解；
由題干數(shù)據(jù)完善列聯(lián)表，計(jì)算，對比即可得解．
本題考查了頻率分布直方圖，獨(dú)立性檢驗(yàn)的知識，屬于基礎(chǔ)題．
 19.【答案】證明：已知O為與的交點(diǎn)，
側(cè)面為菱形，，
又，，
平面，則，
為的中點(diǎn)，；
解：作垂足為D，連接AD，作，垂足為H，
，，，
平面AOD，得，
，且，
平面ABC，
，為等邊三角形，
，，
，，
，
由，得，
即O到平面ABC的距離為
 【解析】為與的交點(diǎn)，由已知可得，結(jié)合，可得平面，則，從而得到；
作垂足為D，連接AD，作，垂足為H，證明平面ABC，利用等面積法求得OH，即為O到平面ABC的距離．
本題考查空間中點(diǎn)、線、面的位置關(guān)系，考查點(diǎn)到面的距離的求法，考查空間想象能力與思維能力，考查運(yùn)算求解能力，是中檔題．
 20.【答案】解：，
由題意知，，解得，
又，
故在點(diǎn)處的切線方程為，即
當(dāng)時(shí)，，
①若時(shí)，，
從而，在區(qū)間上單調(diào)遞增，
又，故
②若時(shí)，令，則，，
且，，故當(dāng)時(shí)，，在區(qū)間上單調(diào)遞減，
故當(dāng)時(shí)，
綜上所述：a的取值范圍為
 【解析】根據(jù)導(dǎo)數(shù)的幾何意義求出求切線斜率，再由垂直關(guān)系得出直線斜率建立方程求出a，由點(diǎn)斜式求切線方程；
求出函數(shù)導(dǎo)數(shù)，分，兩種情況分析，時(shí)利用函數(shù)導(dǎo)數(shù)分析函數(shù)單調(diào)性求出最小值，建立不等式求解，當(dāng)時(shí)，分析函數(shù)在上不滿足條件即可得解．
本題主要考查利用導(dǎo)數(shù)研究曲線上某點(diǎn)切線方程，利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性與最值，考查不等式恒成立問題，考查分類討論思想與運(yùn)算求解能力，屬于中檔題．
 21.【答案】解：由橢圓C：的左、右焦點(diǎn)分別為，，點(diǎn)P在橢圓C上，
因?yàn)?/span>，可得，即，
又由面積的最大值為2，可得，即，
因?yàn)?/span>，即，解得，
所以橢圓C的方程為
由，，可得點(diǎn)A，B，M，N四點(diǎn)共線，如圖所示，

設(shè)過點(diǎn)的直線方程為，即，
聯(lián)立方程組，整理得，
設(shè)，，則，
聯(lián)立方程組，可得，即，
因?yàn)?/span>，，可得，
所以
則

，
所以為定值
 【解析】由，得到，根據(jù)面積的最大值為2，得到，結(jié)合，求得，即可求得橢圓的方程；
設(shè)過點(diǎn)的直線為，聯(lián)立方程組得到，，再聯(lián)立兩直線，求得，根據(jù)，，求得，進(jìn)而結(jié)合韋達(dá)定理，化簡得到，即可得到結(jié)論．
本題主要考查橢圓方程的求解，直線與圓錐曲線的位置關(guān)系，韋達(dá)定理及其應(yīng)用等知識，屬于中等題．
 22.【答案】解：由題意，點(diǎn)在曲線上，可得，
令，可得，
設(shè)，，則，
即動點(diǎn)的軌跡C的方程
解：由題意，設(shè)直線l的方程為，
聯(lián)立方程組，整理得，
要直線與曲線C交于A、B兩點(diǎn)，則方程在上有兩解，
設(shè)，可得，解得，
設(shè)，，則，，且
又由，
因?yàn)?/span>，
又因?yàn)?/span>，所以的最小值為1，最大值為
 【解析】令，可得，求得，即可求得動點(diǎn)的軌跡C的方程；
設(shè)直線l的方程為，聯(lián)立方程組得到，，根據(jù)題意轉(zhuǎn)化為方程在上有兩解，求得k的范圍，結(jié)合，進(jìn)而求得的最值．
本題考查軌跡方程，考查學(xué)生的運(yùn)算能力，屬于中檔題．
 23.【答案】解：時(shí)，，
，
當(dāng)時(shí)，，解得，
當(dāng)時(shí)，，解得，無解，
當(dāng)時(shí)，，解得，故，
綜上，不等式的解集是或；
的解集包含，
故在上恒成立，
當(dāng)時(shí)，，
故，
令，
時(shí)，，
故，
故，
，
，
的取值范圍是
 【解析】代入a的值，通過討論a的范圍，求出不等式的解集即可；
問題轉(zhuǎn)化為，令，求出的最大值，求出a的取值范圍即可．
本題考查了解絕對值不等式問題，考查轉(zhuǎn)化思想，是中檔題．
 

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