?2022-2023學年南京外國語學校高一五月月考試卷
一．選擇題（共8小題，每題5分，工40分）
1．將一個等邊三角形繞它的一條邊所在的直線旋轉一周，所得的幾何體包括（　?。?br /> A．一個圓柱、一個圓錐 B．一個圓臺、一個圓錐
C．兩個圓錐 D．兩個圓柱
2．已知正方體ABCD﹣A1B1C1D1的棱長為1，直線AD1與直線DC1的夾角等于（　?。?br /> A． B． C． D．
3．一個正方體的平面展開圖及該正方體的直觀圖如圖所示，在正方體中，設BC的中點為M，GH的中點為N，下列結論正確的是（　?。?br />
A．MN∥平面ABE B．MN∥平面ADE C．MN∥平面BDH D．MN∥平面CDE
4．已知四邊形ABCD用斜二測畫法畫出的直觀圖為直角梯形A'B'C'D'，如圖所示，A'B'＝1，A'D'＝2，B'C'＝3，A'B'⊥B'C'，A'D'∥B'C'，則四邊形ABCD的周長為（　?。?br />
A． B． C． D．
5．Rt△ABC的兩條直角邊BC＝3，AC＝4，PC⊥平面ABC，PC＝，則點P到斜邊AB的距離是（　?。?br /> A．5 B．3 C．3 D．
6．已知兩個平面相互垂直，下列命題
①一個平面內已知直線必垂直于另一個平面內的無數(shù)條直線
②一個平面內已知直線必垂直于另一個平面內的任意一條直線
③一個平面內任意一條直線必垂直于另一個平面
④過一個平面內任意一點作交線的垂線，則此垂線必垂直于另一個平面
其中不正確命題的個數(shù)（　?。?br /> A．1 B．2 C．3 D．4
7．在二面角α﹣l﹣β中，A∈l，B∈l，AC?α，BD?β，且AC⊥l，BD⊥l，若AB＝1，AC＝BD＝2，CD＝，則二面角α﹣l﹣β的余弦值為（　?。?br />
A． B．﹣ C． D．﹣
8．蹴鞠，又名蹴球，筑球等，蹴有用腳踢、踏的含義，鞠最早系外包皮革、內實含米糠的球．因而蹴鞠就是指古人以腳踢、踏皮球的活動，類似現(xiàn)在的足球運動．2006年5月20日，蹴鞠已作為非物質文化遺產(chǎn)經(jīng)國務院批準列入第一批國家非物質文化遺產(chǎn)名錄．3D打印屬于快速成形技術的一種，它是一種以數(shù)字模型為基礎，運用粉末狀金屬或塑料等可粘合材料，通過逐層堆疊積累的方式來構造物體的技術．過去常在模具制造、工業(yè)設計等領域被用于制造模型，現(xiàn)正用于一些產(chǎn)品的直接制造，特別是一些高價值應用（比如人體的髖關節(jié)、牙齒或飛機零部件等）．已知某蹴鞠的表面上有四個點A．B．C．D，滿足任意兩點間的直線距離為6cm，現(xiàn)在利用3D打印技術制作模型，該模型是由蹴鞠的內部挖去由ABCD組成的幾何體后剩下的部分，打印所用原材料的密度為1g/cm3，不考慮打印損耗，制作該模型所需原材料的質量約為（　　）
【參考數(shù)據(jù)】π≈3.14，，，．
A．101g B．182g C．519g D．731g
二．多選題（共4小題，每題5分，共20分）
9．設l為直線，α，β是兩個不同的平面，下列命題中錯誤的是（　?。?br /> A．若l∥α，l∥β，則α∥β B．若l⊥α，l⊥β，則α∥β
C．若l⊥α，l∥β，則α∥β D．若α⊥β，l∥α，則l⊥β
10．如圖，點A，B，C，P，Q是正方體的頂點或所在棱的中點，則滿足PQ∥平面ABC的有（　　）
A． B．
C． D．
11．如圖，在四棱錐P﹣ABCD中，底面ABCD是正方形，PA⊥平面ABCD，PA＝AB，點E為PA的中點，則下列判斷正確的是（　?。?br />
A．PB與CD所成的角為60° B．BD⊥平面PAC
C．PC∥平面BDE D．VB﹣CDE：VP﹣ABCD＝1：4
12．如圖圓柱內有一個內切球，這個球的直徑恰好與圓柱的高相等，O1，O2為圓柱上下底面的圓心，O為球心，EF為底面圓O1的一條直徑，若球的半徑r＝2，則下列各選項正確的是（　?。?br />
A．球與圓柱的體積之比為2：3
B．四面體CDEF的體積的取值范圍為
C．平面DEF截得球的截面面積最小值為
D．若P為球面和圓柱側面的交線上一點，則PE+PF的取值范圍為
三．填空題（共4小題，每題5分，共20分）
13．用半徑為2的半圓面圍成一個圓錐，則該圓錐的體積為 　 ?。?br /> 14．如圖，在棱長為2的正方體ABCD﹣A1B1C1D1中，E為BC的中點，點P在底面ABCD上移動，且滿足B1P⊥D1E，則線段B1P的長度的最大值為　 　．

15．祖暅（公元5﹣6世紀），祖沖之之子，是我國齊梁時代的數(shù)學家．他提出了一條原理：“冪勢既同，則積不容異”．這句話的意思是：兩個等高的幾何體若在所有等高處的水平截面的面積相等，則這兩個幾何體的體積相等；該原理在西方直到十七世紀才由意大利數(shù)學家卡瓦列利發(fā)現(xiàn)，比祖暅晚一千一百多年．橢球體是橢圓繞其軸旋轉所成的旋轉體．如圖將底面直徑皆為2b，高皆為a的橢半球體及已被挖去了圓錐體的圓柱體放置于同一平面β上，以平行于平面β的平面于距平面β任意高d處可橫截得到S圓及S環(huán)兩截面，可以證明S圓＝S環(huán)總成立．據(jù)此，b為6cm，a為8cm的橢球體的體積是 　 　cm3．

16．在直三棱柱ABC﹣A1B1C1中，∠ABC＝90°，AA1＝，設其外接球的球心為O，已知三棱錐O﹣ABC的體積為，則球O表面積的最小值為 　 ?。?br /> 四．解答題（共6小題，共70分）
17．如圖，AB是圓柱OO'的一條母線，BC過底面圓心O，D是圓O上一點．已知AB＝BC＝5，CD＝3．
（1）求該圓柱的表面積；
（2）將四面體ABCD繞母線AB所在的直線旋轉一周，求△ACD的三邊在旋轉過程中所圍成的幾何體的體積．

18．已知平面α∩β＝l，直線a∥α，且a∥β，求證：a∥l．
19．如圖①，在棱長為2的正方體ABCD﹣A1B1C1D1木塊中，E是CC1的中點．

（1）要經(jīng)過點A將該木塊鋸開，使截面平行于平面BD1E，在該木塊的表面應該怎樣畫線？請在圖①中作圖，寫出畫法，并證明．
（2）求四棱錐E﹣ABC1D1的體積；
20．如圖，在正三棱柱ABC﹣A1B1C1中，AB＝AA1，D，E，F(xiàn)分別是BC，BB1，AA1的中點．
（Ⅰ）求證：CF∥平面ADE；
（Ⅱ）求證：BC1⊥平面ADE．

21．如圖，矩形ABCD所在平面與半圓弧所在平面垂直，M是上異于C，D的點．
（1）證明：平面AMD⊥平面BMC；
（2）在線段AM上是否存在點P，使得MC∥平面PBD？若不存在，說明理由，若存在請證明你的結論，并說明P的位置．

22．如圖，在梯形ABCD中，AB∥CD，AD＝DC＝CB＝1，∠ABC＝60°，四邊形ACFE為矩形，平面ACFE⊥平面ABCD，CF＝1．
（1）求證：BC⊥平面ACFE；
（2）求二面角A﹣BF﹣C的平面角的余弦值；
（3）若點M在線段EF上運動，設平面MAB與平面FCB所成二面角的平面角為θ（θ≤90°），試求cosθ的取值范圍．


2022-2023學年南京外國語學校高一五月月考試卷
參考答案與試題解析
一．選擇題（共8小題）
1．將一個等邊三角形繞它的一條邊所在的直線旋轉一周，所得的幾何體包括（　?。?br /> A．一個圓柱、一個圓錐 B．一個圓臺、一個圓錐
C．兩個圓錐 D．兩個圓柱
【解答】解：一個等邊三角形繞它的一條邊所在的直線旋轉一周，所得幾何體是兩個底面重合的圓錐．
故選：C．

2．已知正方體ABCD﹣A1B1C1D1的棱長為1，直線AD1與直線DC1的夾角等于（　?。?br /> A． B． C． D．
【解答】解：如圖連接AB1，因為幾何體是長方體，所以DC1∥AB1，
直線AD1與直線DC1的夾角等于直線AD1與直線AB1的夾角，
三角形AB1D1是正三角形，
所以直線AD1與直線DC1的夾角為．
故選：C．

3．一個正方體的平面展開圖及該正方體的直觀圖如圖所示，在正方體中，設BC的中點為M，GH的中點為N，下列結論正確的是（　?。?br />
A．MN∥平面ABE B．MN∥平面ADE C．MN∥平面BDH D．MN∥平面CDE
【解答】解：連結BD，設O為BD的中點，連結OM，OH，AC，BH，MN，
因為M，N是BC，GH的中點，
所以OM∥CD，且OM＝，NH∥CD，且NH＝，
所以OM∥NH且OM＝NH，
則四邊形MNHO是平行四邊形，
所以OM∥NH，又MN?平面BDH，OH?平面BDH，
所以MN∥平面BDH．
故選：C．

4．已知四邊形ABCD用斜二測畫法畫出的直觀圖為直角梯形A'B'C'D'，如圖所示，A'B'＝1，A'D'＝2，B'C'＝3，A'B'⊥B'C'，A'D'∥B'C'，則四邊形ABCD的周長為（　?。?br />
A． B． C． D．
【解答】解：由題意可知，如圖所示，過點D作DH⊥BC，
垂足為H，則四邊形ABCD的高為，，
故四邊形ABCD的周長為．
故選：A．

5．Rt△ABC的兩條直角邊BC＝3，AC＝4，PC⊥平面ABC，PC＝，則點P到斜邊AB的距離是（　?。?br /> A．5 B．3 C．3 D．
【解答】解：∵△ABC的兩條直角邊BC＝3，AC＝4，
∴AB＝＝5，
過C作CM⊥AB，交AB于M，連結PM，
由三垂線定理得PM⊥AB，
∴點P到斜邊AB的距離為線段PM的長，
由S△ABC＝AC?BC＝AB?CM，
得CM＝＝＝，
PM＝＝＝3．
∴點P到斜邊AB的距離為3．
故選：B．

6．已知兩個平面相互垂直，下列命題
①一個平面內已知直線必垂直于另一個平面內的無數(shù)條直線
②一個平面內已知直線必垂直于另一個平面內的任意一條直線
③一個平面內任意一條直線必垂直于另一個平面
④過一個平面內任意一點作交線的垂線，則此垂線必垂直于另一個平面
其中不正確命題的個數(shù)（　?。?br /> A．1 B．2 C．3 D．4
【解答】解：兩個平面相互垂直，
①一個平面內已知直線必垂直于另一個平面內的一條直線，
進而垂直于另一個平面內的無數(shù)條直線，故①正確；
②一個平面內已知直線必垂直于另一個平面內的任意一條直線，不正確，
只有該直線垂直于兩個平面的交線，
由面面垂直的性質定理可得該直線垂直于另一個平面內的任意一條直線，故②不正確；
③一個平面內任意一條直線必垂直于另一個平面，錯誤，
只有該直線垂直于兩個平面的交線，才有該直線垂直于另一個平面，故③錯誤；
④若此點在交線上，那么作出來的線就不一定與另一平面垂直了，故④錯誤．
故選：C．
7．在二面角α﹣l﹣β中，A∈l，B∈l，AC?α，BD?β，且AC⊥l，BD⊥l，若AB＝1，AC＝BD＝2，CD＝，則二面角α﹣l﹣β的余弦值為（　?。?br />
A． B．﹣ C． D．﹣
【解答】解：根據(jù)題意畫出圖形：在平面β內，過A作AE∥BD，過點D作DE∥l，交AE于點E，連接CE．
∵BD⊥l，∴AE⊥l，∴ED⊥平面CAE．
又AC⊥l，∴∠CAE或其補角是二面角α﹣l﹣β的平面角．
由矩形ABDE得EA＝2，ED＝1．
在Rt△CED中，由勾股定理得CE＝＝2．
∴△ACE是等邊三角形，
∴∠CAE＝60°，
∴cos∠CAE＝．
∴二面角α﹣l﹣β的余弦值為
故選：A．

8．蹴鞠，又名蹴球，筑球等，蹴有用腳踢、踏的含義，鞠最早系外包皮革、內實含米糠的球．因而蹴鞠就是指古人以腳踢、踏皮球的活動，類似現(xiàn)在的足球運動．2006年5月20日，蹴鞠已作為非物質文化遺產(chǎn)經(jīng)國務院批準列入第一批國家非物質文化遺產(chǎn)名錄．3D打印屬于快速成形技術的一種，它是一種以數(shù)字模型為基礎，運用粉末狀金屬或塑料等可粘合材料，通過逐層堆疊積累的方式來構造物體的技術．過去常在模具制造、工業(yè)設計等領域被用于制造模型，現(xiàn)正用于一些產(chǎn)品的直接制造，特別是一些高價值應用（比如人體的髖關節(jié)、牙齒或飛機零部件等）．已知某蹴鞠的表面上有四個點A．B．C．D，滿足任意兩點間的直線距離為6cm，現(xiàn)在利用3D打印技術制作模型，該模型是由蹴鞠的內部挖去由ABCD組成的幾何體后剩下的部分，打印所用原材料的密度為1g/cm3，不考慮打印損耗，制作該模型所需原材料的質量約為（　?。?br /> 【參考數(shù)據(jù)】π≈3.14，，，．
A．101g B．182g C．519g D．731g
【解答】解：由題意可知以A，B，C，D為頂點構成正四面體，
設正四面體的棱長為a，
取CD中點E，連結BE，過A作AF⊥BE，交BE于F，
則BE＝＝，BF＝＝，
正四面體的高為AF＝＝，
正四面體的外接球球心O在AF上，設球半徑為R，
則OB＝OA＝R，OF＝，
∵OB2＝BF2+OF2，∴R2＝+（﹣R）2，
解得正四面體的外接球的半徑為R＝a，
則3D打印的體積為V＝＝，
因為a＝6，所以a3＝216，所以V＝27≈207.711﹣25.38≈182，
故選：B．

二．多選題（共4小題）
9．設l為直線，α，β是兩個不同的平面，下列命題中錯誤的是（　?。?br /> A．若l∥α，l∥β，則α∥β B．若l⊥α，l⊥β，則α∥β
C．若l⊥α，l∥β，則α∥β D．若α⊥β，l∥α，則l⊥β
【解答】解：設l為直線，α，β是兩個不同的平面，
對于A，若l∥α，l∥β，則α與β相交或平行，故A錯誤；
對于B，若l⊥α，l⊥β，則由面面平行的判定定理得α∥β，故B正確；
對于C，若l⊥α，l∥β，則α與β相交，故C錯誤；
對于D，若α⊥β，l∥α，則l與β相交、平行或l?β，故D錯誤．
故選：ACD．
10．如圖，點A，B，C，P，Q是正方體的頂點或所在棱的中點，則滿足PQ∥平面ABC的有（　　）
A． B．
C． D．
【解答】解：對于A，由PQ為上底面的面對角線，PQ與下底面過B的面對角線平行，
所以PQ與平面ABC相交，故A錯誤；
對于B，由中位線定理可得PQ∥AC，PQ?平面ABC，AC?平面ABC，可得PQ∥平面ABC，故B錯誤；
對于C，取中點D，連接DB，DQ，CP，可得截面為正六邊形ABDQPC，即有PQ?平面ABC，故C錯誤；

對于D，連接BD，設AB與PD的交點為H，連接CH，由中位線定理可得CH∥PQ，
而PQ?平面ABC，CH?平面ABC，則PQ∥平面ABC，故D正確．

故選：BD．
11．如圖，在四棱錐P﹣ABCD中，底面ABCD是正方形，PA⊥平面ABCD，PA＝AB，點E為PA的中點，則下列判斷正確的是（　?。?br />
A．PB與CD所成的角為60° B．BD⊥平面PAC
C．PC∥平面BDE D．VB﹣CDE：VP﹣ABCD＝1：4
【解答】解：對于A，∵CD∥AB，∴∠PBA（或其補角）為PB與CD所成角，
∵PA⊥平面ABCD，AB?平面ABCD，∴PA⊥AB，
在Rt△PAB中，PA＝AB，∴∠PAB＝45°，
即PB與CD所成角為45°，故A錯誤；
對于B，∵四邊形ABCD為正方形，∴AC⊥BD，
∵PA⊥平面ABCD，BD?平面ABCD，∴PA⊥BD，
∵PA∩AC＝A，PA、AC?平面PAC，∴BD⊥平面PAC，故B正確；
對于C，連結AC，交BD于點F，則F為AC的中點，連結EF，
∵E為PA的中點，∴EF∥PC，而EF?平面BDE，PC?平面BDE，
∵PC∥平面BDE，故C正確；
對于D，設AB＝PA＝x，則?AB?AD?PA＝x3，
VB﹣CDE＝VE﹣BCD＝S△BCD?AE＝?x2?x＝．
∴VB﹣CDE：VP﹣ABCD＝：＝1：4，故D正確．
故選：BCD．

12．如圖圓柱內有一個內切球，這個球的直徑恰好與圓柱的高相等，O1，O2為圓柱上下底面的圓心，O為球心，EF為底面圓O1的一條直徑，若球的半徑r＝2，則下列各選項正確的是（　?。?br />
A．球與圓柱的體積之比為2：3
B．四面體CDEF的體積的取值范圍為
C．平面DEF截得球的截面面積最小值為
D．若P為球面和圓柱側面的交線上一點，則PE+PF的取值范圍為
【解答】解：球的半徑為r＝2，可知圓柱的底面半徑r＝2，圓柱的高為2r＝4，
則球的體積為，圓柱的體積為π×22×4＝16π，
則球與圓柱的體積之比為2：3，故A正確；
由題可知四面體CDEF的體積等于，點E到平面DCO1的距離d∈（0，4]，
又×4×4＝8，∴＝×8d∈（0，]，故B正確；
過O作OG⊥DO1于G，則由題可得OG＝×＝，
設O到平面DEF的距離為d1，平面DEF截得球的截面圓的半徑為r1，
則d1≤OG，≥4﹣，
∴平面DEF截得球的截面面積最小值為，故C錯誤；
由題可知點P在過球心與圓柱的底面平行的截面圓上，設P在底面的射影為P'，
則PP′＝2，PE＝，，P′E2+P′F2＝16，
設t＝P'E2，則t∈[0，42]，
PE+PF＝，可得
＝24+2∈[24+，48]，
∴PE+PF∈2+2，]，故D正確．
故選：ABD．


三．填空題（共4小題）
13．用半徑為2的半圓面圍成一個圓錐，則該圓錐的體積為 　?。?br /> 【解答】解：因為圓錐的母線長為2，設圍成圓錐的底面半徑為r，
則2πr＝2π，解得r＝1，
所以圓錐的高為h＝＝，
所以圓錐的體積為V＝π×12×＝．
故答案為：．
14．如圖，在棱長為2的正方體ABCD﹣A1B1C1D1中，E為BC的中點，點P在底面ABCD上移動，且滿足B1P⊥D1E，則線段B1P的長度的最大值為　3?。?br />
【解答】解：以D為原點，DA為x軸，DC為y軸，DD1為z軸，建立空間直角坐標系，

設P（a，b，0），則D1（0，0，2），E（1，2，0），B1（2，2，2），
＝（a﹣2，b﹣2，﹣2），＝（1，2，﹣2），
∵B1P⊥D1E，∴＝a﹣2+2（b﹣2）+4＝0，
∴a+2b﹣2＝0，
∴點P的軌跡是一條線段，當a＝0時，b＝1；當b＝0時，a＝2，
設CD中點F，則點P在線段AF上，
當A與P重合時，線段B1P的長度為：|AB1|＝＝2；
當P與F重合時，P（0，1，0），＝（﹣2，﹣1，﹣2），線段B1P的長度||＝＝3，
當P在線段AF的中點時，P（1，，0），＝（﹣1，﹣，﹣2），線段B1P的長度||＝＝，
設CD的中點為F，則點F在線段AF上，
∴||2＝（a﹣2）2+（b﹣2）2+4
＝（﹣2b）2+（b﹣2）2+4
＝5b2﹣4b+8（0≤b≤1），
∴當b＝時，||2取到最小值，
當b＝1時，||取到最大值9，
∴線段B1P的長度的最大值為3．
故答案為：3．
15．祖暅（公元5﹣6世紀），祖沖之之子，是我國齊梁時代的數(shù)學家．他提出了一條原理：“冪勢既同，則積不容異”．這句話的意思是：兩個等高的幾何體若在所有等高處的水平截面的面積相等，則這兩個幾何體的體積相等；該原理在西方直到十七世紀才由意大利數(shù)學家卡瓦列利發(fā)現(xiàn)，比祖暅晚一千一百多年．橢球體是橢圓繞其軸旋轉所成的旋轉體．如圖將底面直徑皆為2b，高皆為a的橢半球體及已被挖去了圓錐體的圓柱體放置于同一平面β上，以平行于平面β的平面于距平面β任意高d處可橫截得到S圓及S環(huán)兩截面，可以證明S圓＝S環(huán)總成立．據(jù)此，b為6cm，a為8cm的橢球體的體積是 　192π　cm3．

【解答】解：由題意知：b＝6cm，a＝8cm的橢球體的體積為：
＝192πcm3．
故答案為：192π．
16．在直三棱柱ABC﹣A1B1C1中，∠ABC＝90°，AA1＝，設其外接球的球心為O，已知三棱錐O﹣ABC的體積為，則球O表面積的最小值為 　27π?。?br /> 【解答】解：設AB＝a，BC＝b，球的半徑為r，連接AC1，A1C交于點O，取AC的中點D，連接BD，
則O到三棱柱六個頂點的距離相等，即O是三棱柱外接球的球心，
則OD＝AA1＝，
又三棱錐O﹣ABC的體積為，即ab×＝，得ab＝12．
則r＝＝≥＝，當且僅當a＝b時取等號，
∴球O表面積的最小值為S＝4πr2＝27π，
故答案為：27π．

四．解答題（共6小題）
17．如圖，AB是圓柱OO'的一條母線，BC過底面圓心O，D是圓O上一點．已知AB＝BC＝5，CD＝3．
（1）求該圓柱的表面積；
（2）將四面體ABCD繞母線AB所在的直線旋轉一周，求△ACD的三邊在旋轉過程中所圍成的幾何體的體積．

【解答】解：（1）由題意知AB是圓柱OO′的一條母線，BC過底面圓心O，且AB＝BC＝5，
可得圓柱的底面圓的半徑為，
則圓柱的底面積為，
圓柱的側面積為S2＝2πRl＝＝25π，
所以圓柱的表面積為S＝2S1+S2＝＝；
（2）△ACD的三邊在旋轉過程中所圍成的幾何體的體積是：
分別以AC、AD為母線，BC，BD為底面圓半徑的圓錐的體積之差，
所以以△ACD繞AB旋轉一周而成的封閉幾何體的體積為：
．
18．已知平面α∩β＝l，直線a∥α，且a∥β，求證：a∥l．
【解答】證明：過直線a作平面γ1，γ2使得α∩γ1＝l1，β∩γ2＝l2，
∵a∥α，α∩γ1＝l1，a?γ1，∴a∥l1，
同理a∥l2，∴l(xiāng)1∥l2，
又l1?α，l2?β，∴l(xiāng)1∥β，∴l(xiāng)1∥l，
∴a∥l．

19．如圖①，在棱長為2的正方體ABCD﹣A1B1C1D1木塊中，E是CC1的中點．

（1）要經(jīng)過點A將該木塊鋸開，使截面平行于平面BD1E，在該木塊的表面應該怎樣畫線？請在圖①中作圖，寫出畫法，并證明．
（2）求四棱錐E﹣ABC1D1的體積；
【解答】解：（1）取棱DD1的中點F，連接AF、CF、AC，則FC，F(xiàn)A，CA就是所求作的線．

證明如下：在正方體ABCD﹣A1B1C1D1中，
∵E是CC1的中點，F(xiàn)為DD1的中點，則EC∥D1F，且EC＝D1F，
于是得四邊形CED1F是平行四邊形，有D1E∥CF，而D1E?平面BD1E，CF?平面BD1E，
因此CF∥平面BD1E．
連接EF，可得EF∥CD∥AB，且EF＝CD＝AB，得四邊形ABEF為平行四邊形，則AF∥BE，
又BE?平面BD1E，AF?平面BD1E，于是有AF∥平面BD1E，
而CF∩AF＝F，CF，AF?平面AFC，從而得平面AFC∥平面BD1E．
（2）在正方體ABCD﹣A1B1C1D1中，連接CB1，交BC1于O，可得CO⊥平面ABC1D1，
∵E是CC1的中點，∴E到平面ABC1D1的距離等于＝，
又四邊形ABC1D1的面積S＝，
∴四棱錐E﹣ABC1D1的體積V＝．
20．如圖，在正三棱柱ABC﹣A1B1C1中，AB＝AA1，D，E，F(xiàn)分別是BC，BB1，AA1的中點．
（Ⅰ）求證：CF∥平面ADE；
（Ⅱ）求證：BC1⊥平面ADE．

【解答】證明：（Ⅰ）設AE∩BF＝O，連接OD，如圖示：

因為ABC﹣A1B1C1為正三棱柱，且AB＝AA1，
所以側面A1ABB1為正方形，
因為E，F(xiàn)分別是BB1，AA1的中點，所以O是BF的中點，
又因為D是BC的中點，所以OD∥CF，
因為OD?平面ADE，CF?平面ADE，
所以CF∥平面ADE．
（Ⅱ）因為△ABC為正三角形，所以AD⊥BC，
又CC1⊥平面ABC，所以AD⊥CC1，
所以AD⊥平面B1BCC1，所以BC1⊥AD，
連接B1C，因為側面B1BCC1為正方形，
所以BC1⊥B1C，所以BC1⊥DE，
所以BC1⊥平面ADE．
21．如圖，矩形ABCD所在平面與半圓弧所在平面垂直，M是上異于C，D的點．
（1）證明：平面AMD⊥平面BMC；
（2）在線段AM上是否存在點P，使得MC∥平面PBD？若不存在，說明理由，若存在請證明你的結論，并說明P的位置．

【解答】（1）證明：由題設知，平面CMD⊥平面ABCD，交線為CD．
因為BC⊥CD，BC?平面ABCD，所以BC⊥平面CMD，故BC⊥DM．
因為M為半圓弧上異于C，D的點，且DC為直徑，所以DM⊥CM．
又BC∩CM＝C，BC?平面BMC，CM?平面BMC，
所以DM⊥平面BMC．
因為DM?平面AMD，∴平面AMD⊥平面BMC．
（2）解：當P為AM的中點時，MC∥平面PBD．
證明如下：連結AC交BD于O．因為ABCD為矩形，所以O為AC中點．
連結OP，因為P為AM中點，所以MC∥OP．
又MC?平面PBD，OP?平面PBD，
所以MC∥平面PBD．

22．如圖，在梯形ABCD中，AB∥CD，AD＝DC＝CB＝1，∠ABC＝60°，四邊形ACFE為矩形，平面ACFE⊥平面ABCD，CF＝1．
（1）求證：BC⊥平面ACFE；
（2）求二面角A﹣BF﹣C的平面角的余弦值；
（3）若點M在線段EF上運動，設平面MAB與平面FCB所成二面角的平面角為θ（θ≤90°），試求cosθ的取值范圍．

【解答】（1）證明：在梯形ABCD中，∵AB∥CD，AD＝DC＝CB＝1，∠ABC＝60°，
∴AB＝2，AC2＝AB2+BC2﹣2AB?BC?cos60°＝3，
∴AB2＝AC2+BC2，∴BC⊥AC，
∵平面ACFE⊥平面ABCD，
平面ACFE∩平面ABCD＝AC，BC?平面ABCD，
∴BC⊥平面ACFE．
（2）解：取FB中點G，連接AG，CG，
∵AF＝＝2，∴AB＝AF，∴AG⊥FB，
∵CF＝CB＝1，∴CG⊥FB，∴∠AGC＝θ，
∵BC＝CF，∴FB＝，∴CG＝，AG＝，
∴cosθ＝＝．
（3）解：由（2）知：
①當M與F重合時，cosθ＝．
②當M與E重合時，過B作BN∥CF，且使BN＝CF，
連接EN，F(xiàn)N，則平面MAB∩平面FCB，
∵BC⊥CF，AC⊥CF，∴CF⊥平面ABC，∴BN⊥平面ABC，
∴∠ABC＝θ，∴θ＝60°，∴cosθ＝．
③當M與E，F(xiàn)都不重合時，令FM＝λ，0＜λ＜，
延長AM交CF的延長線于N，連接BN，
∴N在平面MAB與平面FCB的交線上，
∵B在平面MAB與平面FCB的交線上，
∴平面MAB∩平面FCB＝BN，
過C作CH⊥NB交NB于H，連接AH，
由（1）知，AC⊥BC，
又∵AC⊥CN，∴AC⊥平面NCB，∴AC⊥NB，
又∵CH⊥NB，AC∩CH＝C，∴NB⊥平面ACH，
∴AH⊥NB，∴∠AHC＝θ，
在△NAC中，NC＝，
從而在△NCB中，CH＝，
∵∠ACH＝90°，∴AH＝＝，
∴cosθ＝＝，
∵0，
∴，
綜上所述，cosθ∈[，]．




相關試卷

2022-2023學年江蘇省南京外國語學校高一下學期第一次月考數(shù)學試題：

這是一份2022-2023學年江蘇省南京外國語學校高一下學期第一次月考數(shù)學試題，文件包含江蘇省南京外國語學校高一下學期第一次月考數(shù)學試題原卷版docx、江蘇省南京外國語學校高一下學期第一次月考數(shù)學試題解析版docx等2份試卷配套教學資源，其中試卷共26頁， 歡迎下載使用。

江蘇省南京市建鄴區(qū)河西外國語學校2020-2021學年高一上學期10月月考數(shù)學試卷 Word版含解析：

這是一份江蘇省南京市建鄴區(qū)河西外國語學校2020-2021學年高一上學期10月月考數(shù)學試卷 Word版含解析，共14頁。試卷主要包含了單項選擇題，多項選擇，填空題，解答題等內容，歡迎下載使用。

2021-2022學年江蘇省南京外國語學校高一（下）期中數(shù)學試卷：

這是一份2021-2022學年江蘇省南京外國語學校高一（下）期中數(shù)學試卷，共17頁。試卷主要包含了單選題，多選題，填空題，解答題等內容，歡迎下載使用。

英語朗讀寶

相關試卷 更多

江蘇省南京市師范大學附屬中學秦淮科技高中2022-2023學年高一下五月月考數(shù)學試卷及詳細解答

江蘇省南京市師范大學附屬中學秦淮科技高中2022-2023學年高一下五月月考數(shù)學試卷及詳細解答
江蘇省南京外國語學校2022-2023學年高一下學期期中考試數(shù)學試卷

江蘇省南京外國語學校2022-2023學年高一下學期期中考試數(shù)學試卷
江蘇省南京市南京外國語學校2021-2022學年高一上學期10月數(shù)學月考卷

江蘇省南京市南京外國語學校2021-2022學年高一上學期10月數(shù)學月考卷
江蘇省南京市建鄴區(qū)河西外國語學校2020-2021學年高一第一學期月考數(shù)學試卷（10月份）（解析版）

江蘇省南京市建鄴區(qū)河西外國語學校2020-2021學年高一第一學期月考數(shù)學試卷（10月份）（解析版）
資料下載及使用幫助
版權申訴
版權申訴
若您為此資料的原創(chuàng)作者，認為該資料內容侵犯了您的知識產(chǎn)權，請掃碼添加我們的相關工作人員，我們盡可能的保護您的合法權益。
入駐教習網(wǎng)，可獲得資源免費推廣曝光，還可獲得多重現(xiàn)金獎勵，申請 精品資源制作， 工作室入駐。
版權申訴二維碼
月考專區(qū)
歡迎來到教習網(wǎng)
  • 900萬優(yōu)選資源，讓備課更輕松
  • 600萬優(yōu)選試題，支持自由組卷
  • 高質量可編輯，日均更新2000+
  • 百萬教師選擇，專業(yè)更值得信賴
微信掃碼注冊
qrcode
二維碼已過期
刷新

微信掃碼，快速注冊

手機號注冊
手機號碼

手機號格式錯誤

手機驗證碼 獲取驗證碼

手機驗證碼已經(jīng)成功發(fā)送，5分鐘內有效

設置密碼

6-20個字符，數(shù)字、字母或符號

注冊即視為同意教習網(wǎng)「注冊協(xié)議」及「隱私條款」
QQ注冊
手機號注冊
微信注冊

注冊成功

返回
頂部