2023年內蒙古包頭市昆都侖區(qū)三校聯(lián)考中考數(shù)學模擬試卷（3月份）一、選擇題（本大題共12小題，共36.0分。在每小題列出的選項中，選出符合題目的一項）1.  在實數(shù)，，，中，最小的數(shù)是(    )A.  B.  C.  D. 2.  在迎來中國共產黨成立一百周年的重要時刻，我國脫貧攻堅戰(zhàn)取得了全面勝利，現(xiàn)行標準下約農村貧困人口全部脫貧．將用科學記數(shù)法表示為(    )A.  B.  C.  D. 3.  下列立體圖形中，它的三視圖都相同的是(    )A.  B.  C.  D. 4.  若與是同類項，則的值為(    )A.  B.  C.  D. 5.  函數(shù)中自變量的取值范圍在數(shù)軸上表示正確的是(    )A.  B.
C.  D. 6.  關于的方程有兩個實數(shù)根，則的取值范圍是(    )A.  B.  C. 且 D. 7.  某市月份日平均氣溫統(tǒng)計如圖所示，則在日平均氣溫這組數(shù)據(jù)中，眾數(shù)和中位數(shù)分別是(    )
 A. ， B. ， C. ， D. ，8.  如圖，平行線、被直線所截，過點作于點，已知，則(    )
 A.  B.  C.  D. 9.  如圖，將圖中的菱形紙片沿對角線剪成個直角三角形，拼成如圖的四邊形相鄰紙片之間不重疊，無縫隙若四邊形的面積為，中間空白處的四邊形的面積為，直角三角形的兩條直角邊分別為和，則(    )
 
 
 A.  B.  C.  D. 10.  如圖，在平行四邊形中，的平分線交于點，交于點，交的延長線于點，若，則的值為(    )A.
B.
C.
D. 11.  下列命題中，真命題的個數(shù)有(    )
如果不等式的解集為，那么
已知二次函數(shù)，當時，隨的增大而減小
順次連接對角線相等的四邊形的四邊中點所形成的圖形是菱形
各邊對應成比例的兩個多邊形相似A. 個 B. 個 C. 個 D. 個12.  已知二次函數(shù)，當時，的最小值為，則的值為(    )A. 或 B. 或 C. 或 D. 或二、填空題（本大題共7小題，共21.0分）13.  因式分解：______．14.  在一個不透明的布袋里裝有個紅球和個白球，它們除顏色外其余都相同，若先摸出個球，記下顏色后不放回，再摸出個球，則兩次摸出的球恰好一紅一白的概率是______．15.  不等式組的最小整數(shù)解為______ ．16.  如圖，已知的直徑垂直于弦，垂足為點，，，則的長為______ ．
 17.  若關于的方程的解是正數(shù)，則的取值范圍為______ ．18.  如圖，直線是矩形的一條對稱軸，點在邊上，將沿折疊，點恰好落在與的交點處，若，則的長為______ ．
 19.  如圖，矩形與反比例函數(shù)是非零常數(shù)，的圖象交于點，，與反比例函數(shù)是非零常數(shù)，的圖象交于點，連接，若四邊形的面積為，則 ______ ．
 三、解答題（本大題共6小題，共63.0分。解答應寫出文字說明，證明過程或演算步驟）20.  本小題分
中國共產黨的助手和后備軍中國共青團，擔負著為中國特色社會主義事業(yè)培養(yǎng)合格建設者和可靠接班人的根本任務成立一百周年之際，各中學持續(xù)開展了：青年大學習；：青年學黨史；：中國夢宣傳教育；：社會主義核心價值觀培育踐行等一系列活動，學生可以任選一項參加為了解學生參與情況，進行了一次抽樣調查，根據(jù)收集的數(shù)據(jù)繪制了兩幅不完整的統(tǒng)計圖請根據(jù)圖中提供的信息，解答下列問題：
在這次調查中，一共抽取了______ 名學生；
補全條形統(tǒng)計圖：
若該校共有學生名，請估計參加項活動的學生數(shù)；
小杰和小慧參加了上述活動，請用列表或畫樹狀圖的方法，求他們參加同一項活動的概率．
 21.  本小題分
亞洲第一、中國唯一的航空貨運樞紐鄂州花湖機場，于年月日完成首次全貨運試飛，很多市民共同見證了這一歷史時刻．如圖，市民甲在處看見飛機的仰角為，同時另一市民乙在斜坡上的處看見飛機的仰角為若斜坡的坡比：，鉛垂高度米點、、、在同一水平線上求：
兩位市民甲、乙之間的距離；
此時飛機的高度結果保留根號
22.  本小題分
年春，新冠病毒奧密克戎變異毒株在我國多個地區(qū)傳播，市場上防疫消毒用品需求量激增．某防疫消毒用品商店有兩款免洗消毒洗手液銷售，這兩款洗手液進價和售價如下表： 款款進價元箱售價元箱該店某次用元購進這兩款洗手液共箱，求兩款洗手液各購進多少箱？
該店計劃再次購進這兩款洗手液共箱，要使這批購進的洗手液售出后利潤不低于元，則進貨款最低需要花費多少元？23.  本小題分
如圖，是的外接圓，為的直徑，點為上一點，交的延長線于點，與交于點，連接，若．
求證：是的切線．
若，，求的半徑．
24.  本小題分
如圖，在矩形中，，，點、分別在、上，且，點為的中點，連接交于點．
當為的中點時，求證：；
若，求的值；
若，求的值．
25.  本小題分
如圖，拋物線經過，兩點，與軸的另一個交點為，與軸相交于點．
求拋物線的解析式和點的坐標；
若點在直線上方的拋物線上運動與點，不重合，求使面積最大時點的坐標，并求最大面積；請在圖中探索
設點在軸上，點在拋物線上，要使以點，，，為頂點的四邊形是平行四邊形，求所有滿足條件的點的坐標．請在圖中探索

答案和解析 1.【答案】 【解析】解：，
，
最小的數(shù)是，
故選：．
根據(jù)實數(shù)的大小比較法則比較即可．
本題考查了實數(shù)的大小比較，能熟記實數(shù)的大小比較法則是解此題的關鍵．
 2.【答案】 【解析】解：．
故選：．
科學記數(shù)法的表示形式為的形式，其中，為整數(shù)．確定的值時，要看把原數(shù)變成時，小數(shù)點移動了多少位，的絕對值與小數(shù)點移動的位數(shù)相同．當原數(shù)絕對值時，是正整數(shù)，當原數(shù)絕對值時，是負整數(shù)．
此題考查科學記數(shù)法的表示方法．科學記數(shù)法的表示形式為的形式，其中，為整數(shù)，表示時關鍵要正確確定的值以及的值．
 3.【答案】 【解析】解：球的三視圖都是大小相同的圓，因此選項A符合題意；
圓錐的主視圖、左視圖都是等腰三角形，俯視圖是圓，因此選項B不符合題意；
三棱柱主視圖、左視圖是長方形，俯視圖為三角形，因此選項C不符合題意；
圓柱的主視圖、左視圖是長方形，俯視圖為圓，因此選項D不符合題意；
故選：．
根據(jù)球體、圓錐體、圓柱體、三棱柱的三視圖進行判斷即可．
本題考查簡單幾何體的三視圖，理解視圖的意義是正確判斷的前提．
 4.【答案】 【解析】解：由同類項的概念可知：，，
解得：，，
，
故選：．
根據(jù)同類項的定義，得到關于、的等式，然后求出、的值并計算即可得到答案．
此題考查的是同類項，所含字母相同，并且相同字母的指數(shù)也相同，這樣的項叫做同類項．
 5.【答案】 【解析】【分析】
此題考查了在數(shù)軸上表示不等式的解集，以及函數(shù)自變量的取值范圍，熟練掌握平方根定義是解本題的關鍵．
根據(jù)負數(shù)沒有平方根求出的范圍，表示在數(shù)軸上即可．
【解答】
解：由函數(shù)，得到，
解得：，
表示在數(shù)軸上，如圖所示：

故選：．  6.【答案】 【解析】解：由題意知，且．
解得且．
故選：．
根據(jù)一元二次方程的定義以及根的判別式的意義得出且，建立關于的不等式組，求出的取值范圍．
本題考查了一元二次方程根的判別式，當，方程有兩個不相等的實數(shù)根；當，方程有兩個相等的實數(shù)根；當，方程沒有實數(shù)根．
 7.【答案】 【解析】【分析】
本題考查了眾數(shù)的定義：一組數(shù)據(jù)中出現(xiàn)次數(shù)最多的數(shù)據(jù)叫做眾數(shù)．也考查了條形統(tǒng)計圖和中位數(shù)．
根據(jù)條形統(tǒng)計圖得到各數(shù)據(jù)出現(xiàn)的天數(shù)，然后根據(jù)眾數(shù)和中位數(shù)的定義求解．

【解答】
解：這組數(shù)據(jù)中，出現(xiàn)了次，出現(xiàn)次數(shù)最多，所以眾數(shù)為，
第個數(shù)和第個數(shù)都是，所以中位數(shù)是．
故選：．  8.【答案】 【解析】【分析】
延長，交于，根據(jù)對頂角相等得到，再依據(jù)平行線的性質得到，最后結合直角三角形的性質得結果．
本題考查了對頂角、平行線的性質等知識點，延長構造內錯角是解決本題的關鍵．
【解答】延長，交于，

，
，
，
，
，
，


．
故選：．  9.【答案】 【解析】【分析】
本題考查了菱形的性質，完全平方公式，掌握菱形的性質是解題的關鍵．
由菱形的性質可得四邊形是正方形，利用勾股定理可得，中間空白處的四邊形也是正方形，可得，求出數(shù)值即可求解．
【解答】
解：四邊形的面積為，
，
中間空白處的四邊形的面積為，
，即
解得，
，
故選D．  10.【答案】 【解析】解：由，可設，則，，
四邊形是平行四邊形，
，，，
，，
平分，
，
，
，，
，
，
∽，
．
故選：．
設，則，，先根據(jù)平行四邊形的性質得到，，，再證明得到，，所以，接著利用得到∽，然后根據(jù)利用相似比得到的值．
本題考查了相似三角形的判定與性質：在判定兩個三角形相似時，應注意利用圖形中已有的公共角、公共邊等隱含條件，以充分發(fā)揮基本圖形的作用；靈活運用相似三角形的性質計算相應線段的長或表示線段之間的關系是解決問題的關鍵．也考查了平行四邊形的性質．
 11.【答案】 【解析】解：如果不等式的解集為，則，
，故本小題說法是真命題；
已知二次函數(shù)，當時，隨的增大而減小，本小題說法是真命題；
順次連接對角線相等的四邊形的四邊中點所形成的圖形是菱形，本小題說法是真命題；
各邊對應成比例、對應角相等的兩個多邊形相似，故本小題說法是假命題；
故選：．
根據(jù)不等式的性質、二次函數(shù)的性質、菱形的判定定理、相似多邊形的判定定理判斷即可．
本題考查的是命題的真假判斷，正確的命題叫真命題，錯誤的命題叫做假命題．判斷命題的真假關鍵是要熟悉課本中的性質定理．
 12.【答案】 【解析】解：的對稱軸為直線，
頂點坐標為，
當時，在，函數(shù)有最小值，
的最小值為，
，
；
當時，在，當時，函數(shù)有最小值，
，
解得；
綜上所述：的值為或，
故選：．
分兩種情況討論：當時，，解得；當時，在，，解得．
本題考查二次函數(shù)的圖象及性質，熟練掌握二次函數(shù)的圖象及性質，根據(jù)二次函數(shù)的性質，在指定的范圍內準確求出函數(shù)的最小值是解題的關鍵．
 13.【答案】 【解析】解：．
故答案為：．
首先提取公因式，再利用平方差公式分解因式即可．
此題主要考查了提取公因式法以及公式法分解因式，正確應用乘法公式分解因式是解題關鍵．
 14.【答案】 【解析】解：畫樹狀圖如下：

共有種等可能的結果，其中兩次摸出的球恰好一紅一白的結果有種，
兩次摸出的球恰好一紅一白的概率為，
故答案為：．
畫樹狀圖，共有種等可能的結果，其中兩次摸出的球恰好一紅一白的結果有種，再由概率公式求解即可．
本題考查的是用樹狀圖法求概率，樹狀圖法可以不重復不遺漏的列出所有可能的結果，適合兩步或兩步以上完成的事件．用到的知識點為：概率所求情況數(shù)與總情況數(shù)之比．
 15.【答案】 【解析】解：，
解得，
解得，
不等式組的解集為，
不等式組的最小整數(shù)解為，
故答案為．
先解不等式組，求出解集，再找出最小的整數(shù)解即可．
本題考查了不等式組的解法及整數(shù)解的確定．求不等式組的解集，應遵循以下原則：同大取較大，同小取較小，小大大小中間找，大大小小解不了．
 16.【答案】 【解析】解：連接，

，
，
直徑，
，，
，
，，
，
，
故答案為：．
連接，根據(jù)圓周角定理可得，再利用垂徑定理可得，，從而可得，，進行計算即可解答．
本題考查了圓周角定理，垂徑定理，勾股定理，熟練掌握圓周角定理，以及垂徑定理是解題的關鍵．
 17.【答案】且 【解析】解：原方程左右兩邊同時乘以，得：，
解得：，
原方程的解為正數(shù)且，
，
解得：且，
故答案為：且．
先解分式方程，根據(jù)分式方程的解為正數(shù)和分式方程無意義的情況，即可得出的取值范圍．
本題主要考查解分式方程和一元一次不等式，熟知解分式方程的方法是解題的關鍵．
 18.【答案】 【解析】解：四過形是矩形，
，
直線是矩形的一條對稱軸，
設，與對稱軸分別交于點、，

則，，，
是的中點，
由折疊得，，，
，
，
，
，
，
，
，
，
．
故答案為：．
設，與對稱軸分別交于點、，說明點是的中點，則可得，進而解決問題．
本題主要考查了矩形的性質，翻折變換，含角的直角三角形的性質，確定是解題的關鍵．
 19.【答案】 【解析】解：、的圖象均在第一象限，
，，
點、均在反比例函數(shù)是非零常數(shù)，的圖象上，
，
矩形的頂點在反比例函數(shù)是非零常數(shù)，的圖象上，
，
，
，
，
故答案為：．
根據(jù)矩形的性質以及反比例函數(shù)系數(shù)的幾何意義即可得出結論．
本題考查了矩形的性質，反比例函數(shù)系數(shù)的幾何意義：在反比例函數(shù)圖象中任取一點，過這一個點向軸和軸分別作垂線，與坐標軸圍成的矩形的面積是定值．
 20.【答案】 【解析】解：在這次調查中，一共抽取的學生為：名，
故答案為：；
的人數(shù)為：名，
補全條形統(tǒng)計圖如下：

名，
答：估計參加項活動的學生為名；
畫樹狀圖如下：

共有種等可能的結果，其中小杰和小慧參加同一項活動的結果有種，
小杰和小慧參加同一項活動的概率為．
由的人數(shù)除以所占的比例即可；
求出的人數(shù)，補全條形統(tǒng)計圖即可；
由該校共有學生乘以參加項活動的學生所占的比例即可；
畫樹狀圖，共有種等可能的結果，其中小杰和小慧參加同一項活動的結果有種，再由概率公式求解即可．
本題考查的是用樹狀圖法求概率以及條形統(tǒng)計圖和扇形統(tǒng)計圖．樹狀圖法可以不重復不遺漏的列出所有可能的結果，適合于兩步或兩步以上完成的事件．掌握公式：概率所求情況數(shù)與總情況數(shù)之比是解題的關鍵．
 21.【答案】解：斜坡的坡比：，米，
，
米，
在中，米，
兩位市民甲、乙之間的距離為米；
過點作，垂足為，

則米，，
設米，
在中，，
米，
米，
在中，，
，
，
經檢驗：是原方程的根，
米，
此時飛機的高度為米． 【解析】根據(jù)斜坡的坡比：，可得米，然后在中，利用勾股定理進行計算即可解答；
過點作，垂足為，則米，，設米，在中，利用銳角三角函數(shù)定義求出的長，從而求出，的長，然后在中，利用銳角三角函數(shù)的定義列出關于的方程，進行計算即可解答．
本題考查了解直角三角形的應用仰角俯角問題，坡度坡角問題，根據(jù)題目的已知條件并結合圖形添加適當?shù)妮o助線是解題的關鍵．
 22.【答案】解：設購進款洗手液箱，則購進款洗手液箱，由題意得：
，
解得：，
答：購進款洗手液箱，購進款洗手液箱；
設購進款洗手液箱，則購進款洗手液箱，進貨款為元，
則，
由題意得：，
解得：，
，
，
隨的增大而增大，
當時，有最小值，最小值為，
答：進貨款最低需要花費元． 【解析】設購進款洗手液箱，則購進款洗手液箱，根據(jù)題意列出二元一次方程組，解方程組即可；
設購進款洗手液箱，則購進款洗手液箱，進貨款為元，根據(jù)總花費等于兩款洗衣液費用之和列出函數(shù)解析式，再根據(jù)箱洗手液售出后利潤不低于元列出一元一次不等式求出的取值范圍，再根據(jù)函數(shù)的性質求最值即可．
本題主要考查一次函數(shù)、二元一次方程組、一元一次不等式的應用，關鍵是根據(jù)數(shù)量關系列出一次函數(shù)解析式和二元一次方程組．
 23.【答案】證明：連接，
，，
，
，
，
，
，
，
即，
是直徑，
，
，
，
是的半徑，
是的切線．
解：，
∽，
，，
設的半徑為，
，，，
，
，
解得：，
的半徑為． 【解析】根據(jù)切線的判定定理，圓周角定理解答即可；
根據(jù)相似三角形的判定定理和性質定理解答即可．
本題主要考查了切線的判定和性質，解直角三角形，熟練掌握相關的定理是解答本題的關鍵．
 24.【答案】證明：為的中點，
，
四邊形是矩形，
，
，
在和中

≌，
，
點為的中點，
，
，
，
；
解：，，
∽，
，
，
，
，
，
，
，
，
，
，
∽，
，
，
，
，
；
解：，
，
，
，
，
，
，
，
，
，
由同理得，，
，
解得，
，
． 【解析】根據(jù)矩形的性質，利用證明≌，得，再利用點為的中點，即可證明結論；
利用∽，得，從而求出的長，再利用∽，得，求出的長，可得答案；
首先利用同角的余角相等得，則，得，可得的長，由同理可得答案．
本題是相似形綜合題，主要考查了矩形的性質，全等三角形的判定與性質，相似三角形的判定與性質，三角函數(shù)等知識，求出的長是解決和的關鍵．
 25.【答案】解：將，代入，
，
解得，
，
令，則，
；
作直線，過點作軸交于點，
設直線的解析式為，
，
解得，

設，則，
，
，
當時，的面積有最大值，
此時；
令，則，
解得或，
，
設，，
當為平行四邊形的對角線時，，
；
當為平行四邊形的對角線時，，
解得，
；
當為平行四邊形的對角線時，，
解得，
；
綜上所述：點坐標為或或 【解析】用待定系數(shù)法求函數(shù)的解析式即可；
作直線，過點作軸交于點，求出直線的解析式，設，則，可得，再求解即可；
設，，分三種情況討論：當為平行四邊形的對角線時；當為平行四邊形的對角線時；當為平行四邊形的對角線時；根據(jù)平行四邊形的對角線互相平分，利用中點坐標公式求解即可．
本題考查二次函數(shù)的圖象及性質，熟練掌握二次函數(shù)的圖象及性質，平行四邊形的性質，分類討論是解題的關鍵．
 

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