?2021年江西省九江市高考數(shù)學(xué)二模試卷（文科）
一、選擇題（每小題5分）.
1．已知集合M＝{x|x2﹣2x﹣8＜0}，N＝{x|lnx＞0}，則M∩N＝（　?。?br /> A．{x|﹣4＜x＜1} B．{x|﹣2＜x＜l} C．{x|1＜x＜2} D．{x|1＜x＜4}
2．已知復(fù)數(shù)z＝，則|z|＝（　?。?br /> A．0 B． C．2 D．﹣2
3．將函數(shù)f（x）圖象上所有點的橫坐標(biāo)都伸長到原來的兩倍，得到函數(shù)g（x）＝cos2x的圖象，則f（x）是（　?。?br /> A．周期為2π的偶函數(shù) B．周期為2π的奇函數(shù)
C．周期為的偶函數(shù) D．周期為的奇函數(shù)
4．若實數(shù)x，y滿足，則z＝x﹣2y的最小值為（　　）
A．﹣6 B．﹣1 C．2 D．6
5．已知tan（α﹣）＝2，則tanα＝（　　）
A． B．3 C．﹣ D．﹣3
6．過點P作圓O：x2+y2＝1的兩條切線，切點分別是A，B，若∠APB＝，則＝（　?。?br /> A． B． C． D．
7．恩格爾系數(shù)（Engel'sCoefficien）是食品支出總額占個人消費支出總額的比重．居民可支配收入是居民可用于最終消費支出和儲蓄的總和，即居民可用于自由支配的收入．如圖為我國2013年至2019年全國恩格爾系數(shù)和居民人均可支配收入的折線圖．

給出三個結(jié)論：
①恩格爾系數(shù)與居民人均可支配收入之間存在負(fù)相關(guān)關(guān)系；
②一個國家的恩格爾系數(shù)越小，說明這個國家越富裕；
③一個家庭收入越少，則家庭收入中用來購買食品的支出所占的比重就越小．
其中正確的是（　?。?br /> A．① B．② C．①② D．②③
8．如圖所示，已知拋物線y2＝2px（p＞0）的焦點為F，點A（x0，3）是拋物線上一點，過A作拋物線準(zhǔn)線的垂線，垂足為H，HF交拋物線于點B，且＝2，則p＝（　?。?br />
A．2 B． C． D．1
9．古希臘畢達哥拉斯學(xué)派認(rèn)為數(shù)是萬物的本源，因此極為重視數(shù)的理論研究，他們常把數(shù)描繪成沙灘上的沙?；蛐∈?，并將它們排列成各種形狀進行研究．形數(shù)就是指平面上各種規(guī)則點陣所對應(yīng)的點數(shù)，是畢哥拉斯學(xué)派最早研究的重要內(nèi)容之一．如圖是三角形數(shù)和四邊形數(shù)的前四個數(shù)，若三角形數(shù)組成數(shù)列{an}，四邊形數(shù)組成數(shù)列{bn}，記cn＝，則數(shù)列{cn}的前10項和為（　　）

A． B． C． D．
10．如圖所示，在棱長為2的正方體ABCD﹣A1B1C1D1中，點E，F(xiàn)，G，H，I，J分別是棱A1B1，A1D1，DD1，CD，BC，BB1的中點，現(xiàn)在截面EFGHIJ內(nèi)隨機取一點M，則此點滿足|AM|+|MC1|≤4的概率為（　　）

A． B． C． D．
11．已知雙曲線＝1（a＞0，b＞0）的左、右焦點分別為F1，F(xiàn)2，過點F1且斜率為的直線l與雙曲線的右支交于點A，且△AF2F1是以AF2為底邊的等腰三角形，則該雙曲線的離心率為（　　）
A．2 B．2 C．2 D．2
12．若對任意x∈（0，+∞），不等式aeax﹣lnx＞0恒成立，則實數(shù)a的取值范圍為（　　）
A．（﹣，e） B．（，+∞） C．（，e） D．（e，+∞）
二、填空題：本大題共4小題，每小題5分，共20分．
13．函數(shù)f（x）＝lnx﹣x2的單調(diào)遞增區(qū)間為　 ?。?br /> 14．已知一個球的半徑與一個等邊圓柱（過軸的截面是正方形）的底面半徑相等，則該圓柱的表面積與球的表面積的比值是　 ?。?br /> 15．《孫子算經(jīng)》是中國古代重要的數(shù)學(xué)著作，具有重大意義的是卷下第26題：“今有物不知其數(shù)，三三數(shù)之剩二，五五數(shù)之剩三，七七數(shù)之剩二，問物幾何？”是中國最早一元線性同余方程組問題，如圖為由該算法演變而來的一個程序框圖，則程序運行后輸出的結(jié)果是　 ?。?br />
16．費馬點是指位于三角形內(nèi)且到三角形三個頂點距離之和最小的點．當(dāng)三角形三個內(nèi)角都小于時，費馬點與三角形三個頂點的連線構(gòu)成的三個角都為．已知點P為△ABC的費馬點，角A，B，C的對邊分別為a，b，c，若cosA＝2sin（C﹣）cosB，且b2＝（a﹣c）2+6，則PA?PB+PB?PC+PA?PC的值為　 　．
三、解答題：本大題共5小題，共70分．解答應(yīng)寫出文字說明，證明過程或演算步驟．
17．已知數(shù)列{an} 的前n項和為S，且滿足2Sn＝3an﹣1（n∈N*）．
（1）求數(shù)列{an} 的通項公式；
（2）求數(shù)列{（2n﹣1）an}的前n項和Tn．
18．2021年春節(jié)，由賈玲導(dǎo)演的春節(jié)檔電影《你好，李煥英》總票房已突破50億元，影片的感人情節(jié)引起同學(xué)們廣泛熱議．開學(xué)后，某校團委在高三年級中（其中男生200名，女生150名），對是否觀看該影片進行了問卷調(diào)查，各班男生觀看人數(shù)統(tǒng)計記為A組，各班女生觀看人數(shù)統(tǒng)計記為B組，得到如圖的莖葉圖．已知全年級恰有3個班級觀看該影片的人數(shù)超過40．
（Ⅰ）根據(jù)莖葉圖繪制2×2列聯(lián)表，并判斷是否有97.5%的把握認(rèn)為觀看該影片與性別有關(guān)？
（Ⅱ）若先從A組人數(shù)超過20的數(shù)據(jù)中隨機抽取一個數(shù)據(jù)，再從B組人數(shù)少于20的數(shù)據(jù)中隨機抽取一個數(shù)據(jù)，求抽到的這兩個數(shù)據(jù)來自同一個班的概率．
參考數(shù)據(jù)及公式如下：
P（K2≥k）
0.1
0.05
0.025
0.01
0.005
0.001
k
2.706
3.841
5.024
6.635
7.879
10.828
K2＝，n＝a+b+c+d．

19．如圖所示，在四棱錐P﹣ABCD中，PD⊥底面ABCD，四邊形ABCD為矩形，CD＝2，PD＝AD＝，E為DC的中點．
（Ⅰ）求證：AE⊥平面PBD；
（Ⅱ）求點A到平面PBE的距離．

20．在平面直角坐標(biāo)系xOy中，已知橢圓C：＝1（a＞b＞0）的左、右焦點分別為F1，F(xiàn)2，M為橢圓C上一點，線段MF1與圓x2+y2＝1相切于該線段的中點，且△MF1F2的面積為2．
（Ⅰ）求橢圓C的方程
（Ⅱ）過點F2的直線l與橢圓C交于A，B兩點，且∠AOB＝90°，求△AOB的面積．
21．已知函數(shù)f（x）＝ex+ax，g（x）＝f（x）﹣f（﹣x）（a∈R）．
（Ⅰ）若直線y＝kx與曲線f（x）相切，求k﹣a的值；
（Ⅱ）若g（x）存在兩個極值點x1，x2，且＞﹣，求a的取值范圍．
請考生在第22-23題中任選一題作答，如果多做，則按所做的第一題計分．[選修4-4：坐標(biāo)系與參數(shù)方程]
22．在極坐標(biāo)系Ox中，射線l的極坐標(biāo)方程為θ＝（ρ≥0），曲線C的極坐標(biāo)方程為ρ2﹣4ρsinθ＝r2﹣4（r＞0），且射線l與曲線C有異于點O的兩個交點P，Q．
（Ⅰ）求r的取值范圍；
（Ⅱ）求+的取值范圍．
[選修4-5：不等式選講]
23．已知函數(shù)f（x）＝|x+2|﹣|ax﹣2|（a∈R）．
（Ⅰ）當(dāng)a＝2時，解不等式f（x）≥1；
（Ⅱ）當(dāng)x∈[﹣2，2]時，求證：f（x）+f（﹣x）≤0．


參考答案
一、選擇題（共12小題）.
1．已知集合M＝{x|x2﹣2x﹣8＜0}，N＝{x|lnx＞0}，則M∩N＝（　　）
A．{x|﹣4＜x＜1} B．{x|﹣2＜x＜l} C．{x|1＜x＜2} D．{x|1＜x＜4}
解：∵M＝{x|﹣2＜x＜4}，N＝{x|x＞1}，
∴M∩N＝{x|1＜x＜4}．
故選：D．
2．已知復(fù)數(shù)z＝，則|z|＝（　?。?br /> A．0 B． C．2 D．﹣2
解：∵＝
|z|＝
故選：B．
3．將函數(shù)f（x）圖象上所有點的橫坐標(biāo)都伸長到原來的兩倍，得到函數(shù)g（x）＝cos2x的圖象，則f（x）是（　?。?br /> A．周期為2π的偶函數(shù) B．周期為2π的奇函數(shù)
C．周期為的偶函數(shù) D．周期為的奇函數(shù)
解：將函數(shù)f（x）圖象上所有點的橫坐標(biāo)都伸長到原來的兩倍，
得到函數(shù)g（x）＝cos2x的圖象，
則f（x）＝cos4x，故它是周期為的偶函數(shù)，
故選：C．
4．若實數(shù)x，y滿足，則z＝x﹣2y的最小值為（　?。?br /> A．﹣6 B．﹣1 C．2 D．6
解：作出不等式組對應(yīng)的平面區(qū)域如圖：
由z＝x﹣2y得y＝x﹣z，
平移直線y＝x﹣z，由圖象知當(dāng)直線經(jīng)過點C時，直線截距最大，此時z最小，
由得，即C（﹣2，2），
此時z＝﹣2﹣2×2＝﹣6，
故選：A．

5．已知tan（α﹣）＝2，則tanα＝（　?。?br /> A． B．3 C．﹣ D．﹣3
解：∵已知tan（α﹣）＝2，則tanα＝tan[（α﹣）+]＝＝＝﹣3，
故選：D．
6．過點P作圓O：x2+y2＝1的兩條切線，切點分別是A，B，若∠APB＝，則＝（　?。?br /> A． B． C． D．
解：由題意可得：|OA|＝|OB|＝1，∠APB＝，∠AOB＝，
所以＝1×＝﹣．
故選：A．
7．恩格爾系數(shù)（Engel'sCoefficien）是食品支出總額占個人消費支出總額的比重．居民可支配收入是居民可用于最終消費支出和儲蓄的總和，即居民可用于自由支配的收入．如圖為我國2013年至2019年全國恩格爾系數(shù)和居民人均可支配收入的折線圖．

給出三個結(jié)論：
①恩格爾系數(shù)與居民人均可支配收入之間存在負(fù)相關(guān)關(guān)系；
②一個國家的恩格爾系數(shù)越小，說明這個國家越富裕；
③一個家庭收入越少，則家庭收入中用來購買食品的支出所占的比重就越?。?br /> 其中正確的是（　?。?br /> A．① B．② C．①② D．②③
解：由折線圖可知，恩格爾系數(shù)在逐年下降，
居民人均可支配收入在逐年增加，
故兩者之間存在負(fù)相關(guān)關(guān)系，恩格爾系數(shù)越小，
居民人均可支配收入越多，經(jīng)濟越富裕，故選項①②正確．
故選：C．
8．如圖所示，已知拋物線y2＝2px（p＞0）的焦點為F，點A（x0，3）是拋物線上一點，過A作拋物線準(zhǔn)線的垂線，垂足為H，HF交拋物線于點B，且＝2，則p＝（　?。?br />
A．2 B． C． D．1
解：拋物線y2＝2px（p＞0）的焦點為F，點A（x0，3）是拋物線上一點，
過A作拋物線準(zhǔn)線的垂線，垂足為H，HF交拋物線于點B，
設(shè)B（x，y），H（﹣，3），F(xiàn)（，0），
因為＝2，所以（x+，y﹣3）＝2（，﹣y），解得x＝，y＝1，
所以1＝2p?，所以p＝，
故選：B．
9．古希臘畢達哥拉斯學(xué)派認(rèn)為數(shù)是萬物的本源，因此極為重視數(shù)的理論研究，他們常把數(shù)描繪成沙灘上的沙?；蛐∈?，并將它們排列成各種形狀進行研究．形數(shù)就是指平面上各種規(guī)則點陣所對應(yīng)的點數(shù)，是畢哥拉斯學(xué)派最早研究的重要內(nèi)容之一．如圖是三角形數(shù)和四邊形數(shù)的前四個數(shù)，若三角形數(shù)組成數(shù)列{an}，四邊形數(shù)組成數(shù)列{bn}，記cn＝，則數(shù)列{cn}的前10項和為（　　）

A． B． C． D．
解：由題意可得，，，
所以，
設(shè)數(shù)列{cn}的前n項和為Sn，
所以，
所以．
故選：D．
10．如圖所示，在棱長為2的正方體ABCD﹣A1B1C1D1中，點E，F(xiàn)，G，H，I，J分別是棱A1B1，A1D1，DD1，CD，BC，BB1的中點，現(xiàn)在截面EFGHIJ內(nèi)隨機取一點M，則此點滿足|AM|+|MC1|≤4的概率為（　?。?br />
A． B． C． D．
解：連接AC1交平面EFGHIJ于O，則O為AC1和GJ的交點，
由正方體的性質(zhì)可得AC1⊥平面EFGHIJ，∴AC1⊥OM，
設(shè)|OM|＝x，∵AO＝OC1＝，
∴＝，即x≤1，
∴滿足|AM|+|MC1|≤4的點M的軌跡所圍成的面積為π，
又截面EFGHIJ的面積為，
故所求概率P＝．
故選：D．

11．已知雙曲線＝1（a＞0，b＞0）的左、右焦點分別為F1，F(xiàn)2，過點F1且斜率為的直線l與雙曲線的右支交于點A，且△AF2F1是以AF2為底邊的等腰三角形，則該雙曲線的離心率為（　?。?br /> A．2 B．2 C．2 D．2
解：由題意知，|F1F2|＝|AF1|＝2c，
∵直線l的斜率為，即tan∠AF1F2＝，∴cos∠AF1F2＝，
在△AF1F2中，由余弦定理知，＝+﹣2|AF1|?|F1F2|?cos∠AF1F2＝4c2+4c2﹣2?2c?2c?＝2c2，
∴|AF2|＝c，

由雙曲線的定義知，|AF1|﹣|AF2|＝2c﹣c＝2a，
∴離心率e＝＝＝2+．
故選：A．
12．若對任意x∈（0，+∞），不等式aeax﹣lnx＞0恒成立，則實數(shù)a的取值范圍為（　?。?br /> A．（﹣，e） B．（，+∞） C．（，e） D．（e，+∞）
解：令x＝1，則aex＞0，∴a＞0．
不等式aeax﹣lnx＞0恒成立?axeax＞xlnx，
①當(dāng)x∈（0，1）時，lnx＜0，axeax＞xlnx恒成立；
②當(dāng)x∈（1，+∞）時，令g（x）＝xlnx，（x≥1）
g′（x）＝1+lnx＞0，g（x）在[1，+∞）單調(diào)遞增，
即eaxlneax＞xlnx等價于g（eax）＞g（x），
?eax＞x在[1，+∞）恒成立．
即ax＞lnx，a在[1，+∞）恒成立．
令h（x）＝（x≥1），則h＝0，可得x＝e．
∴h（x）在（1，e）遞增，在（e，+∞）遞減，
∴h（x）max＝h（e）＝，∴a，
∴a的取值范圍為．
故選：B．
二、填空題：本大題共4小題，每小題5分，共20分．
13．函數(shù)f（x）＝lnx﹣x2的單調(diào)遞增區(qū)間為?。?，]?。?br /> 解：函數(shù)的定義域為（0，+∞），
則函數(shù)的導(dǎo)數(shù)f′（x）＝＝，
由f′（x）＞0得1﹣2x2＞0，即x2＜，
解得0＜x＜，
即函數(shù)的單調(diào)遞增區(qū)間為（0，]，
故答案為：（0，]
14．已知一個球的半徑與一個等邊圓柱（過軸的截面是正方形）的底面半徑相等，則該圓柱的表面積與球的表面積的比值是　　．
解：由題意可得：等邊圓柱（底面直徑和高相等的圓柱）的底面半徑與球的半徑相等，設(shè)為1，
所以等邊圓柱的表面積為：6π，
球的表面積為：4π．
所以等邊圓柱的表面積與球的表面積之比為 3：2．
故答案為：．
15．《孫子算經(jīng)》是中國古代重要的數(shù)學(xué)著作，具有重大意義的是卷下第26題：“今有物不知其數(shù)，三三數(shù)之剩二，五五數(shù)之剩三，七七數(shù)之剩二，問物幾何？”是中國最早一元線性同余方程組問題，如圖為由該算法演變而來的一個程序框圖，則程序運行后輸出的結(jié)果是　6?。?br />
解：模擬程序的運行，可得
n＝3，i＝1
n＝7，i＝2
不滿足判斷框條件，n＝11，i＝3
不滿足判斷框條件，n＝15，i＝4
不滿足判斷框條件，n＝19，i＝5
不滿足判斷框條件，n＝23，i＝6
滿足判斷框條件，故輸出的i的值為6．
故答案為：6．
16．費馬點是指位于三角形內(nèi)且到三角形三個頂點距離之和最小的點．當(dāng)三角形三個內(nèi)角都小于時，費馬點與三角形三個頂點的連線構(gòu)成的三個角都為．已知點P為△ABC的費馬點，角A，B，C的對邊分別為a，b，c，若cosA＝2sin（C﹣）cosB，且b2＝（a﹣c）2+6，則PA?PB+PB?PC+PA?PC的值為　6　．
解：∵cosA＝2sin（C﹣）cosB，
∴cosA＝2（sinC﹣cosC）cosB，即cosA＝sinCcosB﹣cosCcosB，
∵A+B+C＝π，
∴cosA＝﹣cos（B+C）＝﹣cosBcosC+sinBsinC，
∴﹣cosBcosC+sinBsinC＝sinCcosB﹣cosCcosB，即sinBsinC＝sinCcosB，
∵sinC≠0，∴tanB＝＝，
∵B∈（0，π），∴B＝，
由余弦定理知，cosB＝＝，
∵b2＝（a﹣c）2+6，
∴ac＝6，
∴S△ABC＝PA?PBsin+PB?PCsin+PA?PCsin＝acsinB＝×6×sin＝，
∴PA?PB+PB?PC+PA?PC＝6．
故答案為：6．
三、解答題：本大題共5小題，共70分．解答應(yīng)寫出文字說明，證明過程或演算步驟．
17．已知數(shù)列{an} 的前n項和為S，且滿足2Sn＝3an﹣1（n∈N*）．
（1）求數(shù)列{an} 的通項公式；
（2）求數(shù)列{（2n﹣1）an}的前n項和Tn．
解：（1）2Sn＝3an﹣1（n∈N*），即Sn＝an﹣，
可得n＝1時，a1＝S1＝a1﹣，可得a1＝1，
n≥2時，an＝Sn﹣Sn﹣1＝an﹣﹣an﹣1+，
化為an＝3an﹣1，
即{an}是首項為1，公比為3的等比數(shù)列，
則an＝3n﹣1，n∈N*；
（2）（2n﹣1）an＝（2n﹣1）?3n﹣1，
則前n項和Tn＝1?1+3?3+5?9+…+（2n﹣1）?3n﹣1，
3Tn＝1?3+3?9+5?27+…+（2n﹣1）?3n，
兩式相減可得﹣2Tn＝1+2（3+9+…+3n﹣1）﹣（2n﹣1）?3n
＝1+2?﹣（2n﹣1）?3n，
化簡可得Tn＝1+（n﹣1）?3n．
18．2021年春節(jié)，由賈玲導(dǎo)演的春節(jié)檔電影《你好，李煥英》總票房已突破50億元，影片的感人情節(jié)引起同學(xué)們廣泛熱議．開學(xué)后，某校團委在高三年級中（其中男生200名，女生150名），對是否觀看該影片進行了問卷調(diào)查，各班男生觀看人數(shù)統(tǒng)計記為A組，各班女生觀看人數(shù)統(tǒng)計記為B組，得到如圖的莖葉圖．已知全年級恰有3個班級觀看該影片的人數(shù)超過40．
（Ⅰ）根據(jù)莖葉圖繪制2×2列聯(lián)表，并判斷是否有97.5%的把握認(rèn)為觀看該影片與性別有關(guān)？
（Ⅱ）若先從A組人數(shù)超過20的數(shù)據(jù)中隨機抽取一個數(shù)據(jù)，再從B組人數(shù)少于20的數(shù)據(jù)中隨機抽取一個數(shù)據(jù)，求抽到的這兩個數(shù)據(jù)來自同一個班的概率．
參考數(shù)據(jù)及公式如下：
P（K2≥k）
0.1
0.05
0.025
0.01
0.005
0.001
k
2.706
3.841
5.024
6.635
7.879
10.828
K2＝，n＝a+b+c+d．

解：（Ⅰ）根據(jù)莖葉圖繪制2×2列聯(lián)表如下，

觀看
沒觀看
合計
男生
140
60
200
女生
120
30
150
合計
260
90
350
計算K2＝≈40487＜5.024，
所以沒有97.5%的把握認(rèn)為觀看該影片與性別有關(guān)．
（Ⅱ）因為全年級恰有3個班級觀看該影片的人數(shù)超過40，
所以這三個班的男女生人數(shù)依次是：
男22女23，男24女17，男25女18或男22女23，男24女18，男25女17；
若先從A組人數(shù)超過20的數(shù)據(jù)中隨機抽取一個數(shù)據(jù)，再從B組人數(shù)少于20的數(shù)據(jù)中隨機抽取一個數(shù)據(jù)，
可能情況有3×9＝27（種），其中滿足抽到的這兩個數(shù)據(jù)來自同一個班的情況有2種，
所以所求的概率為P＝．
19．如圖所示，在四棱錐P﹣ABCD中，PD⊥底面ABCD，四邊形ABCD為矩形，CD＝2，PD＝AD＝，E為DC的中點．
（Ⅰ）求證：AE⊥平面PBD；
（Ⅱ）求點A到平面PBE的距離．

【解答】（Ⅰ）證明：因為四邊形ABCD為矩形，所以∠ADE＝∠DAB＝90°，
所以tan∠EAD＝tan∠ABD＝，所以∠EAD＝∠ABD，
又∠ADB+∠ABD＝90°，所以∠EAD+∠ADB＝90°，
所以AE⊥BD，又因為PD⊥平面ABCD，AE?平面ABCD，所以PD⊥AE，
又BD∩PD＝D，BD，PD?平面PBD，所以AE⊥平面PBD；
（Ⅱ）由（Ⅰ）可知，點P到平面ABE的距離為，
又，
所以，
由題意可知，，
，
，
由（Ⅰ）可知，PD⊥BD，所以，
所以△EPB為等腰三角形，
取PB的中點O，則EO⊥PB，，
所以，
所以點A到平面PBE的距離＝．

20．在平面直角坐標(biāo)系xOy中，已知橢圓C：＝1（a＞b＞0）的左、右焦點分別為F1，F(xiàn)2，M為橢圓C上一點，線段MF1與圓x2+y2＝1相切于該線段的中點，且△MF1F2的面積為2．
（Ⅰ）求橢圓C的方程
（Ⅱ）過點F2的直線l與橢圓C交于A，B兩點，且∠AOB＝90°，求△AOB的面積．
解：（Ⅰ）設(shè)線段MF1的中點為N，則|ON|＝1，又ON是三角形MF1F2的中位線，
所以|MF2|＝2，MF1⊥MF2，
由橢圓的定義可知|MF1|＝2a﹣2，因為三角形MF1F2的面積為S＝，
所以a＝2，又因為|F＝，所以c＝，
則b＝，所以橢圓的方程為；
（Ⅱ）當(dāng)直線l的斜率為0時，此時∠AOB＝180°，不合題意，
當(dāng)直線l的不為0時，設(shè)直線l的方程為x＝my+，A（x1，y1），B（x2，y2），
聯(lián)立方程，消去x整理可得：（m2+2）y，
所以y，
所以x＝m＝，
因為∠AOB＝90°，所以O(shè)A⊥OB，則x1x2+y1y2＝0，
即，所以m，
所以S＝＝
＝2＝2．
21．已知函數(shù)f（x）＝ex+ax，g（x）＝f（x）﹣f（﹣x）（a∈R）．
（Ⅰ）若直線y＝kx與曲線f（x）相切，求k﹣a的值；
（Ⅱ）若g（x）存在兩個極值點x1，x2，且＞﹣，求a的取值范圍．
解：（I）設(shè)切點為（x0，y0），f′（x）＝ex+a，
∵直線y＝kx與曲線f（x）相切，
∴+a＝k，+ax0＝kx0，
∴（x0﹣1）（a﹣k）＝0，
解得x0＝1，a＝k（不成立，舍去），
∴k﹣a＝e．
（II）g（x）＝ex﹣e﹣x+2ax，g′（x）＝ex+e﹣x+2a，
①當(dāng)a≥﹣1時，g′（x）≥2+2a≥0，
∴g（x）在R上單調(diào)遞增，函數(shù)g（x）無極值，不符合題意，舍去．
②當(dāng)a＜﹣1時，g′（x）＝ex+e﹣x+2a＝0，
不妨設(shè)x1＜x2，解得：x1＝ln（﹣a﹣），x2＝ln（﹣a+），
可得函數(shù)g（x）在（﹣∞，x1）單調(diào)遞增，在（x1，x2）單調(diào)遞減，在（x2，+∞）單調(diào)遞增，符合題意．
∵g（﹣x）＝﹣g（x），∴g（x）為R上的奇函數(shù)，
∴x1＝﹣x2＜0，g（x1）＝g（﹣x2）＞0，
∴＝＝+2a＝[（﹣）﹣（+）]＞﹣，x2＞0．
∴（﹣）﹣（+﹣）x2＞0．
令h（x）＝ex﹣e﹣x﹣（ex+e﹣x﹣）x，x＞0，
則h′（x）＝﹣x（ex﹣e﹣x），∴h″（x）＝﹣[（ex+e﹣x）x+（ex﹣e﹣x）]，
∵x＞0，∴（ex+e﹣x）x＞0，ex﹣e﹣x＞0，
∴h″（x）＜0，
∴h′（x）在（0，+∞）單調(diào)遞減，
又h′（0）＝＞0，h′（1）＝﹣e＜0，x0∈（0，1），使得h′（x0）＝0，
當(dāng)x∈（0，x0）時，h′（x）＞0；當(dāng)x∈（x0，+∞）時，h′（x）＜0．
∴h（x）在（0，x0）單調(diào)遞增，在（x0，+∞）上單調(diào)遞減．
又h（0）＝0，h（1）＝0，故由h（x）＞0，可得0＜x＜1，即0＜x2＜1，
∴﹣2a＝+，（1＞x2＞0），
∴2＜﹣2a＜e+e﹣1，∴﹣＜a＜﹣1．
綜上所述：a的取值范圍是（﹣，﹣1）．
請考生在第22-23題中任選一題作答，如果多做，則按所做的第一題計分．[選修4-4：坐標(biāo)系與參數(shù)方程]
22．在極坐標(biāo)系Ox中，射線l的極坐標(biāo)方程為θ＝（ρ≥0），曲線C的極坐標(biāo)方程為ρ2﹣4ρsinθ＝r2﹣4（r＞0），且射線l與曲線C有異于點O的兩個交點P，Q．
（Ⅰ）求r的取值范圍；
（Ⅱ）求+的取值范圍．
解：（Ⅰ）射線l的極坐標(biāo)方程為θ＝（ρ≥0），轉(zhuǎn)換為直角坐標(biāo)方程為（x≥0）．
曲線C的極坐標(biāo)方程為ρ2﹣4ρsinθ＝r2﹣4（r＞0），根據(jù)，轉(zhuǎn)換為直角坐標(biāo)方程為x2+（y﹣2）2＝r2．
且射線l與曲線C有異于點O的兩個交點P，Q．
所以圓心（0，2）到直線y＝的距離d＝，
所以1＜r＜2．
（Ⅱ）把為θ＝，代入ρ2﹣4ρsinθ＝r2﹣4，
得到，
所以，，
由于r∈（1，2），
所以4﹣r2∈（0，3）
所以+＝．
[選修4-5：不等式選講]
23．已知函數(shù)f（x）＝|x+2|﹣|ax﹣2|（a∈R）．
（Ⅰ）當(dāng)a＝2時，解不等式f（x）≥1；
（Ⅱ）當(dāng)x∈[﹣2，2]時，求證：f（x）+f（﹣x）≤0．
解：（Ⅰ）當(dāng)a＝2時，f（x）≥1即|x+2|﹣|2x﹣2|≥1等價為或或，
解得x∈?或≤x＜1或1≤x≤3，
所以原不等式的解集為[，3]；
（Ⅱ）證明：當(dāng)x∈[﹣2，2]時，f（x）＝|x+2|﹣|ax﹣2|＝x+2﹣|ax﹣2|，
f（﹣x）＝2﹣x﹣|ax+2|，f（x）+f（﹣x）＝4﹣（|ax﹣2|+|ax+2|），
因為|ax﹣2|+|ax+2|≥|ax﹣2﹣（ax+2）|＝4，當(dāng)（ax﹣2）（ax+2）≤0時，取得等號，
所以4﹣（|ax﹣2|+|ax+2|）≤0，
即f（x）+f（﹣x）≤0．


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